均值不等式的证明
均值不等式的证明精选多的篇
均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。
具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。
下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。
证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。
因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。
考虑对数变换。
定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。
因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。
继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。
最后，我们来说明等号成立的条件。
根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。
至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。
总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。
它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。
该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。
篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。
均值不等式的几种证法
均值不等式的几种证法如果n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An=和Gn=a1a2…an，那么Gn≤An。
其中等号成立的充要条件是a1=a2=…=an。
证法1：数学归纳法n=1时，a1=a1，不等式成立。
n=2时，由=+a1a2≥a1a2即≥a1a2，不等式显然成立。
假设n=k(k≥2,k∈N)时不等式成立，则当n=k+1时，从而Ak+1≥a1a2…ak·ak+1·Ak+1，化简，得Ak+1≥a1a2…akak+1。
当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时，不等式取等号。
证法2：逐步调整法对于n个正数a1，a2，…，an有A(a)≥G(a)①其中A(a)=，G(a)=a1a2…an。
证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若a1=a2=…=an，则①取等号。
若ai（i=1,2,…,n）不全相等，则a1<an。
令bj=aj(j=2,3,…,n-1), b1=A(a)，bn=(a1+an)-A(a)。
a1<b1<an，a1<bn<an，那么b1bn>a1an。
事实上，若有A+B=A`+B`，A＜B，|A`-B`|＜|A-B|，A`＞A，B`＞A,总有A`B`-AB=A`B`-A[(A`+B`)-A]=(A`-A) (B`-A)＞0。
于是，A(b)=A(a),G(b)＞G(a)，且bi(i=1,2,…,n)中至少有一个b=A(a)。
若b2,b3,…,bn这(n-1)个数都相等，显然命题成立。
否则仍不妨设b2≤b3≤…≤bn，b2＜bn。
再令C1=b1 =A(a)=A(b)，C2=A(b)，Cn=(b2+bn)-A(b)，Ck=bk(k=3,4,…,n-1)。
又可得A(c)=A(b)，G(c)＞G(b)，且Ci(i=1,2,…,n)中至少有二个A(b)。
这样的调整至多重复(n-1)次，最终必将出现新数组中各正数均相等。
假定第s次时新数组中各数相等，那么A(a)=A(b) =A(c)=…=A(s)，G(a)＜G(b)＜G(c)…＜G(s)。
均值不等式几何证明
均值不等式几何证明均值不等式的几何证明可以通过使用几何图形来说明。
首先，我们考虑一个简单的例子：三角形的周长和面积之间的关系。
假设三角形的三边长度分别是a、b、c，则周长为a+b+c，面积为s。
我们知道，根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：s = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s是三角形周长的一半，也称为半周长。
我们可以通过对面积进行变换来证明均值不等式。
由于s是三角形的半周长，所以s大于等于任意一条边的一半，即s≥a/2，s≥b/2，s≥c/2。
然后，我们取两个包含s的不等式的平方根，得到：√(s) ≥ √(a/2) = √(a)/√(2)√(s) ≥ √(b/2) = √(b)/√(2)√(s) ≥ √(c/2) = √(c)/√(2)我们将上述三个不等式相加，并利用复合不等式性质，得到：√(s) + √(s) + √(s) ≥ √(a)/√(2) + √(b)/√(2) + √(c)/√(2)简化上述不等式，我们得到：3√(s) ≥ (√(a) + √(b) + √(c))/√(2)再对上述不等式两边都平方，我们得到：9s ≥ (a + b + c)/2由于我们已知s = (a + b + c)/2，所以上述不等式可以简化为：9s ≥ 2s则得到：s ≥ 0上述结论表明，三角形的面积s必须是非负数。
这正是我们所希望的结果，因为面积应该是一个非负数。
这个简单的例子展示了如何通过几何的方法来证明均值不等式。
实际上，我们可以使用类似的方法来证明更复杂的均值不等式，只需要根据具体情况选择合适的几何图形和变换方法即可。
均值不等式证明
均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。
均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。
本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。
首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。
均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。
这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。
并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。
这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。
接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。
首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。
假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。
我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。
我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。
因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。
接下来，我们来证明n个数的均值不等式。
我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。
假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。
则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
均值不等式的多种证明方法许兴华数学
均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。
在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。
1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。
一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。
下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。
2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。
在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。
对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。
许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。
解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。
那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。
2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。
在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。
在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。
3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。
均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。
均值不等式的证明方法
均值不等式的证明方法第一篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。
一般的均值不等式我们通常考虑的是An≥Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1+x2+ (x)n≥x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)≥2ab+2cd≥4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)≥4abcd+4efgh≥8abcdefghabcd=4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1+x2+ (x2)n≥nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)n=A由这个不等式有nA+(2-n)Ann≥nx1x2..xnA2-nn=(x1x2..xn)2An1-n2n即得到x1+x2+ (x)n≥nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0<ai<1(i=1,2,...,n)证明∑i=111-ai≥n1-(a1a2...an)n例2：若ri≥1(i=1,2,...,n)证明∑i=11ri+1≥n1+(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n=2时11-a1+11-a2≥⇔(1--a1-a2)≥2(1-a1)(1-a2)设p=a1+a2,q=⇔(1-q)(2-p)≥2(1-p+q)⇔p-2q+pq≥2q⇔p(1+q)≥2q(q+1)⇔p≥2q，而这是2元均值不等式因此11-a1≥+11-a22n+11-a3+11-a4≥+此过程进行下去n≥因此∑1-ai1-(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有∑i=1n11-ai11-ai+(2-n)n11-G≥nn2-nn=n1-(GG≥n1-Gn)n1-G即∑i=1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都>1(1≤i≤n),记R=T= nn∑r,Sii=1nn∑sii1nn∑t,Uii=1nn∑uii,V=1nn∑v，求证下述不等式成立：ii∏i=1（risitiuivi+1risitiuivi-1)≥（RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此e+1e-1xx是在R上单调递减RSTUV≥=（RSTUV+1RSTUV-1)≤n我们要证明：n∏(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i-1)≥证明以下引理：n∏(xi=1xi+1ix2+1x2-1n-1)≥n=2时，⇔(令A=x1+1x1-1)（）≥2⇔A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)-2A(x1x2+x1+x2+1)≥A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)⇔(A+1)(x1x2+1)≥2A(x1x2+1)显然成立2-nnn因此∏（i=1xi+1xi-1n)•（G+1G-1)2-nn≥（GGGGnnnn+1-12-n2n)，G=n=（G+1G-1n)因此∏（i=1xi+1xi-1n)≥所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:f(x1)+f(x2)≥f（x1+x2)，则四维：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)≥2f（x1+x2)+2f（x3+x4)≥4f（x1+x2+x3+x4)一直进行n次有f(x1)+f(x2)+...+f(x2n)n≥f（x1+x2+ (x2)n),令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)nn=A有f(x1)+...+f(xn)+(2-n)f(A)nn≥f（nA+(2-n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n≥f（x1+x2+ (x)n)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件第二篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤QnΛ、ana1、a2、∈R+，当且仅当a1=a2=Λ=an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b>0>2ab(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)a2+b2≥2ab≥0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+aca+b+c≥abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
数学均值不等式的证明方法
数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。
我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。
二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。
利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。
例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。
例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均值不等式的证明
平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。
平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式
一般地，假设a 1，a 2，…，a n 为n 个非负实数，他们的算术平均值记为
A n =
a 1+a 2+⋯+a n
n
, 几何平均值记为
G n =
(a 1a 2⋯a n )1
n
=√a 1a 2⋯a n n .
算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
a 1+a 2+⋯+a n n
≥√a 1a 2⋯a n n
即 A n ≥G n ，
当且仅当a 1=a 2=⋯a n 时，等号成立。
上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。
为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。
供大家参考学习。
1.2平均值不等式的证明 证法一（归纳法）
（1） 当n=2时，已知结论成立。
（2） 假设对n=k （正整数k ≥2）时命题成立，即对a i >0，i =1,2，⋯，k ，有
a 1+a 2+⋯+a k k
≥√a 1a 2⋯a k k。
那么，当n=k+1时，由于
A k+1=
a 1+a 2+⋯+a k+1
k +1
，G k+1=
√a 1a 2⋯a k+1k+1
,
关于a 1，a 2，⋯，a
k+1
是对称的，任意对调a i 与a j (i ≠j )，A k+1和G k+1的值不改变，
因此不妨设 a 1=min {a 1，a 2，⋯，a k+1
}，a k+1=max {a 1，a 2，⋯，a
k+1
}显
然a 1≤A k+1≤a k+1，以及（a 1−A k+1）（a k+1−A k+1）<0可得
A k+1（a 1+a k+1−A k+1）≥a 1a k+1
所以A k+1=
k A k+1k
=
(k+1)A k+1−A k
k
=
a 1+a 2+⋯+a k+1−A k+1
k
=
a 2+⋯+a k +（a 1+a k+1−A k+1）
≥√a 2⋯a k+1（a 1+a k+1−A k+1）k
即A k+1k ≥a 2⋯a k （a 1+a k+1−A k+1）两边乘以A k+1，得
A k+1k+1≥a 2⋯a k A k+1(a 1+a k+1−A k+1)≥a 2⋯a k (a 1a k+1)=G k+1k+1
从而，有A k+1≥G k+1 证法二（归纳法）
（1） 当n=2时，已知结论成立。
（2） 假设对n=k （正整数k ≥2）时命题成立，即对a i >0，i =1,2，⋯，k ，有
a 1+a 2+⋯+a k ≥k √a 1a 2⋯a k k 。
那么，当n=k+1时，由于
a 1+a 2+⋯+a k +a k+1
=a 1+a 2+⋯+a k +(a k+1+G k+1+G k+1+⋯+G k+1)−(k −1)G k+1
≥k √a 1a 2⋯a k k
+k √a k+1G k+1k−1k
−(k −1)G k+1
≥2k √√a 1a 2⋯a k k √a k+1G k+1k−1k
−(k −1)G k+1
=2k √G k+1k−1G k+1k+1
2k
−(k −1)G k+1
从而，有A k+1≥G k+1 证法三（利用排序不等式）
设两个实数组a 1，a 2，…，a n 和b 1，b 2，…，b n 满足
a 1≤a 2≤…≤a n ；
b 1≤b 2≤…≤b n ，
则 a 1b 1+a 2b 2+⋯a n b n （同序乘积之和） ≥a 1b j1+a 2b j2+⋯a n b jn （乱序乘积之和） ≥a 1b n +a 2b n−1+⋯a n b 1（反序乘积之和） 其中j 1，j 2，⋯，j n 是1,2，⋯，n 的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是a 1=a 2=⋯=a n 或b 1=b 2=⋯=b n 成立。
证明：
切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）
杨森不等式（Young ）设μ1>0，μ2>0，μ1+μ2=1， 则对 x 1，x 2>0有x 1μ
1x 2μ
2≤μ1x 1+μ2x 2 等号成立的充分必要条件是x 1=x 2。
琴生不等式（Jensen ）
设y =f (x )，x ∈（a ，b ）为上凸（或下凸）函数，则对任意x i ∈(a ，b)（i =1,2，⋯，n ），我们都有
μ1f (x 1)+μ2f (x 2)+⋯+μn f (x n )≤f (μ1x 1+μ2x 2+⋯+μn x n ) 或μ1f (x 1)+μ2f (x 2)+⋯+μn f (x n )≥f (μ1x 1+μ2x 2+⋯+μn x n ) 其中μi >0(i =1,2，⋯，n) ∑μi n i=1=1
习题一
1. 设a ，b ∈ℝ+,1
a +1
b =1.求证：对一切正整数n ，有
（a +b ）n
−a n −b n ≥22n −2n+1
2. 设a ，b ，c ∈ℝ+，求证
（1+1a ）（1+1b ）（1+1c ）≥2（1+√abc
3
3. 设x 1，x 2，x 3为正实数，证明：
x2 x1+
x3
x2
+
x1
x3
≤（
x2
x1
）
2
+（
x2
x3
）
2
+（
x3
x1
）
2
4.设a，b，c∈ℝ+，a+b+c=1，求证：
(1+a)（1+b）（1+c）≥8（1−a）（1−b）（1−c）
5.设a，b，c∈ℝ+，a2+b2+c2=1，求证ab
c +bc
a
+ca
b
≥√3
6.设x，y，z∈ℝ+，且x≥y≥z,求证：
x2y z +
y2z
x
+
z2x
y
≥x2+y2+z2
7.设a，b，c，d是非负实数，满足ab+bc+cd+da=1，求证：
a3
b+c+d +
b3
a+c+d
+
c3
b+a+d
+
d3
a+b+c
≥
1
3
8.设n为给定的自然数，n≥3，对于n个给定的实数a1，a2，…，a n；
记|a i−a j|（1≤i<j≤n）的最小值为m，求在a12+a22+⋯+a n2=1的条件下，m的最大值。
均值不等式及其证明（百度文库）2012年3月3日星期六下午14：18
用均值不等式证明
用均值不等式求最值
1注意均值不等式使用的条件是否具备
2求和的最值需使积为定值
求积的最值需使和为定值
3注意=必须能够取到
均值不等式解决某些特殊问题
1均值不等式求有二次分式在区间上的值域2函数与方程的思想解决恒成立问题
某些不宜使用均值不等式的问题
学习资料：《同步助学方略》、《》。