探讨线性规划整数最优解的调整
线性规划中的最优整数解
线性规划中的最优整数解线性规划中的最优解，就是在线性约束条件下使目标函数取得最大值或最小值的可行解，而求最优整数解，是同学们的棘手问题，下面以例题的形式讲讲如何求最优解。
例. 某人承揽了一项业务：需做文字标牌6个，绘画标牌5个。
现有两种规格的原料，甲种规格每张32m ，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张22m ，可做文字标牌2个、绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使总的用料面积最小？最小用料面积是多少？分析：将已知数据列成如下所示的表格：解法一：设甲种规格的原料用x 张，乙种规格的原料用y 张，总的用料面积为z 2m ,则z=3x+2yx+2y ≥62x+y ≥5x ≥0y ≥0其可行域如图所示：解方程组x+2y=62x+y=5得M 的坐标为47(,)33当直线z=3x+2y过点M47(,)33时z最小，此时472632333z=⨯+⨯=由题意可知，点M47(,)33不是最优解，因为此问题最优解(x,y)中x，y应都是非负整数，所以目标函数z的最小值一定是大于263的整数，且x，y都是非负整数。
取z=9,得3x+2y=9，其非负整数解是（1，3）和（3，0），但点（3，0）不在可行域内，舍去，所以点（1，3）是最优解，min 9z=解法二：由解法一可知，点M47(,)33不是最优解，这时可求出可行域内左下侧靠近边界的整点，依次为A（0，5），B（1，3），C（2，2），D（3，2），E（4，1），F（5，1），G（6，0），将这些点的坐标分别代入目标函数z=3x+2y，求出z的各对应值，经检验可知，在整点B（1，3）处z取得最小值9。
答：甲种规格的原料用1张，乙种规格的原料用3张时，总的用料面积最小，其最小用料面积为92m。
对于线性规划中的最优整数解问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可采用如下的方法：1.调整优值法：先求“非整点最优解”及“最优值”，根据题意调整“最优值”，再求目标函数中的整数解，便可得出最优整数解。
求线性规划问题的最优整数解的方法
求线性规划问题的最优整数解的方法作者：陈树礼来源：《中学教学参考·理科版》2010年第01期线性规划是新教材新增内容,在近几年高考中都以较易题目出现,要学好本节内容,应注意以下三点.一、判定最优解求线性目标函数z=ax+by(a≠0、b≠0)在线性约束条件下的最优解问题,可转化为求直线y=-abx+zb在y轴上的截距的最大值和最小值.易知在b>0时,当zb最大时,z取得最大值,当zb最小时,z取得最小值;在b二、求出最优解依据边界直线的斜率(或倾斜角)计算出最优解.三、修正最优解,得到最优整数解现改编人教版高二(上例3的问题,以求达到抛砖引玉的目的.【例】某工厂生产甲、乙两种产品.已恬生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t.求:(1)甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(2)若甲种产品每吨利润600元,乙产品每吨利润200元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(3)若甲种产品每吨利润400元,乙产品每吨利润200元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(4)若甲种产品每吨利润200元,乙产品每吨利润600元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?(5)若甲种产品每吨利润1000元,乙产品每吨利润800元.甲、乙两种产品各生产多少吨(精确到1吨)才能使利润最大?解:(1)设生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨.利润为z元.则10x+4y≤300,5x+4y≤200,4x+9y≤360,x≥0,y≥0,z=600x+1000y.作出以上不等式组表示的平面区域,即可行域.作直线:600x+1000y=0,即直线:3x+5y=0,则z=200(3x+5y).设u=3x+5y,则当u最大时,z最大.易知直线NQ、MN、PM的斜率分别为-52,-54,-49,直线l的斜率为-53.平移直线∵M点为最优解点.由方程组5x+4y=200,4x+9y=360得M点的坐标为(36029,100029).∵x,y都是正整数,∴u=3x+5y=608029也应为正整数.∴u=3x+5y≤209.于是整点(11,35)为所求.当生产甲产品11吨,乙产品35吨时,能使利润总额最大.(2)此时目标函数为z=600x+200y.作直线平移直线∵直线经过点Q(30,0)时,z取得最大值.即只生产甲产品30吨时,获得利润最大.(3)此时目标函数为z=400x+200y.作直线平移直线∵-类似(1)可求解.(4)此时目标函数为z=200x+600y.作直线平移直线∵--49.∴当直线经过点P(0,40)时,5x+4y=0,即只生产乙产品40吨时,获得利润最大.(5)此时目标函数为z=1000x+800y.作直线平移直线∵-∴当直线与直线5x+4y=0重合时,z取得最大值.∴当点位于线段MN上任意一点时,都能使z取得最大值.总之,在本部分内容的学习中,要做到“一定、二算、三修正”.(责任编辑金铃)。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
线性规划与整数规划理论及应用研究
线性规划与整数规划理论及应用研究线性规划是一种优化问题，它通过求解数学函数的最大值或最小值，来找到能够满足约束条件的变量值。
线性规划的应用非常广泛，包括生产排程、运输问题、财务管理等领域。
整数规划则是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
本文将介绍线性规划及整数规划的理论和应用研究。
线性规划理论线性规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{R}^n} c^Tx$$ s.t. Ax \leq b ; $其中$x$是$n$维实向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
这个表达式的含义是，求出在满足约束条件$Ax \leq b$的同时，使得$c^Tx$达到最大值的$x$。
约束条件是对$x$的限制，使得$x$满足可行性条件。
线性规划存在的前提是可行性条件的存在，即在约束条件$Ax \leq b$下，存在至少一个$x$可以满足。
如果可行性条件不存在，则线性规划无解。
线性规划的求解可以使用线性规划算法进行，例如单纯形法、内点法等。
其中最常用的算法是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断地找到更优的解，来逐步逼近最优解。
具体来说，单纯形法通过找到松弛条件的目标函数最优解对应的松弛变量，来进行解的更新。
线性规划应用线性规划在实际生产、物流等领域被广泛应用。
例如，在生产调度中，线性规划可以用来优化生产过程中的时间排程、机器分配等问题，从而达到最大化生产效率、最小化生产成本的目的。
在物流领域，线性规划可以用来优化物流运输路线，从而最小化运输成本。
另外，线性规划还可以应用于制定食物饮品配方，通过确定每种原料的数量和配比，来达到制作具有某种特定功能的食物饮品的目的。
此外，线性规划还可以用于网络资源规划、金融风险管理等领域。
整数规划理论整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
整数规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{Z}^n} c^Tx$$s.t. Ax \leq b ;$其中$x$是$n$维整数向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
如何寻找_线性规划问题_的整点最优解
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线
l0: 4x + 3y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最大, 此时 z = 200x + 150y 取最大值Ζ
= 1, 2, 3, 4, 如图 4, 打出网格, 这时网格在可行域
内的交点, 即可行域内的整点Ζ
将直线 l1 向上平移到 l2 的位置时, 直线 l2 最
先经过可行域内的整点B (5, 2) , 且使 z = 160x +
252y 取最小值, 此时
z 最小= 160×5+ 252×2= 1304.
2000 年 第 3 期 数学通报
19
如何寻找《线性规划问题》的整点最优解
安培录 (山西省代县中学校 034200)
试验教材高二数学 (上) 增加了《简单的线性
规划》的内容, 利用图解法解答线性规划的两类问 题Ζ 对此, 大纲要求“会简单的应用”Ζ
学生对线性规划的基本概念、基本方法在两
类实际问题中的应用, 基本可以达纲, 但对寻找 《线性规划问题》的整点最优解的问题, 感到不好 入手, 完成作业困难较大Ζ 在这个问题上, 试验教 材安排了一个例题 (P 76 页例 4) , 两个习题 (P 79 页第 3、4 题) , 一个复习题 (P 107 页第 17 题) Ζ 针 对学生从认知到应用这一过程存在的问题, 笔者 在教学实践中归纳整理了三种基本方法, 现举例 说明如下:
高中数学中的线性规划与最优解
高中数学中的线性规划与最优解数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。
而在高中数学中，线性规划与最优解是一个重要的概念和技巧。
本文将探讨线性规划与最优解在高中数学中的应用和意义。
线性规划是一种数学模型，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在高中数学中，线性规划经常出现在优化问题中，如最大利润、最小成本等。
它的基本思想是将问题转化为一组线性不等式或等式，然后通过图像、代数或其他方法求解最优解。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为$5，每单位产品B的利润为$8。
工厂每天的生产时间为8小时，产品A每小时需要2个工人，产品B每小时需要3个工人。
而工厂每天最多能雇佣10个工人。
现在我们要求工厂每天的最大利润是多少。
我们可以设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
根据题目条件，我们可以列出以下不等式：2x + 3y ≤ 8 （工时约束）2x + 3y ≤ 10 （工人约束）x ≥ 0, y ≥ 0 （产量非负）我们要求的是最大利润，即目标函数为z = 5x + 8y。
现在我们将这个问题转化为一个线性规划问题，目标是求解z的最大值。
通过图像或代数方法，我们可以找到最优解。
在这个例子中，最优解是x = 2，y = 2，z = 34。
也就是说，工厂每天生产2个单位的产品A和2个单位的产品B时，可以获得最大利润34美元。
这个例子展示了线性规划在实际问题中的应用。
通过建立数学模型，我们可以找到最优解，从而在有限的资源下，达到最佳的效果。
除了图像和代数方法，线性规划还可以通过单纯形法等数值方法来求解。
这些方法可以帮助我们更快地找到最优解，尤其是在复杂的问题中。
通过计算机软件的辅助，我们可以处理更多的变量和约束条件，从而得到更精确的结果。
线性规划不仅在数学中有重要的应用，还在经济学、管理学等领域中起着重要的作用。
它可以帮助我们优化资源配置，提高效率，降低成本。
线性目标函数最优解的求解方法
线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。
现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。
于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。
故选B 。
评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。
二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。
例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。
评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。
线性规划问题的最优解
线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。
线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。
而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。
1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。
设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。
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探讨线性规划整数最优解的调整
对于高中的二元一次不等式（组）与平面区域这个知识点是不难的，不过对于解题的规范性学生还是要加强的。
在这里就和大家探讨必修五课本当中的一道关于线性规划要求整数解的问题。
例1：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可以从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问哪种生产安排利润最大？
分析：这是一道典型的线性规划的问题，首先可以设甲，乙两种产品分别为x,y 件，从而列出约束条件。
在这道题目中，所设的是产品个数的问题，那就要注意x,y ∈N +。
解：设甲，乙两种产品分别为x,y 件，由题意可得：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤≤≤++
N y x,0y 0x 164y 164x 8
2y x
接着还要求解第二问，这就涉及到了目标函数，设利润为Z ，则Z=2x+3y 。
当目标函数刚好与可行域交于点M （4,2）时，能使获得的利润最大，Z max =14(万元)
M(4,2)
此题中的点M 是刚好为整数点，而假设M 不是为整数点时，那又应该如何寻找其最优解？接下来再以必修五课本的一道为例题.
评析：对于此道类型的题目求出来的最优解恰好能符合条件，难度没那么大，但是有些题目对于最优解还要再进一步进行讨论。
例2：要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
问题1：今需要A ，B ，C 三种规格的成品分别15,18,27，用数学关系式和图形表示上述要求。
问题2：各截这两种干板多少张可得所需A ，B ，C 三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析：这种也是典型的线性规划的题目，问题1难度就是读懂题目，然后根据题意列出约束条件；而对于问题2即是求最优解，而此题的最优解也是要取整数，而这个整数最优解相对上一题就较难点。
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧∈≥≥≥+≥+≥++
N y x,0y 0x 27
3y x 182y x 15y 2x
则图形中的阴影部分的所有整数点就是可截的方法。
接着还要求解问题
规格类型
钢板类型
A 规格
B 规格
C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板
1
2
3
2+0，这就涉及到了目标函数，设钢板数为Z ，则Z=x+y
当目标函数刚好与可行域交于点M （
518,5
39
）时，能使钢板数最少，这就涉及到一个问题就是点M 不是整数点，这说明点M 不是最优解，那就要对最优解进行调整。
课本所介绍的方法就是需找点M 附近的整数点，在这里介绍另外一种最优解的调整方法。
将点M （
518,539）带入目标函数Z=+
5
18557
539=，Z 不是整数，取Z 的就近整数值为12，令12=x+y,则y=12-x 代入上面的约束条件得：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧∈≥≥≥+≥+≥-++
N x)-(12x,0x -120x 27
x)-3(12x 18x)-2(12x 15
)21(2x x 解得63≤≤x ,则x 能取3,4,5,6，代入x+y=12中再进行检验，当x=3时y=9和x=4时y=8这两种解都符合条件，所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张，两种截法都最少要用两种钢板12张。
评析：这就是对于最优解调整的一个较使用的方法，对于线性规划的题目最优解是整数的调整，将范围逐步缩小进而再验证是否符合题目要求。
方法较使用，一般都能解决类似问题。