均值不等式的证明(精选多篇)

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均值不等式的证明精选多的篇

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

不等式证明（共8篇）

不等式证明（共8篇）第1篇：不等式证明,均值不等式1、设a,b∈R，求证：ab≥(ab)+aba+b2≥abba2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc3、(a+b+c)(1119++)≥ a+bb+cc+a24、设a,b∈R+，且a+b=1，求证：(a+)+(b+)≥5、若a+b=1，求证：asinx+bcosx≤16、已知a+b=1，求证：a+b≥7、a,b,c,d∈R求证：1＜+441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a+b+db+c+ac+d+bd+a+c18、求证2+2+2+Λ+2＜2 123n1111++Λ+＜19、求证：≤2n+1n+22n10、求下列函数的最值（1）已知x＞0，求y=2-x-（2）已知x＞2，求y=x+4的最大值（-2）x1的最小值（4）x-2111（3）已知0＜x＜，求y=x(1-2x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab-(a+b)=1则a+b的最小值是（）（2+2333）12、已知正数a,b求使不等式(a+b)≤k(a+b)成立的最小k值为（）（4）3、求函数y=14、二次函数f(x)=x+ax-x+a的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x+2m(x+3)+2m+14=0有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m ＜-22221）416、关于x的方程mx+2x+1=0至少有一个负根，则m的取值范围是（m≤1）17、关于x的方程2kx-2x-3k-2=0有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）218、为使方程x2-2px-1=0的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜19、函数f(x)=ax2+x+1有零点，则a的取值范围是（a≤20、判断函数f(x)=x-21、已知方程x-22343）41）41+1的零点的个数（一个）x3⎡95⎤x=k在[-1,1]上有实数根，求实数k的取值范围（⎢-,⎥）2⎣162⎦22、已知方程7x2+(m+13)x+m2-m-2=0有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(-2,-1)⋃(3,4)）23、关于的方程2ax-x-1=0在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,+∞)24、若关于的方程lg(xx2x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一实根，求a的取值范围第2篇：不等式证明不等式证明不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。

三元均值不等式公式证明

三元均值不等式公式证明在数学的世界里，有一个非常实用的工具，那就是三元均值不等式。

今天咱们就来好好唠唠它的公式证明。

咱们先把三元均值不等式的公式写出来：对于任意的正实数 a、b、c，有$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ 。

那怎么来证明它呢？咱们一步步来。

咱先假设 $a\geq b\geq c > 0$ 。

先看左边，$\frac{a + b + c}{3}$ ，这就相当于把这三个数加起来平均分成三份。

再看右边，$\sqrt[3]{abc}$ ，这是这三个数的几何平均值。

为了证明这个不等式，咱们可以巧妙地利用排序不等式。

啥是排序不等式呢？就是对于两组数 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leqa_n$ 和 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$ ，有 $a_1b_1 + a_2b_2 +\cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots +a_nb_{\sigma(n)}$ ，其中 $\sigma$ 是 $1, 2, \cdots, n$ 的任意一个排列。

回到咱们的三元均值不等式，因为 $a\geq b\geq c > 0$ ，所以 $a^3 \geq b^3 \geq c^3 > 0$ 。

根据排序不等式，咱们有 $a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2bc + b^2ac +c^2ab$ 。

这一步是不是有点晕？别慌，我给您举个小例子。

比如说有三个数 5、3、2，咱就按从大到小排，5 最大，3 次之，2 最小。

那么 5 的三次方就是 125，3 的三次方就是 27，2 的三次方就是8。

如果咱把它们打乱顺序相乘相加，比如 5 的平方乘以 3 乘以 2 加上3 的平方乘以 5 乘以 2 加上 2 的平方乘以 5 乘以 3 ，和 125 + 27 + 8 比起来，肯定是后者更大。

均值不等式的多种证明方法许兴华数学

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

均值不等式的证明(精选多篇)

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

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均值不等式的证明(精选多篇)第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=1+1/a2+..+1/an)证明：1.sqrt(((a1) +(a2) +..(an) )/n)≥(a1+a2+..an)/n两边平方,即证((a1) +(a2) +..(an) )≥(a1+a2+..an) /n(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1 /b1+a2 /b2+...an /bn≥(a1+a2+...an) /(b1+b2...+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1 +a2 +...an )*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数nf((x1+x2+...x1a2a3...an(3)数学归纳法:但要用到(1+x)>1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证毕特例：sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b证明：1.sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2两边平方a +b ≥(a+b) /4即证(a/2-b/2) ≥0显然成立2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。

第四篇：均值不等式及证明一、均值不等式（一）概念：第五篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是an?gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1?x2? (x)n?x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八维时:(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefghabcd?4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1?x2? (x2)2n?2nx1x2...x2n令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2? (x2)nx1?x2? (x)n?a由这个不等式有a?na?(2?n)a2nn?2nx1x2..xna2?nn?(x1x2..xn)2an1?n2n即得到x1?x2? (x)n?nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0?ai?1(i?1,2,...,n)证明?i?111?ai?n1?(a1a2...an)n例2：n若ri?1(i?1,2,...,n)证明?i?11ri?1?n1?(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n?2时11?a1?11?a2??(1??a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)设p?a1?a2,q??(1?q)(2?p)?2(1?p?q)?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而这是2元均值不等式因此11?a1? ?11?a22n?11?a3?11?a4??此过程进行下去n?i?11?ai1?(a1a2...a2n)2n令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?g n有?i?1n11?ai11?ai?(2?n)n11?g?nn2?nn?n1?(gg?n)n1?g即?i?1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),记r?t? n1nn?r,sii?1nn?sii1nnii?1nn?uii,v?1nn?v，求证下述不等式成立：ii?i?1(risitiuivi?1risitiuivi?1)?(rstuv?1rstuv?1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)?ln因此e?1e?1xx是在r上单调递减rstuv??(rstuv?1rstuv?1)?n我们要证明：n?(rstuvi?1iiiirisitiuivi?1i?1)?证明以下引理：?(xi?1xi?1ix2?1x2?1n?1)?n?2时，?(令a?x1?1x1?1)()?2?a(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)?2a(x1x2?x1?x2?1)?a(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2a(x1x2?1?x1?x 2)?(a?1)(x1x2?1)?2a(x1x2?1)显然成立2?nnn因此?(xi?1xi?1 n)?(g?1g?1 )2?nn?( ggggnnnn?1?1 2?n2n)，g?n?(g?1g?1 n因此?(i?1xi?1xi?1n)?所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen: f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)，则四维：f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f(x1?x2)?2f(x3?x4)?4f(x1?x2?x3?x4)一直进行n次有f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)nx1?x2? (x2)n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2? (x2)nx1?x2? (x)nn?a有f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(a)nn?f(na?(2?n)an)?f(a)所以得到f(x1)?f(x2)?...?f(xn)n?f(x1?x2? (x)n)所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件。