均值不等式讲义
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
均值不等式的定义-概述说明以及解释
均值不等式的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述均值不等式是数学中一个重要的不等式概念，它描述了一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。
均值不等式在数学分析、概率论、统计学以及许多其他领域都有广泛的应用。
本文将对均值不等式的定义、应用和证明进行详细的阐述，以便读者能更好地理解和应用这一重要的数学理论。
通过深入探讨均值不等式的概念和实际意义，我们可以更好地认识到其在数学和现实生活中的重要作用。
1.2 文章结构：本文将分为引言、正文和结论三个部分来进行阐述均值不等式的定义及相关内容。
在引言部分，我们将先介绍均值不等式的概念，然后简要说明文章的结构，最后阐明撰写本文的目的。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论均值不等式的概念、应用和证明，以便读者更全面地了解均值不等式的内涵和意义。
最后，在结论部分，我们将总结均值不等式的重要性，强调其在实际中的意义，并展望其未来研究方向，以期为读者提供一个全面而深入的了解。
1.3 目的:本文的主要目的是介绍和阐述均值不等式的定义及重要性。
我们将深入探讨均值不等式的概念和应用，以及对其进行证明的方法。
通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更好地理解均值不等式，并认识到其在数学和实际问题中的重要性。
同时，我们也将展望均值不等式在未来的研究方向，以期激发更多学者对其进行深入研究，并在实际问题中发挥更大的作用。
通过对均值不等式的全面探讨，我们希望读者能够对其有一个更全面的了解，从而在数学和实际问题中更好地运用和发展均值不等式的理论。
2.正文2.1 均值不等式的概念均值不等式是数学中一类重要的不等式，通常用于比较一组数的平均值。
对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，均值不等式可以用来比较它们的平均值，从而得出一些重要的数学结论。
常见的均值不等式包括算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）和柯西-施瓦茨不等式。
这些不等式在数学和实际问题中都有着广泛的应用和重要性。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。
均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。
下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。
对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。
2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。
对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。
对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。
对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。
它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。
需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。
比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。
总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。
这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。
均值不等式-中等难度-讲义
一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a b +a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-=+=≥，即a b +≥2a b +三、均值不等式的几何解释 解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即CD ．这个圆的半径为2a b +，显然2a b +点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．四、均值不等式的理解 1.对于任意两个实数a b ，，2a b +叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． 2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b +> 3.注意222a b ab +≥和2a b +>a b R ∈，，后者是+a b R ∈， 五、极值定理 1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥ 【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． abba D 'DC B A1．已知x+y=1x +4y+8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5√3B．9 C．4+√26 D．102．设实数x，y满足条{4x−y−10≤0x−2y+8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A．256 B．83C．113D．43．若不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．(34，+∞) C．(0，34) D．(−∞，34)4．已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3a +2b的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．265．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式2x +1y＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜26．已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则x 2+y2+4x−2y+5xy−x+2y−2的最大值为（）A．2 B．136C．103D．1747．正实数ab满足1a +2b=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．408．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则1m +1n的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．369．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则1m +2n最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2√210．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．32B．1+√3 C．2√3﹣2 D．2﹣√311．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）A．√3 B．2 C．√5 D．312．已知a＞0，b＞0，1a +4b=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．913．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．16．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，a 2+c22+b2=k，求b（a+c）的最大值．。
第6章 均值不等式与柯西不等式-高中数学不等式讲义(人教版)【2019原创资源大赛】
第六章 均值不等式与柯西不等式1.平均值不等式设n a a a ,,21均为正实数，记na a a A nn +++=21,（算术平均数）n n n a a a G ⋅⋅= 21,（几何平均数）nn a a a nH 11121+++=,（调和平均数）na a a Q nn 22221+++=,（平方平均数）则n n n n Q A G H ≤≤≤.不等式中等号成立的条件是n a a a a ==== 321.高中教材中主要有以下均值不等式：设n a a a ,,21为n 个非负实数，则n G A n ≥，特别地，当2=n 时有：)0,0(2>>≥+b a ab ba ，当且仅当b a =时，等号成立，此不等式也称为“基本不等式”，在高考中运用十分广泛，尤其在求最值时。
2.极值定理已知),2,1(n i x i =都是正数，则（1）如果乘积p x x x n = 21定值，那么当n x x x === 21时n n p n x x x =+++min 21)( ；（2）若s x x x n =+++ 21定值，那么当n x x x === 21时，nn n s x x x ⎪⎭⎫⎝⎛=max 21)( .3.柯西不等式设n a a a ,,,21 和n b b b ,,,21 是两组实数，则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ ,等号当且仅当i i b a λ=（λ为常数，n i ,,2,1 =）时成立.柯西不等式有以下常见的变形形式：（1）设),2,1(0,n i b R a i i =>∈,则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i in i i ni ii b a b a 12112,等号成立当且仅当ii a b λ=（n i ,,2,1 =）. （2）设i i b a ,同号且不为零（n i ,,2,1 =），则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211,等号成立当且仅当n b b b ==21.[例1]设0,0,0>>>c b a 且12432=++c b a .求证：6432≥++c b a证明：由均值不等式得：a a 212≥+，c c b b 4111,31143≥+++≥++，三式相加得：124326432=++≥+++c b a c b a 即6432≥++c b a ，所以原式得证。
均值不等式讲义
A．1 B．2 C．6 D．4 4．已知 a，b，c 是正实数，且 ab+bc+ac=1，则 abc 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．
5．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
6．设 a，b，c 都是正数，且 a+2b+c=1，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵n+ = + +
∴n+ = + +
（当且仅当 n=4 时等号成立）
故选 C
2．（2014 春•秦州区校级月考）函数 f（x）=5x+ （x＞0）的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：函数 f（x）=5x+ =2.5x+2.5x+ ≥
二．填空题（共 3 小题） 14．若 2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11，则 2x+1+3y+5z﹣1 取值范围是 （
，11） ．
【解答】解：设 a=2x，b=3y，c=5z，则 a＞0，b＞0，c＞0， ∵2x+3y+5z=7，2x﹣1+3y+5z+1=11， ∴a+b+c=7，0.5a+b+5z=11，
故选 A．
5．（2012 秋•龙华区校级期末）设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底 面边长为（ ）
A． B．
C．
D．
【解答】解：设底边边长为 a，高为 h，则 V=Sh= a2×h，
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
设a 0, b 0, a b 1
1 你能给出几个含有 0 ab 1 1 4 4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1 a b 2 倒数
乘积
1 1 25 ( a )( b ) a b 4
平方
1 1 (1 )(1 ) 9 a其他 b
作业
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
1 当且仅当 x 即x 1时， ymin 2 x 1 当x 0时， x 0, 则y x x
1 x 2 x 1 x 2 x 1 y 2, 当且仅当 x 即x 1时 x ymax 2
知识扫描
基本不等式（又叫均值不等式）
ab
ab 2
(a 0, b 0)
2
a b 2 ab (a 0, b 0)
当且仅当a=b时等号成立
ab ab 2
(a 0, b 0)
代数意义：
a b 如果把 看做是两正数a、b 2 的算术平均数, ab 看做是两正数a、b
看谁最快
1 9 1、已知 x 0, y 0, 且 1, 则x y的 最 x y 16 小值为____.
2、设 a 0, b 0 且a+b=3,则２a＋２b的最小值 为___ 4 2.
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均值不等式
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+
(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且
仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*,R b a ∈，则2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则22112
2
2b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）
一、 基本技巧
技巧1：凑项
例 已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑
例 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性
例 求函数2
y =
的值域。
技巧4：整体代换
例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
典型例题
1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是
2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd
b a 2
+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4
3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )
A.[)+∞,0
B.[)+∞-,4
C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+2
2
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .
6. 已知,x y R +∈，且满足134x
y +=，则xy 的最大值为 .
7. 设0,0.a b >>1133a b a b
+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14
8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285
C.5
D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；
⑤112a b
+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()
211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11.下列命题中正确的是
A 、1y x
x
=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、4
23(0)y x x x =-->的最大值是2-
D 、423(0)y x x x =-->的最小
值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。