九年级数学图形的旋转
初中数学九年级旋转知识点
初中数学九年级旋转知识点在初中数学九年级，旋转是一个重要的几何变换方法。
通过旋转，我们可以改变图形的位置和方向，从而帮助我们解决一些几何问题。
本文将介绍九年级数学中与旋转相关的知识点，包括旋转的定义、旋转的性质以及旋转的应用。
一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，保持图形内部的点与固定点的距离保持不变。
旋转的固定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
九年级数学中常用的旋转角度有90度、180度和270度。
二、旋转的性质1. 旋转保持图形面积不变：无论如何旋转一个图形，它的面积都保持不变。
2. 旋转保持图形周长不变：无论如何旋转一个图形，它的周长也保持不变。
3. 旋转保持图形对称性不变：如果一个图形是对称的，那么它的旋转图形也将保持对称性。
三、旋转的应用1. 确定旋转后的图形：通过给出旋转中心和旋转角度，我们可以确定旋转后的图形。
例如，给出一个三角形ABC，旋转中心为点O，旋转90度，我们可以通过连接OA、OB和OC来确定旋转后的图形。
2. 解决几何问题：旋转常常被用于解决一些几何问题。
例如，在证明两个图形相似时，可以通过旋转一个图形使其与另一个图形重合，从而得到相似的证明。
3. 观察图形性质：通过观察旋转后的图形，我们可以揭示一些图形的性质。
例如，通过旋转正方形，可以发现旋转后的图形仍然是正方形，这说明正方形具有旋转对称性。
四、注意事项在进行旋转时，需要注意以下几点：1. 旋转角度是逆时针方向旋转：九年级数学中的旋转一般都是逆时针方向旋转，所以在进行旋转时需要根据旋转角度确定旋转方向。
2. 旋转中心的选择：选择旋转中心时，需要注意选择一个能够旋转整个图形的点，使得旋转后的图形可以被完全覆盖。
3. 使用适当的工具：在实际操作中，可以使用直尺、量角器等几何工具来进行旋转操作，以确保旋转的准确性。
总结：初中数学九年级的旋转知识点是我们在几何学习中重要的一部分。
通过学习旋转的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和解决与旋转相关的问题。
九年级数学旋转知识点总结
九年级数学旋转知识点总结数学中的旋转，是指图形在平面内绕某一点或者某一直线旋转成相似的图形。
在九年级的数学学习中，旋转是一个重要的知识点，它有着广泛的应用。
下面是对九年级数学旋转知识点的总结。
一、旋转的基本概念在数学中，旋转就是将一个点或一个图形绕某一点或某一直线旋转一定角度，得到与原图形形状相似的新图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
二、旋转的基本性质1. 旋转不改变图形的大小和形状。
2. 旋转保持图形的对称性。
3. 旋转可以使得图形在平面上任意位置进行变换。
三、旋转的表示方法1. 点的旋转：对于给定一个点P(x,y)，绕原点旋转θ度，旋转后的点为P'(x', y')。
根据旋转的性质，我们可以得到点的旋转公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ2. 图形的旋转：对于给定一个图形，绕某一点O旋转θ度，旋转后的图形与原图形相似。
在平面直角坐标系中，可以通过点的旋转来实现对图形的旋转。
四、旋转的应用场景1. 图形的变换：通过旋转，可以实现图形的转动，可以用于制作动画、机械运动等领域。
例如，风电机组的叶片通过旋转来转动风车。
2. 几何问题的解决：旋转在解决几何问题时可以起到关键作用。
例如，在解决平行四边形相关问题时，可以通过旋转把问题转化成熟悉的几何形状进行求解。
3. 数学建模：旋转可以应用于数学建模中，来解决与旋转相关的实际问题。
例如，在建筑设计中，通过数学方法模拟旋转来计算建筑物的结构和力学性能。
五、旋转相关定理1. 旋转定理：旋转不改变图形的面积和周长。
2. 旋转对称性：旋转图形保持图形对称特点不变。
3. 点的旋转定理：若直角坐标系中有点P(x,y)绕原点顺时针旋转θ度得到点Q(x',y')，则有：x' = x*cosθ + y*sinθy' = -x*sinθ + y*cosθ六、旋转的练习题请你计算以下图形绕指定点或直线旋转后的新图形坐标：1. 将点A(3,4)绕原点逆时针旋转90度。
九年级数学旋转知识点梳理
九年级数学旋转知识点梳理在九年级数学课程中，旋转是一个非常重要的知识点。
旋转可以用来描述平面图形或空间图形在固定点周围旋转一定角度后的变化情况。
为了帮助同学们更好地理解和掌握旋转的相关知识，本文将对九年级数学旋转知识点进行详细的梳理和总结。
1. 旋转的基本概念旋转是指平面或空间中的图形围绕某个点旋转一定角度后的变化。
在旋转中，围绕其旋转的点称为旋转中心，围绕旋转中心旋转的角度称为旋转角度。
2. 旋转的相关公式在进行旋转时，我们需要了解一些基本的旋转公式。
对于平面中的旋转，我们可以使用下面的公式：对于点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后得到新点P'(x', y')的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ3. 平面图形的旋转平面图形在旋转时，我们需要关注以下几个方面：(1) 旋转角度：指图形旋转的角度，可以是正数、负数或零。
(2) 旋转中心：图形绕其旋转的点，可以是原点或其他给定的点。
(3) 旋转方向：逆时针旋转为正方向，顺时针旋转为负方向。
(4) 旋转位置：图形旋转后的位置，可以是原位置、新位置或相对位置。
4. 平面图形的旋转性质平面图形在旋转中会保持一些性质不变，主要包括：(1) 面积：图形的面积在旋转中保持不变。
(2) 边长：图形的边长在旋转中保持不变。
(3) 平行线：平行线在旋转中仍然是平行的。
(4) 角度：图形中的角度在旋转中保持不变。
5. 旋转的应用旋转在现实生活中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：(1) 几何建模：旋转可以用于绘制几何图形或进行几何建模，如绘制圆、绘制旋转体等。
(2) 计算机图形学：旋转可以用于计算机图形学中的三维图形变换，实现旋转、平移、缩放等效果。
(3) 机械设计：旋转可以应用于机械设计中的零件旋转、装配、运动仿真等。
6. 旋转的计算方法在进行旋转计算时，我们可以通过几何方法或代数方法来求解：(1) 几何方法：通过绘制旋转图形，根据旋转的性质进行计算。
九年级数学旋转知识点总结
九年级数学旋转知识点总结九年级数学旋转知识点总结九年级数学中的旋转知识点是学生在几何学中学习的重要内容之一。
通过对平面图形的旋转操作，学生可以更好地理解和应用几何学原理，培养空间想象力和逻辑思维能力。
本文将对九年级数学中的旋转知识点进行总结，并对其相关概念和常见题型进行详细讲解。
一、旋转基本概念1. 旋转的定义：旋转是指将一个图形围绕某一点进行转动，保持图形形状和大小不变的操作。
2. 旋转中的基本概念：(1) 旋转中心：图形旋转的固定点。
(2) 旋转角度：旋转的角度大小，通常用度数表示。
(3) 旋转方向：图形旋转时顺时针或逆时针的方向。
二、旋转的基本性质1. 旋转的角度：一个图形旋转后，原形与变形之间的对应点与旋转中心的连线所成的角度大小是相等的，即旋转角度相等。
2. 旋转角的正负：顺时针旋转角度为负值，逆时针旋转角度为正值。
3. 旋转的性质：旋转操作不改变图形的形状和大小，保持图形的对称性。
三、旋转的常见图形1. 旋转的平面图形：点、线、线段、角、三角形、四边形等。
2. 旋转的空间图形：圆、球体等。
四、旋转的常见题型及解题方法1. 旋转图形的对称性：通过旋转可以得到与原图形相似的新图形，根据旋转中的对称性可以快速判断图形的对称性质。
2. 旋转图形的等角性：利用旋转的角度和方向，可以验证等角图形的特点，如全等三角形、相似四边形等。
3. 旋转图形的变换：根据给定的旋转中心、角度和方向，进行图形的旋转操作，并分析新图形的特征。
4. 旋转图形的坐标表示：对于平面坐标系中的点、线段、图形等，可以通过旋转公式计算其新的坐标位置。
五、旋转的应用1. 平面图形的构造：通过将已知的图形旋转得到新的图形，进行几何图形的构造。
2. 图形的变换：旋转是一种常用的图形变换方法，可以改变图形的朝向和位置。
3. 证明与推理：利用旋转的性质，可以推导证明几何命题、解决几何问题，提高数学的证明和推理能力。
总之，九年级数学中的旋转知识点是几何学中的重要内容，旋转的基本概念、性质和常见图形需要学生进行深入理解和掌握。
人教版九年级数学上《第23章旋转》课件
∴∠B=∠G=90°
由题意知AG=AB，又 AH=AH．
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)
∴HG=HB.
证法2：连结BG， ∵四边形ABCD，AEFG都
是正方形．
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AG=AB， ∴∠AGB=∠ABG， ∴∠HGB=∠HBG ∴HG=HB.
6。下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到。 (1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案 是____①_⑤; (2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的 图案是____ ②⑥ (3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的 图案是_____ ③④
（3）将关键点沿指定的方向旋转指 定的角度； （4）连结各点，得到原图形旋转 后的图形.
例3．把△AOB绕点O逆时针方向旋 转90°，画出旋转后的图形．
错解：旋转时，
把∠AOB′看作
90°进行了旋 转．
正解：
按逆时针方向把 OA旋转到OA′，使 ∠AOA′＝90°， 把OB旋转到OB′， 使∠BOB′＝90°， 如图．
∵∠EDF=45°， ∴∠FDM=45°． ∴△DEF与△DMF关于DF 成轴对称， ∴EF=FM． △BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF
=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，
所以△BEF的周长为2．
例11．如图，水渠旁有一大块L形耕 地，要画一条直线为分界线，把耕 地平均分成两块，分别承包给两个
人，BC边是灌溉用的水渠的一岸.每
块土地都要有水渠，怎么平分土地 才能满足每个人的需要？
人教版数学九年级上册课件14-第二十三章23.1图形的旋转
例2 (2020北京东城期末)如图23-1-2,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点 A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE,下列四个结论:①AC=AD; ②AB⊥EB;③BC=EC;④∠A=∠EBC.其中一定正确的是 ( )
2
+∠EBC不一定等于90°,故②不一定正确.综上所述,一定正确的是③④.故选C.
答案 C
温馨提醒 利用旋转的性质解决问题时,要准确确定旋转的对应线段、对应 角、旋转角等,然后利用旋转的性质求线段的长度、角的度数等.
知识点三 旋转作图
旋转作图 的依据 作图要素 作图步骤
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
答案 (1)A (2)60° (3)等边 方法归纳 一个图形由一个位置旋转到另一个位置,如果有固定不动的点,那
么这个点就是旋转中心,对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.
知识点二 旋转的性质
旋转的性质 重点解读
(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
经典例题全解
题型一 利用旋转的性质求线段长度或角度 例1 (2019天津滨海新区期中)如图23-1-5,点O是等边三角形ABC内的一点, ∠BOC=150°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得到△ADC,连接OD,OA. (1)求∠ODC的度数; (2)若OB=2,OC=3,求AO的长.
图23-1-5
图23-1-3
九年级(初三)《旋转》知识点及练习(带答案)
1. F 面的图形中，是中心对称图形的是（旋转一. 知识框架 二. 知识概念1•旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心， 转动的角度叫做旋转角。
（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固 定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小 相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
）2•旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对 称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0°大于360°。
3. 中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
4. 中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
、精心选一选（每小题3分，共30分） |> 4)D .2.平面直角坐标系内一点 P （- 2,3）关于原点对称的点的坐标是 （ C . (- 2,- 3)D .(2 , - 3)3. 3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转的牌从左数起是（ ） A •第一张B •第二张C .第三张D •第四张4•在下图右侧的四个三角形中，不能由 △ ABC 经过旋转或平移得到的是（5.如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）A .向右平移7格B .以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以 AB 为对称轴作轴对称图C .绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称D .以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6 •从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（）A . A NEGC . X I HO 7.如图4, C 是线段BD 上一点，分别以 BC 、CD 为边在 △ ABC 和等边△ CDE,AD 交CE 于F , BE 交AC 于G , 转而相互得到的三角形对数有（ ）.C . 3对&下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A . ( 3,- 2)B . (2,3)180。
九年级上册数学旋转知识点总结
九年级上册数学旋转知识点总结
九年级上册数学中的旋转知识点主要包括以下内容：
1. 平面图形的旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形旋转一定角度的变换。
主要涉及正方形、矩形、正三角形、等边三角形等图形的旋转。
2. 旋转中心和旋转角度：在平面图形旋转中，旋转中心是一个确定的点，旋转角度是指图形相对于旋转中心旋转的角度。
3. 旋转的性质和特点：旋转是一种保持形状不变的变换，旋转前后的图形是全等的。
旋转也满足交换律和结合律。
4. 旋转图形的坐标变化：根据图形的旋转中心和旋转角度，可以得到旋转后图形的新坐标。
5. 旋转的几何应用：旋转广泛应用于解决几何问题，例如确定图形的对称轴、找出图形的对称点等。
6. 旋转变换的表示方法：旋转变换可以用矩阵表示，通过矩阵运算可以得到旋转后的新坐标。
以上是九年级上册数学中关于旋转的主要知识点总结。
在学习中，需要了解旋转的基本性质和特点，掌握旋转图形的坐标变化方法，并能应用旋转解决几何问题。
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图形的旋转
一、同步知识梳理
1、旋(xuán)转(zhuǎn）的定义
在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
3、旋转的条件（要素）
①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。
（改变一个要素，图形就会不一样。
）
一、专题精讲
题型一、分析旋转现象
例1．如图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB 的长度。
△BDE能否看作是△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
变式训练
1、如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE。
（1）图中点是旋转中心，按方向旋转了度；
（2）如果CF＝3cm，连接EF，求EF的长。
题型二、确定旋转中心
A B C是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到的，请你找出旋转中心。
例2. 如图，△
111
【方法总结】确定旋转中心
在图形的旋转过程中，判定谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是在图形外。
若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有变，哪一点就是旋转中心；若是在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
题型三、求旋转角的度数
例3．等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成为△AB C''，且AB'⊥BC，垂足为O。
（1）图中旋转中心是点；
（2）该旋转中的旋转角是度；
（3）经上述旋转后，所得到的B C''边与AC边的位置关系怎样？
变式训练
如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为。
题型四、利用旋转的性质求线段的长
例4．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP ＝5，求PP'的长度。
题型五、画旋转图形
例5．请在网格内画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。
（例5）（变式训练）变式训练
分别在上图的网格中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后的图形。
1、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，则图中的△ 和△ 可以经过旋转得到，这时旋转中心是点。
（第1题）（第2题）
2、如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上，将△AOB绕点B按顺时针方向旋
''，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为。
转一定角度后得△A O B
3、如图，P为等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，则以AP、PB、PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是。
（第3题）（第4题）
4、已知，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5。
求∠APB的度数。
5、如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为。
（第5题）（第6题）
6、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，则,BD＝。
技巧与方法总结——常见的旋转模型
课后作业
1、如果三角形ABC 经旋转后能与△A B C ''重合，已知∠ACB ＝60°，由△ABC 旋转到△A B C ''的过程中，旋转中心和旋转角分别是（ ） A
A 、点C ，逆时针90°
B 、点
C ，顺时针90° C 、点B ，逆时针90°
D 、点B ，顺时针90°
（第1题）
（第2题）
2、该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） B A 、72° B 、108° C 、144° D 、216°
3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，如果将三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△11AB C 的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，那么旋转的角度是 。
60°
（第3题） （第4题） （第5题） 4、若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△AB C ''，则A 点的对应点的坐标是 。
（3，0） 5、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝2，将菱形OABC 绕原点顺时针6、旋转105°至OA B C '''的位置，则点B '的坐标为 。
（2，﹣2）
在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α°，得到△11A BC ，1A B 交AC 于E ，11A C 分别交AC 、BC 于点D 、F 。
有下列结论：①∠CDF ＝α°；②1A E ＝CF ；③DF ＝FC ；④1A D ＝CE ；⑤1A F ＝CE 。
其中正确的是 。
（写出正确结论的序号） ①②⑤
（第6题）（第7题）（第8题）
7、如图，在等边△ABC中，AB＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长为。
6
8、如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED。
若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是。
19
9、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°。
（1）求证：EF＝AE＋CF；（2）若AE＝1，则EF长为多少？
10、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积的多少？
11、如图，分别以正方形ABCD的边长AD和BC为直径画两个半圆交于点O。
若正方形的边长为10cm，求阴影部分的面积。