例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈应用均值不等式要注意的问题
例谈应用均值不等式要注意的问题
应用均值不等式时，要注意以下几个问题：
1.指定正确的变量：应该选择满足均值不等式要求的变量，否则就会得出错误的结论；
2.常数项不能过小：加入常数项来引导收敛到最优解，如果常数项过小，就会使迭代不收敛；
3.允许噪声：当作为替代均值平方误差时，允许噪声，可以更好地拟合实际数据；
4.避免异常值的影响：应该避免异常值的干预，这样可以保证模型对数据的准确性；
5.正确选择梯度方法：采用均值不等式的情况下，要选择适当的梯度方法，以正确反映数据特征。
均值不等式解题技巧总结
均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。
以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。
3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。
4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。
5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。
6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。
双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。
7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。
对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。
总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。
均值不等式的使用条件
均值不等式的使用条件
建议大家记住以下两点应用：
(1)如果求的是“两个数和的最小值”，那么我们就去看这两个数的乘积是否为定值，如果是，那么就是当这两个数相等的时候，和有最小值;
(2)如果谋的就是“两个数积的最大值”，那么我们就回去看看这两个数的和与否为
定值，如果就是，那么就是当这两个数成正比的时候，弓果最大值。
例1：某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为元，
池壁每平方米的造价为元，那么要造一个深为3米，容积为48立方米的无盖贮水池最低
造价是多少元?
a. b. c. d.
例2：妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20厘米，高为60厘米的
圆锥形生日帽里藏了一个圆柱形礼物盒。
为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面
积最大为多少平方厘米?
a.π
b.π
c.π
d.π。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
例谈均值不等式的运用条件和技巧
例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“1212,,,n n a a a a a a R n++++∈≥K K 若则当且仅当n a a a ===K 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1） 注意“正数”例1、求函数1y x x=+的值域 .误解：12x x +≥=Q （当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+≥==当时仅当时取等号；11()0,0()()2(1)2b x x x x x x x<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x Θ. 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要212x x x ==，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=. 所以2183,3183min 3==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.误解：2222222219,()(1)2222a xb y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=Q K K 所以by ax +的最大值为29. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：2222222222,()()()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+Q 仅当ax by=时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩时取等号.如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312≤==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x Θ， 所以仅当24212,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.二、常用的处理方法和技巧（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<-> ∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
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例谈均值不等式的运用条件和技巧
运用均值不等式“121212,,
,,n
n n n a a a a a a R a a a n
+++
+∈≥若则
当且仅当
n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，
许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.
一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。
（1） 注意“正数”
例1、求函数1
y x x
=+
的值域 .
误解：
12x x +
≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+
∈R b a ,
正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+
≥==当时仅当时取等号；
11
()0,0()()2(1)2
b x x x x x x x
<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}
22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”
例2、设+
∈R x ，求函数2
1
3x x y +
=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有
3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥+
+=∈+y x
x x x x x y R x . 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要2
1
2x x x =
=，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.
正确解法：时取等号）23322123(182312323312323x
x x x x x x x y ==⋅⋅≥++=
. 所以2
183,3183min 3
==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2
2
2
2
.
误解：2222222219
,()(1)2222
a x
b y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=
所以by ax +的最大值为
2
9
. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能
取到上述的最大值.
正确解法：
222222222
2,()()
()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当ax by
=时取等，所以22
2236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩
时取等号.
如取23)(,3,2
6
max =+===
=by ax y x b a （3）注意“定值”
例4、已知的最大值求y x R y x y x 2
,,,12+
∈=+.
误解：12),(27
)2()3(
3
32
=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 27
1
,312≤
==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当27
1312=
=
=y x y x 时.但没有任何理由说明,2712
≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.
正确解法：
27
2
)322(41)34(41441,,332=
+⨯=++≤⋅⋅⋅=
∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当24212,,,21
3627x y x y x y x y =⎧==∴⎨
+=⎩即时取等号最大值为.
二、常用的处理方法和技巧
（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，
从而达到凑积或和为定值的目的。
为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则. 例5、求函数)0(3
22
>+=x x
x y 的最小值. 解：
x
x x y 23
2322
+
+
=时取等号）x x x x x 232(36232323232332==⋅⋅≥，
所以仅当min 2x y =
=. （目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆
x
3
为相同两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零）
（2） 裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大
或相等时用此方法。
例6、设1->x ，求函数1
)
2)(5(+++=
x x x y 的最小值
.
[(1)4][(1)1]
14
15
1
4
59(11
x x y x x x x x ++++=
+=++++≥=+=+解：取等号）
所以仅当9,1min ==y x 时.
（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定
值。
即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号） （3） 添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项. 例7、求函数2
2
216
3x
x y ++
=的最小值.
2222
163(2)66216
3(2)2y x x x x =++
-≥=++=+解：当且仅当取等号 所以当638,233
4
min -=-±
=y x （求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子2
2x +的次数和为零，同时取到等号）. 例8、若y x y
x y x +=+>>则且
,19
1,0,0.的最小值. 解：
1999()()191016(y x y x
x y x y x y x y x y
+=++
=+++≥+==时取等号）
所以仅当⎩⎨
⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=1241919y x y
x y x x y 时y x +的最小值为16. [所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘
y
x 9
1+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子
x
y
的次数和为零，同时取到等号] 注意：例8这种解法也叫用“1”的技巧.
4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数.
例9、求函数)10(122<<-=x x x y 的最大值. 解:
9
32)3122(4)1(224)1(1322
222
22422
=-++≤-⋅⋅=-=-=x x x x x x x x x x y （仅当22
12
x x -=时取等号）因此仅当932,36max ==y x . （把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相
同且系数和为零，且取到等号）
例10、已知,20<<x 求函数)4(62
x x y -=的最大值. 解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x --⋅⋅=-=
∴>∴<<
,+
∈R
x 22(243
x x ≤==-取等号）
因此仅当.3
3
32,332max ==
y x （求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数
升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）
5、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法.
例、11设求函数4
332
+=x x y 的最大值.
解：由题22
3
2
4223434
3x
x x x
x x x y ++=
+=+=
而,+
∈R x 取等号）23224
2(34223422x
x x x x x x x ==⋅⋅≥++∴
所以仅当1,2max ==y x .
（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为
前面形式解）
6、取倒数：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，可取倒数再如前面一样求解.
例12、已知13
4,
,=+∈+
y
x R y x ，求y x 2的最大值. 解：32223112231123
()(12123324x x y x y x x y x y
++
=⋅⋅⋅≤==时取等号）
因此仅当324)(,961343
2max 2=⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=y x y x y
x y x
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