(完整版)函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换及经典例题练习
函数图象变换1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)y=f(x+h); y=f(x)y=f(x h); y=f(x)y=f(x)+h; y=f(x)y=f(x)h.2、对称变换： y=f(x) y= f(x); y=f(x) y=f(x); y=f(x) y= f(x). y=f(x) y=f(2a x); y=f(x) y=f 1(x);3、翻折变换： （1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：y=f(x)y=f(); y=f(x)y=ωf(x).经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用例1．函数111--=x y 的图象是（ ） 答案B例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A例7．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确． 例8.函数的图象大致为（ ）例9．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如右图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.例10.函数的图象（ ）A ． 关于原点对称 B. 关于主线对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称解析 设，则=，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例11. 若方程2a ＝|a x－1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适； 当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1，即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．函数图像及图像变换练习（带答案）1. 函数)1(||>⋅=a a x x y x 的图象的基本形状是 （ ） 答案A2.方程lg x =sin x 解的个数为（ ）。
第37课 三角函数的图像(经典例题练习、附答案)
第37课 三角函数的图像◇考纲解读①会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义②了解参数 A.ω、φ对函数图像变化的影响 .◇知识梳理1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：①sin y x =图象在[0，2π]上的五个关键点坐标_______________________________； ②cos y x =图象在[0，2π]上的五个关键点坐标为______________________________； ③五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设X x ωϕ=+，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图． 3.利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅_____，周期____T =，相位_____,初相_____．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）(0,0)A ω>>可由sin y x =的图象作如下变换得到： ① 相位变换： sin y x =→sin(),y x ϕ=+将sin y x =图象上所有的点向____(0)ϕ>或向____(0)ϕ<平移____个单位。
②周期变换：sin()y x ϕ=+→sin(),y x ωϕ=+将sin()y x ϕ=+图象上所有的点横坐标__________(01)ω<<或_________(1)ω>到原来的_______倍（纵坐标保持不变），得到sin()y x ωϕ=+的图象.③振幅变换: sin()y x ωϕ=+→sin(),y A x ωϕ=+将sin()y x ωϕ=+的图象上所有的点的纵坐标）________（A ＞1）或________（0＜A ＜1）的到原来的_____倍(横坐标保持不变)，得到sin()y A x ωϕ=+的图象.4.由函数的图象求sin(),(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤：① 求A , max min2y y A -=② 求B , max min2y y B +=③ 求T . 从而可得2Tπω=.④求ϕ, 通常是利用图象得最高或最低点.如果利用平衡点求ϕ,则当平衡点图象上升时，令2,,x k k Z ωϕπ+=∈当平衡点图象下降时，令2,x k k Z ωϕππ+=+∈.◇基础训练1. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于（ ） A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 2. 用五点法作x y 2sin 2=的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ） A ．ππππ2,23,,2,0 B ．30,,,,424ππππ C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ 3．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是（ ） A ．3,1πϕω-==B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω==4. 函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6(π-和(,0)2π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ）A ．)423sin(2π+=x y B ．)42sin(2π+=x y C ．)623sin(2π+=x y D ．)62sin(2π+=x y ◇典型例题例1.（2007·天津改编）(1)画出函数π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像,(2) 试述如何由sin y x =的图象得到π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.变式:（2007·山东）要得到函数sin y x =的图像，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图像（ ） A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π3个单位D. 向左平移π6个单位例2.（2008深圳）如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋b（1）求这段时间的最大温差（2）写出这段曲线的函数解析式◇能力提升1．（2007·江苏南通）已知函数图像如右图所示，则它的解析式可以为（ ） Ａ.2sin()24y x π=-+ Ｂ.4sin()24y x π=-+Ｃ.2sin()24y x π=++ Ｄ.4sin()24y x π=++2．(2008珠海一模)已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则( ) A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=3.（2007·重庆）把函数sin(2)16y x π=+-的图像按向量(,1)6a π= 平移，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，则所得图像的函数解析式是（ ）A ．2sin(4)23y x π=+-B ．sin(4)6y x π=-C ．sin(2)6y x π=+D ．2cos(4)3y x π=+4. 要得到函数x y cos 2=的图像，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图像上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度5. 试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象.6.(2008佛山二模）函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）求()f x 在6x π=处的切线方程.第37课 三角函数的图像◇知识梳理2．①(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) ② (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3. |A|，2πω， ;x ωϕ+ ϕ．①左 右 ϕ.②伸长 缩短1ω③伸长 缩短 A.◇基础训练1. C2. B 3． C 4. A◇典型例题例1.解:(1)列表描点、连线(2) sin y x =4πsin()4y x π−−−−−−−−→=-图象向右平移个单位纵坐标不变12πsin 4y x −−−−−−−−−→=-横坐标缩小为原来的倍纵坐标不变（2）)4y x π−−−−−=-横坐标不变［规律总结］五点法作图的技巧：函数sin()(0,0)y A x j A ωω=+>>的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为4T ，于是五点横坐标依次为12132,,,44T Tx x x x x ϕω=-=+=+ ，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得1x 的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像． 变式:解:根据“左加右减”原则，备选答案D 中，函数图像向左平移π6个单位，其解析式变为cos[()]cos()sin 632y x x x πππ=--=-=，故选D ．［误区警示］本题考生容易错选A ，原因在于可能有部分考生错把题目看错为要把函数sin y x =变成cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭．例2.解： （1）由图示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）；（2）图中从6时到14时的图像是函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋b 的半个周期的图像∴ωπ221⋅＝14－6，解得ω＝8π， 由图示A ＝21（30－10）＝10，b ＝21（30＋10）＝20，这时y ＝10sin （8πx ＋φ）＋20，将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝43π 综上所求的解析式为y ＝10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6，14］◇能力提升1．Ａ. 2. D 3. B 4. C5. 解：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的6.解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A 把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6sin(=+ϕπ,所以226ππϕπ+=+k ,所以32ππϕ+=k ,因为2||πϕ<,所以3πϕ=综上所述，1)32sin(2)(++=πx x f（Ⅱ）（Ⅱ）因为()4cos(2)3f x x π'=+所以2()4cos(2)4cos 26633k f ππππ'==⨯+==-而2()2sin(2)12sin116633f ππππ=⨯++=+=从而()f x 在6x π=处的切线方程为1)2()6y x π-=--即6330x y π+--=。
函数图像变换练习题
函数图像变换练习题函数图像变换练习题函数图像变换是数学中的重要概念，它帮助我们理解函数的性质和变化规律。
通过对函数图像进行变换，我们可以观察到函数在平移、伸缩和翻转等操作后的形态变化。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对函数图像变换的理解。
1. 平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。
具体而言，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
练习题1：考虑函数f(x) = x^2，将其沿x轴方向平移3个单位，请画出平移后的函数图像。
解答：对于函数f(x) = x^2，进行水平平移3个单位后的函数可以表示为f(x-3) = (x-3)^2。
通过计算可知，平移后的函数图像与原函数相比，在x轴上整体向右平移了3个单位。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行拉伸或压缩。
具体而言，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种情况。
练习题2：考虑函数f(x) = x^2，将其在x轴方向进行压缩，使得函数图像变为原来的一半宽度，请画出压缩后的函数图像。
解答：对于函数f(x) = x^2，进行在x轴方向的压缩后的函数可以表示为f(2x) = (2x)^2。
通过计算可知，压缩后的函数图像与原函数相比，在x轴上整体变窄了一半。
3. 翻转变换翻转变换是指将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
具体而言，翻转变换可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况。
练习题3：考虑函数f(x) = x^2，将其进行水平翻转，请画出翻转后的函数图像。
解答：对于函数f(x) = x^2，进行水平翻转后的函数可以表示为f(-x) = (-x)^2。
通过计算可知，翻转后的函数图像与原函数相比，在y轴上对称翻转。
通过以上练习题，我们可以看到函数图像在不同的变换下发生了形态上的变化。
这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
在实际应用中，函数图像变换也被广泛应用于物理、工程和经济等领域。
除了上述的平移、伸缩和翻转变换，函数图像还可以进行其他的变换，如旋转和剪切等。
图象变换典型例题
图象变换典型例题一、基础过关1． 要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度4． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数5． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －16． 函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________. 7． 某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．性质（值域）典型例题一、基础过关1． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么 ( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定2． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 3． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间 是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 4． 下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5． 函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 6． 函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________． 7． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．8． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 二、能力提升9． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．310．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．性质（周期性）典型例题一、基础过关1． 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20 3． 下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin x | 4． 下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝sin x －1B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x | 5． 已知f (x )＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 6． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是_____． 7． 若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式．8． 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e－sin x .二、能力提升9． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.3210．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 11．已知周期函数f (x )是奇函数，6是f (x )的一个周期，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________. 12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．正余弦函数图像综合一、基础过关1． 已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 ( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π32． 已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )3． y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝3sin(x ＋1)B ．y ＝－3sin(x ＋1)C ．y ＝3sin(x －1)D ．y ＝－3sin(x －1) 4． 下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5． 函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 6． 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.7． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．8． 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．二、能力提升9． 右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有 的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A. 2B ．－ 2C ．1D ．－111．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．12．如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (|φ|<π2)的一个周期内的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．。
函数的图像经典例题
函数的图象一、典型例题例1 设函数2()45f x x x =-- （1）在区间[2,6]-上画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5,(,2][0,4][6,)A x f x B =≥=-∞-+∞ ，试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方。
例2（1）若把函数()y f x =的图像作平移，可以使图像上的点()1,0P 变换成点()2,2Q ，则函数()y f x =的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( )A .(1)2y f x =-+ B.(1)2y f x =--C . (1)2y f x =++D . (1)2y f x =+-（2）己知函数33(),()232x f x x x -=≠-,若(1)y f x =+的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__________（3）作出下列函数的大致图象： ①()21y x x =-+；② 21x y x -=+； ③ lg 1y x =-④ 11xy x -=-例3 (1)设函数()x f 的定义域为R ,它的图像关于直线1x =对称,且当1≥x 时()13-=x x f 则（ ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛322331A.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛312332B.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛233132C.f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛313223D.f f f (2)已知()f x 是定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增, ()f x 的图象如图所示,若[]()()0x f x f x --<,则x 的取值范围是__________________例3 已知函数()()()()1212()211xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-->-⎩，如果方程()f x a =有四个不同的实根，求实数a 的取值范围。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
(完整版)函数图像练习题
函数图像练习题 1、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文章，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是（ ）2、某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离与时间的关系的大致图象是( )3、如图，扇形OAB 动点P 从点A 出发，沿线段B0、0A 匀速运动到点A ，则0P 的长度y 与运动时间t 之间的函数图象大致是（ ）4、某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。
若用横轴表示时间t ，纵轴表示与山脚距离h ，那么反映全程h 与t 的关系的图是（ ）5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与所用时间t （秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲比乙先出发 B ．乙比甲跑的路程多C ．甲先到达终点D ．甲、乙两人的速度相同6．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．……”用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子的行程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的图象是（ ）7． 如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系？8、如图所示的曲线，哪个表示y是x 的函数（ ）y x y x y xy x9．如图所示，一枝蜡烛上细下粗，设这枝蜡烛点燃后剩下的长度为h，点燃时间为t，则能大致刻画出h与t之间函数关系的图象是（）10．柿子熟了，从树上落下来，可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况的图象是（）11．小明家距学校m千米，一天他从家上学，先以a千米／时的速度跑步，后以b千米／时的速度步行，到达学校共用n小时。
第7节 函数的图象(经典练习及答案详解)
第7节函数的图象知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝a x(a>0，且a≠1)的图象y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换(4)翻折变换1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．来，再进行变换.而言的，利用“上加下减”进行.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.(多选题)若函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A.a＞1B.0＜a＜1C.b＞0D.b＜0答案AD解析因为函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示.由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.3.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案B解析依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析 ∵f (－x )＝sin （－x ）－x cos （－x ）＋（－x ）2＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C ，只有D 满足. 5.(2021·长沙检测)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A.y ＝f (|x |)B.y ＝f (－|x |)C.y ＝|f (x )|D.y ＝－|f (x )|答案 B解析 观察函数图象可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图象，然后将y 轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).6.(2020·重庆联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________.答案 (2，8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一 作函数的图象【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟升华 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出下列函数的图象： (1)y ＝sin |x |；(2)y ＝2x －1x －1. 解 (1)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图①.(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 考点二 函数图象的辨识1.(2020·浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]的图象大致为( )答案 A解析 因为f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，又x ∈[－π，π]，所以f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C ，D 错误.且x ＝π时，y ＝πcos π＋sin π＝－π<0，知B 错误；只有A 满足. 2.(2021·重庆诊断)函数f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象大致为( )答案 A解析 根据题意，f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝x sin x ，定义域为R ，关于原点对称.有f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数y ＝f (x )为偶函数，排除B ，D.当x ∈(0，π)时，x >0，sin x >0，有f (x )>0，排除C.只有A 适合. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析 法一先画出函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.法二 由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎨⎧31－x，x ≥0，log 13（1－x ），x <0，故该函数过点(0，3)，排除A ；过点(1，1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.4.函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x ＋sin xB.f (x )＝cos xxC.f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2D.f (x )＝x cos x 答案 D解析 从图象看，y ＝f (x )应为奇函数，排除C ； 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，知f (x )＝x ＋sin x 不正确；对于B，f(x)＝cos xx ，得f′(x)＝－x sin x－cos xx2，当0<x<π2时，f′(x)<0，所以f(x)＝cos xx 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，B不正确；只有f(x)＝x cos x满足图象的特征.感悟升华 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质【例2】(多选题)(2021·滨州一模)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点.设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是()A.函数y＝f(x)是奇函数B.对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C.函数y＝f(x)的值域为[0，22]D.函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x ＜2时，点B 的轨迹为以原点为圆心，22为半径的14圆； 当2≤x ＜4时，点B 的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的14圆，如图所示； 以后依次重复，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数.由图象可知，函数f (x )为偶函数，故A 错误；因为f (x )的周期为8，所以f (x ＋8)＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x －4)，故B 正确； 由图象可知，f (x )的值域为[0，22]，故C 正确；由图象可知，f (x )在[－2，0]上单调递增，因为f (x )在[6，8]的图象和在[－2，0]的图象相同，故D 正确.故选BCD.角度2 函数图象在不等式中的应用【例3】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)(2020·北京卷)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c .(2)在同一平面直角坐标系中画出h (x )＝2x ，g (x )＝x ＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2). 又f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1， 结合图象，可得x ＜0或x ＞1.故f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.角度3 求参数的取值范围【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1)(0，1) (2)(0，1)∪(9，＋∞)解析 (1)画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1). (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（3－a ）2－4a >0，－3<a －32<0，（－3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，02＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.②⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a （x －1）(x >1)有两组不同解. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3、x 4， ∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a ＞1， ∴a >9.综上可知，0<a <1或a >9.感悟升华 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练2】(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)(2020·徽州一中期中)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.(3)(多选题)(2021·淄博模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有()A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D.函数f(x)有且仅有两个零点答案(1)[－1，＋∞)(2)(－2，－1)∪(1，2)(3)ABD解析(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).(2)∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).(3)函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.一、根据函数图象确定函数解析式【例1】(2021·长沙检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是()A.y ＝sin(e x ＋e －x )B.y ＝sin(e x －e －x )C.y ＝cos(e x －e －x )D.y ＝cos(e x ＋e －x )答案 D解析 由函数图象知，函数图象关于y 轴对称，∵y ＝sin(e x －e －x )为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确； 又－1<f (0)<0，但sin 2>0，cos 0＝1，故A ，C 不正确； 只有y ＝cos(e x ＋e －x )满足图象特征.故选D.素养升华 函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.二、由图象特征研究函数性质求参数【例2】设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.[1，4]C.[4，＋∞)D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，要使f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增， 需满足a ≥4或a ＋1≤2. 因此a ≥4或a ≤1.素养升华 1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.A级基础巩固一、选择题1.(2020·天津卷)函数y＝4xx2＋1的图象大致为()答案A解析令f(x)＝4xx2＋1，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，因此，函数为奇函数，排除C，D.当x＝1时，f(1)＝42＝2>0，排除B.故选A.2.(2021·江南十校模拟)函数f(x)＝x cos x2x＋2－x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象大致为()答案C解析根据题意，有f(－x)＝－x cos x2x＋2－x＝－f(x)，且定义域关于原点对称，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B ； 又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，x >0，cos x >0，2x >0，2－x >0，则f (x )>0，排除D ，只有C 适合.3.若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可能是( )答案 D解析 由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到.因此D 正确.4.下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x ) D.y ＝ln(2＋x )答案 B解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.5.(2021·豫北名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，则不等式f (x )>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝3－2x ，可得其图象如图，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，则不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( ) A.－12 B.－54 C.－1D.－2答案 C解析 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ln （a －1）＝0，b －a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1.故f (－3)＝5－6＝－1.7.(多选题)(2021·山东新高考模拟)对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，下列说法正确的是( )A.f (x ＋2)是偶函数B.f (x ＋2)是奇函数C.f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D.f (x )没有最小值 答案 AC解析 f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)为偶函数，A 正确，B 错误.作出f (x )的图象如图所示，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误.8.若函数y ＝f (x )的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B.y ＝f (2x －1)C.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12D.y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1答案 B解析 函数f (x )的图象先整体往右平移1个单位，得到y ＝f (x －1)的图象，再将所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝f (2x －1)的图象. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________. 答案 (3，1)解析 由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1).10.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案 －12解析 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点， 只需2a ＝－1，可得a ＝－12.11.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________. 答案 (－1，0)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0).12.已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值为________. 答案 1解析 由图象可知不等式－2<f (x ＋t )<4， 即f (3)<f (x ＋t )<f (0).又y ＝f (x )在R 上单调递减，∴0<x ＋t <3，不等式解集为(－t ，3－t ). 依题意，得t ＝1.B 级 能力提升13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2e x （x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个答案 B解析 作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2020·潍坊质检)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或－12 C.－14或12D.0或－14答案 D解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，如图所示：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y ＝x ＋a 经过点(1，1)或与曲线f (x )＝x 2(0≤x ≤1)相切于点A ，则1＝1＋a ，或方程x 2＝x ＋a 只有一个实数根.所以a ＝0或Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝0或a ＝－14.15.(多选题)(2021·日照模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，则称函数f (x )具有性质P .那么下列函数中，具有性质P 的函数为( ) A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≠0，0，x ＝0B.f (x )＝|x 2－1|C.f (x )＝x 3＋xD.f (x )＝2|x |答案 ABC解析 对于A ，在函数f (x )的图象上取A (－1，－1)，B (0，0)，C (1，1)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故A 正确； 对于B ，在函数f (x )的图象上取A (－2，1)，B (0，1)，C (2，1)，有f (0)＝f （－2）＋f （2）2成立，故B 正确； 对于C ，在函数f (x )的图象上取A (1，2)，B (0，0)，C (－1，－2)，有f (0)＝f （－1）＋f （1）2成立，故C 正确； 对于D ，因为f (x )＝2|x |，f （x 1）＋f （x 2）2＝2|x 1|＋2|x 2|2≥2|x 1|·2|x 2|＝2|x 1|＋|x 2|2≥2|x 1＋x 22|＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，又x 1≠x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2恒成立，故D 错误.故选ABC.16.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝________.答案 9解析 如图，作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故n m ＝9.。
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函数图象变换
1、平移变换（左加右减上加下减）：
y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h.
2、对称变换：
y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x)
轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点
→y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x);
3、翻折变换：
（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．
4、伸缩变换：
y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx ); y=f(x)ω
⨯→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用
例1．函数1
11--=x y 的图象是（ ） 答案B
例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2
1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：
（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f
例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B
例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A
例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A
例7．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )
解析 当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2
，观察各选项可知B 正确． 例8.函数cos622x x
x y -=-的图象大致为（ ）
例9．函数y ＝11－x
的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如右图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，
故所有交点的横坐标之和为8.
例10.函数21log 1x y x
+=-的图象（ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线y x =对称
解析 设2
1()log 1x f x x +=-，则21()log 1x f x x --=+=()f x -，所以函数21log 1x y x
+=-是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.
例11. 若方程2a ＝|a x －1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．
解：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适； 当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，
要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1，
即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．
函数图像及图像变换练习（带答案）
1. 函数)1(||>⋅=a a x x y x 的图象的基本形状是 （ ） 答案A
2.方程lg x =sin x 解的个数为（ ）。
答案C
A.1
B.2
C.3
D.4
3．方程m x x =+-|34|2
有三个根，求m 的值。
答案1
4．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：
则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根．
答案：6 5
5. 已知函数
211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .
6．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x -1)与y= -f(1-x)的图象关于（ ）对称。
A.直线x=0
B.直线x=1
C.点(0,0)
D.点(1,0) 答案D
7．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是 （ ）。
答案C
8．把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为；答案y=cos(2x-1/2).
9. 函数y=f(|x-m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.
答案x=m/2。