条件概率与概率的乘法公式
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
1.4(条件概率与乘法公式)
. P( A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
1 3 1 4
1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■
P( B | A)
6 12
1 2
.
AB
A
S
1.4.1 条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从பைடு நூலகம்取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
P ( Bi | A )
i1
P ( Bi A )
i1
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
1.4.1 条件概率
例如:
( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容
n P Bi A i1
n
P ( B i A ).
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
概率论中的乘法公式(一)
概率论中的乘法公式(一)概率论中的乘法公式1. 概述概率论中的乘法公式是计算事件之间相互依存的概率的基本工具。
它描述了多个事件同时发生的概率，是概率论中十分重要的概念。
2. 乘法公式的原理乘法公式是根据条件概率和联合概率的定义推导得出的。
它可以表示为：P(A and B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3. 乘法公式的应用举例硬币抛掷问题假设有两个硬币A和B，分别为正面1/2的概率和正面1/3的概率。
现在将硬币A和B放在袋子中，随机抽取一个硬币，抛掷两次，请问两次都是正面的概率是多少？根据乘法公式，我们可以计算得到：P(两次都是正面) = P(硬币A) * P(两次都是正面|硬币A) +P(硬币B) * P(两次都是正面|硬币B) = 1/2 * (1/2)^2 + 1/2 *(1/3)^2 = 1/4 + 1/18 = 7/36所以两次都是正面的概率是7/36。
球的问题一个箱子中有3个红球和2个白球，随机从中抽取2个球，不放回，求两个球都是红球的概率。
根据乘法公式，我们可以计算得到：P(两个球都是红球) = P(第一次抽到红球) * P(第二次抽到红球|第一次抽到红球) = 3/5 * 2/4 = 3/10所以两个球都是红球的概率是3/10。
4. 总结概率论中的乘法公式是计算多个事件同时发生的概率的基本工具。
它通过条件概率和联合概率的定义，能够准确计算出多个事件同时发生的概率。
在实际问题中，我们可以利用乘法公式来解决各种与概率相关的计算问题。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
§1.5 条件概率与乘法公式
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U
P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
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B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
二、条件概率与概率的乘法公式
P( B) 0
P( A) 0
2、概率的乘法公式
定理2 对事件 则有：
A, B
若
P( B) 0 P( A) 0
P ( AB ) P AP B A
或P( AB ) P B P A B
以上公式从大量的实验总结有，对于 件
n
个事
A1 , A2 ,, An有
, A2 , An ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2
解: 设： A {甲击中目标 } } B {乙击中目标
( A B) {击 中 目 标 }
有： P( A) 0.8 P( B) 0.85 有定理1概率加法公式：
P( A B) 0.68
方法一
P( A B) P A PB P AB 0.97
方法二
P( A B ) P AP B P AP B P AB 0.97
例2
在打靶中，若“命中10环”的概率是0.40，“命中8环 或9环”的概率是0.45，求“至少命中8环”的概率
解: 设：
8环或9环} A {命中 10环}， B {命中
C {至少命中 8环}
推论1 如果事件
概率的加法可以推广有限个事件和的情形：
A, B
互不相容，则
P( A B) P A PB
推论2 对于任意事件A，有
P A P A 1
例1
两人同时向目标射击，甲击中目标的概率0.8，乙击中 目标的概率0.85，两人同时击中目标的概率0.68，求 目标被击中的概率。
例4
贷中装有4个黑球和一个白球,每次从贷中随机摸出一球, 并换入一个黑球,连续进行.求第3次摸到黑球的概率.
解: 设： A 第3次摸到黑球 A {第3次摸到白球}
先计算 A 的概率
这是一种有放回的摸球,连续摸3次球,基本事件的 总数为5×5×5=125。事件 相当于第一次和 A 第二次都摸到黑球，第三次摸到白球。
两市至少有一市为雨天
P( B) 0.09
P( A B) 0.168
概率加法公式有
P( AB) P A PB P A B 0.12 0.09 0.168 0.042
(1) P AB 0.042 P( B A) 0.35 P A 0.12
(1)从全部产品中任取一件是甲厂的产品 (2)从甲厂提供的产品中任取一件，而且恰是优质品 (3)从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品
解 B {取得甲厂提供的产品 } } A {取得产品为优质品
(1)
C6 3 P( B ) 1 C14 7
1
（2）这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率
PA B PA B 1 0.168 P( A B ) 0.9143 PB PB 1 0.09
( 2)
例7
某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解
设
A {活到20岁}
P( A B )
1 C4 2 所以P( A B ) 1 C6 3
3
AB {从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品} 1 C4 2 即有P( AB ) 1 C14 7
本例不难发现
P AB P( A B ) P B P AB P( B A) P A
1、条件概率 在实际问题中，有时需要求在事件B已发生的条 件下，事件A的概率。由于增加了条件“事件B已 发生”，所以称之为条件概率。
定义1
若
P( B) 0
则把事件B已发生的条件下，
事件A的概率称为条件概率，记为
P( A B )
例5
一批同类产品共14件，共中由甲厂提供的6件中有4件 优质品；由乙厂提供的8件中有5件优质品。试考察 下列事件的概率
第三节
概率运算
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率的乘法公式
一、概率的加法公式
定理1 对于任意两个事件 A, B 有
P( A B) PA PB PA B
P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 P A1 A2 P A2 A3 P A