必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法如下：
1. 读懂题目：首先要仔细阅读题目，理解不等式的条件和要求。
2. 将不等式化为标准形式：将不等式进行变形，使得不等号的右边等于零，并且左边只含有一个未知数。
3. 找出未知数的范围：根据题目中给出的条件，确定未知数的范围。
4. 求解不等式：根据不等号的方向，找出未知数满足不等式的取值范围。
5. 检验解的有效性：将解代入原不等式中验证。
需要注意的是，在求解过程中可能会遇到以下几种特殊情况：
- 当不等号为>或<时，解是一个开区间；
- 当不等号为≥或≤时，解是一个闭区间；
- 当不等号两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要取反；
- 当不等号两边同时除以一个负数时，不等号的方向不变。
综上所述，以上是解题基本步骤，但针对不同类型的不等式，解题方法可能会有所不同。
因此，在解题过程中还需要根据具体情况选择合适的解题方法。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
必修五基本不等式题型分类(绝对经典)学习资料
最新必修五基本不等式题型分类（绝对经典）基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1 •如果a,bRab2・ab （当且仅当_A_厂时取="号）・22•如果a,bRab ab（当且仅当匸一时取」’号）2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
类型一：利用（配凑法）求最值a「求下列函数的最大（或最小）1（1）求火一一（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值（3）已知“〕/ ，且■••求•二|的最大值及相应的’匸的值5变式1：已知x ■，求函数y=4x2 1的最大值4 4x5X类型二：含“ 1 ”的式子求最值02 •已知「」”求：「的最小值.2 3变式1:若x 0, y 0, x y=1，求——的最小值xy变式2 :2 3x 0, y 0, x y=2，求的最小值变式求函数y= 2 2 (0 X ）的最小值类型三：求分式的最值问题X?X 13•已知x0，的最小值变式1求函数y x1 2 X3(X $的值域变式2：求函数y X2 44J的最小值类型四：求负数范围的最值问题、1 曰4. xO,求x ■的最大值X4X变式1：求f (x) x (x 0)的值域Xx12 2x 1变式2：求f (x) 亠的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5•若正数a,b满足abab 3,则(1) ab的取值范围是(2) a+b的取值范围是变式1:若x，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2:已知x ‘ y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习:1 :已知a,b R，下列不等式中不正确的是()(A) a1 2 3 b 2ab ( B) ■■- ab (C) a24n 4 b2 b222：在下列函数中最小值为2的函数是()1(A)y x-X(B) y 3X3X1 1(C)y lg x (1 x 10) (D)y sin x (Oxla x sin x 214：若x3,求yx —的最小值x33：若x0，求y3x*的最小值X1 1 6： x 0, y 0, x+3y=1求 --- 的最小值xy作业（共80分，限时40分钟）1、（5 分）1 4设x,y 为正数, 3.4.5.A. 6B.9C.12则（xy ）（丄4）的最小值为（）xyD.15A. (5分) 若a,b 为实数，且a（A ） 18（B ） 6（5分）设正数x 、y 满足2x y(A) 50 (B) 20 2，则歹3b 的最小值是（（C ） 23 （D ）24320 ，贝U lg x lg y 的最大值是（(C) 11g5(D)1（5分）已知a,b 为正实数，且a1［的最小值为（2b 1,则 ---- 、ab ）4,2B. 6C.3 ・ 2 2D. 3+2 2 (5分)设a 、b 2,2(A) 1 ab abR,且 a b, a b(B)ab 12,则必有（） a 2b 2 6.( 5分)F 列结论正确的是22,2 1A.翁XabClik 文 1 时，Igx(D)丄 ? l g xa 2b 22B.ab 0时,C.当x 2时，x —的最小值为xD.7. ( 5 分)若ab 1、P Igalgb、Q 12(lga|gb）,R ©笃，则下列不等式成立的是（）(A) R PQ (B) P Q R (C)Q P R (D)P RQ8. （5分）函数vx1—（x1）的最小值是X 19. （5分）已知两个正实数x・y满足尖系式x 4y 40,则Igx lg y的最大值是110・（5分）已知0 x-JIJx （1 2x）的最大值是211. （5分）已知x，v R，且x 4y 1，则x y的最大值为____________12. （5分）若正数a,b满足abab3,,则ab的取值范围是13. （10分）已知abc是3个不全等的正数。
高中数学基本不等式的解法十例
解 析 ： 由 三 点 共 线 可 得 a b 1 ， 观 察 形 式 采 用 “1” 的 代 换 ， 故 而
1
1
1 a
1 b
a
b
2
b
a
，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可
ab
1
ab
得 ： b a 2 ba 2 ， 当 且 仅当 b aab1 时 取 等号 。故 而 可 得
a b ab
2x 2y
42x
y
2
2x 2y 42x y 4 ， 当 且 仅 当
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x 2y 2x y
42x y
2x 2y
2 ，亦即
x
y
0 3 2
时取等号。此时可得 4 x
3y min
9 2
。
问题 3：方程中的基本不等式
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。
3
2
3 a
2 b
2a
3b
12
9b a
4a b
，观察分子可得分子积为定值，根据积定和
ab
6
6
最小法则可得： 9b 4a 2
ab
9b a
4a b
12
，当且仅当
9b a
4a b
a b
3 2
1
时取等号，故
而可得
3
2
12
9b a
4a b
4
。
ab
6
（不等式与解三角形）例题 7： .
中，角
的对边分别为
a
2
b
2
ab
可
得
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。
在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。
不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。
不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。
在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。
二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。
下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。
1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。
解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。
例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。
2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。
解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。
3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。
解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。
三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
基本不等式的解题技巧
基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。
以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。
例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。
2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。
当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。
例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。
3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。
例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。
4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。
例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。
这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+
a
=
30，求函数 y
=
1 ab
的最小值。
3
v1.0 可编辑可修改
25、已知 a>0，b>0，ab - (a + b ) = 1，求 a + b 的最小值。 26、若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 27、已知正数 a，b 满足 ab = a + b + 3，求 ab 的取值范围。
课后练习
15、已知不等式(x
+
y)(
1 x
+
a y
)
≥
9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a
的最小值为
5
y2 2
=
1，求 x
1 + y2 的最大值。
22、已知 x，y 为正实数，3x + 2y = 10，求函数 y = 3x + 2y 的最值。
23、求函数 y =
2x - 1 +
5
-
2x
1 （2
<
x
<
5 2
）的最大值。
技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式
24、已知 a，b 为正实数，2b
+
ab
x2 + 4
14、若实数满足 a + b = 2，则 3a + 3b 的最小值是
。
15、若
+
=
2，求
1 x
+
1 y
的最小值，并求 x、y 的值。
技巧六：整体代换
16、已知 x
>
0，y
>
0，且
1 x
+
9 y
=
1，求 x
+
y 的最小值。
2
17、若 x、y∈R+且 2x
+
y
=
1，求
1 x
+
1 y
的最小值
9、已知两个正数 a，b 满足 a
+
b
=
4，求使
2 a
+
8 b
≥
m 恒成立的 m 的范围
10、函数 y =
- 1（a>0，a≠1）的图像恒过定点 A，若点 A 在直线
mx
+
ny
+
1
=
0 上，其中 mn
>
0，求则
1 m
+
1 n
的最小值为
11、已知 x x x x 1· 2·…· · 2009 2010 = 1，且 x x x x 1、 2… 2009、 2010 都是正数，则（1 + x1）
均值不等式应用（技巧）
技巧一：凑项
1、 求 y
=
2x +
x
1 -
3
பைடு நூலகம்
（x
>
3）的最小值
2、已知 x
>
3 2
，求 y
=
2 2x -
3
的最小值
3、已知 x
<
5 4
，求函数 y
=
4x
–
2
+
1 4x -
5
的最大值。
v1.0 可编辑可修改
技巧二：凑系数 4、当 0 < x < 4 时，求 y = x(8 - 2x)的最大值。
v1.0 可编辑可修改
18、已知 a，b，x，y∈R+ 且
a x
+
b y
=
1，求 x
+
y 的最小值。
19、已知正实数 x，y 满足 2x
+
y
=
1，求
1 x
+
2 y
的最小值
20、已知正实数 x，y，z 满足 x
+
y
+
z
=
1，求
1 x
+
4 y
+
9 z
的最小值
技巧七：取平方
21、已知 x，y 为正实数，且 x2 +
（1 + x2）…（1 + x2009）（1 + x2010）的最小值是
12、已知直线 l 过点 P（2，1），且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O
为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为
13、若 x、y、z∈R+，x
-
2y
+
3z
=
0，求
y2 xz
的最小值
14、已知 A（0，9）、B（0，16）两点，C（x，0）是 x 轴上任意一点，求当点 C 在何位置时，∠ACB 最大
=
x2 +
3x x
+
1
（x
>
0）
1
的值域
v1.0 可编辑可修改
10、已知 x
>
2，求 y
=
x2 - 3x + x-2
6
的最小值
11、已知 a
>
b
>
c，求 y
=
a a
-
c b
+
a b
-
c c
的最小值
12、已知 x
>
-1，求 y
=
x+1 x2 + 5x +
8
的最大值
技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数 y = x2 + 5 的值域。
5、设 0
<
x
<
3 2
时，求 y
=
4x(3
-
2x)的最大值，并求此时 x 的值。
6、已知 0 < x < 1 时，求 y = 2x(1 - x) 的最大值。
7、设 0
<
x
<
2 3
时，求 y
=
x(2 - 3x) 的最大值
技巧三：分离
8、求 y
=
x2 + 7x x+
+ 1
10
（x
>
-1）的值域；
9、求 y
x 3x
+
1
≤
a 恒成立，则 a 的取值范围是
。
6、若点 A（-2，-1）在直线 mx
+
ny
+
1
=
0 上，其中 mn
>
0，则
1 m
+
2 n
的最
4
v1.0 可编辑可修改
小值为 7、已知 x + 3y – 2 = 0，则 3x + 27y + 1 的最小值为 8、若 x，y∈（0，+ ）且 2x + 8y – xy = 0，求 x + y 的最小值
1、已知 x
>
0，y
>
0，满足 x
+
2y
=
1，求
1 x
+
1 y
的最值
2、若 x
>
0，y
>
0，且
2 x
+
8 y
=
1，求 xy 的最值
3、若-4
<
x
<
1，求
x2 - 2x 2x -
+ 2
2
的最大值
4、函数 f (x) =
x2 x4 +
2 （x ≠ 0）的最大值是
；此时的 x 值为
。
5、若对任意 x
>
0，x2 +