均值不等式证明
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式的证明精选多的篇
均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。
具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。
下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。
证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。
因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。
考虑对数变换。
定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。
因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。
继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。
最后，我们来说明等号成立的条件。
根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。
至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。
总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。
它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。
该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。
篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。
第11讲 均值不等式-中等难度-讲义
均值不等式引入1、利用作差法证明：22,,2.a R b R a b ab ∈∈+≥ 证明：∵a2＋b2－2ab ＝(a －b)2≥0∵a2＋b2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．2、当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab. 证明：∵a ＋b －2ab ＝(a)2＋(b)2－2a·b ＝(a －b)2≥0.∵a ＋b≥2ab.解读1、等号成立条件对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．2、基本不等式如果a b ，，是正数，那么2a b+a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-+=≥，即a b +≥所以2a b+3、均值不等式的理解（1）对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． （2）对于=“”的理解应为a b =是2a b+a b ≠，则2a b+> （3）注意222a b ab +≥和2a b+成立的条件不同．前者是a b R ∈，，后者是+a b R ∈，4、极值定理（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ；证明：x y ，都是正数，2x y+≥有x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ；（2）若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；证明：x y ，都是正数，2x y+≥当且仅当x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究下面是基本不等式2a bab +的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝ ，而OD ＝ ， 因为OD CD ，所以2a bab + 当且仅当C 与O ，即 时,等号成立． 答案：=CD ab OD ＝2a b +，OD CD ≥，2a bab +，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立．典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2018秋•延吉市校级期中）已知x＞0，y＞0，x+2yxy=2，则x+4y的最小值是（）A．6B．3+√2C．6+4√2D．3+2√2【分析】先由已知条件得到2x +1y=2，再将两个代数式相乘，利用基本不等式可得出x+4y的最小值．【解答】解：由于x+2yxy =1y+2x=2，所以，2(x+4y)=(2x+1y)(x+4y)=8yx+xy+6≥2√8y x⋅x y+6=6+4√2，所以，x+4y≥3+2√2，当且仅当8yx =xy，即当x=2√2y时，等号成立，因此，x+4y的最小值为3+2√2，故选：D．2．（2017秋•平顶山期末）若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1ab的最小值为（）A．6B．4C．2√2D．√2【分析】由a 4+4b4+1ab≥2√4a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab，然后再利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵a，b∈R，ab＞0，则a 4+4b4+1ab≥2√4a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab≥2√4ab⋅1ab=4，当且仅当{a4=4b4 4ab=1ab，即{a=1√24b=1√84或{a=−1√24b=−1√84是上式取得最小值4，故选：B．3．（2018秋•海淀区期中）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，则ab的值为（）A．1B．2C．4D．8【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，可得log a14=2，b 14=2，解得a，b即可得出．【解答】解：函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点(14，2)，∴log a 14=2，b14=2，解得a=12，b=16．则ab=8．故选：D．4．（2018春•孝感期末）已知两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4m +3n有（）A．最大值3B．最大值1C．最小值27D．最小值9【分析】由题意可得4m +3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1+4n3m+3mn，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4 m +3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1+4n3m+3mn≥5+2√4n3m⋅3mn=5+4=9，当且仅当m=23，n=1取等号，故选：D．5．（2017秋•济宁期末）若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）A．245B．275C．5D．6【分析】将条件x+3y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值【解答】解：由x+3y=5xy得x+3y5xy =15y+35x=1，∴4x+3y=（4x+3y）（15y+35x）=125+35+4x5y+9y5x≥155+2√4x5y⋅9y5x=155+125=275，当且仅当4x5y =9y5x时取等号．故4x+3y的最小值是275，故选：C．6．（2018秋•新罗区校级月考）函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+4n的图象上，其中m，n＞0，则1m +2n的最小值为（）A．8B．9C．18D．16【分析】根据指数恒过定点求解A，带入一次函数，利用“乘1”法即可求解．【解答】解：函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣2=0，可得x=2，带入可得y=1，恒过定点A（2，1）．那么1=2m+4n．则1 m +2n=（1m+2n）（2m+4n）=10+4nm+4mn≥2√4n m⋅4m n+10=18（当且仅当m=n=16时，等号成立），故选：C．7．（2017秋•新乡期末）已知a＜b，则b−a+1b−a+b−a的最小值为（）A．3B．2C．4D．1【分析】将代数式进行变形得b−a+1b−a +b−a=1+1b−a+b−a，然后利用基本不等式可求出代数式的最小值．【解答】解：∵a＜b，所以，b﹣a＞0，由基本不等式可得b−a+1b−a +b−a=1+1b−a+(b−a)≥1+2√1b−a⋅(b−a)=3，当且仅当1b−a =b−a(b＞a)，即当b﹣a=1时，等号成立，因此，b−a+1b−a+b−a的最小值为3，故选：A．8．（2018春•成都期末）若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据题意，将x+4y=xy，变形可得1y +4x=1，进而可得x+y=（x+y）（1y+4x）=xy +4yx+5，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则1y +4x=1，x+y=（x+y）（1y+4x）=xy+4yx+5≥2√xy×4yx+5=9，当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．9．（2018春•吉安期末）设x≥2，则y=1+3x+1x−1的最小值是（）A．4+3√2B．4+2√3C．8D．1+2√3【分析】构造基本不等式，结合勾勾函数的单调性即可求解．【解答】解：y=1+3x +1x−1=3（x ﹣1）+1x−1+4． 令x ﹣1=t ，t ≥1．∴y=3t +1t +4．当t ≥√33时，函数是递增函数，∵t ≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x +1x−1取得最小值为8．故选：C ．10．（2018春•上虞区期末）已知x ＞0，y ＞0，xy ﹣2x ﹣y=2，则x +y 的最小值为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．10【分析】首先对函数的关系式进行恒等变换，进一步利用分类讨论思想，利用均值不等式求出结果．【解答】解：已知x ＞0，y ＞0，xy ﹣2x ﹣y=2，则：x=y+2y−2，所以，由x ＞0，得到y ＞2时，x +y=y+2y−2+y =y−2+4y−2+y=1+4y−2+(y −2)+2≥3+4=7，故函数x +y 的最小值为7． 故选：B ．11．（2018春•重庆期末）已知正数x ，y 满足x +y=1，则1x +41+y的最小值为（ ）A ．5B ．143C ．92D ．2【分析】由x +y=1得x +（1+y ）=2，再将代数式x +（1+y ）与1x +41+y相乘，利用基本不等式可求出1x +41+y的最小值．【解答】解：∵x+y=1，所以，x+（1+y）=2，则2(1x+41+y)=[x+(1+y)](1x+41+y)=4x1+y +1+yx+5≥2√4x1+y⋅1+y x+5=9，所以，1x +41+y≥92，当且仅当{4x1+y=1+yxx+y=1，即当{x=23y=13时，等号成立，因此，1x +41+y的最小值为92，故选：C．12．（2017秋•亳州期末）不等式3−2xx+2≥1的解集为（）A．{x|x≤13}B．{x|−2＜x≤13}C．{x|x≤13且x≠﹣2}D．{x|−2≤x≤13}【分析】根据题意，原不等式等价于（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+2）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，3−2xx+2≥1⇒1−3xx+2≥0⇔（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+2）≠0，解可得：﹣2＜x≤13，则不等式的解集为（﹣2，13]；故选：B．13．（2018秋•长汀县校级月考）不等式x+2x+1＞2的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意，原不等式可以等价转化为x （x ﹣1）（x +1）＞0，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，x +2x+1＞2⇒x ﹣2+2x+1＞0⇒x 2−xx+1＞0⇒x （x ﹣1）（x +1）＞0，解可得：﹣1＜x ＜0或x ＞1，即原不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； 故选：A ．14．（2018秋•武平县校级月考）不等式（x 3﹣4x 2+4x ）（3+2x ﹣x 2）＞0的解集为（ ）A ．{x |x ＜﹣1或0＜x ＜3}B ．{x |0＜x ＜3且x ≠2}C ．{x |﹣1＜x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜﹣1或0＜x ＜2或2＜x ＜3}【分析】化简不等式为因式乘积的形式，利用穿根法求解即可．【解答】解：不等式（x 3﹣4x 2+4x ）（3+2x ﹣x 2）＞0，化为x （x ﹣2）2（x ﹣3）（x +1）＜0．作图：由穿根法可知不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或0＜x ＜2或2＜x ＜3}． 故选：D ．15．（2018春•朝阳区校级期中）a ＞1，关于x 的不等式axx+1≥1的解集是（ ）A ．[﹣1，1a−1]B ．（﹣1，1a−1]C ．（﹣∞，1）U （1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）U [1a−1，+∞）【分析】根据题意，将原不等式变形为[（a ﹣1）x ﹣1]（x +1）≥0且x ≠﹣1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，axx+1≥1⇒axx+1−1≥0⇒(a−1)x−1x+1≥0⇒[（a ﹣1）x ﹣1]（x +1）≥0且x ≠﹣1，解可得：x ＜﹣1或x ≥1a−1，则不等式的解集为（﹣∞，﹣1）U [1a−1，+∞）； 故选：D ．二．填空题（共4小题）16．（2018秋•徐州期中）已知正实数a ，b 满足a +2b=1，则(1+1a )(2+1b )的最小值为 18 ．【分析】由题可知，(1+1a )(2+1b )=（1+a+2b a ）（2+a+2b b），展开整理后利用基本不等式即可求解．【解答】解：正数a ，b 满足a +2b=1，则(1+1a )(2+1b )=（1+a+2b a ）（2+a+2b b ）=（2+2b a ）（4+a b ）=10+2a b +8b a≥10+8=18，当且仅当2a b =8b a 且a +2b=1即a=12，b=14时取等号．故答案为：1817．（2017秋•资阳期末）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为60°，四边形CDEF 为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为 2√33．【分析】设∠EOA=θ，利用直角三角形中的边角关系、余弦定理求得DE 、EF ，化简接矩形CDEF 的面积DE•EF 的解析式为 4√33[cos （2θ﹣60°）﹣12]，依据余弦函数的有界性求得它的最大值．【解答】解：设∠EOA=θ，θ∈（0°，60°）由题意可得矩形的一边DE=OE•sinθ=2sinθ． △OEF中，由正弦定理可得EF sin(60°−θ)=OE sin(30°+90°)，即EFsin(60°−θ)=2sin120°=4√33，∴EF=4√33sin （60°﹣θ）．故内接矩形CDEF 的面积为DE•EF=2sinθ•4√33sin （60°﹣θ）=8√33•sinθ•sin （60°﹣θ）=4√33[cos （2θ﹣60°）﹣cos60°]=4√33[cos （2θ﹣60°）﹣12]，故当cos （2θ﹣60°）最大时，内接矩形CDEF 的面积最大．而cos （2θ﹣60°）的最大值为1，此时，θ=30°，故内接矩形CDEF 的面积最大值为2√33，故答案为：2√33．18．（2018春•河南期末）若x ＞0，y ＞0，且log 23x +log 29y =log 481，则2x +13y的最小值为 4+2√33．【分析】求出x ，y 的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可． 【解答】解：实数x 、y 满足x ＞0，y ＞0，且log 23x +log 29y =log 481，即log 23x +log 29y=log 481=log 2342，∴log 232x +log 234y =log 234， 可得x +2y=2，∴x2+y=1， ∴2x +13y =（2x +13y ）（x 2+y ）=1+13+2y x +x 6y ≥43+2√2y x ⋅x 6y =4+2√33，故答案为：4+2√33．19．（2018春•金安区校级期末）已知点（1，2）在直线x a +yb =2(ab ＞0)上，则2a +b 的最小值为 4 ．【分析】根据题意，由点（1，2）在直线x a +y b =2(ab ＞0)上，分析可得1a +2b=2，进而有2a +b=12（2a +b ）（1a +2b ）=12×（4+4a b +ba），由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，已知点（1，2）在直线x a +yb=2(ab ＞0)上，则有1a +2b=2，则2a +b=12（2a +b ）（1a +2b ）=12×（4+4a b +b a ）≥12×（4+4）=4，当且仅当b=2a 时等号成立， 即2a +b 的最小值为4； 故答案为：4．三．解答题（共4小题）20．（2017秋•上饶期末）（1）若x ，y ＞0，且2x +8y ﹣xy=0，求x +y 的最小值； （2）若1＞x ＞﹣4，求x 2−2x+22x−2的最大值．【分析】（1）把已知2x +8y ﹣xy=0，变形为2y +8x =1，而x +y=（x +y ）（2y +8x），展开再利用基本不等式的性质即可． （2）化简所求利用基本不等式即可求解． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）由2x +8y ﹣xy=0，得2y +8x=1，∴x +y=（x +y ）（2y +8x ）=10+8y x +2xy≥18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴当x=2y=12时，x +y 取最小值18．…………（6分）（2）若1＞x ＞﹣4，则x 2−2x+22x−2=﹣12[（1﹣x ）+11−x]≤﹣1，当且仅当x=0时取等号．即若1＞x ＞﹣4，x 2−2x+22x−2的最大值为﹣1．…………（12分）21．（2018春•东胜区校级期末）已知a ，b 为正实数，a +b=1．（1）求(a +1a )2+(b +1b )2的最小值； （2）求(a +1a )(b +1b )的最小值．【分析】（1）由题意利用基本不等式可得ab 的最大值，从而求得(a +1a )2+(b +1b)2的最小值． （2）把(a +1a )(b +1b ) 化简为ab +2ab ﹣2，再利用单调性求得ab +2ab的最小值，可得ab +2ab﹣2的最小值．【解答】解：（1）∵a +b=1，∴ab ≤（a+b 2）2=14，∴1ab ≥4，当且仅当a=b=12取等号，(a +1a )2+(b +1b )2≥12（a +1a +b +1b ）2≥12（1+1ab ）2≥12（1+4）2=252，当且仅当a +1a =b +1b 时，即a=b=12时取等号，∴(a +1a )2+(b +1b )2的最小值为252．（2）（a +1a ）（b +1b ）=ab +1ab +b a +a b =ab +1ab +(a+b)2−2ab ab =ab +2ab﹣2，令ab=t ，t=ab ≤(a+b)24=14，∴t ∈（0，14]，则y=t +2t 在（0，14]上单调递减，∴t +2t ≥334，∴t +2t ﹣2≥254，故（a +1a ）（b +1b ）的最小值为254．22．（2018春•南京期中）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE=CE ，AB ＞AD ，矩形的周长为8cm ． （1）设AB=xcm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围； （2）计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．【分析】（1）由题意可得AD=4﹣x ，求得2＜x ＜4，再由直角三角形ADE 中运用勾股定理，化简可得DE 的函数式；（2）运用三角形的面积公式，化简整理再由基本不等式即可得到所求最大值，以及矩形的长和宽．【解答】解：（1）由题意可得AD=4﹣x ， 且x ＞4﹣x ＞0，可得2＜x ＜4， 由CE=AE=x ﹣DE ， 在直角三角形ADE 中， 可得AE 2=AD 2+DE 2，即（x ﹣DE ）2=（4﹣x ）2+DE 2， 化简可得DE=4﹣8x （2＜x ＜4）；（2）S △ADE =12AD•DE=12（4﹣x ）（4﹣8x）=2（6﹣x﹣8x ）≤2（6﹣2√x⋅8x）=12﹣8√2，当且仅当x=2√2，4﹣x=4﹣2√2，即有队徽的长和宽分别为2√2，4﹣2√2，可得△ADE的面积取得最大值．23．（2018•衡阳二模）已知a＞0，b＞0，c＞0．若函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求1a +1b+1c的最小值．【分析】（1）可得到|x+a|+|x﹣b|+c≥a+b+c，从而得出a+b+c=4；（2）根据柯西不等式即可求出1a +1b+1c的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c=a+b+c；当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立；∴f（x）的最小值为a+b+c；∴a+b+c=4；（2）(1a+1b+1c)(a+b+c)≥(√1a⋅√a+√1b⋅√b+√1c⋅√c)2=9；∴1a +1b+1c≥94；∴1a +1b+1c的最小值为94．归纳总结1、（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2、（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
均值不等式几何证明
均值不等式几何证明均值不等式的几何证明可以通过使用几何图形来说明。
首先，我们考虑一个简单的例子：三角形的周长和面积之间的关系。
假设三角形的三边长度分别是a、b、c，则周长为a+b+c，面积为s。
我们知道，根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：s = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s是三角形周长的一半，也称为半周长。
我们可以通过对面积进行变换来证明均值不等式。
由于s是三角形的半周长，所以s大于等于任意一条边的一半，即s≥a/2，s≥b/2，s≥c/2。
然后，我们取两个包含s的不等式的平方根，得到：√(s) ≥ √(a/2) = √(a)/√(2)√(s) ≥ √(b/2) = √(b)/√(2)√(s) ≥ √(c/2) = √(c)/√(2)我们将上述三个不等式相加，并利用复合不等式性质，得到：√(s) + √(s) + √(s) ≥ √(a)/√(2) + √(b)/√(2) + √(c)/√(2)简化上述不等式，我们得到：3√(s) ≥ (√(a) + √(b) + √(c))/√(2)再对上述不等式两边都平方，我们得到：9s ≥ (a + b + c)/2由于我们已知s = (a + b + c)/2，所以上述不等式可以简化为：9s ≥ 2s则得到：s ≥ 0上述结论表明，三角形的面积s必须是非负数。
这正是我们所希望的结果，因为面积应该是一个非负数。
这个简单的例子展示了如何通过几何的方法来证明均值不等式。
实际上，我们可以使用类似的方法来证明更复杂的均值不等式，只需要根据具体情况选择合适的几何图形和变换方法即可。
均值不等式
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。
）
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则
，且仅当B=0时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。
原题等价于：
, 当且仅当
时取等号。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即
, 当且仅当
时取等号。
那么当n=k+1时，不妨设
是
、
......
中最大者，则
设
，
，根据引理
，当且仅当
且
时，即
时取等号。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
均值不等式详解
4 π 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， 3 求 数 = sin α + sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y = sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
（2）设矩形的长、宽分别为 ）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)， ， ， 依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， ， 依题意有 ，
x+ y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 因为 ， ，所以， 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方， 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 时 式中等号成立， 当且仅当 此时x=y=9， ， 此时
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项大于或等于它们的 两个正数的等差中项大于或等于它们的 大于或等于 等比中项。 等比中项。
2
的最大
的值。 值，及此时x的值。 及此时 的值
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0， 因为 ， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
均值不等式详解
定理： 定理： 如果a， ∈ ， 那么a 如果 ，b∈R， 那么 2+b2≥2ab 时取“ ） （当且仅当a=b 时取“=”） 当且仅当 证明： 证明： a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
常用均值不等式及证明证明
常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。
由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。
对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。
由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。
即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。
简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。
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制作人：张雪连、李博、 郑淳之
均值不等式的证明
对于正数n个正数
ai
（ i=1Байду номын сангаас2...n）。我们把
H ( n )
n 1 1 a1 an
n
G ( n )
a1 a n
A ( n )
a1 a n n
2 2 a1 an n
Q ( n )
恒成立 由
Δ0
n n n
a b
i1
i i
2
a b
2 i i1 i1
2 i
此即著名的柯西不等式
n a1 an 1 ai 2 n i1 n
1 2 n i1
n
2 2 a a 2 1 i 2 a i n i1 n
即 A(n) Q(n)（3）
2
自上而下分别称为： 调和平均数，（Harmonic Average） 几何平均数，（Geometric mean）
算术平均数，（Arithmetic mean）
平方平均数，（Quadratic mean） 四者有如下关系：
H(n) G(n) A(n) Q(n)
上面不等式称之为：均值不等式
一、现证明 G ( n) A( n) 我们观察到 G(n)为很多个数连乘，而A(n)为很多数相加，而对数函数正有联 系乘与加的性质，在此处引入一不等式ln x x 1 可用导数进行证明，且 x=1时取到等号） 接下来进入证明 证明：设 u
A(n) （ 1 ）
1 取倒数，得 ai
即 G(n)
二、由（1），把不等式中 ai 换为
n 1 1 a1 an
n a1 a n
即 H(n)
G(n)（2）
三、显然二次函数
(a1x b1)2 (an x bn )2
2 2 2 2 (a1 an )x2 2(a1b1 anbn )x (b1 bn ) 0
a1 a n n
则有 l n
ln
a1 a 1 1 u u an a n 1 u u
两边做累加得
ln
a1 a n n n 0 ln1 un
由lnx的递增性， a a 得到 1 n n 1 u 移向，开n次方，得
n
a1 a n a1 a n n
综上(1)(2)(3)可得均值不等式
H(n) G(n) A(n) Q(n)