8 传递函数矩阵的零极点
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m %调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(t)(t)=?0.39120.012340.0220H(t)(t)+0.033440.012340.0008960u1(t)u2(t) y1(t)y2(t)=11H(t)(t)+00u1(t)u2(t)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
关于零点和极点的讨论
关于零点和极点的讨论
一、传递函数中的零点和极点的物理意义：
零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。
二、每一个极点之处，增益衰减-3db,并移相-45度。
极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反；每一个零点之处，增益增加3db,并移相45度。
零点之后，每十倍频，增益增加20db。
闭环增益A0：a/1+ab=1/b(当a很大时），其中a为开环增益，b为反馈因子，可以理解为反馈
量和输出量的比值，当开环增益趋近于无穷大时，闭环增益就是反馈因子的倒数。
环路增益：T=a*b
三、对运放来说：闭环增益（1/b)的传递函数的零点是环路增益(ab) 传递函数的极点；闭环增益的传递函数的极点是环路增益传递函数的零点；而我们在反馈的时候，是希望在相位下降到180度之前，环路增益大于一，所以我们需要消除一个环路增益函数的极点（即闭环增益零点），以免发生震荡。
线性系统理论第一章
第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。
关于零点和极点的讨论
【转】关于零点和极点的讨论2011-08-13 19:46转载自wycswycs最终编辑hyleon023一、传递函数中的零点和极点的物理意义：零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。
举例：有时你家音响或电视机壳发出一阵阵尖厉嘶嘶声，此时聪明的你定会知道机壳螺丝松了，拧紧螺丝噪声问题就解决了。
其实，你所做的就是极点补偿，拧紧螺丝——你大大降低了系统极点频率。
当然此处系统是指机械振动系统不是电路系统，但原理一样。
抛砖引玉尔，希望更多答案。
（这一段有待讨论）二、每一个极点之处，增益衰减-3db, 并移相-45度。
极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反；每一个零点之处，增益增加3db,并移相45度。
零点之后，每十倍频，增益增加20db。
波特图如下：以下是极点图，零点图与极点图相反。
极点零点一般用于环路的稳定性分析。
附上一个零点图1、由于在CMOS里面一般栅端到地的电容较大，所以一般人们就去取这个极点，也就是说输入信号频率使得节点到地的阻抗无穷大（也就是所谓的1/RC）R为到地电阻，C为到地电容（并联产生极点）零点在CMOS中往往是由于信号通路上的电容产生的，即使得信号到地的阻抗为0，在密勒补偿中，不只是将主极点向里推，将次极点向外推（增大了电容），同时还产生了一个零点（与第三极点频率接近），只不过人们一般只关心前者。
2、经验上来讲，放大器电路中高阻抗的节点都要注意，即使这点上电容很小，都会产生一个很大的极点。
零点一般就不那么直观了，通常如果两路out of phase的信号相交就会产生零点，但这不能解释所有的零点。
3、个人觉得零点、极点只是电路分析中抽象出来的辅助方法，可以通过零极点分析电路动作特征，然而既然有抽象肯定有它的物理表现，极点从波特图上看两个作用：延时和降低增益，在反馈系统中作用就是降低反馈信号幅度以及反馈回去的时间，所以如果某个节点存在对地电容，必然会对电容充电，同时电容和前级输出电阻还存在分压，所以这个电容会产生极点！而要保持稳定，则要看在激励情况下反馈信号会不会持续增加？而这就需要分析信号在通过电路的过程中的衰减或增加和加快或者减慢，零极点这就表征了电路的这种特性，所以可能某个节点会产生极点，也可能整个系统不同信号通路相互作用产生零极点。
线性系统课件传递函数矩阵的零极点
1)
,
(
s
1)(
( s
s 1)2 2)2 (
s
1)
,
(
s
2(s 1)( s
2)(s 1) 2)2 (s
1)
分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。
几点讨论：
（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现
—{A,b,c,d}的单变量系统
定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初 始状态 x0 ，使得系统的零输入响应
y(t) ret , t 0, r为非零常数
证明： 必要性：由是g(s)的极点
s2
G(s)
s
3
0
0
1
s 2
（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一 元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极 点。“一致性”
（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相 同。
（4）若s=是G(s)的零点，则必有
y(t) ret
是g(s)的极点》》 是A的特征值
设v是与相关联的特征向量，即
（ I-A）v=0
则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v
v 1 (sI A)v
s 系统输出 y(s) c(sI A)1 x(0)
取x(0) v,
c(sI A)1v cv 1
传递函数极点与系统模型的关系
传递函数极点与系统模型的关系
传递函数是线性时不变系统的一种数学描述方式，它描述了系统对输入信号的响应。
传递函数通常表示为有理分式函数，可以写作G(s) = b0 + b1s + b2s2 + ... + bnsn / (a0 + a1s + a2s2 + ... + ans)，其中s是复数变量，代表系统的复频率。
传递函数的极点是使得分母为零的s的值，即解方程a0 + a1s + a2s2 + ... + ans = 0得到的s的值。
这些极点也决定了系统的动态特性。
根据这些极点的位置（实数、虚数或复数），可以判断系统的稳定性、响应速度、阻尼特性等。
对于离散时间系统，其传递函数通常表示为差分方程的形式，如y(k) =
b0u(k) + b1u(k-1) + b2u(k-2) + ... + bnu(k-n) / (a0u(k) + a1u(k-1) + a2u(k-2) + ... + anu(k-n))，其中u(k)表示在时刻k的输入信号，y(k)表示在时刻k的输出信号。
在这种情况下，极点是使得分母为零的z的值，即解方程a0z^n + a1z^{n-1} + a2z^{n-2} + ... + an = 0得到的z的值。
总之，传递函数的极点是系统动态特性的关键参数，它们决定了系统的稳定性、响应速度、阻尼特性等。
因此，在系统分析和设计中，分析传递函数的极点是非常重要的。
广西大学现代控制理论期末考试题库之填空题 含答案
1. 对任意传递函数00()m nj j j j j j G s b sa s ===∑∑，其物理实现存在的条件是 。
(传递函数为s 的真有理分式函数或m n ≤)2. 系统的状态方程为齐次微分方程x Ax =，若初始时刻为0，x (0)=x 0则其解为___________。
其中， _____称为系统状态转移矩阵。
(0()e ,0A x x t t t =≥；e A t )3. 对线性连续定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定，原因是___________________。
(线性系统的稳定性与初值无关，只与系统的特征根有关)4. 系统1111(,,)∑=A B C 和2222(,,)∑=A B C 是互为对偶的两个系统，若1∑使完全能控的，则2∑是__________的。
(能观)5. 能控性与能观性的概念是由__________提出的，基于能量的稳定性理论是由__________构建的。
(卡尔曼李亚普诺夫)6. 线性定常连续系统x Ax Bu =+，系统矩阵是___________，控制矩阵是__________。
(A ； B )7. 系统状态的可观测性表征的是状态可由 完全反映的能力。
(输出)8. 线性系统的状态观测器有两个输入，即_________和__________。
(原系统的输入和原系统的输出)状态空间描述包括两部分，一部分是_________，另一部分是__________。
(状态微分方程；输出方程)9. 系统状态的可控性表征的是状态可由 完全控制的能力。
(输入)10. 由系统的输入-输出的动态关系建立系统的_______________，这样的问题叫实现问题。
(状态空间描述)11. 某系统有两个平衡点，在其中一个平衡点稳定，另一个平衡点不稳定，这样的系统是否存在？__________。
(存在)12. 对线性定常系统，状态观测器的设计和状态反馈控制器的设计可以分开进行，互不影响，称为______原理。
第八章 传递函数矩阵的零极点
G(s)在处的极点 M~ ()中~i () 0的零根,i 1,2, , r G(s)在处的零点 M~ ()中~(s)i 0的零根,i 1,2, , r
只需确定无穷远处零极点的个数。
• 例：
s
1
s
1
G(s)
1
s 1
1
1
, s 1代入, G(1)
1
1 1
(s 1)2
(1 1)2
1
1
1
H ()
,
M~
(
)
2
(
1)
1
1
1
( 1)2
( 1)2
2
• 无穷远处的极点：=0，2个 • 无穷远处的零点： =0，1个
r (s)
0
0
r (s)
0
定义：G(s)的极点为M(s)中 i (s) 0 的根，i=1,2,…,r G(s)的零点为M(s)中 i (s) 0 的根，i=1,2,…,r
• 例如
s
G(s)
(s
1)2 (s 2)2
(
s
s 2)
2
Smith Mcmillan形
s
(s 2)2
使E(s)降秩的s值 使N (s)降秩的s值
而
G(s)的极点 i (s) 0的根,i 1,2, r
det r (s) 0的根 det D(s) 0的根
对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观
则
G(s)的极点 det(sI A) 0的根 G(s)的零点 使sICA B0 降秩的s值
三. 传递函数矩阵的零极点的性质
1. 关于极点
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第七章：矩阵分式描述
传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。
采用矩阵分式描述（MFD ）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。
主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成
2、矩阵分式描述的真性和严真性
3、矩阵分式描述的不可简约性
7-1 矩阵分式描述的基本概念
矩阵分式描述（MFD ）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。
MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广
右MFD ： 对p 输入，q 输出线性时不变系统。
有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵p q s N ⨯)(和多项式矩阵p p s D ⨯)(使下式成立：
称p p p q s D s N ⨯-⨯)()(1为G(s)的一个右MFD 。
左MFD ：p q L q q L p q s N s D s G ⨯⨯-⨯=)()()(1
称p q L q q L s N s D ⨯⨯-)()(1
为G(s)的一个左MFD 。
例：8.1 构造G(s)的一个右MFD ，=)(s G ⎥⎥
⎥⎦⎤++++⎢⎢⎢⎣⎡210
210
1
1
2s s s s s s
方法：先确定各列的最小公分母，)2(1+=s s d c
22s d c =
)2(3+=s d c
1
2
22)2(10)1(012210
)
2()
1(01
)
2(2)(-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥
⎥⎦⎤+++⎢⎢⎢⎣
⎡
=⎥⎥⎥⎦⎤++++++⎢⎢⎢⎣⎡
=s s s s s s s s s s s s s s s s s s s G p
p p q p q s D s N s G ⨯-⨯⨯=)()()(1
可见：⎥⎥
⎥⎦⎤
+++⎢⎢⎢⎣⎡=10)1(012)(s s s s s N ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++=2)2()(2
s s s s s D G(s)的一个左MFD 的构造，先确定各行的最小公分母。
21s d r =
22+=s d r
可类似求得。
MFD 的特性：
1、 MFD 的实质
类似于标量形式：)()()
()
()(1s d s n s d s n s g -==
分式化表示：p q L q q L p p p q p q s N s D s D s N s G ⨯⨯-⨯-⨯⨯==)()()()()(1
1 称q q L
p p s 、D s D ⨯⨯)()(为p q s G ⨯)(的分母阵，一般q q L p p s D s D ⨯⨯≠)()(
2、
MFD 的次数
规定MFD 的次数=分母矩阵行列式的次数。
3、 MFD 的非唯一性
一个p q s G ⨯)(，MFD 表达不唯一且次数也不唯一。
所有p q s G ⨯)(的MFD 中次数最小的MFD 称为最小阶MFD 。
最小阶MFD 也不唯一。
通常称最小阶MFD 为不可简约MFD ，不可简约MFD 的判据、属性见本章7.4
4、 MFD 的基本特性
对p q s G ⨯)(的MFD ，不管是右MFD ，还是左MFD 。
表征其结构特性的两个基本特性为真性严真性和不可简约性。
7-2 p q s G ⨯)(真性和严真性
真性严真性是表征其物理可实现性的一个基本特性，或者说只有真性或严真性MFD 所表征的系统才是用实际物理元件可以构造的。
1、 真性和严真性
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=)()()()(..
)()(..........)()
()(1
1111111s d s n s d s n s d s n s d s n s G qp
qp q q p
p 真性定义：对所有的p j q
i ,........1,.....1==p q s G ⨯)(元
满足)(deg )(deg s d s n ij ij ≤
严真性定义：对所有的p j q
i ,........1,.....1==p q s G ⨯)(元
满足)(deg )(deg s d s n ij ij 〈
另一种定义： 真性：)()(lim 0s G s G s
−−→−∞
→ （非零常阵） 严真性0)(lim −−→−∞→s
s G 2、 MFD 真性严真性
MFD 严真的充分必要条件：传递函数阵p q s G ⨯)(为严真。
MFD 真的充分必要条件：传递函数阵p q s G ⨯)(为真。
3、
真性及严真性判定
p q s G ⨯)(以MFD 形式给出时，基于定义判定真性及严真性十分不便。
MFD 的分母矩阵为既约和非既约时，给出判定方法。
分母矩阵为既约阵情形：
列既约右MFD p p p q p q s D s N s G ⨯-⨯⨯=)()()(1 p p s D ⨯)(为列既约， p p p q s D s N ⨯-⨯)()(1为真的充分必要条件：
)()(s D s N cj cj δδ≤ p j ,.......1= （cj δ表示列数）
严真的充分必要条件：
)()(s D s N cj cj δδ< p j ,.......1=
行既约左MFD p q L q q L p q s N s D s G ⨯⨯-⨯=)()()(1
q q L s D ⨯)(为行既约，
p q L q q L s N s D ⨯⨯-)()(1
为真充要条件：
)()(s D s N L ri L ri δδ≤ （q i ,.......1=）
p q L q q L s N s D ⨯⨯-)()(1
为严真充要条件：
)()(s D s N L ri L ri δδ< （q i ,.......1=）
分母矩阵为非既约阵情形：（见448）
7-3 从非真矩阵分式导出严真矩阵分式
基本结论
右MFD 除法定理：对非真右MFD p p p q p q s D s N s G ⨯-⨯⨯=)()()(1
存在唯一)(s Q 、)(s R 使 )()()()()(11s D s R s Q s D s N p p p q -⨯-⨯+= 且)()(1s D s R -是严真右MFD 。
进一步有：)(s D 列既约时，则)(s D 和)(s R 在列次上有如下关系：
)()(s R s D cj cj δδ< p j ,.......1=
左MFD 除法定理：（见450）
确定严真MFD 算法：（见451，例6）
7-4 不可简约矩阵分式描述
最简结构也称最小阶MFD ，对系统分析与综合多以此为基础。
不可简约MFD 定义和属性：
不可简约MFD p q s G ⨯)(矩阵不可简约MFD 定义：称p q s G ⨯)(的一个
右MFD p p p q s D s N ⨯-⨯)()(1为不可简约或右不可简约，
当且仅当p p s D ⨯)(，p q s N ⨯)(右互质。
p q s G ⨯)(的右互质、左互质统称不可简约MFD
不可简约MFD 性质
1、 不可简约MFD 不唯一
2、
3、
见例8。