习题课线面积分的计算
《线面积分计算》课件
参数化和面积元素：
曲面积分的计算通常需要对 S 进行合适的参数 化，以便计算面积元素。
计算公式和几何意义：
二元函数曲面积分的计算公式较复杂，但可以 通过对参数化和面积元素的精细分析进行计算。
计算例题：
线面积分计算
本课程简要介绍线面积积分的概念和计算方法，以及其在数学和物理等领域 中的应用。
什么是线面积分
线积分和面积积分的区别：
线积分是对函数沿曲线的积分，而面积积分是 对函数在曲面上的积分。
参数方程和向量场的概念：
线面积分中经常使用参数方程描述曲线或曲面， 在向量场中则经常使用参数方程描述向量。
一元函数线积分的计算方法
定义式和性质：
一元函数线积分的定义式通常可以表示为 $\int_C f(x,y)ds$ 。在计算中，常常使用曲线长度公式。
计算例题：
通过细致计算某条曲线的线积分，学生可以更加深 入地理解一元函数线积分的概念和计算方法。
二元函数线积分的计算方法
1
定义式和性质：
二元函数线积分的定义式为 $\int_C
理论结合实践，多练习计
线面积积分分别描述了函
学中有很多重要应用，如
算题，是掌握线面积积分
数在曲线和曲面上的积分，
计算电场强度和电势差。
的关键。
有着重要的数学和物理应
用。
3
通过线面积积分计算电场强度和 电势差：
通过对电荷分布和电场分布的描述，可
计算例题：
4
以应用线面积积分的计算方法得出电场
强度和电势差的数值。
通过计算某个带电体的电场强度和电势
高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,
高数第十章线面积分习题和答案
第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。
9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。
高等数学(下)课件D11习题课
上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 解 第二种方法 以y为积分变量 在L上 xy2 y从1变到1 因此
xydx y y( y )dy 2 y 4dy 4 L 1 1 5
2 2
1
1
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段
例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
I y 2ds
L
提示 转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
0 3 2 2
I [(3t) 3 3t(2t) 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 1 4 0 2 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 4
下页
0
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离 成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W
r
t
ax
3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
其中L为摆线
2 2 原式 a t sin t d t 0
2 a 2 t cos t sin t 0
3(6). 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
L
y ds x2 1 (x2 )2 dx
线面积分总结
圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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的圆弧 L 对于它的对 例. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫
(线面积分)计算方法总结
（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广2.方法①：197P 计算公式（2-1）方法②：y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==),(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）方法①：199P 计算公式（2-1）的推广方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）3.第一类曲面积分：dSz y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.解题步骤：①根据曲面∑选好投影面②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.方法②：高斯公式）（'23216P -转为三重积分。
4.第二类曲面积分：⎰⎰∑++RdxdyQdzdx Pdydz 格林公式方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式（5P230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按按照曲面积分的不同情况分为以下三类：（1）若曲面][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑∑=（3）若曲面])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：1.应根据曲面∑选好投影面.2.确定投影域并写出曲面∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.小结：与路径无关的四个等价命题条件在单连通区域D上),(),(yxQyxP，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立等价命题（1）在D内⎰+LQdyPdx与路径无关（2）⎰=+C,0QdyPdx闭曲线DC⊂（3）在D内存在),,(yxu使QdyPdxdu+=（4）在D内，xQyP∂∂=∂∂感谢高数老师大人的总结！！！。
高等数学课件--D11_习题课
y O
r
t
ax
d s x2 y2 d t
2013-8-9 同济版高等数学课件
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P244 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
原式 a
2
0 t sin t d t
2π 0
2π
a t cos t sin t
D
上页
O
y
结束
x
下页 返回
2 I (4 x 2 y 3z )dS 3
y
2 ( x y 6) dxd y
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
2013-8-9
同济版高等数学课件
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二、曲面积分的计算法
2 2 2
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2
结束
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返回
例8. 计算曲面积分
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) y dS
(2) 确定积分上下限
练习题: P244
2013-8-9
题 3 (1), (3), (6)
同济版高等数学课件
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解答提示: P244 3 (1)
计算 提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =
整理往届竞赛习题-线面积分
四、已知平面区域 {(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤ ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）sin sin sin sin y x y x L L
xe
dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫ ； （2）sin sin 252
y x xe dy ye dx π−−≥∫ . (2)
计算2∑∫∫，其中∑
为下半球面z =0a >. 六（本题共15分）、设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分42
2(C )xydx x dy x y ϕ++∫v
1的值为常数. (1) 设为正向闭曲线. 证明:
L 22(2)x y −+=422()0L xydx x dy x y
ϕ+=+∫v ； (2) 求函数()x ϕ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422(C )xydx x dy x y
ϕ++∫v
. 五、（本题16分）已知是空间曲线S 22310x y z +=⎨=⎩
绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧）, y 0z ≥Π是在点处的切平面, S (,,)P x y z (,,)x y z ρ是原点到切平面Π的距离, ,,λμν表示的正法向的方向余弦. S 计算：（1）d (,,)S z S x y z ρ∫∫; （2）. (3)d S
z x y z S λμν++∫∫ ( 15 ) f (x ) a,b,c
Σ x 2+y 2+z 2=1,
I = Σf (ax +by +cz )d S. I =2π 1−1f (√a 2+b 2+c 2u )d u.。
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P250 题4(2) , P250 题 10 同样可利用高斯公式计算.
例5. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的
单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
x
3 2
z
Bn
OC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
公式
例4. 设L 是平面
与柱面
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算
的交线
解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 z
1
1
1
3
3
3
I
x
y
z
dS
L
y2 z2 2z2 x2 3x2 y2
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
的上侧.
提示: 以半球底面 0为辅助面,
且取下侧 , 记半球域为 , 利用
高斯公式有
O
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 π R3 0 2π R3 3
D
(
Q x
P y
)dxdy
ÑL
r
r
P sin (x, n) Q cos (x, n)
ds
因而 D
(
P x
Q y
) dxdy
ÑL Qdx
Pdy r
r
ÑL Qsin (x, n) P cos (x, n) ds
r 又(x, n)
(x,
r y) ( y, n)
r ( y, n),
2
r
r
有sin (x, n) cos ( y, n), 从而
D
(
P x
Q )dxdy y
ÑL
r P cos (x, n)
r
r Q cos ( y, n)
ds
=ÑL P,Qn ds.
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
这说明积分与路径无关, 故
y C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B O A x
a
a
x2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I
(x2 y)d x (y2 x)d y
LBA
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C L
D
D 0 d x d y
解答提示: P249 3 (1)
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
O
ax
d s x2 y2 d t
P249 3(6). 计算
其中 由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 上有
r
是L沿正向的单位切向量r .
设L的指向外侧的单位法向量为n,
rr
rr
易见n与的夹角(n,
)=
.
则(x,
r n)
r
(x,
)
,
r
r2
r
2r
从而cos (x, n) sin (x, ), sin (x, n) cos (x, ).
r
r
r
r
r
故 (cos (x, ),sin (x, )) ( sin (x, n), cos (x, n)).
故
z
原式 =
O 1y x
2
1 2
π 2
3 4
1 2
π 2
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
例1. 计算
其中 为曲线 z
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
第二类: 下始上终
练习题: P249 题 3 (1), (6)
2 3
(4
x
2
y
3z)
dS
DO y x
公式
I
2 3
(4x
2
y
3z)dS
2D (x y 6) dxdy 12 D dxdy
24
y
1
D O 1x
D 的形心
x y0
Green公式的一个注记
D
( Q x
P )dxdy y
蜒L Pdx
Qdy
r
L P,Qds
其中 L是闭区域 D的取正方向的边界曲线,
其中L为上半圆周
沿 y 2
P ex cos y 2, Q ex cos y
y
x
用格林公式:
I
LAB AB
D 2d x d y 0
πa2
y L
D
OA a B x
P245 11. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
x
( 的重心在原点)
例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心、a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
练习: P250 题4(3)
a x2 dx 2 a3
a
3
B O Ax
(利用格林公式)
例3. 设在上半平面 D {(x, y) y 0}内函数 f (x, y) 具有
连续偏导数, 且对任意 t > 0 都有
证明
对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有
(2006考研)
证:把
两边对t求导, 得:
则有 因此结论成立.
练习题: P249 题 3(5) ; P250 题 11. 3(5). 计算
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
OC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
方法2 利用 斯托克斯公式
设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3
x
y
yz
1 3
(3) d S
1
3
z
dS