运用均值不等式的解题技巧
均值不等式解题技巧总结
均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。
以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。
3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。
4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。
5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。
6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。
双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。
7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。
对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。
总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
均值不等式应用求最值的技巧,题型分析
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
运用均值不等式求最值的几种技巧
（Ｉ ａ ，… ，ａ ）扩 大 或 缩 小 后 构 造 为 一— 旦 —
或 ａ ２ ａ 的 形式 ， 代 戥 、—ｎ 刖 形 其 ／ １ … 具
，
（最 值 （最 值 Ａ 大丢 Ｂ小丢 ） ）
（ ） 大值 １ （ ） 小值 １ ｃ最 Ｄ最
分析： 本题 看似无 法使用均值 不等式 ， 但
方 能如愿 ．
解： ＋ ｙ＝
＝ 一１ １ ＋ｌ ＋ ≥２
√ — ＋ ３且 当 一 击 ， （ １ １ 当仅 １ ） ＝ ＝
旦 二 二 即 ＝２ ， 时 取等号 ． ． ＝２ ， ｉ ３ ．当 ． 时 ｍ ＝ ． ｎ
２ 分 离
变形构 造 原理 ： 公 式 用
二 ｙ
＝
解 ’ ＞ ） ２ ＋ ＝十 ： ｏ ．＝＋ ２号＋ ． ’ ， ４ 专＋ ≥ ＋ × ｘｘ ４ ５ 且 当 ２ ３ ｊ ， 仅 ４ ＝当
要 ：４， ： 时， 即 ２ 上式取等号＿． ．函数 Ｙ ．
＝
１， ２ Ｙ＝６时 ， ＋Ｙ最小 ， 最小 值为 ｌ ． ８
大值为｛．
３ 整体 代换
例 ５ 已知 ＞０ Ｙ＞０ 且 ＋ ２ ：１ ， ，
，
例 ７ 设 ＞０ 求 函数 ｖ＝２ ＋ 的 ， ＋
最小 值 ．
求 ＋Ｙ的最 小值 ． 分析 ： 本题解 法 较多 ， 下面 给 出用 均值 不 等式 的两 种解法 ． 解法 一 ：． ８ ＋一 ：１ ．一 ． ２
÷
的最小值 ．
分析 ： 题 虽 有 ｓ ２ 本 ｉ ∈ （ ， ］ ｓ ２ ・ ｎ ０ １ ，ｉ ｎ
．
分析： 可将 拆成鲁 ＋ 然后用均值 鲁，
＋ Ｙ：（ ＋
不等 式求解 ．
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
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解析：注意到 与 的和为定值。
又 ，所以 当且仅当 = ，即 时取等号。故 。
均值不等式与恒成立问题
1、已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
2、 且 恒成立，则正实数 的最小值为（）
3、已知 且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是—。
解法二、由 ，则 ，
即 解得 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
又 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
法一：a＝ ，ab＝ ·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
∴ab≤18∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0，－5 ≤u≤3
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
变式：1.已知：4a+b=ab（a>0,且a 1, b>0, b 4），求a+b的最小值。
解：∵ ∴ ∴
当且仅当 即 时等号成立。
技巧四：分离
例1.求 的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。所以仅当 。
技巧五：换元
求 的值域。
解：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
同时还应化简 中y2前面的系数为 ，x ＝x ＝ x·
下面将x， 分别看成两个因式：x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
2、函数 的最大值为.
3、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤ ＝2
解法1：不妨将 乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当 时取等号，由 即 时， 的最小值为 。
解法2：将 分子中的1用 代换。
3、已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y= 的最小值是（）A． B．4C． D．5
4、（2012高考浙江文）若正数 满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C.5D.6
5、已知 ，求函数 的最小值。
③必须有自变量值能使函数取到=号.
三、利用均值不等式求最值常用解题技巧
技巧一：化正
1、若x<0,则函数 的最小值为。2、函数 的值域。[-3，0]
技巧二：凑项
例1、若 ，则 的最小值是（）（A）2（B）a（C）2 （D）3
例2、已知 ，求函数 的最大值。
解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，
运用均值不等式求最值的解题技巧
一、常用结论
1. (1)若 ，则 (2)若 ，则
2. (1)若 ，则 (2)若 ，则
(3)若 ，则 （4）若 ，则
3.若 ，则 若 ，则
4.若 ，则 若 ，则
5、熟悉一个重要的不等式链： 。
二、利用均值不等式求最值的条件：一正,二定,三相等
①各项必须为正;
②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）；
当 ,即 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
设 ，求函数 的最小值。
解
技巧六：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 的单调性。
解：因为 ，所以 。
所以 。当且仅当 时，即 ，上式取“=”，故 。
6、函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0， 的最小值为。
技巧八：分解因式
1、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A. 3B.4C. D.
例：若实数满足 ，则 的最小值是.
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧七：整体代换
1、已知 ，且 ，求 的最小值。
解法一： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。
解法二：分解因式
解法三：消元法
2、已知 ，求 的最小值。
例：求函数 的值域。
解法一：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
解法二：设y= + - (a＞1)由均值不等式及函数的单调性得：
y≥2 - 2 - 当且仅当 = 且 2时等号成立，由于当x=0，a=4时上面不等式放缩后的等号都成立。∴y 2 - = ∴y =
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
技巧三：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
当 ，即x＝2时取等号当x＝2时， 的最大值为8。
变式：设 ，求函数 的最大值。
解： ∵4a+b=ab，∴ .∵ ,∴
∴
当且仅当 即b=6, a=3时,取“=”号，∴a+b的最小值为9。
2、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
技巧十、平方法
1、已知x，y为正实数，且x2＋ ＝1，求x 的最大值.
解法一：
解法二：分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。
解法一：
解法二：考察均值不等式 ，整理得
即 ，又 ，
2、若a、b、c>0且 ,则2a+b+c的最小值为（）
A． B． C． D．2
技巧九：消元法
1、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。
解法一：由 ， 知 ，
则： ，由 ，
则： ，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。