一次函数经典例题

类型一：正比例函数与一次函数定义1、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数，∴∴ m=-2.∴当m=-2 时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数．举一反三：【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）.A．m=2 或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1【答案】：考虑到x 的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C【变式2】已知y-3 与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．解析：（1）由于y-3 与x 成正比例，所以设y-3=kx．把x=2，y=7 代入y-3=kx 中，得7-3 ＝2k，∴ k ＝2．∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．（ 2 ）当x=4 时，y=2×4+3=11．（ 3 ）当y ＝ 4 时，4=2x+3 ，∴x= .类型二：待定系数法求函数解析式、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式．思路点拨：图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b 即可．解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（ 2 ，-1 ），∴ -l=2×2+b．∴ b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

举一反三：【变式 1 】已知弹簧的长度y （cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．由题意可知，当x=0 时，y=6 ；当x=4 时，y=7.2. 把它们代入y=kx+b 中得∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6．【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k，b 的值．解析：∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称，∴两直线上的点关于y 轴对称．又∵直线y＝2x+1 与x 轴、y 轴的交点分别为A（- ，0），B（0，1）, ∴A（- ，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为A′（，0），B′（0，1）．∴直线y=kx+b 必经过点A′（，0），B′（0，1）．把A′（，0 ），B′（0， 1 ）代入y=kx+b 中得∴k＝-2，b＝1．所以（1）点M（0，1）（2）k=-2,b=1【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过 A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b．由题意可知，∴过 A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4 时，y=4-2=2．∴点 C （ 4 ，2）在直线y=x-2 上．∴三点 A （ 3 ，1）， B （0 ，-2 ）， C （4， 2 ）在同一条直线上．类型三：函数图象的应用、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 s(km)和行驶时间 t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)_____________________ 汽车共行驶了 km ；(2)_____________________________ 汽车在行驶途中停留了 h ；(3)________________________________________ 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 __________________________________________________ km/h ；(4)_____________________________________________ 汽车自出发后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是 ___________________________________________ .思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程 中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点 就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了 120×2=240(千米)，整个过程用时4.5 小时，平均速度为 240÷4.5= (千米/时)，行驶途中 1.5时—2 时之间汽车没有行驶.解析：(1)240； (2)0.5； (3) ； (4)从目的地返回出发点.总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注 意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的 距离，横坐标表示汽车的行驶时间.举一反三：【变式1】图中，射线 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程 s 与时 间 t 的函数关系，求它们行进的速度关系。

解析：比较相同时间内，路程 s 的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行 线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快【变式2】( 2011 四川内江)小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点 A ，再走 下坡路到达点 B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。

放学后，如果 他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14 分钟【答案】:D 分析：由图象可知，上坡速度为 80 米/分；下坡速度为 200 米 / 分；走平路速 度为 100 米/分。

原路返回，走平路需要 8分钟，上坡路需要 10分钟，下坡路需要 2 分钟， 一共20分钟。

【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时, 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程， 其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间 x （分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：（ 1 ）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？ （ 2 ）已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升 .①求排水时 y 与 x 之间的关系式；②如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 分析：依题意解读图象可知：从 0—4 分钟在进水，4—15 分钟在清洗，此时，洗衣机内 有水 40 升，15 分钟后开始放水.解：（ 1 ）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是 40 升；（2 ）①排水时 y 与 x 之间的关系式为： y=40-19（x-15） 即 y=-19x+325②如果排水时间为 2 分钟，则 x-15=2 即 x=17 ，此时， y=40-19×2=2. 所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为 2 升 .类型四：一次函数的性质己知一次函数y=kx 十b 的图象交x 轴于点A （一6，0），交y 轴于点B ，且△AOB的面积为 12，y 随 x 的增大而增大，求 k ，b 的值．思路点拨：设函数的图象与 y 轴交于点 B （0，b ），则 OB= ,由△AOB 的面积，可求出 b ， 又由点 A 在直线上，可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值．解析：直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点 B （0，b ），点 A 在直线上，则 ①，由于 y 随 x 的增大而增大，则 k > 0, 取则 ． 总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。

举一反三：【变式1】已知关于 x 的一次函数．（1）m 为何值时，函数的图象经过原点?（2）m 为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?（3）m 为何值时，函数的图象和直线 y=－x 平行? 解得 代入①，可得4）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？解析：1）由题意，m 需满足故m=－3时，函数的图象经过原点；2）由题意得：m 需满足，故时，函数的图象经过点（0 ，－2）；3）由题意，m 需满足，故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x；4）当3－m<0 时，即m>3 时，y 随x 的增大而减小．变式 2】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．答案】：B；分析：不论k 为正还是为负，都大于0，图象应该交于x 轴上方。

故选B 类型五：一次函数综合5 、已知：如图，平面直角坐标系中，A （1，0 ），B （0，1 ），C （-1 ，0 ），过点C 的直线绕C 旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。

（ 1 ）求∠ OAB 的度数及直线AB 的解析式；（ 2 ）若△OCD 与△BDE 的面积相等，①求直线CE 的解析式；②若y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P 的坐标。

思路点拨：（1）由A，B 两点的坐标知，△AOB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD 与△BDE 的面积相等，等价于△ACE 与△AOB 面积相等，故可求 E 点坐标，从而得到CE 的解析式；因为 E 为AB中点，故P 为（0,0）时，∠APE=45°.解析：（1 ）∵A （ 1 ，0 ）， B （0 ，1 ），∴OA=OB=1，△AOB 为等腰直角三角形∴∠OAB=45°设直线AB 的解析式为：y=kx+b, 将 A （ 1 ，0 ）， B （0 ，1）代入，2）①∵解得k=-1，b=1∴直线AB 的解析式为：y=-x+1，将其代入y=-x+1，得 E 点坐标（）设直线CE为y=kx+b，将点C（-1，0），点E（）代入，解得k=b=∴直线CE 的解析式：②∵点 E 为等腰直角三角形斜边的中点∴当点P （0,0）时，∠APE=45°.总结升华：考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。

举一反三：【变式 1】在长方形ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，点P 沿边按A→B→C→D 的方向向点D 运动（但不与A，D 两点重合）。