均值不等式的几种证法
均值不等式的证明精选多的篇
均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。
具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。
下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。
证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。
因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。
考虑对数变换。
定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。
因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。
继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。
最后，我们来说明等号成立的条件。
根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。
至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。
总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。
它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。
该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。
篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
第11讲 均值不等式-中等难度-讲义
均值不等式引入1、利用作差法证明：22,,2.a R b R a b ab ∈∈+≥ 证明：∵a2＋b2－2ab ＝(a －b)2≥0∵a2＋b2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．2、当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab. 证明：∵a ＋b －2ab ＝(a)2＋(b)2－2a·b ＝(a －b)2≥0.∵a ＋b≥2ab.解读1、等号成立条件对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．2、基本不等式如果a b ，，是正数，那么2a b+a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-+=≥，即a b +≥所以2a b+3、均值不等式的理解（1）对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． （2）对于=“”的理解应为a b =是2a b+a b ≠，则2a b+> （3）注意222a b ab +≥和2a b+成立的条件不同．前者是a b R ∈，，后者是+a b R ∈，4、极值定理（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ；证明：x y ，都是正数，2x y+≥有x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ；（2）若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；证明：x y ，都是正数，2x y+≥当且仅当x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究下面是基本不等式2a bab +的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝ ，而OD ＝ ， 因为OD CD ，所以2a bab + 当且仅当C 与O ，即 时,等号成立． 答案：=CD ab OD ＝2a b +，OD CD ≥，2a bab +，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立．典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2018秋•延吉市校级期中）已知x＞0，y＞0，x+2yxy=2，则x+4y的最小值是（）A．6B．3+√2C．6+4√2D．3+2√2【分析】先由已知条件得到2x +1y=2，再将两个代数式相乘，利用基本不等式可得出x+4y的最小值．【解答】解：由于x+2yxy =1y+2x=2，所以，2(x+4y)=(2x+1y)(x+4y)=8yx+xy+6≥2√8y x⋅x y+6=6+4√2，所以，x+4y≥3+2√2，当且仅当8yx =xy，即当x=2√2y时，等号成立，因此，x+4y的最小值为3+2√2，故选：D．2．（2017秋•平顶山期末）若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1ab的最小值为（）A．6B．4C．2√2D．√2【分析】由a 4+4b4+1ab≥2√4a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab，然后再利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵a，b∈R，ab＞0，则a 4+4b4+1ab≥2√4a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab≥2√4ab⋅1ab=4，当且仅当{a4=4b4 4ab=1ab，即{a=1√24b=1√84或{a=−1√24b=−1√84是上式取得最小值4，故选：B．3．（2018秋•海淀区期中）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，则ab的值为（）A．1B．2C．4D．8【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，可得log a14=2，b 14=2，解得a，b即可得出．【解答】解：函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，∴log a 14=2，b14=2，解得a=12，b=16．则ab=8．故选：D．4．（2018春•孝感期末）已知两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4m +3n有（）A．最大值3B．最大值1C．最小值27D．最小值9【分析】由题意可得4m +3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1+4n3m+3mn，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4 m +3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1+4n3m+3mn≥5+2√4n3m⋅3mn=5+4=9，当且仅当m=23，n=1取等号，故选：D．5．（2017秋•济宁期末）若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）A．245B．275C．5D．6【分析】将条件x+3y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值【解答】解：由x+3y=5xy得x+3y5xy =15y+35x=1，∴4x+3y=（4x+3y）（15y+35x）=125+35+4x5y+9y5x≥155+2√4x5y⋅9y5x=155+125=275，当且仅当4x5y =9y5x时取等号．故4x+3y的最小值是275，故选：C．6．（2018秋•新罗区校级月考）函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+4n的图象上，其中m，n＞0，则1m +2n的最小值为（）A．8B．9C．18D．16【分析】根据指数恒过定点求解A，带入一次函数，利用“乘1”法即可求解．【解答】解：函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣2=0，可得x=2，带入可得y=1，恒过定点A（2，1）．那么1=2m+4n．则1 m +2n=（1m+2n）（2m+4n）=10+4nm+4mn≥2√4n m⋅4m n+10=18（当且仅当m=n=16时，等号成立），故选：C．7．（2017秋•新乡期末）已知a＜b，则b−a+1b−a+b−a的最小值为（）A．3B．2C．4D．1【分析】将代数式进行变形得b−a+1b−a +b−a=1+1b−a+b−a，然后利用基本不等式可求出代数式的最小值．【解答】解：∵a＜b，所以，b﹣a＞0，由基本不等式可得b−a+1b−a +b−a=1+1b−a+(b−a)≥1+2√1b−a⋅(b−a)=3，当且仅当1b−a =b−a(b＞a)，即当b﹣a=1时，等号成立，因此，b−a+1b−a+b−a的最小值为3，故选：A．8．（2018春•成都期末）若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据题意，将x+4y=xy，变形可得1y +4x=1，进而可得x+y=（x+y）（1y+4x）=xy +4yx+5，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则1y +4x=1，x+y=（x+y）（1y+4x）=xy+4yx+5≥2√xy×4yx+5=9，当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．9．（2018春•吉安期末）设x≥2，则y=1+3x+1x−1的最小值是（）A．4+3√2B．4+2√3C．8D．1+2√3【分析】构造基本不等式，结合勾勾函数的单调性即可求解．【解答】解：y=1+3x +1x−1=3（x ﹣1）+1x−1+4． 令x ﹣1=t ，t ≥1．∴y=3t +1t +4．当t ≥√33时，函数是递增函数，∵t ≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x +1x−1取得最小值为8．故选：C ．10．（2018春•上虞区期末）已知x ＞0，y ＞0，xy ﹣2x ﹣y=2，则x +y 的最小值为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．10【分析】首先对函数的关系式进行恒等变换，进一步利用分类讨论思想，利用均值不等式求出结果．【解答】解：已知x ＞0，y ＞0，xy ﹣2x ﹣y=2，则：x=y+2y−2，所以，由x ＞0，得到y ＞2时，x +y=y+2y−2+y =y−2+4y−2+y=1+4y−2+(y −2)+2≥3+4=7，故函数x +y 的最小值为7． 故选：B ．11．（2018春•重庆期末）已知正数x ，y 满足x +y=1，则1x +41+y的最小值为（ ）A ．5B ．143C ．92D ．2【分析】由x +y=1得x +（1+y ）=2，再将代数式x +（1+y ）与1x +41+y相乘，利用基本不等式可求出1x +41+y的最小值．【解答】解：∵x+y=1，所以，x+（1+y）=2，则2(1x+41+y)=[x+(1+y)](1x+41+y)=4x1+y +1+yx+5≥2√4x1+y⋅1+y x+5=9，所以，1x +41+y≥92，当且仅当{4x1+y=1+yxx+y=1，即当{x=23y=13时，等号成立，因此，1x +41+y的最小值为92，故选：C．12．（2017秋•亳州期末）不等式3−2xx+2≥1的解集为（）A．{x|x≤13}B．{x|−2＜x≤13}C．{x|x≤13且x≠﹣2}D．{x|−2≤x≤13}【分析】根据题意，原不等式等价于（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+2）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，3−2xx+2≥1⇒1−3xx+2≥0⇔（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+2）≠0，解可得：﹣2＜x≤13，则不等式的解集为（﹣2，13]；故选：B．13．（2018秋•长汀县校级月考）不等式x+2x+1＞2的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意，原不等式可以等价转化为x （x ﹣1）（x +1）＞0，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，x +2x+1＞2⇒x ﹣2+2x+1＞0⇒x 2−xx+1＞0⇒x （x ﹣1）（x +1）＞0，解可得：﹣1＜x ＜0或x ＞1，即原不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； 故选：A ．14．（2018秋•武平县校级月考）不等式（x 3﹣4x 2+4x ）（3+2x ﹣x 2）＞0的解集为（ ）A ．{x |x ＜﹣1或0＜x ＜3}B ．{x |0＜x ＜3且x ≠2}C ．{x |﹣1＜x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜﹣1或0＜x ＜2或2＜x ＜3}【分析】化简不等式为因式乘积的形式，利用穿根法求解即可．【解答】解：不等式（x 3﹣4x 2+4x ）（3+2x ﹣x 2）＞0，化为x （x ﹣2）2（x ﹣3）（x +1）＜0．作图：由穿根法可知不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或0＜x ＜2或2＜x ＜3}． 故选：D ．15．（2018春•朝阳区校级期中）a ＞1，关于x 的不等式axx+1≥1的解集是（ ）A ．[﹣1，1a−1]B ．（﹣1，1a−1]C ．（﹣∞，1）U （1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）U [1a−1，+∞）【分析】根据题意，将原不等式变形为[（a ﹣1）x ﹣1]（x +1）≥0且x ≠﹣1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，axx+1≥1⇒axx+1−1≥0⇒(a−1)x−1x+1≥0⇒[（a ﹣1）x ﹣1]（x +1）≥0且x ≠﹣1，解可得：x ＜﹣1或x ≥1a−1，则不等式的解集为（﹣∞，﹣1）U [1a−1，+∞）； 故选：D ．二．填空题（共4小题）16．（2018秋•徐州期中）已知正实数a ，b 满足a +2b=1，则(1+1a )(2+1b )的最小值为 18 ．【分析】由题可知，(1+1a )(2+1b )=（1+a+2b a ）（2+a+2b b），展开整理后利用基本不等式即可求解．【解答】解：正数a ，b 满足a +2b=1，则(1+1a )(2+1b )=（1+a+2b a ）（2+a+2b b ）=（2+2b a ）（4+a b ）=10+2a b +8b a≥10+8=18，当且仅当2a b =8b a 且a +2b=1即a=12，b=14时取等号．故答案为：1817．（2017秋•资阳期末）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为60°，四边形CDEF 为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为 2√33．【分析】设∠EOA=θ，利用直角三角形中的边角关系、余弦定理求得DE 、EF ，化简接矩形CDEF 的面积DE•EF 的解析式为 4√33[cos （2θ﹣60°）﹣12]，依据余弦函数的有界性求得它的最大值．【解答】解：设∠EOA=θ，θ∈（0°，60°）由题意可得矩形的一边DE=OE•sinθ=2sinθ． △OEF中，由正弦定理可得EF sin(60°−θ)=OE sin(30°+90°)，即EFsin(60°−θ)=2sin120°=4√33，∴EF=4√33sin （60°﹣θ）．故内接矩形CDEF 的面积为DE•EF=2sinθ•4√33sin （60°﹣θ）=8√33•sinθ•sin （60°﹣θ）=4√33[cos （2θ﹣60°）﹣cos60°]=4√33[cos （2θ﹣60°）﹣12]，故当cos （2θ﹣60°）最大时，内接矩形CDEF 的面积最大．而cos （2θ﹣60°）的最大值为1，此时，θ=30°，故内接矩形CDEF 的面积最大值为2√33，故答案为：2√33．18．（2018春•河南期末）若x ＞0，y ＞0，且log 23x +log 29y =log 481，则2x +13y的最小值为 4+2√33．【分析】求出x ，y 的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可． 【解答】解：实数x 、y 满足x ＞0，y ＞0，且log 23x +log 29y =log 481，即log 23x +log 29y=log 481=log 2342，∴log 232x +log 234y =log 234， 可得x +2y=2，∴x2+y=1， ∴2x +13y =（2x +13y ）（x 2+y ）=1+13+2y x +x 6y ≥43+2√2y x ⋅x 6y =4+2√33，故答案为：4+2√33．19．（2018春•金安区校级期末）已知点（1，2）在直线x a +yb =2(ab ＞0)上，则2a +b 的最小值为 4 ．【分析】根据题意，由点（1，2）在直线x a +y b =2(ab ＞0)上，分析可得1a +2b=2，进而有2a +b=12（2a +b ）（1a +2b ）=12×（4+4a b +ba），由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，已知点（1，2）在直线x a +yb=2(ab ＞0)上，则有1a +2b=2，则2a +b=12（2a +b ）（1a +2b ）=12×（4+4a b +b a ）≥12×（4+4）=4，当且仅当b=2a 时等号成立， 即2a +b 的最小值为4； 故答案为：4．三．解答题（共4小题）20．（2017秋•上饶期末）（1）若x ，y ＞0，且2x +8y ﹣xy=0，求x +y 的最小值； （2）若1＞x ＞﹣4，求x 2−2x+22x−2的最大值．【分析】（1）把已知2x +8y ﹣xy=0，变形为2y +8x =1，而x +y=（x +y ）（2y +8x），展开再利用基本不等式的性质即可． （2）化简所求利用基本不等式即可求解． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）由2x +8y ﹣xy=0，得2y +8x=1，∴x +y=（x +y ）（2y +8x ）=10+8y x +2xy≥18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴当x=2y=12时，x +y 取最小值18．…………（6分）（2）若1＞x ＞﹣4，则x 2−2x+22x−2=﹣12[（1﹣x ）+11−x]≤﹣1，当且仅当x=0时取等号．即若1＞x ＞﹣4，x 2−2x+22x−2的最大值为﹣1．…………（12分）21．（2018春•东胜区校级期末）已知a ，b 为正实数，a +b=1．（1）求(a +1a )2+(b +1b )2的最小值； （2）求(a +1a )(b +1b )的最小值．【分析】（1）由题意利用基本不等式可得ab 的最大值，从而求得(a +1a )2+(b +1b)2的最小值． （2）把(a +1a )(b +1b ) 化简为ab +2ab ﹣2，再利用单调性求得ab +2ab的最小值，可得ab +2ab﹣2的最小值．【解答】解：（1）∵a +b=1，∴ab ≤（a+b 2）2=14，∴1ab ≥4，当且仅当a=b=12取等号，(a +1a )2+(b +1b )2≥12（a +1a +b +1b ）2≥12（1+1ab ）2≥12（1+4）2=252，当且仅当a +1a =b +1b 时，即a=b=12时取等号，∴(a +1a )2+(b +1b )2的最小值为252．（2）（a +1a ）（b +1b ）=ab +1ab +b a +a b =ab +1ab +(a+b)2−2ab ab =ab +2ab﹣2，令ab=t ，t=ab ≤(a+b)24=14，∴t ∈（0，14]，则y=t +2t 在（0，14]上单调递减，∴t +2t ≥334，∴t +2t ﹣2≥254，故（a +1a ）（b +1b ）的最小值为254．22．（2018春•南京期中）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE=CE ，AB ＞AD ，矩形的周长为8cm ． （1）设AB=xcm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围； （2）计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．【分析】（1）由题意可得AD=4﹣x ，求得2＜x ＜4，再由直角三角形ADE 中运用勾股定理，化简可得DE 的函数式；（2）运用三角形的面积公式，化简整理再由基本不等式即可得到所求最大值，以及矩形的长和宽．【解答】解：（1）由题意可得AD=4﹣x ， 且x ＞4﹣x ＞0，可得2＜x ＜4， 由CE=AE=x ﹣DE ， 在直角三角形ADE 中， 可得AE 2=AD 2+DE 2，即（x ﹣DE ）2=（4﹣x ）2+DE 2， 化简可得DE=4﹣8x （2＜x ＜4）；（2）S △ADE =12AD•DE=12（4﹣x ）（4﹣8x）=2（6﹣x﹣8x ）≤2（6﹣2√x⋅8x）=12﹣8√2，当且仅当x=2√2，4﹣x=4﹣2√2，即有队徽的长和宽分别为2√2，4﹣2√2，可得△ADE的面积取得最大值．23．（2018•衡阳二模）已知a＞0，b＞0，c＞0．若函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求1a +1b+1c的最小值．【分析】（1）可得到|x+a|+|x﹣b|+c≥a+b+c，从而得出a+b+c=4；（2）根据柯西不等式即可求出1a +1b+1c的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c=a+b+c；当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立；∴f（x）的最小值为a+b+c；∴a+b+c=4；（2）(1a+1b+1c)(a+b+c)≥(√1a⋅√a+√1b⋅√b+√1c⋅√c)2=9；∴1a +1b+1c≥94；∴1a +1b+1c的最小值为94．归纳总结1、（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2、（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
均值不等式证明
均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。
均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。
本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。
首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。
均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。
这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。
并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。
这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。
接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。
首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。
假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。
我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。
我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。
因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。
接下来，我们来证明n个数的均值不等式。
我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。
假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。
则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。
均值不等式解题方法和技巧总结
利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。
均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。
下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。
对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。
2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。
对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。
对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。
对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。
它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。
需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。
比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。
总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。
这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。
均值不等式
一、均值不等式定理1：如果,a b R +∈，那么2a b +≥a b =时，等号成立。
定理2：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
当且仅当c b a ==时，等号成立。
推广： na a a n +++ 21≥n n a a a 21 。
当且仅当n a a a === 21时，等号成立。
例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值_______；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值________.例2：求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。
解： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y ? 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 ∴633min 3242123221262==⋅=y ? 由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_______________. 变式训练 1、bb a a b a R b a )(1,,-+>∈+求且若的最小值。
2、函数)0(1232>+=x x x y 的最小值是 ( ) 3、函数222)1(164++=x x y 的最小值是____________ 4、函数)20)(2(24<<-=x x x y 的最大值是（ ）5、(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求2444z y x ++的最小值。
二、绝对值不等式1、a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）例1、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 例2、已知.6,4a y a x << 求证：a y x <-32。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立:2S + ZP)注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：②熟悉一个重要的不等式链：-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例1⑴当0 <4时，求y = x(8-2x)的最大值。
(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。
解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x，即x = |时，上式取“二”。
故儿琢°评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。
例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。
27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时，上式取“二”。
故儿瘁=半。
2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时，“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时，“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时，“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x（4-x2）的最大值。
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均值不等式的几种证法
如果n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An=和Gn=
a1a2…an，那么Gn≤An。
其中等号成立的充要条件是a1=a2=…=an。
证法1：数学归纳法
n=1时，a1=a1，不等式成立。
n=2时，由=+a1a2≥a1a2即≥a1a2，不等式显然成立。
假设n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立，则当n=k+1时，
从而Ak+1≥a1a2…ak·ak+1·Ak+1，
化简，得Ak+1≥a1a2…akak+1。
当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时，不等式取等号。
证法2：逐步调整法
对于n个正数a1，a2，…，an有A(a)≥G(a)①
其中A(a)=，G(a)=a1a2…an。
证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若a1=a2=…=an，则①取等号。
若ai（i=1,2,…,n）不全相等，则
a1<an。
令bj=aj(j=2,3,…,n-1), b1=A(a)，bn=(a1+an)-A(a)。
a1<b1<an，a1<bn<an，那么b1bn>a1an。
事实上，若有A+B=A`+B`，A＜B，|A`-B`|＜|A-B|，A`＞A，B`＞A,总有A`B`-AB=A`B`-A[(A`+B`)-A]=(A`-A) (B`-A)＞0。
于是，A(b)=A(a),G(b)＞G(a)，且bi(i=1,2,…,n)中至少有一个b=A(a)。
若b2,b3,…,bn这(n-1)个数都相等，显然命题成立。
否则仍不妨设b2≤b3≤…≤bn，b2＜bn。
再令C1=b1 =A(a)=A(b)，C2=A(b)，Cn=(b2+bn)-A(b)，Ck=bk(k=3,4,…,n-1)。
又可得A(c)=A(b)，G(c)＞G(b)，且Ci(i=1,2,…,n)中至少有二个A(b)。
这样的调整至多重复(n-1)次，最终必将出现新数组中各正数均相等。
假定第s次时新数组中
各数相等，那么A(a)=A(b) =A(c)=…=A(s)，G(a)＜G(b)＜G(c)…＜G(s)。
同时A(s)=G(s),所以，A(a)
＞G(a)。
从上述证明过程知，当且仅当a1=a2=…=an时取等号。
每次仅对多变数中两个变数实行简单调整，经过有限次重复施行，而毋须繁复的推理、计算，也毋须较高深的理论。
相比之下，在这个问题的各种证明中，这一应用局部调整法给出的证
明当属漂亮的一个。
证法3：排序不等式法
令x1＝，x2=，…，xn=＝1，
y1=，y2=，…，yn=。
由于数组x1，x2，…，xn和数组y1，y2，…，yn中对应的数互为倒数，由排序不等式，得
x1y1+x2y2+…+xnyn≤x1yn+x2yn-1+…+xny1，即n≤＋+…＋。
从而An≤Gn，等号当且仅当x1=x2=…=xn、y1=y2=…=yn时成立，而这两者都可得到
a1=a2=…=an。
证法4：凸函数法
由lgx的上凸性质，得=≤lg，即（a1·a2…an）≤。
（1）由An≥Gn得++…+≥n＝，
即Gn≥ =Hn。
（2）Qn≥An等价于n（a12+a22+…+an2）-（a1+a2+…+an）2≥0。
而上式左边=（a1-a2）2+（a1-a3）2+…+（a1-an）2+（a2-a3）2+…+（a2-an）2+…+（an-1-an）2≥0。
当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
综上得Hn≤Gn≤An,等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。
证法5：积分法
证明几何——算术平均不等式Gn≤An。
证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，显然a1≤Gn≤an，存在1＜k＜n（k∈N）使得ak≤Gn≤ak+1。
-1=[∑-n]
=[ln+∑-n]
（添加零项ln=ln1=0）
因每个积分非负，所以和非负，即－1≥0，Gn≤An。
当且仅当每个积分为零，即ai=Gn进而a1=a2=…=an时，Gn=An。
证法6：概率法
证明：若a1，a2，…，an为n个正数，
则≤a1a2…an≤≤。
证明：设随机变量ζ的概率分布为P(ζ=ai）=（i=1,2,…,n)。
由(Eζ)2≤Eζ2得≤。
又因为E(lnζ) ≤ln(Eζ)，所以∑lnai≤ln∑，即a1a2…an≤。
再令随机变量η的概率分布为p（η＝）=（i=1，2，…，n），由E（lnη）≤ln（Eη)得
∑ln≤ln（∑），即≤a1a2…an。
综上所述，≤a1a2…an≤≤。
点评：因为函数y=lnx是上凸函数，所以其函数值的平均数小于或等于自变量平均数的函数值。
将数学期望理解成随机变量取值的平均数，便可得E(lnζ)≤ln(Eζ)当且仅当ζ的取值为(0,+∞)中的某个常数时等号成立。
类似可证明该命题的推广形式：如果ai＞0，pi∈[0,1]，i=1，2，…，n,∑pi=1，那么
≤∏piai≤∑piai2。