6.几种离散型变量的分布及其应用

P( X ) 1
x 0
n
n次Bernoulli试验中出现X次阳性的概率：
P( x) C (1 )
x n x
n x
n! x n x (1 ) x !(n x)!
X＝0,1,2,…,n
二项分布的概率公式
如果一个事件 A ，在 n 次独立试验中，每次试验都具 有概率π ，那么，这一事件A将在n次试验中出现x次 的概率为：
例：对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部－壶腹 部吻合术后，观察其受孕情况，发现有7人受孕， 请估计该吻合术妇女受孕率的95％可信区间。
未孕率的95％CI：
注意：X>n/2时应以n-X查表 此例：n=13， n- x=6 查表得95%CI为：19%～75%。
25%~81%
(二)正态近似法：
应用条件：当n较大、 np及n(1−p)均≥5
[ (1 )]n [0.7 0.3]10
[0.7 0.3]10
0 1 2 3 C10 (0.7)0 (0.3)10 C10 (0.7)1 (0.3)9 C10 (0.7)2 (0.3)8 C10 (0.7) 3 (0.3) 7 4 5 6 7 C10 (0.7)4 (0.3)6 C10 (0.7)5 (0.3)5 C10 (0.7)6 (0.3)4 C10 (0.7)7 (0.3) 3 8 9 10 C10 (0.7)8 (0.3)2 C10 (0.7)9 (0.3)1 C10 (0.7)10 (0.3)0
P( x) C (1 )
x n x
n x
,( x 1, 2, 3......n)
n! C 式中： x !( n x )!
x n
称二项系数。
一、二项分布的适用条件和性质
（一）二项分布的适用条件：
即分别发生两种结果的概率之和恒等于1。
1. 各观察单位只能具有互相对立的一种结果，属于二项分类资料；
1705)而命名，1713年出版
《猜度术》，给出《伯努利数》、
《伯努利大数定律》。
随机变量(random variable)：指取值不
能事先确定的观察结果，通常简称为变量。
连续型变量：在一定区间内变量取值为无限个，或数
值无法一一列举。 如：身高、体重、血清转氨酶测定结果
离散型变量：在一定区间内变量取值为有限个，或数
n n! C x x !(n x)!
x n
3 3! 3 2 1 C 3 2 2!(3 2)! 2 11
2 3
10 10! 10 9 8 7 6 5! C 252 5 5!(10 5)! 5! (5 4 3 2 1)
事件
成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。
Bernoulli试验序列 n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）：
(1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变， 均为 π 。
二项分布的图形，取决于两个方面，其一为事
件发生的概率π ，其二为样本含量n。
当π =1- π =1/2时，二项分布的图形是对称的；
当π <1/2时，二项分布的图形呈正偏态；
当π >1/2时，二项分布的图形呈负偏态；
当π与1- π不变时，即使π ≠1- π ，但随着n的增大，二
项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。
B(n,π) →N(nπ, nπ(1-π)) 样本率 → N(π,π(1-π)/ n) → N(p, p(1-p)/ n) 总体率的CI: p±1.96.Sp
p±1.96.sp
p 1.96
p(1 p) / n
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性率为8.81%， 求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
0.4
0.4
P(X)
P(X)
0.3
0.3 0.2 0.1
0.2
0.1
0
0 0 1
0
1
2
3
4
5 X
图A n=5,π =0.5
2
3
4
5 X
图B n=5, π =0.3
P(X)
0.4
P(X)
0.2
0.3 0.2 0.1 0 0 1
0.1
0
图C n=5,π =0.7
2
3
4
5 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X
数为nπ次，这一结果较为符合人们的直观想法。如
果，生男孩这一事件的概率是1/2，则100个新生儿
中可期望有nπ =100×1/2=50个是男孩。
当用率表示时，µ＝π
（二）二项分布的性质
二项分布的方差：
n (1 )
2
二项分布的标准差：
n (1 )
标准差表示x取值的离散度或变异的大小。
值可以一一列举出来。 如：出生人数、死亡人数、有效人数
随机变量
概率分布
连续型
离散型
连续型分布 (u、t、F、χ2)
离散型分布(二项分布、poisson)
本讲的内容
二项分布
概念、性质、应用
泊松分布 概念、性质、应用
复习中学数学概念
①组合（ Combination ） : 从个 n 元素中抽取 x 个元素 组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为
抓中三个黑球的概率： P(3)=0.5×0.5×0.5=0.12 5
抓中两黑一白的概率： P(2)=3×0.125=0.375
定理：在几个互不相容的事件 中，任一事件发生的概率等于 这几个事件的概率之和。
表 3-4 3 只小白鼠各种试验结果及其发生概率（π =0.2，n=3） 白鼠存亡组合方式 排列方式 每种组合的概率 每种排列的概率 生存数 死亡数 P( X ) Cnx X (1 ) n X 甲 乙 丙 （X） （n-X） 3 0 0.008 生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008 生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032 2 1 0.096 生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032 生 死 死 0.8×0.2×0.8=0.128 1 2 0384 死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128 0 3 0.512 死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512
5 10
[n! 为的阶乘 ,n!= n*(n-1)……*2*1, 0!=1]
②牛顿二项展开式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b
3 3 2 2
3
(a b)
n
n
? ? ? ? .......... ...
0 n 0 n n n 1 1 n 1 n
从阳性率为π 的总体中随机抽取n个个体，则 (1)最多有k例阳性的概率 P(x≤k)=P(0) + P(1) +……+ P(k) (2)最少有k例阳性的概率 P(x≥k)=P(k) + P(k+1) +……+ P(n) =1- P(x≤k-1) X=0,1,2,…,k,…,n
3.二项分布的图形B(n,π)
sp
p(1 p) n
二项分布的均数和标准差用绝对数表示：
x n x n 1 二项分布的均数和标准差用相对数表示：
p p
sp
1
n p 1 p n
（二）二项分布的性质
2.二项分布的累计概率 常用的有左侧累计和右侧累计2种方法。
二项分布(binomial distribution) ：指在只会产生
两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立
重复试验(Bernoulli试验)中，当每次试验的“阳性”
概率保持不变时，出现阳性的次数X＝0，1，2,…,n
的一种概率分布。
X~B(n,π)
定理：几个相互独立事件 同时发生的概率等于各独 立事件的概率之积。
2. 已知发生某一结果的概率为 π，其对立结果的概率则为1-π 。
实际工作中要求π是从大量观察中获得的比较稳定的数值；
3. n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结
果不会影响到其它观察单位的结果。
（二）二项分布的性质
1.二项分布的均数和标准差 二项分布的平均数：μ=nπ
意义：做n次独立试验，某事件平均出现的次
各种可能发生的结果对应的概率相当于展开后的各项数 值，即：
[ (1 )]n n n n 1 (1 ) n (1 )
n 1
n !/[ x !( n x )!]
n x
(1 )
x n
(1 )
前例：π =3 0.2，13 π = 0.8 2 ，n 1 = 3 [0.2 0.8] (0.2) 3(0.2) (0.8) 3(0.2)1(0.8)2 (0.8)3
s p p(1 p) / n 0.0881(1 0.0881) / 329 0.0156 1.56%
95%CI：8.81±1.96×1.56；即5.75%～11.87%。

（二） 样本率和总体率的比较 （1）直接计算概率法（当π偏离0.5较远时） 例1 某医院用甲药治疗某病 ，其治愈率为 70% ，今用乙药治疗该病 10 人，治愈 9 人，问乙药疗 效是否优于甲药？ 已知： π =0.7，1- π =0.3，假设两药疗效无 差别，则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：