均值不等式及其证明复习过程
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
不等式复习及均值不等式运用
例 5：若对任意实数 x > 0，
������ 2
������ ≤ a 恒成立，求实数 a 的取值范围。 + 3������ + 1
变式题：若不等式������ 2 + ������ + 1 ≥ 0对一切x ∈ 0,1 恒成立，求 a 的最小值。
课后练习： 1、设 x，y ∈ R，且 xy ≠ 0，求： ������ 2 + 2、设 M = 值范围。 1 −1 ������ 1 −1 ������ 1 ������ 2 1 + 4������ 2 的最小值。 ������ 2
专题：不等式章末复习及均值不等式综合运用
一、 不等式复习：
1、解不等式： （1） 试用十字相乘法解下面不等式 ①������ 2 − 3������ + 2 > 0②������ 2 + 5������ + 4 ≤ 0
（2） 试用求根公式法解下列不等式 ①������ 2 + 2������ − 1 < 0②������ 2 − 5������ − 6 ≥ 0
（5） 试用实数性质解下列不等式 ①������ 2 + 2������ + 1 < 0②������ 2 − 2������ + 2 ≥ 0
（6） 恒成立问题 ①已知关于 x 的不等式x 2 + ax + b < 0 的解集为{x|1 < ������ < 2}， 求关于 x 的不等式bx 2 + ax + 1 > 0的 解集。
1 − 1 ，且 a + b + c = 1 其中 a，b，c 为正实数 ，试求 M 的取 ������
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式复习PPT教学课件
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
IF f=0 THEN
解 法 一
X1=m X1=m
END IF
g=x1^2-2
IF g*f>0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
IF f=0 THEN
解 法 二
PRINT m:END ELSE
IF f<0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
flag=1
ELSE
IF f<0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c OR flag=1
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
解 法
m=(x1+x2)/2
四 f=m^2-2
IF f=0 THEN
flag=1
ELSE
IF f=0 THEN
解 法 二
PRINT m:END ELSE
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式证明
均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。
均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。
本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。
首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。
均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。
这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。
并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。
这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。
接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。
首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。
假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。
我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。
我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。
因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。
接下来，我们来证明n个数的均值不等式。
我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。
假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。
则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。
《均值不等式》课件
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
如何证明均值不等式的拓展
均值不等式的拓展形式有很多，这里以算术-几何平均值
（AM-GM）不等式为例，介绍其证明方法：
第一步，首先考虑非负实数的情况。
设x1,x2,…,xn为非负实数，考虑AM-GM不等式，即x1+⋯+xn≥x1⋯xn等号成立当且仅当x1=⋯=xn。
第二步，使用反向数学归纳法证明该不等式。
首先对k用归纳法证明：x1+⋯+x2k2k≥x1⋯x2k2k，其中k=1时该结论易证。
第三步，假设该结论对k-1成立，即若记G=x1⋯x2k−12k−1，
G′=x2k−1+1⋯x2k2k−1，由该结论分别在k-1和1时的情况成立，可知x1+⋯+x2k2k≥2k−1G+2k−1G′2k≥GG′=x1⋯x2k2k等号成立当且仅当
x1=⋯=x2k−1, x2k−1+1=⋯=x2k且G=G′，即所有xi均相等。
第四步，这表明该结论对k也成立。
以上表明，原命题P(n)对无穷多个正整数n=2k成立。
第五步，对任意给定的正整数n≥2，设原命题P(n)成立，则在P(n)中令xn=A:=x1+⋯+xn−1n−1可得x1+⋯+xn−1+An (=A)
≥x1⋯xn−1An⟹A≥x1⋯xn−1n−1且等号成立当且仅当所有xi均相等。
这表明P(n−1)也成立。
因此，算术-几何平均值（AM-GM）不等式得证。
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只供学习与交流
1
平均值不等式及其证明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明
中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了
部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，
其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章
节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，
这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式
一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为
12...,n
n
aaaAn
几何平均值记为
1
1212(...)...nnnnn
Gaaaaaa
。
算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
1212......n
n
n
aaaaaan
，
即 nnAG，
当且仅当12...naaa时，等号成立。
上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵
活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其
中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。
1.2 平均值不等式的证明
证法一（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1
1212...(...)k
k
n
aaaaaak
。
那么，当1nk时，由于
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1211...1kkaaaAk
，11121...kkkkGaaaa，
关于121,,...,kaaa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值
不改变，因此不妨设1121min,,...,kaaaa，1121max,,...,kkaaaa
显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得
111111()kkkkAaaAaa
.
所以 11112111(1)...kkkkkkkAkAAaaaAAkkk
21112111...()...()kkkkkkkaaaaAaaaaAk
即12111...()kkkkkAaaaaA 两边乘以1kA，得
111211112111...()...()kkkkkkkkkkAaaAaaAaaaaG
。
从而，有11kkAG
证法二（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1212......kkk
aaakaaa
。
那么，当1nk时，由于
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121...kkaaaa
121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG
112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG
1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG
1121112(1)kkkkkkkGGkG
1(1)kkG
从而，有11kkAG
证法三（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1212......kkk
aaakaaa
。
那么，当1nk时，由于
121...kkaaaa
证法四（归纳法和变换）
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证法五（利用排序不等式）
设两个实数组12,,...,naaa和12,,...,nbbb满足
1212...;...nn
aaabbb
，
则 1122...nnababab（同序乘积之和）
1122...jjnjn
ababab
（乱序乘积之和）
1211...nnnababab
（反序乘积之和）
其中12,,...,njjj是1,2,...,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条
件是12...naaa或12...nbbb成立。
证明：
切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）
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杨森不等式（Young）设12120,0,1则对12,0xx有
12
121122
xxxx
等号成立的充分必要条件是12xx。
琴生不等式（Jensen）
设(),(,)yfxxab为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixab
(1,2,...,)in
，我们都有
11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx
或
11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx
其中 10(1,2,...,)1niiiin
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只供学习与交流
习题一
1. 设11,,1abRab。求证：对一切正整数n，有
21()22nnnnnabab
2. 设,,,abcR求证：
3
(1)(1)(1)2(1)abcabcbcaabc
3. 设123,,xxx为正实数，证明：
222
33
2112
123231
()()()xxxxxxxxxxxx
4. 设,,,abcR1abc，求证：
(1)(1)(1)8(1)(1)(1)abcabc
5. 设,,xyzR，且xyz，求证：
222
222
xyyzzx
xyzzxy
6. 设,,abcR，满足2221abc，求证： 3abbccacab
7. 设,,,abcd是非负实数，满足1abbccdda，求证：
3333
13abcd
bcdcdadababc
8. 设n为给定的自然数，3n，对于n个给定的实数12,,...,;naaa
记(1)ijaaijn的最小值为m，求在22212...1naaa的
条件下，m的最大值。