立体几何证明题专题(教师版)
2020年高考数学解答题核心：立体几何综合问题(专项训练)(教师版)
专题08 立体几何综合问题（专项训练）1．如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝AE ＝2. (1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时,求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．【答案】见解析【解析】(1)因为四边形ABCD 是菱形,所以BD ⊥AC .因为AE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥AE .因为AC ∩AE ＝A ,所以BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为原点,OA →,OB →的方向为x ,y 轴正方向,过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B (0,3,0),D (0,－3,0),E (1,0,2),F (－1,0,a )(a >0),OF →＝(－1,0,a )．设平面EBD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝0，n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1,则n ＝(－2,0,1),由题意得sin 45°＝|cos 〈OF →,n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22.因为a >0,所以解得a ＝3.所以OF →＝(－1,0,3),BE →＝(1,－3,2),所以cos 〈OF →,BE →〉＝OF →·BE →|OF →|·|BE →|＝－1＋610·8＝54.故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为54.2．(2019·河南郑州模拟)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝π4,O 为AB 边上一点,且3OB ＝3OC ＝2AB ,已知PO ⊥平面ABC ,2DA ＝2AO ＝PO ,且DA ∥PO .(1)求证：平面PBAD ⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为OB ＝OC ,又因为∠ABC ＝π4,所以∠OCB ＝π4,所以∠BOC ＝π2,即CO ⊥AB .又PO ⊥平面ABC ,OC ⊂平面ABC ,所以PO ⊥OC .又因为PO ,AB ⊂平面PAB ,PO ∩AB ＝O ,所以CO ⊥平面PAB ,即CO ⊥平面PBAD .又CO ⊂平面COD ,所以平面PBAD ⊥平面COD .(2)以OC ,OB ,OP 所在射线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示．设|OA |＝1,则|PO |＝|OB |＝|OC |＝2,|DA |＝1.则C (2,0,0),B (0,2,0),P (0,0,2),D (0,－1,1),所以PD →＝(0,－1,－1),BC →＝(2,－2,0),BD →＝(0,－3,1)．设平面BDC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1,则x ＝1,z ＝3,所以n ＝(1,1,3)．设PD 与平面BDC 所成的角为θ,则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×(－1)＋3×(－1)02＋(－1)2＋(－1)2×12＋12＋32＝22211.即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 3．(2019·湖北武汉调考)如图, 四棱锥S －ABCD 中,AB ∥CD ,BC ⊥CD ,侧面SAB 为等边三角形,AB ＝BC ＝2,CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】方法一 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,则D (1,0,0),A (2,2,0),B (0,2,0),设S (x ,y ,z ),则x >0,y >0,z >0,且AS →＝(x －2,y －2,z ,),BS →＝(x ,y －2,z ).DS→＝(x －1,y ,z )．由|AS →|＝|BS →|,得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2,得x ＝1,由|DS →|＝1得y 2＋z 2＝1,①由|BS →|＝2得y 2＋z 2－4y ＋1＝0,②由①②解得y ＝12,z ＝32,所以S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32,AS →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，32,BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32,DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32,所以DS →·AS →＝0,DS →·BS →＝0,所以DS ⊥AS ,DS ⊥BS ,又AS ∩DS ＝S ,所以SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的一个法向量为m ＝(a ,b ,c ),BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32,CB →＝(0,2,0),AB →＝(－2,0,0),由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BS →＝0，m ·CB →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a －32b ＋32c ＝0，2b ＝0，所以可取m ＝(－3,0,2),故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为cos 〈m ,AB →〉＝m ·AB →|m |·|AB →|＝－2×(－3)7×2＝217. 方法二 (1)证明：如下图,取AB 的中点E ,连接DE ,SE ,则四边形BCDE 为矩形,所以DE ＝CB ＝2,所以AD ＝DE 2＋AE 2＝ 5.因为侧面SAB 为等边三角形,AB ＝2,所以SA ＝SB ＝AB ＝2,且SE ＝3,又SD ＝1,所以SA 2＋SD 2＝AD 2,SE 2＋SD 2＝ED 2,所以SD ⊥SA ,SD ⊥SB ,又AS ∩DS ＝S ,所以SD ⊥平面SAB .(2)作S 在DE 上的射影G ,因为AB ⊥SE ,AB ⊥DE ,AB ⊥平面SDE ,所以平面SDE ⊥平面ABCD ,两平面的交线为DE ,所以SG ⊥平面ABCD ,在Rt △DSE 中,由SD ·SE ＝DE ·SG 得1×3＝2×SG ,所以SG ＝32,作A 在平面SBC 上的射影H ,则∠ABH 为AB 与平面SBC 所成的角,因为CD ∥AB ,AB ⊥平面SDE ,所以CD ⊥平面SDE ,所以CD ⊥SD ,在Rt △CDS 中,由CD ＝SD ＝1,求得SC ＝ 2.在△SBC 中,SB ＝BC ＝1,SC ＝2,所以S △SBC ＝12×2×22－12＝72,由V A －SBC ＝V S －ABC 得13·S △SBC ·AH ＝13·S △ABC ·SG ,即13×72×AH ＝13×12×2×2×2,得AH ＝2217,所以sin ∠ABH ＝AHAB ＝217,故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为217. 4．(2019·安徽江南名校联考)如图,在四棱锥P －ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,DC ＝6,AD ＝8,BC＝10,∠PAD ＝45°,E 为PA 的中点． (1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ,满足CF ⊥DB ？若存在,试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在,请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：取PB 的中点M ,连接EM 和CM ,过点C 作CN ⊥AB ,垂足为点N .因为CN ⊥AB ,DA ⊥AB ,所以CN ∥DA ,又AB ∥CD ,所以四边形CDAN 为平行四边形,所以CN ＝AD ＝8,DC ＝AN ＝6,在Rt △BNC 中,BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6,所以AB ＝12,而E ,M 分别为PA ,PB 的中点,所以EM ∥AB 且EM ＝6,又DC ∥AB ,所以EM ∥CD 且EM ＝CD ,四边形CDEM 为平行四边形,所以DE ∥CM .因为CM ⊂平面PBC ,DE ⊄平面PBC ,所以DE ∥平面BPC .(2)由题意可得DA ,DC ,DP 两两互相垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则A (8,0,0),B (8,12,0),C (0,6,0),P (0,0,8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ,设点F 坐标为(8,t,0),则CF →＝(8,t －6,0),DB →＝(8,12,0),由CF →·DB →＝0得t ＝23.又平面DPC 的法向量为m ＝(1,0,0),设平面FPC 的法向量为n ＝(x ,y ,z )．又PC →＝(0,6,－8),FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，163，0.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·FC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12,有n ＝(8,12,9)．则cos 〈n ,m 〉＝n ·m |n ||m |＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知,该二面角为锐二面角,故二面角F －PC －D 的余弦值为817.5．(2017·山东卷)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小；(2)当AB＝3,AD＝2时,求二面角E－AG－C的大小．【答案】见解析【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP＝A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC＝120°,因此∠CBP＝30°.(2)方法一取EC的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC＝120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1,所以EM＝CM＝13－1＝2 3.在△BEC中,由于∠EBC＝120°,由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12,所以EC＝23,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.方法二 以B 为坐标原点,分别以BE ,BP ,BA 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3),E (2,0,0),G (1,3,3),C (－1,3,0),故AE →＝(2,0,－3),AG →＝(1,3,0),CG →＝(2,0,3),设m ＝(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2,可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3,－3,2)． 设n ＝(x 2,y 2,z 2)是平面ACG 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2,可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3,－3,－2)．所以cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.由图可得此二面角为锐二面角,故所求的角为60°.6．(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD ＝∠CBD ,AB ＝BD . (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D －AE －C 的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由题设可得△ABD ≌△CBD ,从而AD ＝CD . 又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC ＝90°. 取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO ＝AO . 又因为△ABC 是正三角形,故BO ⊥AC , 所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角． 在Rt △AOB 中,BO 2＋AO 2＝AB 2,又AB ＝BD ,所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2, 故∠BOD ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知,OA ,OB ,OD 两两垂直,以O 为坐标原点,OA →的方向为x 轴正方向,|OA →|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ,则A (1,0,0),B (0,3,0),C (－1,0,0),D (0,0,1)．由题设知,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即E 为DB 的中点,得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12,故AD →＝(－1,0,1),AC →＝(－2,0,0),AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，12.设n ＝(x ,y ,z )是平面DAE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0，可取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1.设m 是平面AEC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，同理可取m ＝(0,－1,3),则cos 〈n ,m 〉＝n·m |n||m|＝77.所以二面角D －AE －C 的余弦值为77.。
新课标立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
AED 1CB 1DAAHGFEDCB AEDBC4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACDSDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CA1NMPCBA9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
10、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .11、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．14、如图1,在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．18．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC ⊥BC ． (1) 求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2) 若AB1⊥A1C ，求线段AC 与AA1长度之比；(3) 若D 是棱CC1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB1C1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．AC111。
人教A版必修二立体几何线线垂直证明线面垂直习题
垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，1AB BC==，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．证明：CD⊥平面PAC．2.如图，在三棱锥中，平面，，点为的中点．求证：平面．3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AC ，AC⊥BC，H为PC的中点．求证：AH⊥平面PBC．HA C4.如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE．求证：AB⊥平面ADE．5.如图所示，已知P ABC-为正三棱锥，设D为PB的中点，且AD PC⊥．求证：PC⊥平面PAB．6.如图所示，已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=E 是BC的中点．证明：AE⊥平面PAD．B CAD7.如图，四面体P ABC-中，PA⊥平面ABC，1PA AB==，3BC=，2AC=．证明：BC⊥平面PAB．8.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2AB AD==2CA CB CD BD====．求证：AO⊥平面BCD．9. 如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====， 1.PC =求证：直线BG ⊥平面PAC ．10. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面,,2,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥====,,22,3ABC AC AB PA DC AE AB ⊥====．求证：DE ⊥平面PAE ．11. 如图，在三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，D 为BC 上一点，24AC AB ==，7BD CD ==．证明：AD ⊥平面PAB ．12. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ．证明：AE ⊥平面ECD ．13. 己知三棱111,ABC A B C -柱1A 点在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ︒∠=，2,AC BC ==又知11.BA AC ⊥求证：11AC A BC ⊥平面．14. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 的中点，2PB =，1PD =，45BPC ∠=︒．证明：PC ⊥平面ADE ．15. 如图，已知ABC △是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，1DC =，F 是BE 的中点，AF ⊥平面EDB ．16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，22AB =，2BC =，12AA =．证明：1A C ⊥平面11AB C ．17. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，AD CD ⊥．证明： AB ⊥平面ADF ．18. 如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，2SD =，E 为棱SB 的中点．求证：SC ⊥平面ADE ．垂直证明习题——线线垂直⇒线面垂直（教师版）1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ．【解析】证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ．又PC ⊥CD ， PA PC P =，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC ． 2. 如图，在三棱锥中，平面，，点为的中点．求证：平面．【解析】因为，点为中点，所以．因为平面，平面，所以．又因为，所以平面．（等腰三角形提供垂直）3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AC ，AC⊥BC，H为PC的中点．求证：AH⊥平面PBC．HA C【解析】等腰三角形提供垂直．4.如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE．求证：AB⊥平面ADE．【解析】（正方形提供垂直）5.如图所示，已知P ABC-为正三棱锥，设D为PB的中点，且AD PC⊥．求证：PC⊥平面PAB．【解析】正三棱锥中PC AB⊥．6.如图所示，已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=E是BC的中点．证明：AE⊥平面PAD．EB CADP【解析】有一个角是600的菱形提供垂直．7.如图，四面体P ABC-中，PA⊥平面ABC，1PA AB==，3BC=，2AC=．证明：BC⊥平面PAB．【解析】（勾股定理）8.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2AB AD==，2CA CB CD BD====．求证：AO⊥平面BCD．【解析】证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由题设知13AO CO==，AC＝2，∴AO 2+CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．（勾股定理）9. 如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====，1.PC =求证：直线BG ⊥平面PAC ．【解析】连接CG ，因为BP BA =，所以BG PA ⊥． 由已知得1522CG PA ==，112BG =，所以222BG CG BC +=，所以BG CG ⊥， 又PA CG G ⋂=，所以BG ⊥平面.PAC （勾股定理）10. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面,,2,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥====,,22,3ABC AC AB DC AE AB ⊥====．求证：DE ⊥平面PAE ．【解析】AB AC ⊥，3AB =，3AC AD DC =+=tan 3ACB AB∴==，60B ︒∴=又3AE AB ==，ABE ∴为正三角形，30DAE DAB BAE ︒∴∠=∠-∠=又2AD =，3AE =，由余弦定理可知222?·cos 1DE AD AE AD AE DAE =+-∠=，222AE DE AD ∴+=，根据勾股定理可知AE DE ⊥．又PA ABC 面⊥，PA DE ∴⊥，DE PAE ∴⊥面．（勾股定理）11. 如图，在三棱锥P ABC -中PA ⊥底面ABC ，D 为BC 上一点，24AC AB ==，7BD CD ==．证明：AD ⊥平面PAB ．【解析】证明：在ABC ∆中，24AC AB ==，7BD CD ==，2(27)41627cos 2272ABC +-∠==⨯⨯， 所以在ABD ∆中，227472273AD =+-⨯⨯⨯=，故3AD =． 因为222437AB AD BD +=+==，所以AB AD ⊥．（勾股定理）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA AD ⊥，又PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ．12. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ．证明：AE ⊥平面ECD ．【解析】证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ ． 又CD AD ⊥，1AA AD A =，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥． 因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥．又CD ED D =，所以AE ⊥平面ECD ．（直棱柱提供垂直）13. 己知三棱111,ABC A B C -柱1A 点在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ︒∠=，2,AC BC ==又知11.BA AC ⊥求证：11AC A BC ⊥平面．【解析】在三棱柱111ABC A B C -中，由BCA 90∠=︒得BC AC ⊥，因为1A D ⊥底ABC ，所以1A D BC ⊥，且1A D AC D ⋂=，所以BC ⊥面1A AC ， 又由1AC ⊂平面1A AC ，所以1BC AC ⊥， 因为11BA AC ⊥，1BA BC B ⋂=，由线面垂直的判定定理，可得1AC ⊥平面1A BC ．（射影提供垂直）14. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 的中点，2PB =，1PD =，45BPC ∠=︒．证明：PC ⊥平面ADE ．【解析】取PC 的中点F ，连接EF ，FD ，则EF AD ∥．由题知PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂面PDC ，所以面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，故AD ⊥平面PDC ，所以AD PC ⊥，在Rt CB P ∆中，2PB =，45BPC ∠=︒，则2CB =．因为1PD =，所以3BD =，1CD =，即△CDP 为等腰三角形，又F 为PC 的中点，所以DF PC ⊥．因为DF AD D ⋂=，所以PC ⊥平面ADF ，即PC ⊥平面ADE ．15. 如图，已知ABC △是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，1DC =，F是BE 的中点，AF ⊥平面EDB ．【解析】因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB又 EA 垂直于平面ABC ∴CM ⊥AE ，又 AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ，因F 是BE 的中点，EA ＝AB ，所以AF ⊥EB ．EB ，FD 是平面EDB 两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ．16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，22AB =，2BC =，12AA =．证明：1A C ⊥平面11AB C ．【解析】由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1CC BC ⊥，又因为AC BC ⊥，1AC CC C =，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥， 又因为11BC B C ，所以111B C AC ⊥， 在Rt ABC ∆中，22AB =，2BC =，AC BC ⊥，所以2AC =，又因为12AA =，所以四边形11ACC A 为正方形，所以11A C AC ⊥．因为1111B C AC C =，11B C ⊂平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，所以1A C ⊥平面11AB C ． 17. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形， AD CD ⊥．证明： AB ⊥平面ADF ．【解析】证明：因为CD AD ⊥，CD DF ⊥，AD DF D ⋂=， 所以CD ⊥平面ADF ， 因为四边形CDFE 为矩形，所以//EF CD ．又EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF平面ABCD AB =，所以//EF AB ， 又//,EF CD 所以//,CD AB又CD ⊥平面ADF ，所以AB ⊥平面ADF18. 如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC =，2SD =，E 为棱SB 的中点．求证：SC ⊥平面ADE ．【解析】取BC 的中点F ，连结EF ，AF ．如图：因为SD ⊥底面ABCD 所以SD AD ⊥，又因为AD DC ⊥且SD DC D =，所以AD ⊥平面SDC ，得AD SC ⊥．又因为CD ⊥面ASD 且//AB CD 所以AB ⊥面ASD ，在Rt ∆SAD 中2,1,3SD AD SA ===，在Rt ∆SAB 中1,2AB SB ==，F 为BC 的中点，故112AE SB ==， 在t R SCD ∆中2,2,6SD CD SC ===，所以162EF SC ==， 在ABD ∆中，1,2AB AD BD ===，故45ABD ∠=，在CBD ∆中，2BD BC ==，故90DBC ∠=，在ABF ∆中，21,,1352AB BF ABF ==∠= ，由余弦定理知10AF =， 在AEF ∆中，1AE =，6EF =，10AF =满足勾股定理所以AE EF ⊥，从而AE SC ⊥．所以SC ⊥平面ADE ．。
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
立体几何证明题精选
立体几何证明题精选1.在多面体中，矩形ABB1A1和ACC1A1，AC垂直于BC。
证明BC垂直于平面ACC1A1，同时在线XXX上存在一点M，使得DE与平面A1MC平行。
2.在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PC，AC，AB 的中点。
已知PA垂直于AC，PA=6，BC=8，DF=5.证明PA 平行于平面DEF，同时平面BDE垂直于平面ABC。
3.在四棱锥P-ABCD中，AP垂直于平面PCD，AD平行于BC，AB和BC分别为线段AD和PC的中点。
证明AP平行于平面BEF，同时BE垂直于平面PAC。
4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BA=BD=BC=1，AD=2，PA=PD=√5，E和F分别是棱AD和PC的中点。
证明EF平行于平面PAB，同时平面PBC垂直于平面ABCD。
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB垂直于BC，AA1=AC=2，BC=1，E和F分别是A1C1和BC的中点。
证明平面ABE垂直于平面B1BCC1，C1F平行于平面ABE，同时求三棱锥E-ABC的体积。
6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA垂直于平面ABCD，E为PD的中点。
证明PB平行于平面AEC，同时若AP=1，AD=3，则三棱锥P-ABD的体积为2/3，求A到平面PBC的距离。
7.在四棱锥中，平面ACD和平面ABD的交线为直线L，平面ABC和平面ACD的交线为直线M，平面ABC和平面ABD的交线为直线N，P为直线L上一点，Q为直线M上一点，R为直线N上一点，且PQR平行于平面ABCD，证明PR 平行于直线BD，同时求四面体PQRD的体积。
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1为正方形，O为BD的中点，E为棱AA1上任意一点。
证明BD垂直于EC1，同时若AB=2，AE=2，OE垂直于EC1，则AA1的长度为2√2.。
立体几何专题
立体几何专题1. (北京文) (18) (本小题 14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD⊥平面 ABCD ， PA⊥ PD ， PA=PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点.( Ⅰ ) 求证： PE ⊥BC ； (Ⅱ)求证：平面 PAB ⊥平面 PCD ； (Ⅲ) 求证： EF∥平面 PCD.2. (北京理) (16) (本小题 14 分)如图， 在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中， CC 1 」平面 ABC ， D ， E ， F ， G 分别为 AA 1，AC ， A 1C 1，BB 1 的中点， AB=BC= 5， AC= AA 1 =2．( Ⅰ ) 求证： AC⊥平面 BEF ； ( Ⅱ ) 求二面角B-CD-C 1 的余弦值； (Ⅲ) 证明： 直线 FG 与平面 BCD 相交．3. (江苏) (15) (本小题满分 14 分)在平行六面体ABCD 一 A B C D 中，AA = AB, AB 」B C ．求证： (1) AB∥平面A B C； (2) 平面ABB A 」平面A BC．4. (浙江) (19) (本题满分 15 分)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A， B1B， C1C均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2．(Ⅰ)证明：AB1 ⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1第 2 页共 10 页5. (天津文) (17)(本小题满分 13 分)如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱AB 的中点， AB=2， AD= 2 3 ，∠BAD=90°．( Ⅰ )求证：AD⊥BC；( Ⅱ ) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(Ⅲ)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．6. (天津理) (17)(本小题满分 13 分)如图，AD∥BC 且 AD=2BC，AD 」CD , EG∥AD且 EG=AD，CD∥FG 且 CD=2FG，DG 」平面ABCD， DA=DC=DG=2.(I)若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：MN∥平面CDE；(II)求二面角E BC F 的正弦值；(III)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为60°，求线段 DP 的长.7. (全国卷一文)(18)(12 分)如图， 在平行四边形 ABCM 中， AB = AC = 3， ∠ACM = 90， 以 AC 为折痕 将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA． (1)证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；(2) Q 为线段 AD 上一点， P 在线段 BC 上， 且 BP = DQ = DA ， 求三棱锥3Q ABP 的体积．8. (全国卷一理)(18)(12 分)如图， 四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的中点， 以 DF 为折 痕把 △DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF 」BF . (1)证明：平面 PEF 」平面 ABFD ； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .29. (全国卷二文)( 19) (12 分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O为AC 的中点．(1)证明：PO 」平面ABC；(2)若点M 在棱 BC 上，且MC = 2MB，求点C 到平面POM 的距离．10. (全国卷二理)(20)(12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO 」平面ABC；(2) 若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30，求PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．POA CMB11. (全国卷三文)(19)(12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM 上是否存在点 P ，使得MC∥平面PBD ？说明理由．12. (全国卷三理)(19)(12分)如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．(1)证明：平面 AMD⊥平面BMC；(2) 当三棱锥M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面MCD所成二面角的正弦值．13． (12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，1AB = BC = AD, 三BAD = 三ABC = 90o , E 是 PD 的中点.2(1) 证明：直线CE/ / 平面 PAB(2) 点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为45o ，求二面角 M-AB-D 的余弦值14． (12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD，且三BAP = 三CDP = 90(1)证明：平面 PAB⊥平面PAD；(2)若 PA=PD=AB=DC, 三APD = 90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.15. (12 分)如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD= ∠CBD，AB=BD．(1) 证明：平面ACD⊥平面 ABC；(2) 过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –AE –C 的余弦值．16．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面 ABCD，点 M在线段 PB 上， PD//平面 MAC， PA=PD= 6， AB=4．(I)求证： M 为 PB 的中点；(II)求二面角 B-PD-A 的大小；(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．17．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，三BAC = 90o .点 D， E， N 分别为棱PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4， AB=2.(Ⅰ)求证： MN∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角 C-EM-N 的正弦值；7(Ⅲ) 已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH21的长.18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形为旋转轴旋转得到的，是的中点.(Ⅰ)设是(Ⅱ)当上的一点，且，求的大小；，，求二面角的大小.(及其内部) 以边所在直线19． (本题满分 15 分)如图，已知四棱 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，D⊥AD， PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD 的中点.(Ⅰ)证明：CE∥平面PAB；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.。
第一讲-立体几何证明题
ABCDP EF 第一讲：立体几何证明题1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明： PA ∥平面EDB ；(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；(III) 求三棱锥DEF P -的体积．2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C EBF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;ABCDHPABCDEFABCDEFG5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==.(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ；（3）求三棱锥C-BGF 的体积。
7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
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立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；，⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】④，2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．!对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案C…解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．考点2：共点、共线、共面问题例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是【解析】①在A中易证PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P、Q、R、S四点共面．<③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P、Q、R、S四点不共面．④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．(【答案】D2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A3.下面三条直线一定共面的是()A．a、b、c两两平行B．a、b、c两两相交,C．a∥b，c与a、b均相交D．a、b、c两两垂直答案 C4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点． 【解析】 设α∩β＝a ，β∩γ＝b ，γ∩α＝c ，由a ⊂β，b ⊂β，则a ∩b ＝O ，如图(1)， 或a ∥b ，如图(2)，若a ∩b ＝O ，/O ∈a ，a ⊂α，则O ∈α，O ∈b ，b ⊂γ，则O ∈γ， 又γ∩α＝c ，因此O ∈c ；若a ∥b ，a ⊄γ，b ⊂γ，则a ∥γ，又a ⊂α，α∩γ＝c ，则a ∥c . 因此三条交线相交于一点或互相平行．5.如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.(1)求证：三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．(2)若在本题中，AE EB ＝CF FB ＝2，AH HD ＝CGGD ＝3，其他条件不变．求证：EH 、FG 、BD 三线共点． 【解析】 (1)∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，~∴由中位线定理可知，EH 綊12BD . 又∵CF CB ＝CG CD ＝23，∴在△CBD 中，FG ∥BD ，且FG ＝23BD . ∴由公理4知，EH ∥FG ，且EH <FG .∴四边形EFGH 是梯形，EH 、FG 为上、下两底． ∴两腰EF 、GH 所在直线必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理可得P ∈平面ADC . …∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线上． 又∵面ABC ∩面ADC ＝AC ， ∴P ∈直线AC .故EF 、GH 、AC 三直线交于一点． (2)∵AE EB ＝CFFB ＝2， ∴EF ∥AC .又AHHD＝CGGD＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EF>HG.∴四边形EFGH为梯形．#设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD.∴P在两平面的交线BD上．∴EH、FG、BD三线共点．考点3：异面直线的夹角1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求BD1与CE所成角的余弦值．%【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的角，设AB＝1，CE＝52，ME＝12BD1＝32，CM2＝CD2＋DM2＝32.在△MEC中，cos∠MEC＝CE2＋ME2－CM22CE·ME＝1515，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为1515.2.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是______．答案53.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()·答案C解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝5＋2－125·2＝31010，选C.4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝2a2＋a2＝5a，AE＝2a2＋2a2＋a2＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF22AE·EF＝9a2＋4a2－5a22×3a×2a＝23.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是23.【答案】2 3考点4：直线与平面平行的判定与性质1.下列命题中正确的是________．>①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．答案⑤⑥解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．#2.给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．答案1—解析命题①错，需说明这条直线在平面外．命题②错，需说明这条直线在平面外．命题③正确，由线面平行的判定定理可知．命题④错，需说明另一条直线在平面外．3.已知不重合的直线a，b和平面α，①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；~④若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α或b ⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④解析 ①若a ∥α，b ⊂α，则a ，b 平行或异面；②若a ∥α，b ∥α，则a ，b平行、相交、异面都有可能；③若a ∥b ，b ⊂α，a ∥α或a ⊂α.4.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .【证明】 方法一 如图所示． 作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N ，！连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD . ∴PM AB ＝QN DC .∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形． ∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 、方法二 如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK . ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQBQ .又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK ，∴AP PE ＝AQQK ，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三 如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM .—∴PM ∥平面BCE .又∵平面ABEF ∩平面BCE ＝BE ， ∴PM ∥BE ，∴AP PE ＝AMMB .又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ . ∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB . ∴MQ ∥AD .又AD ∥BC ，∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE .又PM ∩MQ ＝M ， ∴平面PMQ ∥平面BCE .又PQ ⊂平面PMQ ，;∴PQ ∥平面BCE .5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．<1>求证：MN ∥平面CDEF ； <2>求多面体A —CDEF 的体积．解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2， DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ， ?∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2. ∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.6.若P 为异面直线a ，b 外一点，则过P 且与a ，b 均平行的平面 A ．不存在 B ．有且只有一个 C ．可以有两个 D ．有无数多个答案 B%7.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .【证明】 方法一 如右图，作ME ∥BC ，交BB 1于E ；作NF ∥AD ，交AB 于F ，连接EF ，则EF ⊂平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.…∵MEBC＝B1MB1C，NFAD＝BNBD，∴MEBC＝BNBD＝NFAD，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN为平行四边形．∴NM∥EF.又∵MN⊄面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.…∵△NDC∽△NBP，∴DNNB＝CNNP.又CM＝DN，B1C＝BD，CMMB1＝DNNB＝CNNP，∴MN∥B1P.∵B1P⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法三如右图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.，∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥DC∥AB.∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.8.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．—(1)求证：PA ∥平面EFG ；(2)求三棱锥P —EFG 的体积．解析 (1)证明 如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点， ∴EF ∥CD .∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点， ∴GH ∥CD .∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面． 、∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH . ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥CG . 又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD . ∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.9.如图所示，a ，b 是异面直线，A 、C 与B 、D 分别是a ，b 上的两点，直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，AB ∩α＝M ，CD ∩α＝N ，求证：若AM ＝BM ，则CN ＝DN .<【证明】 连接AD 交平面α于E 点，并连接ME ，NE . ∵b ∥α，ME ⊂平面ABD ，平面α∩面ABD ＝ME ，∴ME∥BD.又在△ABD中AM＝MB，∴AE＝ED.即E是AD的中点．又a∥α，EN⊂平面ACD，平面α∩面ADC＝EN，∴EN∥AC，而E是AD的中点．∴N必是CD的中点，∴CN＝DN.@10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.【解析】连接B1C交BC1于点F，则F为B1C中点．∵AB1∥平面C1EB，AB1⊂平面AB1C，且平面C1EB∩平面AB1C＝EF.∴AB1∥EF，∴E为AC中点．∴AE∶EC＝1∶1.|【答案】1∶1考点5：面面平行的判定及性质1.设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β答案B解析因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，应选B.2.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：①PR与BQ是异面直线；~②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR∥平面D1AC；④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)答案 ③④ 解析 由于PR 是△A 1BC 1的中位线，所以PR ∥BQ ，故①不正确；由于RQ ∥A 1C 1，而A 1C 1不垂直于面BCC 1B 1，所以②不正确；由于PR ∥BC 1∥D 1A ，PQ ∥A 1B ∥D 1C ，所以③正确；由于△A 1BC 1是边长为2的正三角形，所以④正确．故填③④.3.已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心．<1>求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；：<2>求S △G 1G 2G 3∶S △ABC .【解析】 (1)如图，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F .连接DE 、EF 、FD .则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3.∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC .又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2，∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .`(2)由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3.∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.4.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；?③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题为________．答案 ③解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m .②中l 与m 也可能异面． ③中 ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l∥n，则m∥n，正确．5.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．·求证：平面AMN∥平面EFDB.【证明】连接MF，∵M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF A1D1.又A1D1AD，∴MF AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB，,∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB.又AM、AN⊂平面ANM，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明方法一如图(1)所示，连接B1D1.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.>又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，）∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.）7.如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β，点E 、F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD .求证：EF ∥β.【证明】 ①当AB ，CD 在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC ＝AC ，β∩平面ABDC ＝BD ，∴AC ∥BD .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD .又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥β.;②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β＝DH ，且DH ＝AC ，∵α∥β，α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH .∴四边形ACDH 是平行四边形．在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.|8.已知：如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1的值等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1； (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC 的值．【解析】 (1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1. 由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1.；又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1.∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD . 【又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.考点6：线线、线面垂直1.设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b答案 C|解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B 错误；如图(1)，设OA ∥a ，OB ∥b ，直线OA 、OB 确定的平面分别交α、β于AC 、BC ，则OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，所以四边形OACB 为矩形，∠ACB 为二面角α－l －β的平面角，所以α⊥β，C 正确；如图(2)，直线a 、b 在平面α内的射影分别为m 、n ，显然m ⊥n ，但a 、b 不垂直，所以D 错误，故选C.2.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B 3.若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α ② ⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αm ⊥α⇒m ∥n$③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析①②③正确，④错误．4.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【证明】(1)∵PA⊥底面ABCD，!∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC.故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.[易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.5.设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若l⊥α，α⊥β，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案B解析A项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l⊂β，D项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．、6.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题中真命题是A．若b⊂α，c∥α，则b∥cB．若b⊂α，b∥c，则c∥αC．若c∥α，c⊥β，则α⊥βD．若c∥α，α⊥β，则c⊥β答案C解析如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B 错；|如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.7. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.证明连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x.∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.;∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.8.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．<1>证明：BD⊥EC1；<2>如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．【解析】(1)如图，连接AC，A 1C1，AC与BD相交于点O.`由底面是正方形知，BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，!A1C1＝2 2.故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2.因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21.即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝3 2.所以AA1的长为3 2.考点7：面面垂直、1.△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.【证明】①取EC的中点F，连接DF.∵BD ∥CE ，∴DB ⊥BA .又EC ⊥BC ，在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，<∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，∴DE ＝DA .②取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC .∴MN ∥BD ，∴N 点在平面BDM 内．∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA .∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .③∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ，】∴平面DEA ⊥平面ECA .2.已知平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面⊥平面PBC ，E 为垂足．①求证：PA ⊥平面ABC ；②当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．【证明】 ①在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F .平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ，∴DF ⊥PA .作DG ⊥AB 于G ，*同理可证：DG ⊥PA .DG 、DF 都在平面ABC 内，∴PA ⊥平面ABC .②连接BE 并延长交PC 于H ，∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH .又已知AE 是平面PBC 的垂线，PC ⊂平面PBC ，∴PC ⊥AE .又BH ∩AE ＝E ，∴PC ⊥平面ABE .又AB ⊂平面ABE ，∴PC ⊥AB . ?∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB .又PC ∩PA ＝P ，∴AB ⊥平面PAC .又AC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥AC .即△ABC 是直角三角形．3.如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件吗请你叙述判断理由．(【证明】 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，且交线为BC ，∴由面面垂直的性质定理可知AD ⊥侧面BB 1C 1C .又∵CC 1⊂侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)方法一 取BC 1的中点E ，连接DE 、ME .在△BCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点．∴DE 綊12CC 1.又AA 1綊CC 1，∴DE 綊12AA 1.∵M 是AA 1的中点(由AM ＝MA 1知)，∴DE 綊AM .>∴AMED 是平行四边形，∴AD 綊ME .由(1)知AD ⊥面BB 1C 1C ，∴ME ⊥侧面BB 1C 1C .又∵ME ⊂面BMC 1，∴面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C .方法二 延长B 1A 1与BM 交于N (在侧面AA 1B 1B 中)，连接C 1N .∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1.又∵AB ＝AC ，由棱柱定义知△ABC ≌△A 1B 1C 1.∴AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1.∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1.}在△B 1C 1N 中，由平面几何定理知：∠NC 1B 1＝90°，即C 1N ⊥B 1C 1.又∵侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1，交线为B 1C 1，∴NC 1⊥侧面BB 1C 1C .又∵NC 1⊂面BNC 1，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明．%下面仅证明必要性(即由截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C 推出AM ＝MA 1，实质是证明M是AA 1的中点)，过M 作ME 1⊥BC 1于E 1.∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC 1.∴ME 1⊥面BB 1C 1C .又由(1)知AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∵垂直于同一个平面的两条直线平行，∴AD ∥ME 1，∴M 、E 1、D 、A 四点共面．又∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，面AME 1D ∩面BB 1C 1C ＝DE 1，&∴由线面平行的性质定理可知AM ∥DE 1.又AD ∥ME 1，∴四边形AME 1D 是平行四边形．∴AD ＝ME 1，DE 1綊AM .又∵AM ∥CC 1，∴DE 1∥CC 1.又∵D 是BC 的中点，∴E 1是BC 1的中点．∴DE 1＝12CC 1＝12AA 1.∴AM ＝12AA 1，∴MA ＝MA 1.·∴AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1CC 1的充要条件．考点8：平行与垂直的综合问题1.如图所示，在直角梯形ABEF 中，将DCEF 沿CD 折起使∠FDA ＝60°，得到一个空间几何体． (1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)求证：AF ⊥平面ABCD ；(3)求三棱锥E —BCD 的体积．【解析】 (1)由已知条件，可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变．'又因为BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，所以BC ∥平面ADF .同理CE ∥平面ADF .又因为BC ∩CE ＝C ，BC ，CE ⊂平面BCE ，所以平面BCE ∥平面ADF .所以BE ∥平面ADF .(2)由于∠FDA ＝60°，FD ＝2，AD ＝1，所以AF 2＝FD 2＋AD 2－2×FD ×AD ×cos FDA ＝4＋1－2×2×1×12＝3.即AF ＝ 3.所以AF 2＋AD 2＝FD 2.所以AF ⊥AD .又因为DC ⊥FD ，DC ⊥AD ，AD ∩FD ＝D ，所以DC ⊥平面ADF .又因为AF ⊂平面ADF ，所以DC ⊥AF .因为AD ∩DC ＝D ，AD ，DC ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD .(3)因为DC ⊥EC ，DC ⊥BC ，EC ，BC ⊂平面EBC ，EC ∩BC ＝C ，所以DC ⊥平面EBC .又因为DF ∥EC ，AD ∥BC ，∠FDA ＝60°，所以∠ECB ＝60°.又因为EC ＝1，BC ＝1，所以S △ECB ＝12×1×1×32＝34.所以V E －BCD ＝V D －EBC ＝13×DC ×S △ECB ＝13×1×34＝312.2.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.<1>求证：DE ∥平面A 1CB ；<2>求证：A 1F ⊥BE ；<3>线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ 说明理由．【解析】 (1)因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE .所以A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，连接PQ ，QE ，PD ，则PQ ∥BC .因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP .由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.3.如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分别为PC、BD的中点．<1>证明：EF∥平面PAD；<2>证明：平面PDC⊥平面PAD；<3>求四棱锥P—ABCD的体积．解析(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF∥AP，∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(3)取AD的中点为O.连接PO.∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，∴四棱锥P—ABCD的体积V＝13PO·AB·AD＝23.。