2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案52 双曲线
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案61古典概型
教案 61古典概型导学目标 ： 1.理解古典概型及其概率计算公式 .2.会计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率．自主梳理1．基本领件有以下特色：(1)任何两个基本领件是 ________的．(2)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成 ______________． 2．一般地，一次试验有下边两个特色(1)有限性．试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；(2)等可能性．每个基本领件出现的可能性同样，称这样的概率模型为古典概型．判断一个试验是不是古典概型，在于该试验能否拥有古典概型的两个特色：有限性和等可能性．3．假如一次试验中可能出现的结果有 n 个，并且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是 ________；假如某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ ________.自我检测1．(2011 ·州模拟滨 )若以连续掷两次骰子分别获得的点数m 、 n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x ＋ y ＝ 5 下方的概率为 ( )1 1 1 1A.6B.4C.12 D .9 2．(2011 临·沂高新区期末 )一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小同样的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一同，则随意拿出一个， 其两面涂有油漆的概率是 () 1 1 3 12 A.12 B.10 C.25D .1253．(2010 ·宁辽 ) 三张卡片上分别写上字母E ， E ， B ，将三张卡片随机地排成一行，恰巧排成英文单词 BEE 的概率为 ________．4．有 100 张卡片 (编号从 1 号到 100 号 )，从中任取 1张，取到卡号是 7 的倍数的概率为________．5． (2011 大·理模拟 )在平面直角坐标系中，从五个点： A(0,0) ， B(2,0) ， C(1,1) ， D(0,2) ，E(2,2) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ________( 用分数表示 ).研究点一 基本领件的概率例 1 扔掷六个面分别记有1,2,2,3,3,3 的两颗骰子．(1)求所出现的点数均为 2 的概率； (2)求所出现的点数之和为 4 的概率．变式迁徙 1 一只口袋内装有大小同样的 5 只球，此中 3 只白球， 2 只黑球，从中一次摸出两只球．问：(1)共有多少个基本领件？(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？研究点二古典概型的概率计算例 2班级联欢时，主持人拟出了以下一些节目：跳双人舞、独唱、朗读等，指定 3 个男生和 2 个女生来参加，把 5 个人分别编号为1,2,3,4,5，此中 1,2,3 号是男生， 4,5 号是女生，将每一个人的号分别写在 5 张同样的卡片上，并放入一个箱子中充足混淆，每次从中随机地取出一张卡片，拿出谁的编号谁就参加表演节目．(1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求拿出的 2 人不所有是男生的概率；(2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗读，抽取并察看第一张卡片后，又放回箱子中，充足混淆后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗读由同一个人表演的概率．变式迁徙2同时扔掷两枚骰子，求起码有一个 5 点或 6 点的概率．研究点三古典概型的综合问题例 3 (2009 ·山东 )汽车厂生产 A，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒坦型和标准型两种型号，某月的产量以下表 (单位：辆 )：轿车A轿车B轿车C舒坦型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆，此中有 A 类轿车 10 辆．(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本．将该样本当作一个整体，从中任取 2 辆，求起码有 1 辆舒坦型轿车的概率；(3) 用随机抽样的方法从B类舒坦型轿车中抽取8 辆，经检测它们的得分以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0 ，8.2.把这 8 辆轿车的得分当作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．变式迁徙3为了认识《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及状况，检查部门对某校 6 名学生进行问卷检查， 6 人得分状况以下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分当作一个整体．(1)求该整体的均匀数；(2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分构成一个样本．求该样本均匀数与整体均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．分类议论思想的应用例(12 分 )甲、乙二人用 4 张扑克牌 (分别是红桃2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面向上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设 (i， j) 分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有状况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲、乙商定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你以为此游戏能否公正，说明你的原因．多角度审题此题属于求较复琐事件的概率，重点是理解题目的实质含义，把实质问题转变为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃 3、红桃 4 和方片 4 分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基本领件，把复琐事件用基本领件表示，找出整体I 包含的基本领件总数n 及事件 A 包含的基本领件个数 m，用公式 P(A) ＝m求解． n【答题模板】解(1) 甲、乙二人抽到的牌的所有状况( 方片 4 用 4′表示，其余用相应的数字表示)为 (2,3) ，(2,4)， (2,4′)， (3,2)， (3,4)， (3,4′)， (4,2)， (4,3) ， (4,4′)，(4′，2)， (4′，3)， (4′，4)，共 12 种不同状况． [6 分 ](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只好是2,4,4′，所以乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.[9 分](3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的状况有(3,2)， (4,2)， (4,3)， (4′，2)， (4′，3)，共 5 种，55故甲胜的概率P1＝12，同理乙胜的概率P2＝12.因为 P1＝ P2，所以此游戏公正．[12分]【打破思想阻碍】(1)对一些较为简单、基本领件个数不是太大的概率问题，计数时只要要用列举法即可计算一些随机事件所含的基本领件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，很多实质问题都能够归纳到取球模型上去，特别是产品的抽样查验，解题时要分清“ 有放回” 与“ 无放回”，“ 有序” 与“ 无序” 等条件的影响．【易错点分析】1．题目中“红桃 4”与“方片 4”属两个不一样的基本领件，应用不一样的数字或字母标明．2．注意“抽出的牌不放回” 对基本领件数量的影响．1．基本领件的特色主要有两条：①任何两个基本领件都是互斥的；②任何事件都能够表示成基本领件的和．2．古典概型的基本特色是：①试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等．3．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果能否为等可能事件；②求出试验包含的基本领件的个数n，以及所求事件 A 包含的基本领件的个数m；③代入公式P(A) ＝mn，求概率值．(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25分 )1．(2011 浙·江宁波十校联考)将一枚骰子扔掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程 x2＋ bx＋ c＝ 0 有实根的概率为 ()191517A.36B.2C.9 D .362．(2009 ·建福)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采纳随机模拟的方法预计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0 到 9 之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模 生了以下 20 随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估 ， 运 三次投 恰有两次命中的概率 ()A ． 0.35B ． 0.25C ． 0.20D ． 0.153． (2011 西·南名校 考 ) 两次骰子分 获得点数m 、 n ， 向量 (m ， n)与向量 (－ 1,1)的 角 θ>90°的概率是 ( )5 7 1 1A.12B.12C.3 D .2 4． 会合 A ＝ {1,2} ， B ＝ {1,2,3} ，分 从会合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确立平面上的一个点 P(a ， b)， “点 P(a ， b)落在直 x ＋y ＝ n 上” 事件 C n (2≤ n ≤ 5， n ∈ N )，若事 件 C n 的概率最大， n 的所有可能 ( )A ． 3B ． 4C ． 2,5D ．3,4 5．在一个袋子中装有分 注数字 1,2,3,4,5 的五个小球， 些小球除 注的数字外完整同样． 从中随机拿出2 个小球， 拿出的小球 注的数字之和 3或 6的概率是 () 1 1 1 3A. 12B. 10C.5D.10二、填空 (每小 4 分，共 12 分 )6．在一次教 会上，到会的女教 比男教 多12 人，从 些教 中随机挑 一人表演 目．若 到男教 的概率9， 参加 会的教 共有________人．20n π7． (2011 上·海十四校 考 )在会合 { x|x ＝ 6 ， n ＝ 1,2,3，⋯， 10} 中任取一个元素，所取元素恰巧 足方程 cos x ＝ 1的概率是 ________．28．(2009 · 江 ) 有 5 根竹竿，它 的 度( 位： m)分 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一 次随机抽取 2 根竹竿， 它 的 度恰巧相差0.3 m 的概率 ________．三、解答 (共 38 分 )9．(12 分 )(2011 北·京旭日区模 )袋子中装有 号a ，b 的 2 个黑球和 号c ，d ，e 的3 个 球，从中随意摸出 2 个球．(1)写出所有不一样的 果； (2)求恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球的概率； (3)求起码摸出 1 个黑球的概率．10． (12 分 )(2010 天·津 海新区五校 考 )某商 行抽 活 ，从装有 号0,1,2,3 四个小球的抽 箱中，每次拿出后放回， 取两次，拿出的两个小球号 相加之和等于 5 中一等 ，等于 4 中二等 ，等于 3 中三等 ．(1)求中三等 的概率； (2)求中 的概率．11． (14 分)(2011 广·州模 )已知数 a， b∈ { － 2，－ 1,1,2} ．(1)求直 y＝ ax＋ b 不第四象限的概率；(2)求直 y＝ ax＋ b 与 x2＋ y2＝ 1 有公共点的概率．教案 61古典概型自主梳理1m1．(1)互斥(2)基本领件的和 3.n n自我141．A 2.D 3.3 4.0.14 5.5堂活区例 1 解引确立古典概型的基本领件有两条：一、每个事件生的可能性相等；二、事件空Ω 中的任一个事件都能够表示些基本领件的和，基本领件确实定有必定的相性，并不是一成不的．解因骰子出1,2,3 的概率不一，所以， 6 个面 1，a，b，x，y，z，此中 a，b 都表示 2， x， y， z 都表示 3，投两骰子，基本领件(1,1)， (1， a)， (1， b)， (1，x)，(1，y)，(1 ，z)，(a,1)， (a，a)，(a， b)，(a，x)，(a，y)，(a，z)，⋯， (z,1)，(z，a)，(z，b)，(z，x)， (z， y)， (z， z)共 36 种果．(1)两骰子出点数均 2 的基本领件有 (a，a)， (a，b)， (b， a)， (b， b)共 4 种，∴概4 1率 P1＝36＝9.(2)出点数之和 4，明有两种状况，即 1＋ 3 或 2＋ 2，基本领件有 (1，x)，(1，y)，(1，z)， (x,1) ，(y,1)， (z,1) ， (a， a)， (a， b)， (b， a)， (b， b)共 10 种，10 5∴概率 P2＝36＝18.式迁徙1解(1) 分白球1,2,3 号，黑球 A ， B 号，从中摸出 2 只球，有以下基本领件：(1,2)， (1,3) ， (1，A) ， (1， B) ， (2,3)， (2， A) ，(2，B) ， (3， A) ， (3， B) ， (A ， B)，所以，共有 10 个基本领件．(2)上述 10 个基本领件生的可能性同样，且只有 3 个基本领件是摸到两只白球 (事3件 A) ，即 (1,2)， (1,3)， (2,3) ，故 P(A) ＝10.P(A) ＝m.由此可知，利用列法算出所有例 2 解引古典概型的概率算公式是n基本领件的个数 n 以及事件 A 包含的基本领件数m 是解关．必需能够采纳画状或列表法助列基本领件．解 (1) 利用树形图我们能够列出连续抽取2 张卡片的所有可能结果 (以下列图所示 )．由上图能够看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这 20 种结果出现的可能性是同样的，试验属于古典概型．用 A 1 表示事件 “连续抽取 2 人一男一女 ”， A 2 表示事件 “ 连续抽取 2 人都是女生 ”，则A 1 与 A 2 互斥，并且 A 1∪A2 表示事件 “连续抽取 2 张卡片，拿出的 2 人不所有是男生 ”，由列出 的所有可能结果能够看出， A 1 的结果有 12 种，A 2 的结果有 2 种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A 1∪A 2)＝ P(A 1)＋P(A 2)＝ 1220＋ 202＝ 107＝0.7，即连续抽取 2 张卡片，拿出的 2 人不所有是男生的概率为 0.7.(2)有放回地连续抽取2 张卡片，需注意同一张卡片可再次被拿出，并且它被拿出的可能性和其余卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，比如 “ 第一次拿出 2 号，第二次拿出 4 号 ” 就用 (2,4)来表示，所有的可能结果能够用下表列出.第二次抽取12345 第一次抽取1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5(5,1) (5,2) (5,3) (5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并且这 25 种结果出现的可能性是同样的，试验属于古典概型．用 A 表示事件 “ 独唱和朗读由同一个人表演 ”，由上表能够看出， A 的结果共有 5 种，因此独唱和朗读由同一个人表演的概率P(A) ＝ 5＝ 0.2.25变式迁徙2解方法一同时扔掷两枚骰子，所有基本领件以下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有 36 个不一样的结果，此中 “起码有一个 5 点或 6 点 ”的基本领件数为 20，所以起码有一个 5 点或 6 点的概率为 P ＝ 20 5 36＝ 9.方法二 利用对峙事件求概率． “ 起码有一个5 点或6 点”的对峙事件是 “没有 5 点或 6 点 ”，如上表，“ 没有 5 点或 6 点 ”包含 16 个基本领件，没有5 点或6 点的概率为 P ＝16＝ 436 9.∴起码有一个 5 点或 6 点的概率 1－4＝ 59 9. 例 3 解 引 本 主要考 抽 的方法及古典概型概率的求法，考 用概率知 解 决 的能力．解 (1) 厂 个月共生n ，50 10由 意得 n ＝，所以 n ＝ 2 000.100＋ 300z ＝ 2 000－(100＋ 300)－ (150 ＋450)－ 600＝400. (2) 所抽 本中有 a 舒坦型 ，由 意得 1400000＝ a5，即 a ＝ 2.所以抽取的容量 5 的 本中，有2 舒坦型 ，3 准型 ．用 A 1，A 2 表示 2 舒坦型 ，用B 1，B 2，B 3 表示 3 准型 ．用E 表示事件 “在本中任取2 ，此中起码有 1 舒坦型 ”，基本领件空 包含的基本领件有：(A 1 ，A 2 1，B 1 1，B 2 1， B 3)，(A 2，B 12，B 2 ，(A 2，B 31， B 2)，(B 1，)，(A )，(A ) ，(A)，(A))，(B32，B 3(A 1，A21， B 1)，(A1 ，B 21，B 3B )，(B)共 10 个．事件 E 包含的基本领件有：)，(A)，(A)，(A 2， B 1)， (A 2， B22， B 3)共 7 个．)， (A7 7故 P(E) ＝ 10，即所求概率 10.(3) 本均匀数x ＝ 1× (9.4＋ 8.6＋ 9.2＋ 9.6＋ 8.7＋ 9.3＋ 9.0＋8.2)＝ 9.8D 表示事件 “ 从 本中任取一数， 数与 本均匀数之差的 不超0.5”， 基本领件空 中有 8 个基本领件，事件D 包含的基本领件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3， 9.0，共 6 个，所以 P(D) ＝ 6 3 38＝ 4，即所求概率4.1×(5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10)＝ 7.5.式迁徙 3 解 (1) 体均匀数6(2) A 表示事件 “ 本均匀数与 体均匀数之差的 不超0.5”．从 体中抽取2 个个体所有可能的基本 果有：(5,6)， (5,7)， (5,8)， (5,9)， (5,10)，(6,7) ，(6,8)， (6,9)， (6,10) ， (7,8) ， (7,9)， (7,10) ， (8,9)， (8,10) ， (9,10) ，共 15个基本 果．事件 A 包含的基本 果有：(5,9)， (5,10) ，(6,8) ，(6,9)，(6,10) ，(7,8)， (7,9)，共有7 个基本 果．7所以所求的概率 P(A) ＝ 15.后 区 1．A2．B [ 由 意知在20 随机数中表示三次投 恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共 5 随机数，故所求概率5 ＝ 1＝ 0.25.]20 43．A [由 意知， (m ， n) ·(－1,1)＝－ m ＋ n<0 ，∴m>n.基本领件 共有6× 6＝ 36(个 )，切合要求的有 (2,1) ，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2) ，(4,3)，(5,1)，⋯，(5,4)， (6,1)， ⋯ ， (6,5)，共 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝15( 个)．15 5∴P ＝ 36＝ 12.]124．D[落在直 x ＋y ＝ 2 上的概率 P(C 2)＝6，落在直 x ＋ y ＝ 3 上的概率 P(C 3)＝ 6；落2 1在直 x ＋ y ＝ 4 上的概率 P(C 4)＝ 6；落在直 x ＋ y ＝ 5上的概率 P(C 5 )＝6，故当 n3 和 4，事件 C n 的概率最大． ]5．D[由袋中随机拿出2 个小球的基本领件 数 10，拿出小球 注数字和3 的事件1,2.拿出小球 注数字和6 的事件 1,5 或 2,4.∴拿出的小球 注的数字之和3或6的概率1＋ 2 3P ＝10＝ 10.]6．120分析男教 有 n 人， 女教 有 (n ＋ 12)人．由已知从 些教 中 一人， 到男教 的概率P ＝ n ＝ 9，得 n ＝54，2n ＋ 12 20故参加 会的教 共有 120 人．17.5分析 cosπ5π 13＝ cos 3 ＝2，共 2 个．21x 体共有 10 个，所以概率 10＝ 5. 8．0.2分析 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿共有 10( 种 ) 抽取方法，而抽取的两根竹竿度恰巧相差 0.3 m 的状况是 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9 两种，∴概率 P ＝ 2＝ 0.2.10 9．解 (1)ab ， ac ， ad ，ae ， bc ， bd ， be ， cd ，ce ， de.共 10 种不一样 果． (2 分 )(2)“ 恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球 ” 事件 A ， 事件A 包含的基本领件ac ， ad ，6ae ， bc ， bd ， be ，共 6 个基本领件．所以P(A) ＝10＝ 0.6.所以恰巧摸出 1 个黑球和 1 个 球的概率 0.6.(7 分)(3)“起码摸出1 个黑球 ” 事件 B ， 事件 B 包含的基本领件ab ，ac ， ad ，ae ， bc ，bd ， be ，共 7 个基本领件，7所以 P(B) ＝ 10＝ 0.7.所以起码摸出 1 个黑球的概率0.7.(12 分 )10． 解“ 中三等 ” 的事件 A ，“ 中 ” 的事件 B ，从四个小球中有放回的取两个共有 (0,0)， (0,1)，(0,2) ，(0,3) ， (1,0) ，(1,1)， (1,2)， (1,3)， (2,0)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,0) ，(3,1)， (3,2)， (3,3)16 种不一样的方法． (2 分 )(1)两个小球号 相加之和等于 3 的取法有 4 种：(0,3)、 (1,2) 、 (2,1)、 (3,0)．故 P(A) ＝ 4 ＝ 1分 ) 16 4.(6 (2)由 (1)知，两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种．两个小球号码相加之和等于4 的取法有 3 种： (1,3)， (2,2) ， (3,1)， (8 分 ) 两个小球号码相加之和等于5 的取法有 2 种： (2,3)， (3,2) ，4329P(B) ＝16 ＋ 16＋16＝16.(12 分 )11．解因为实数对 (a ，b)的所有取值为： ( －2，－ 2)， (－ 2，－ 1)，(－ 2,1)，(－ 2,2)，(－1，－ 2)， (－ 1，－ 1)， (－ 1,1)， (－1,2) ，(1，－ 2)， (1，－ 1)， (1,1)， (1,2)， (2，－ 2)， (2，－1)， (2,1)， (2,2)，共 16 种． (3 分 )设“ 直线 y ＝ ax ＋ b 不经过第四象限 ” 为事件 A ，“ 直线 y ＝ ax ＋ b 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 有公共点”为事件 B.(1)若直线 y ＝ ax ＋ b 不经过第四象限，则一定知足a ≥ 0，即知足条件的实数对(a ， b)b ≥ 0，有 (1,1)， (1,2)， (2,1)， (2,2)，共 4 种．∴P(A) ＝ 4 116＝ 4.故直线 y ＝ax ＋ b 不经过第四象限的概率为1 4.(6 分)(2)若直线 y ＝ ax ＋b 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 有公共点， 则一定知足|b|≤ 1，即 b 2≤ a 2＋ 1.(8 分 )a 2＋ 1若 a ＝－ 2，则 b ＝－ 2，－ 1,1,2 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 4 种不一样取值；若 a ＝－ 1，则 b ＝－ 1,1 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 2 种不一样取值；若 a ＝ 1，则 b ＝－ 1,1 切合要求，此时实数对(a ， b)有 2 种不一样取值，若 a ＝ 2，则 b ＝－ 2，－ 1,1,2 切合要求，此时实数对 (a ， b)有 4 种不一样取值．∴知足条件的实数对 (a ， b)共有 12 种不一样取值．123∴P(B) ＝ 16＝ 4.故直线 y ＝ax ＋ b 与圆 x 2＋y 2＝ 1 有公共点的概率为34.(14 分)。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案51 椭圆
学案51 椭 圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质自我检测1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．(2011·揭阳调研)“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，π B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π44．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 5．(2011·开封模拟)椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5探究点一 椭圆的定义及应用例1 (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 (2011·安阳模拟)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想的应用例 (12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分] 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[7分]又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，且P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[9分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.[11分]所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0)B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0)C.x 216＋y 29＝1 (y ≠0)D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 2．已知椭圆x 210－m ＋y2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．83．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.2－1D. 2 4．(2011·天门期末)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．椭圆x 225＋y29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．(2011·唐山调研)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8.如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题(共38分)9．(12分)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(12分)(2011·烟台模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭 圆自主梳理1．椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a ＝c (3)a<c 自我检测1．C 2.C 3.D 4.A 5.B 课堂活动区例1 解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知， |CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ， ∴|CO 1|＋|CO 2|＝10， 而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x 225＋y 216＝1. 变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为： (x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)， 动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6， ∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)或y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，且m ≠n)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.例3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(2a )2，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ，S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn. ∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)， ∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1．A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.x 236＋y 29＝1 7.2 120° 8.539．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点， λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6. 若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(12分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，再由|AB |＝1＋k 2 |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，(8分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.(12分) 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(9分) 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋2y 23＝1.(12分) 11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.(3分) 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)同方法一．。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]
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教案 58变量间的有关关系学目： 1.会作两个有关量的数据的散点，会利用散点量的有关关系 .2.认识最小二乘法的思想，能依据出的性回方程系数公式成立性回方程．自主梳理1．两个量的性有关(1)正有关在散点中，点分布在从__________到 ________的地区，于两个量的种有关关系，我将它称正有关．(2)有关在散点中，点分布在从________到 ________的地区，两个量的种有关关系称有关．(3)性有关关系、回直假如散点中点的分布从整体上看大概在一条直邻近，我就称两个量之拥有性有关关系，条直叫做回直．2．回方程(1)最小二乘法求回直使得本数据的点到它的________________________ 的方法叫做最小二乘法．(2)回方程^^^方程 y ＝ b x＋ a 是两个拥有性有关关系的量的一数据(x1，y1 )，(x2，y2)，⋯， (x n，^^y n)的回方程，此中 a ， b 是待定参数．自我1．以下有关性回的法，不正确的选项是()A．有关关系的两个量不必定是因果关系B．散点能直地反应数据的有关程度C．回直最能代表性有关的两个量之的关系D．任一数据都有回直方程2．(2009 海·南，宁夏 )量 x， y 有数据 (x i， y i)(i ＝1,2，⋯， 10)，得散点 (1) ；量 u，v 有数据 (u i，v i)(i ＝ 1,2，⋯， 10)，得散点 (2)．由两个散点能够判断()A．量 x 与 y 正有关， u 与 v 正有关B．量 x 与 y 正有关， u 与 v 有关C．量 x 与 y 有关， u 与 v 正有关D．量 x 与 y 有关， u 与 v 有关3．(2011 ·川模 )下表是某厂1～4 月份用水量 (位：百吨 )的一数据：月份 x1234用水量 y 4.543 2.5^由散点图可知，用水量y 与月份 x 之间有较好的线性有关关系，其回归直线方程是y ＝^^－ 0.7x ＋a ，则 a 等于 ()A． 10.5B． 5.15C． 5.2 D ．5.254．(2010 广·东 )某市居民2005 ～ 2009 年家庭年均匀收入x(单位：万元 )与年均匀支出Y( 单位：万元 ) 的统计资料以下表所示：年份20052006200720082009收入 x11.512.11313.315支出 Y 6.88.89.81012依据统计资料，居民家庭年均匀收入的中位数是_________________________________ ，家庭年均匀收入与年均匀支出有______ 线性有关关系．5．(2011 金·陵中学模拟 )已知三点 (3,10)， (7,20)， (11,24) 的横坐标 x 与纵坐标 y 拥有线性关系，则其回归方程是________________.研究点一利用散点图判断两个变量的有关性例 1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，获取一个卖出热饮杯数与当日气温的对照表：温度－ 504712151923273136(℃ )热饮15615013212813011610489937654杯数(1)画出散点图；(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？变式迁徙1某班5个学生的数学和物理成绩如表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们能否有有关关系？研究点二求回归直线方程例 2 假定对于某设施的使用年限x 和所支出的维修花费y(万元 ) 有以下统计资料：使用年限 x23456维修花费 y 2.2 3.8 5.5 6.57.0^^^若由资料知 y 对 x 呈线性有关关系．试求回归方程y ＝ b x＋a .变式迁徙2已知变量x 与变量 y 有以下对应数据：x1234y 1323 22且 y 对 x 呈线性有关关系，求y 对 x 的回归直线方程．研究点三利用回归方程对整体进行预计例 3 下表供给了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组比较数据．x3456y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；^^^(2)请依据上表供给的数据，用最小二乘法求出y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ；(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤．试依据(2)求出的回归方程，展望生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参照数值： 3×2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5)变式迁徙 3 (2011 ·盐城期末 )某单位为了认识用电量y 度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温 (℃)181310－ 1用电量 (度 )24343864^^^^由表中数据得回归方程y ＝ b x＋a 中 b ＝－ 2，展望当气温为－ 4℃时，用电量的度数约为 ________．1．有关关系与函数关系不一样．函数关系中的两个变量间是一种确立性关系．而有关关系是一种非确立性关系，即有关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而有关关系不必定是因果关系，也可能是陪伴关系．2．回归直线方程：设x 与 y 是拥有有关关系的两个变量，且相应于n 个观察值的n 个点大概分布在某一条直线的邻近，就能够以为y 对 x 的回归函数的种类为直线型：^^^y＝ b x＋ a .此中我们称这个方程为y 对 x 的回归直线方程．此中x ＝1ni，y＝1 ni，( x，y )称为∑∑n i ＝1xn i＝ 1y样本点的中心．n n^ 3．求回归直线方程的步骤：(1) 计算出 x 、 y 、∑x i2、∑x i y i的值； (2) 计算回归系数 a 、i ＝1i＝ 1^^^^b； (3) 写出回归直线方程 y ＝ b x＋ a .(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1．以下命题：①线性回归方法就是由样本点去找寻一条切近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图能够直观判断两个变量的关系能否能够用线性关系表示；^^^^③经过回归直线y 此中正确的命题是A．①②＝b x＋ a 及回归系数 b ，能够预计和展望变量的取值和变化趋向．()B．①③C．②③D．①②③^2．设有一个回归直线方程为y ＝ 2－ 1.5x，则变量x 增添一个单位时() A． y 均匀增添 1.5 个单位B． y 均匀增添 2 个单位C． y 均匀减少 1.5 个单位D． y 均匀减少 2 个单位3．(2011 ·西 ) (x 1， y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n) 是量 x 和 y 的 n 个本点，直l 是由些本点通最小二乘法获取的性回直(如 )，以下中正确的选项是 ()A． x 和 y 的有关系数直l 的斜率B． x 和 y 的有关系数在 0 到 1 之C．当 n 偶数，分布在l 两的本点的个数必定同样D．直 l 点 ( x ， y )4．(2011 山· ) 某品的广告用x 与售 y 的数据以下表：广告用 x(万元 )4235售 y(万元 )49263954^^^^依据上表可得性回方程y ＝b x＋ a 中的 b9.4，据此模型广告用 6 万元售 ()A． 63.6 万元B． 65.5 万元C． 67.7 万元D． 72.0 万元5．(2011 青· 模 )了观察两个量x 和 y 之的性有关性，甲、乙两位同学各自独立做了 10 次和 15 次，而且利用性回方法，求得回直分l1、 l2，已知两人所得的数据中，量 x 和 y 的数据的均匀都相等，且分是s、t ，那么以下法中正确的是 ()A．直 l1和 l2必定有公共点 (s， t)B．直 l1和 l2订交，但交点不必定是(s，t)C．必有 l1∥ l 2D． l1与 l 2必然重合二、填空 (每小 4 分，共 12分 )6．以下关系中，是有关关系的________． (填序号 )①学生的学度与学成之的关系；②教的教水平与学生的学成之的关系；③学生的身高与学生的学成之的关系；④家庭的条件与学生的学成之的关系．(12.5,8.25)，回直的回7．已知回直的斜率的估是 0.73，本点的中心方程是______________ ．8．(2011 ·名月考茂 )在研究硝酸的可溶性程度，它在不一样温度的水中的溶解度，得果以下表：温度 (x)010205070溶解度 (y)66.776.085.0112.3128.0由此获取回直的斜率________．三、解答 (共 38 分 )9．(12 分 )(2011 威·海模 )某了定工定，需要确立加工部件所花的，此做了四次，获取的数据以下：部件的个数 x(个 )2345加工的 y(小 ) 2.534 4.5(1)在定的坐系中画出表中数据的散点；^^^(2)求出 y 对于 x 的回归方程 y＝ b x＋a ，并在座标系中画出回归直线；(3)试展望加工10 个部件需要多少时间？n^∑ x i y i－ n x y ^^(注： b ＝i＝ 1， a ＝ y － b x )n∑ x i2－ n x 2i ＝110． (12 分 )(2010 许·昌模拟 )某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位：万元 ) 之间有以下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试展望宣传费支出为10 万元时，销售额多大？11． (14 分) 某公司上半年产品产量与单位成本资料以下：月份产量 (千件 )单位成本(元)127323723471437354696568(1)求出回归方程；(2)指出产量每增添 1 000 件时，单位成本均匀改动多少？(3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？教案 58变量间的有关关系自主梳理1．(1)左下角右上角(2)左上角右下角 2.(1)距离的平方和最小n n∑ x i－ x y i－ y∑ x i y i－ n x yi＝1i＝1(2)n n∑ x i－ x 2∑ x i2－ n x 2i＝ 1i＝ 1^y － b x自我检测1．D 2.C 3.D^7234．13正 5.y ＝4x＋4讲堂活动区例 1 解题导引判断变量间能否线性有关，一种常用的简易可行的方法就是作散点图．散点图是由大批数据点分布组成的，是定义在拥有有关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地剖析它们有没关系及关系的亲密程度．解 (1) 以 x 轴表示温度，以 y 轴表示热饮杯数，可作散点图，以下图．(2)从图中能够看出，各点分布在从左上角到右下角的地区里，所以，气温与热饮销售杯数之间是负有关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图能够看出，这些点大概分布在一条直线邻近．变式迁徙1解以x轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图以以下图所示：由散点图可见，二者之间拥有有关关系．例 2 解题导引依据题目给出的数据，利用公式求回归系数，而后获取回归方程．解制表以下：i12345共计x i2345620y i 2.2 3.8 5.5 6.57.025x i y i 4.411.422.032.542.0112.3x i 2491625369055x ＝ 4； y ＝5； ∑ x2i ＝ 90；∑ x i y i ＝112.3i ＝1i ＝1^112.3－ 5× 4×5于是有 b＝2＝ 12.3＝ 1.23；^^90－ 5× 410a ＝ y －b x＝5－ 1.23×4＝ 0.08.^∴回归直线方程为 y ＝ 1.23x ＋ 0.08.变式迁徙 2解x ＝ 1＋ 2＋ 3＋4 54＝ 2，1＋3＋2＋ 322＝ 7，y ＝4n4 ∑x i 2＝12＋ 22＋ 32＋ 42＝ 30，i ＝1n3＋3× 2＋ 4× 3＝ 43，∑x i y i ＝1× 1＋ 2×i ＝1 n 22243－ 4×5× 7^∑ x i y i －n x y∴b i ＝1＝ 22 4＝n25 ＝ 0.8，2 230－ 4×∑＝ x i － n x4i 1^^5＝－ 0.25，a ＝ y －b x ＝7－ 0.8×42^∴ y ＝ 0.8x －0.25.例 3 解题导引 利用描点法获取散点图，按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程，最后对整体进行预计．利用回归方程能够进行展望，回归方程将部分观察值所反应的规律进行延长，是我们对有线性有关关系的两个变量进行剖析和控制，依照自变量的取值预计和预告因变量值的基础和依照，有宽泛的应用．解 (1) 散点图：(2) x ＝ 3＋4＋ 5＋ 6 ＝4.5， y ＝ 2.5＋ 3＋ 4＋ 4.5＝3.5，4 4 4∑x i y i ＝3× 2.5＋ 4× 3＋ 5× 4＋6× 4.5＝ 66.5.i ＝14 ∑x 2i ＝32＋ 42＋ 52＋ 62＝ 86，i ＝14^∑i ＝1x i y i －4 x y ∴b ＝ 4∑i ＝1x 2i － 4 x 266.5－ 4× 4.5× 3.5＝86－ 4× 4.52＝0.7，^^a ＝ y －b x ＝3.5－ 0.7× 4.5＝ 0.35.^∴所求的回归方程为 y ＝ 0.7x ＋ 0.35. (3)此刻生产 100 吨甲产品用煤^y ＝ 0.7× 100＋ 0.35＝70.35，∴降低 90－ 70.35＝ 19.65(吨标准煤 )． 变式迁徙 3 68 分析x ＝ 10， y ＝ 40，回归方程过点( x ， y )，^^∴40＝－ 2× 10＋ a .∴a ＝ 60. ^∴ y ＝－ 2x ＋ 60.^令 x ＝－ 4，y ＝ (－ 2)× (－ 4)＋ 60＝68. 课后练习区1．D [依据线性回归的含义、方法、作用剖析这三个命题都是正确的． ]2．C[设(x 1， y 1)， (x 2 ，y 2)在直线上，若 x 2＝x 1＋ 1，则 y 2－ y 1＝ (2－ 1.5x 2)－ (2－ 1.5x 1)＝ 1.5(x 1－x 2 )＝－ 1.5， y 均匀减少 1.5个单位． ]3．D [由于有关系数是表示两个变量能否拥有线性有关关系的一个值，它的绝对值越接近 1，两个变量的线性有关程度越强，所以 A 、B 错误． C 中 n 为偶数时，分布在 l 双侧的样本点的个数能够不同样，所以 C 错误．依据线性回归方程必定经过样本中心点可知D 正确．所以选 D .]4＋ 2＋ 3＋5＝ 7， y ＝ 49＋ 26＋ 39＋ 544．B [∵x ＝44 ＝ 42，2^^^7^ ^又y ＝ b x ＋a 必过 ( x， y ) ，∴ 42＝ 2× 9.4＋ a ， ∴a ＝ 9.1.^∴线性回归方程为 y ＝ 9.4x ＋ 9.1.^∴当x ＝ 6 时， y ＝ 9.4×6＋ 9.1＝65.5(万元 )． ]^^^^^5．A[回归直线方程为 y＝ b x ＋a.而 a ＝ y － b x ，^^^^即a ＝ t －b s ， t ＝ b s ＋ a .∴(s ，t) 在回归直线上． ∴直线 l 1 和 l 2 必定有公共点 (s ， t)． ] 6．①② 分析①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但拥有有关性，是有关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是有关关系．③④都不具备有关关系．^7.y ＝ 0.73x － 0.875^ ^分析 a ＝ y － bx ＝8.25－ 0.73× 12.5＝－ 0.875.8．0.880 9分析x ＝ 30， y ＝ 93.6，5 5∑x i 2＝7 900， ∑x i y i ＝ 17 035，i ＝1i ＝ 1∴回归直线的斜率为5^∑ i i － 5 xy17 035－ 5× 30× 93.6 i ＝1x yb ＝5＝ ≈0.880 9.∑x i 2－ 5 x27 900－ 4 500i ＝ 19．解(1)散点图以下图．(4 分 )4 (2)由表中数据得 ∑x i y i ＝ 52.5，i ＝14x ＝ 3.5， y ＝ 3.5， ∑x 2i ＝54，i ＝1 ^ ^^∴b ＝ 0.7.∴a ＝ y － b x ＝ 1.05.^∴ y ＝ 0.7x ＋1.05.回归直线如图中所示． (10 分 ) (3)将 x ＝ 10 代入回归直线方程， 得 y ＝ 0.7×10＋ 1.05＝8.05( 小时 )，∴展望加工 10 个部件需要 8.05 小时． (12 分 )10． 解 (1)依据表中所列数据可得散点图以下图：(4 分)25250(2)计算得： x ＝ 5＝5， y ＝ 5 ＝ 50，55∑ i2＝145， ∑ i y i ＝1 380.i ＝ 1xi ＝1x5－ 5 xy^∑1 380－ 5×5× 50i ＝ 1x i y i，于是可得 b＝522 ＝ 5×5 2＝6.5－5 x 145－∑ x i^^i ＝1a ＝ y －b x ＝50－ 6.5×5＝ 17.5，^所以，所求回归直线方程是 y ＝ 6.5x ＋ 17.5.(10 分 )^(3)由上边求得的回归直线方程可知，当宣传费支出为10 万元时， y ＝ 6.5× 10＋ 17.5＝82.5(万元 )，即这类产品的销售大概为82.5 万元． (12 分 )6611． 解(1)n ＝ 6， ∑x i ＝ 21， ∑y i ＝ 426， x ＝ 3.5， y ＝ 71，i ＝1i ＝ 166∑x i 2＝79， ∑x i y i ＝ 1 481，i ＝ 16i ＝1^∑ i i － 6 xy1 481－ 6×3.5× 71i ＝1x yb ＝6i 2－ 6 x 2 ＝ 79－ 6× 3.52≈－1.82.∑i ＝ 1x(3 分)2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案58变量间的相关关系]^^a＝ y － b x ＝71＋ 1.82× 3.5＝ 77.37.(5 分 )^^^∴回归方程为 y ＝ a ＋bx＝ 77.37－1.82x.(6 分 )^(2)由于单位成本均匀改动 b ＝－ 1.82<0 ，且产量 x 的计量单位是千件，所以依据回归系数b 的意义有：产量每增添一个单位即 1 000 件时，单位成本均匀减少 1.82 元． (10 分)(3)当产量为 6 000 件时，即 x＝ 6，代入回归方程：^y ＝ 77.37－1.82× 6＝66.45(元 )．∴当产量为 6 000 件时，单位成本为66.45 元．(14 分)-11-。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 5.3 平面向量的数量积
＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2
题型分类·深度剖析
＝|A→D|2＋12|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
向量的坐标运算；利用数
32 A. 2
3 15 B. 2
量积的几何意义.
C. －322
D.－3
15 2
题型分类·深度剖析
解析
例1 (2)已知正方形ABCD的
边长为1，点E是AB边上的动
点，则D→E·C→B 的值为_______；
→→ DE·DC
的最大值为________.
答案
思维升华
题型分类·深度剖析
A. 2
B. 2
C. －322
D.－3
15 2
＝5152＝3
2
2 .
题型分类·深度剖析
题型一 平面向量数量积的
解析
答案
思维升华
运算
求两个向量的数量积有三
例 1 (1)(2013·湖北)已知点 A(－1,1)、
种方法：利用定义；利用
B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向
量A→B在C→D方向上的投影为( A )
p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等
腰三角形；
题型分类·深度剖析
题型三 数量积的综合应用
例3 已知△ABC的角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，设向
思维点拨
解析
思维升华
由m∥n可得△ABC的边角 关系，再利用正弦定理边
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3＋2 解 由已知得，数列{an}的通项公式
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
－1，…，写出数列{an}的通项 ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中，a1＝1，
当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝anSn－12.
(1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an＝Sn－Sn－1 (n≥2) 后，再同除 Sn－1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3＋2
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 先写出通项，然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解．
基础知识
题型分类
思想方法
∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1. (2)∵bn＝2nS＋n 1＝2n－112n＋1
＝122n1－1－2n1＋1，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配
x－y＝－1，由 得交点 A(－3，－2， x＋y＝－5 则目标函数 z＝x －5y 过 A 点时取得最大值． zmax＝－3－5×(－2＝7，不满足题意，排除 A，C 选项．当 a＝3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2(阴影部分． x－y＝－1，由 得交点 B(1,2， x＋y＝3 则目标函数 z＝x＋3y 过 B 点时取得最小值． zmin＝1＋3×2＝7，满足题意． x－y－1≤0， 13．(2014·山东已知 x，y 满足约束条件 当目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0在 2x－y－3≥0，该约束条件下取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值为( A．5 B．4 C. 5 答案 B 解析方法一线性约束条件所表示的可行域如图所示． x－y－1＝0， x＝2，由 解得 2x－y－3＝0， y＝1， D．2 所以 z＝ax＋by 在 A(2,1处取得最小值，故 2a＋b＝2 5， a2＋b2＝a2＋(2 5－2a2＝( 5a－42＋4≥4. 方法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－y－1＝0 与 2x－y－3＝0 的交点(2,1时取得最小值，所以有 2a＋b＝2 5. 又因为 a2＋b2 是原点(0,0到点(a，b的距离的平方，故当 a2＋b2为原点到直线 2a＋b－2 5＝0 的距离时最小， - 16 -所以 a2＋b2的最小值是 |－2 5| ＝2， 22＋12 所以 a2＋b2 的最小值是 4.故选 B. x＋2y－3≤0， 14．已知变量 x， y 满足约束条件 x＋3y－3≥0， y－1≤0，处取得最大值，则 a 的取值范围是__________． 1 答案 2，＋∞ 解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z ＝ax＋y 仅在点(3,0处取得最大值，则直线 y＝－ax＋z 的斜率应小 1 1 于直线 x＋2y－3＝0 的斜率，即－a<－，∴a> . 2 2 x＋y－3≤0， 15．若函数 y＝log2x 的图象上存在点(x，y，满足约束条件 2x－y＋2≥0， y≥m，值为________．答案 1 解析如图，作出函数的可行域，当函数 y＝log2x 过点(2,1时，实数 m 有最大值 1. 若目标函数z＝ax＋y(其中 a>0仅在点(3,0 则实数 m 的最大 16．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨，硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨，硝酸盐 15 吨．现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 10 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5 000 元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000 解析设生产甲种肥料 x 车皮，生产乙种肥料 y 车皮，则 z＝10 000x＋5 000y， - 17 -4x＋y≤10， 18x＋15y≤66， x≥0， y≥0，画出图形可知，目标函数在 D(2,2处有最大值，且 zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元． - 18 -。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案55曲线与方程
教案 55曲线与方程导学目标： 认识曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线 C(看作点的会合或合适某种条件的点的轨迹)上的点与一个在直角坐标系中，假如某曲线二元方程 f(x ， y)＝ 0 的实数解成立了以下的关系：(1)__________________ 都是这个方程的 ______．(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ________________ ，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面分析几何研究的两个主要问题(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)经过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法 (五步法 )求曲线 (图形 )的方程，一般有下边几个步骤：(1)成立合适的坐标系，用有序实数对 (x ，y) 表示 ________________________ ； (2)写出合适条件 p 的点 M 的会合 P ＝____________ ； (3)用坐标表示条件 p(M )，列出方程 f(x ， y)＝ 0； (4)化方程 f(x ， y)＝ 0 为 ________； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 ________．自我检测1．(2011 湛·江月考 )已知动点 P 在曲线 2x 2－ y ＝ 0 上挪动， 则点 A(0，－ 1)与点 P 连线中点的轨迹方程是 ( )A ． y ＝ 2x 2B ． y ＝ 8x 22－ 1D ．2C ． 2y ＝ 8x2y ＝ 8x ＋12．一动圆与圆 O ：x 2 ＋ y 2＝1 外切，而与圆C ：x 2 ＋y 2 －6x ＋ 8＝ 0 内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是 ( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆3．(2011 ·山模拟佛 )已知直线 l 的方程是 f(x ， y)＝ 0，点 M(x 0， y 0)不在 l 上，则方程f(x ，y)－ f(x 0， y 0)＝ 0 表示的曲线是 ( )A ．直线 lB ．与 l 垂直的一条直线C ．与 l 平行的一条直线D ．与 l 平行的两条直线→ →) 4．若 M 、 N 为两个定点且 |MN |＝ 6，动点 P 知足 PM ·PN ＝0，则 P 点的轨迹是 ( A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 5．(2011 江·西 )若曲线 C 1：x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0 与曲线 C 2：y(y － mx － m)＝ 0 有四个不一样的交点，则实数 m 的取值范围是 ()A ．(－3， 3B ． (－ 3， 0)∪ (0，333)33)C ． [－ 3， 3D ．33，＋∞ )33](－∞，－ 3 ) ∪( 3研究点一 直接法求轨迹方程→→→→变式迁徙 1已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，知足|MN ||MP|＋MN·NP ＝0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为 ______________．研究点二定义法求轨迹方程例 2 (2011 ·包头模拟 )已知两个定圆O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 |O1 O2|＝ 4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，成立合适的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．a a变式迁徙2在△ ABC中，A为动点，B、C为定点，B－2，0，C2，0，且知足条件1sin C－ sin B＝2sin A，则动点 A 的轨迹方程是 ()16x216y2A. a2－15a2＝ 1 (y≠ 0)16y216x2B. a2－3a2＝ 1 (x≠ 0)16x216y2C. a2－15a2＝ 1 (y≠0) 的左支16x216y2D. a2－3a2＝ 1 (y≠ 0)的右支研究点三有关点法 (代入法 )求轨迹方程例 3 以下图，从双曲线 x2－ y2＝ 1 上一点 Q 引直线 x＋ y＝ 2 的垂线，垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程．变式迁徙3已知长为1＋2的线段 AB 的两个端点A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， P 是→ 2→ AB 上一点，且 AP ＝2 PB .求点 P 的轨迹 C 的方程．分类议论思想的应用例 (12 分)过定点 A(a ， b)任作相互垂直的两直线 l 1 与 l 2，且 l 1 与 x 轴交于点 M ，l 2 与 y 轴交于点 N ，以下图，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．多角度审题要求点 P 坐标，一定先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、 l 2，又 l 1、l 2 过定点且垂直，只需 l 1 的斜率存在，设一参数 k 1 即可求出 P 点坐标，再消去 k 1 即得点 P 轨迹方程．【答题模板】解 (1) 当 l 1 不平行于 y 轴时，设 l 1 的斜率为 k 1，则 k 1≠0.因为 l 1⊥l 2，1所以 l 2 的斜率为－，l 1 的方程为 y － b ＝k 1(x － a)，① l 2 的方程为 y － b ＝－1(x － a)，②k 1b在①中令 y ＝ 0，得 M 点的横坐标为x 1＝a － k 1 ，[4 分]a在②中令 x ＝ 0，得 N 点的纵坐标为y 1＝ b ＋k 1， [6 分 ]a b 设 MN 中点 P 的坐标为 (x ， y)，则有x ＝2－2k 1 ，b ay ＝2＋2k 1 ，2 2 a消去 k 1，得 2ax ＋2by － a － b ＝ 0 (x ≠分 ]2)．③ [8(2)当 l 1 平行于 y 轴时， MN 中点为 a ， b ，其坐标知足方程③ . 2 2综合 (1)(2) 知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax ＋ 2by － a 2－ b 2＝ 0.[12分] 【打破思想阻碍】得参数方程，消参化为一般方程，此题还要注意直线l 1的斜率能否存在．【易错点分析】当 AM ⊥x 轴时， AM 的斜率不存在，此时MN 中点为a b2，2，易错点是把斜率不存在的情况忽视，因此扔掉点a， b2 2.1．求轨迹方程的常用方法： (1)直接法：假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表完成含x， y 的等式，就获得轨迹方程，这类方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明能够省略． (2) 定义法：运用分析几何中一些常用定义(比如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发成立关系式，进而求出轨迹方程． (3) 代入法：动点所知足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或简单求得，则可先将x′，y′表示为x、 y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，而后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法． (4) 参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量 (参数 )，使 x、 y 之间成立起联系，而后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点： (1) 简单忽视直线斜率不存在的状况；(2)利用定义求曲线方程时，应试虑能否切合曲线的定义．(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25分 )1．已知椭圆的焦点是 F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，假如M 是线段 F 1P 的中点，则动点M的轨迹是 ()A ．圆B ．椭圆C．双曲线的一支 D ．抛物线2．(2011 ·山模拟唐)已知 A、B 是两个定点，且 |AB|＝ 3，|CB|－|CA|＝ 2，则点 C 的轨迹为 ()A ．双曲线B ．双曲线的一支C．椭圆 D ．线段→→，则点 C 的轨迹是3．长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上挪动， AC＝ 2CB()A ．线段B．圆C．椭圆 D ．双曲线4．(2011 ·川模拟银)如图，圆 O： x2＋ y2＝ 16， A(－ 2， 0)， B(2,0) 为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过 A、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()A ．双曲线B ．椭圆C．抛物线2D ．圆25．已知 F1、F2是椭圆x＋y＝ 1 的两个焦点，平面内一个动点M 知足 |MF 1|－ |MF 2|＝ 2，43则动点 M 的轨迹是 ()A ．双曲线B ．双曲线的一个分支C．两条射线 D ．一条射线二、填空题 (每题 4 分，共 12 分 )6．已知两定点 A(－ 2,0)，B(1,0)，假如动点 P 知足 |PA|＝ 2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ______．7．(2011 泰·安月考 )已知△ ABC 的极点B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长 |CD |＝ 3，则极点A 的轨迹方程为 ______________ ．y 8．平面上有三点A(－ 2， y)， B 0，→ →2， C( x， y)，若 AB⊥ BC ，则动点 C 的轨迹方程为__________．三、解答题 (共 38 分 )9．(12 分 )已知抛物线 y2＝ 4px ( p>0) ， O 为极点， A， B 为抛物线上的两动点，且知足 OA ⊥OB，假如 OM ⊥AB 于点 M，求点 M 的轨迹方程．10．(12 分 )(2009 宁·夏，海南 )已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个极点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆 C 的方程；|OP|＝λ，求点 M(2)若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OM|的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11． (14 分)(2011石·家庄模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F1 (0，－ 3)和 F2(0，3) 为焦点、离心率为3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点 P 在 C 上，C 在点2→→ →P 处的切线与 x 轴， y 轴的交点分别为 A，B，且 OM ＝ OA＋ OB.求：(1)点 M 的轨迹方程；→(2)|OM |的最小值．教案 55曲线与方程自主梳理1 ． (1) 曲线上的点的坐标解(2) 曲线上的点 3.(1) 曲线上任意一点M的坐标(2){ M|p(M)} (4)最简形式(5) 曲线上自我检测1．C 2.A 3.C 4.A5．B[C1： ( x－1)2＋y2＝1，C2： y＝ 0 或 y＝mx＋m＝m(x＋ 1)．当 m＝ 0 时， C2： y＝ 0，此时 C1与 C2明显只有两个交点；当 m≠0 时，要知足题意，需圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1 与直线 y＝ m(x＋ 1)有两交点，当圆与直线相3切时， m＝±3，即直线处于两切线之间时知足题意，33则－3 <m<0 或 0<m< 3 .33综上知－3<m<0 或 0<m< 3 .]讲堂活动区例 1解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线种类时，不可以只是依据方程的外表轻率地作出判断；②因为已知条件中，直线PA、 PB 的斜率存在，所以轨迹曲线应除掉A、 B 两点；x2y2③一般地，方程 A ＋B＝1所表示的曲线有以下几种状况：1° A>B>0 ，表示焦点在2° A＝ B>0，表示圆；3° 0<A<B，表示焦点在4° A>0> B，表示焦点在5° A<0< B，表示焦点在6° A， B<0，无轨迹．x轴上的椭圆；y轴上的椭圆；x轴上的双曲线；y轴上的双曲线；解设点 P(x，y)，则 k AP＝y， k BP＝y. x－a x＋a由题意得y·y＝ k，即 kx2－ y2＝ka2 .x－ a x＋ a∴点P 的轨迹方程为 kx2－y2＝ ka2 (x≠±a) ．(*)(1)当 k＝0时， (*) 式即 y＝0，点 P 的轨迹是直线AB(除掉 A、 B 两点 )．22(2)当 k ≠0时， (*) 式即 x2－ y2＝ 1，a ka①若 k>0，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线 (除掉 A 、 B 两点 )．x 2 y 2 2 ＝1.②若 k<0， (*) 式可化为 a 2＋ － ka1° 当－ 1<k<0 时，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆 ( 除掉 A 、B 两点 )；2° 当 k ＝－ 1 时， (*) 式即 x 2＋ y 2＝ a 2，点 P 的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆 (除掉A 、B 两点)；3° 当 k<－ 1 时，点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆 (除掉 A 、 B 两点 )．变式迁徙1 y2 ＝－ 8x→ →→ 分析 由题意： MN ＝(4,0) ，MP ＝ (x ＋ 2，y) ，NP ＝ ( x － 2， y)，→ → → → ∵|MN ||MP|＋ MN ·NP ＝ 0，∴ 42＋ 02· x ＋ 2 2＋y 2＋ ( x －2) ·4＋y ·0＝0， 移项两边平方，化简得 y 2＝－ 8x.例 2解题导引(1) 因为动点 M 到两定点 O 1、 O 2 的距离的差为常数，故应试虑能否符合双曲线的定义，是双曲线的一支仍是两支，可否确立实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转变；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹 ”和“ 轨迹方程 ”是两个不一样的观点，前者要指出曲线的形状、地点、大小等特点，后者指方程(包含范围 )．解以下图，以 O 1O 2 的中点 O 为原点，O 1O 2 所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．由 |O 1 O 2|＝ 4，得 O 1(－ 2,0)、 O 2(2,0) ．设动圆 M 的半径为 r ，则由动圆 M 与圆 O 1 内切，有 |MO 1|＝r －1； 由动圆 M 与圆 O 2 外切，有 |MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－ |MO 1|＝ 3<4.32 2∴点 M 的轨迹是以 O 1 、O 2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支．∴ a ＝ 2， c ＝ 2，∴b ＝ c2 7 － a ＝ 4.4x 2 4y 2∴点M 的轨迹方程为 9 －7 ＝ 1 (x<0) ．变式迁徙 21D [∵sin C － sin B ＝ sin A ，由正弦定理获得112|AB|－ |AC|＝ 2|BC|＝ 2a(定值 )．a∴A 点轨迹是以 B ， C 为焦点的双曲线右支，此中实半轴长为4，焦距为 |BC |＝ a.a 2a 232 216x 16y∴虚半轴长为2 － 4 ＝ 4 a ，由双曲线标准方程得为a 2 － 3a 2 ＝ 1 (y ≠0)的右支． ] 例 3 解题导引有关点法也叫坐标转移(代入 )法，是求轨迹方程常用的方法． 其题目特 征是：点 A 的运动与点 B 的运动有关，且点 B 的运动有规律 (有方程 )，只需将 A 的坐标转移到 B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解 设动点 P 的坐标为 (x ， y)，点 Q 的坐标为 (x 1，y 11, 1)，则点 N 的坐标为 (2x － x 2y － y )．∵N 在直线 x ＋ y ＝ 2 上，∴2x － x 1＋ 2y － y 1＝ 2.①又∵PQ 垂直于直线 x ＋ y ＝2，y － y 1∴＝ 1，即 x －y ＋ y 1－ x 1＝ 0.② x － x 1x 1 ＝3x ＋ 1 y － 1，联立①②解得2 2 ③y 1＝ 1 x ＋3y － 1.2 2又点 Q 在双曲线 x 2－y 2＝1 上， ∴x 12 － y 12 ＝1.④③代入④，得动点 P 的轨迹方程是2x 2－ 2y 2－2x ＋ 2y － 1＝0.变式迁徙 3解设 A(x 0,0)， B(0， y 0)， P(x ， y)，→2 → → →AP ＝ 2 PB ，又 AP ＝ (x － x 0， y)， PB ＝ (－ x ， y 0－ y)，2 2 所以 x － x 0＝－2 x ， y ＝ 2 (y 0－ y)2得 x 0＝ 1＋ 2 x ， y 0＝ (1＋ 2)y.因为 |AB|＝1＋ 2，即 x 02＋ y 02＝ (1＋ 2)2，222 2所以1＋ 2 x ＋ [(1＋ 2)y] ＝ (1＋ 2) ，x22x 2 2化简得 2 ＋ y ＝ 1.∴点P 的轨迹方程为 2 ＋y＝1.课后练习区1．B [x 2 y 2以下图，由题知|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a(设椭圆方程为 a 2＋ b 2＝ 1，此中 a>b>0)．连结 MO ，由三角形的中位线可得|F 1M |＋ |MO|＝ a (a>|F 1O|)，则 M 的轨迹为以 F 1、 O 为焦点的椭圆． ]2．B [A 、 B 是两个定点， |CB |－ |CA |＝2<|AB |，所以点 C 轨迹为双曲线的一支． ] 3．C [设 C(x ， y)， A(a,0)， B(0， b)，则 a 2＋ b 2 ＝ 9，①→ → ，所以 (x － a ，y)＝2(－ x ， b － y)，又AC ＝2CB a ＝ 3x ， 即3②b ＝ 2y ，y 22代入①式整理可得 x ＋ 4＝ 1.] 4．B [设抛物线的焦点为F ，因为 A 、 B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到 F 的距离 AF 、BF 分别等于 A 、 B 到准线 l 的距离 AM 、BN( 以下图 )，于是 |AF|＋ |BF|＝ |AM|＋ |BN|.过 O 作 OR ⊥l ，因为 l 是圆 O 的一条切线， 所以四边形 AMNB 是直角梯形， OR 是中位线，故有 |AF|＋ |BF|＝ |AM|＋ |BN|＝ 2|OR|＝ 8>4 ＝ |AB|.依据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． ]5．D[因为 |F 1F 2|＝ 2， |MF 1|－ |MF 2|＝ 2，所以轨迹为一条射线． ]6．4π分析设 P(x ，y)，由题知有： (x ＋ 2) 22222 2＋ y ＝ 4[( x － 1)＋ y ]，整理得 x －4x ＋ y ＝ 0，配方得22(x － 2) ＋y ＝4，可知圆的面积为 4π.分析 方法一直接法．x y设 A(x ， y)， y ≠0，则 D 2， 2 ，2∴|CD |＝x－5 2＋ y ＝ 3.2422化简得 (x － 10) ＋ y ＝ 36，∴A 不可以落在 x 轴上，即 y ≠0.方法二定义法．以下图，设 A(x ， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE ∥CD 交 x 轴于 E ，则 E(10,0) ．∵|CD |＝3，∴|AE|＝ 6，∴A 到 E 的距离为常数 6.∴A 的轨迹为以 E 为圆心， 6 为半径的圆，即( x－ 10)2＋ y2＝ 36.又 A、 B、 C 不共线，故 A 点纵坐标y≠0.故 A 点轨迹方程为 (x－ 10)2＋ y2＝ 36(y≠0)．8．y2＝8x→y→y分析 AB＝ 2，－2， BC＝ x，2 .→ →→ →＝ 0，∵AB⊥BC，∴AB·BCy y2得 2·x－·＝ 0，得 y ＝8x.2 29．解设 M(x， y)，直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋ b.x由 OM ⊥AB 得 k＝－y.设 A、 B 两点坐标分别为(x1， y1)、 (x2， y2 )，2由 y ＝ 4px 及 y＝ kx＋b 消去 y，22 22b 得 k x ＋ x(2kb－4p)＋ b ＝ 0，所以 x1x2＝k2.消去 x，得 ky2－ 4py＋ 4pb＝0，4pb所以 y1 y2＝k .(4 分 )由 OA ⊥OB，得 y1y2＝－ x1x2，4pb b2所以k ＝－k2，b＝－4kp.故 y＝ kx＋ b＝ k(x－ 4p)．(8 分 )用 k＝－xy代入，得 x2＋ y2－ 4px＝ 0 (x≠0)． (10 分 )AB 斜率不存在时，经考证也切合上式．故 M 的轨迹方程为x2＋ y2－ 4px＝ 0 (x≠0)． (12 分 )a－ c＝1，a＝ 4，10．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a＋ c＝7，c＝ 3，又∵b2＝ a2－ c2，∴b＝ 7，x2y2所以椭圆 C 的方程为16＋7＝ 1.(4 分)(2)设 M(x， y)，此中 x∈[－ 4,4]，229x ＋ 112|OP|22由已知|OM |2＝λ及点 P在椭圆 C 上可得16 x2＋y2＝λ，整理得2222(16λ－ 9)x＋ 16λ＝ 112，y此中 x∈[－4,4]． (5 分 )①当 λ＝ 3时，化简得9y 2＝112，44 7 所以点 M 的轨迹方程为 y ＝ ± 3 (－ 4≤ x ≤ 4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段． (7 分)3x 2 ＋y 2 ＝ 1，②当 λ≠ 时，方程变形为 112 11242－ 9 216λ16λ此中 x ∈[－4,4]．3当 0< λ<4时，点 M的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线知足－4≤ x ≤ 4 的部分．3当 4<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆知足－ 4≤ x ≤ 4 的部分；当 λ≥ 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． (12 分 )y 2 x 211． 解 (1)椭圆的方程可写为 a 2＋b 2＝1，此中 a>b>0 ，a 2 －b 2＝3 2＝ 42a2y由3 3 得2，所以曲线 C 的方程为 x＋ 4 ＝ 1(0<x<1,0< y<2)．(3 分 )a ＝2b ＝ 122xy ＝ 21－ x (0< x<1) ， y ′＝－ .设 P(x 0， y 0 )，因为 P 在 C 上，有 0<x 0<1， y 0＝ 2 1－ x 02， y ′|x ＝ x0＝－ 4x 0，y 04x 0得切线 AB 的方程为 y ＝－ y 0 (x － x 0)＋ y 0. (6 分)设 A(x,0)和 B(0， y)，由切线方程得x ＝ 1， y ＝ 4 .x 0 y 0 → → →由OM ＝ OA ＋ OB 得点 M 的坐标为 (x ， y)，1 4由 x 0， y 0 知足 C 的方程，得点 M 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2＝ 1(x>1， y>2) ． (10 分 )→ 2 2 2 24 ＝4＋ 4 (2)|OM | ＝ x ＋ y ， y ＝ 1 ，x 2－ 11－ x 2→ 2 2 4 ＋5≥ 4＋ 5＝ 9，所以 |OM | ＝ x － 1＋ x 2－ 124当且仅当 x － 1＝，即 x ＝ 3时，上式取等号．→故|OM |的最小值为 3.(14 分 )-11-。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案53 抛物线 )
学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2自我检测 1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| 5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 探究点二 求抛物线的标准方程 例2 (2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．分类讨论思想的应用例 (12分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →. 抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p 2， (1)当直线AB 的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时，交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p . ∵BD ⊥l ，∴D ⎝⎛⎭⎫－p2，－p ， ∴AO →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[4分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y222p， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝⎛⎭⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2＝⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎨⎧－y 212p ＝－p 2λ－y 1＝－p 2y1λ，解得λ＝y 21p 2，∴存在实数λ＝y 21p2，使AO→＝λOD →.综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )A.45B.35C ．－35D ．－452．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥33．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 4．(2011·泉州月考)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．(－2,22) C.⎝⎛⎭⎫－14，－1 D ．(－2，－22) 5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2，2) 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·重庆)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．(2011·济宁期末)已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案53 抛物线自主梳理1．相等 焦点 准线 自我检测 1．C2．B [因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.]3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)． 变式迁移1 A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1.]例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF |转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解 方法一 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p22＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 方法二 如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2， 准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N .则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p .证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*) 当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0， 由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2； ②当斜率不存在时，得两交点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫ky ＋p 2， 整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2. (2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1. ∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1. 又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴．变式迁移3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24，当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．课后练习区1．D [方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.]2．C [如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p2，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，则由抛物线定义，|AF |＝|AA 1|，即m ＋p2＝|AF |.又|AF |＝|AB |＝22pm ，∴m ＋p 2＝22pm ，整理，得m 2－7pm ＋p 24＝0，①∴Δ＝(－7p )2－4×p24＝48p 2>0，∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 24>0，∴m 1>0，m 2>0，∴n ＝2.] 3．C4．A [过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则|PF |＝|PK |， ∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PK |.∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|P A |＋|PK |最小，此时P 点的纵坐标为1，把y＝1代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，即当P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1时，|P A |＋|PF |最小．] 5．B 6.6－1解析 如图所示，若圆C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.7．4 2解析 由题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立得x 2－4kx －4m ＝0，线段AB 中点坐标为(2,2)，x 1＋x 2＝4k ＝4，得k ＝1.又∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝4，∴m ＝0.从而直线AB ：y ＝x ，|AB |＝2|OM |＝4 2. 8.324解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝2x ＋1，消去y 得，4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分) ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分) 则 p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝6(p ＝－2舍去)， 抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2， 此时抛物线方程为y 2＝－4x .(11分)综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(12分)10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分) 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2 ＝116x 1·x 2＝－1.(10分) 所以AQ ⊥BQ .(12分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1.(9分) RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8，(11分) ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号． RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16. (14分)。
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.4 基本不等式
BHale Waihona Puke 1＋ 3 C．3 D．4答案 (1)B (2)C 解析 (1)因为 0<x<1，所以 x>0,3－3x>0. 1 由基本不等式可得 x(3－3x)＝ · 3x(3－3x) 3 1 3x＋3－3x 2 3 ≤ ( )＝ ， 3 2 4 1 当且仅当 3x＝3－3x，即 x＝ 时，等号成立．故选 B. 2 (2)因为 x>2，所以 x－2>0，则 1 1 f(x)＝x＋ ＝(x－2)＋ ＋2≥2 x－2 x－2 1 x－2· ＋2＝4， x－2
x2＋ax＋11 (2)已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若对于任意 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是 x＋1 ________． 8 答案 (1)B (2)[－ ，＋∞) 3 解析 (1)由 f(x)>0 得 32x－(k＋1)· 3x＋2>0， 2 2 2 解得 k＋1<3x＋ x，而 3x＋ x≥2 2(当且仅当 3x＝ x， 3 3 3
4 π ，x∈(0， )的最小值等于 4.( × ) cos x 2 )
x y (4)“x>0 且 y>0”是“ ＋ ≥2”的充要条件．( × y x
-1-
1 (5)若 a>0，则 a3＋ 2的最小值为 2 a.( × ) a (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( √ )
12 当且仅当 ＝3y＋3， 1＋y 即 y＝1，x＝3 时，(x＋3y)min＝6. 方法二 ∵x>0，y>0， 1 1 x＋3y 2 9－(x＋3y)＝xy＝ x· (3y)≤ · ( )， 3 3 2 当且仅当 x＝3y 时等号成立． 设 x＋3y＝t>0，则 t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6. 故当 x＝3，y＝1 时，(x＋3y)min＝6. 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案60 随机事件的概率
学案60随机事件的概率导学目标： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称____________．(2)在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称____________．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做________________________________，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称____________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例________________为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这个常数叫事件A的概率．(1)概率的取值范围：________.(2)必然事件的概率：P(E)＝____.(3)不可能事件的概率：P(F)＝____.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.自我检测1．(2011·台州月考)下列说法正确的是()A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2．(2011·中山期末)如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形，随机事件A的概率取值范围是()A．P(A)>0 B．P(A)≥0C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤13．(2011·中山期末)从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是()A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④5．(2011·广州调研)关于互斥事件的理解，错误的是()A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生探究点一随机事件的概念例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？变式迁移1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式迁移(1)(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？探究点三互斥事件与对立事件的概率例3(2011·新乡模拟)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．变式迁移3 一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 2．(2011·广州模拟)下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 4．(2011·平顶山月考)某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶 5．(2009·安徽)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )A ．1B .12C .13D ．0二、填空题(每小题4分，共12分)6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g )： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g ～501.5 g 之间的概率约为________．7．(2011·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．8．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·南京模拟)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．10．(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？11．(14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．学案60 随机事件的概率自主梳理1．(1)一定会发生 必然事件 (2)一定不会发生 不可能事件 (3)相对于条件S 的随机事件 2.(1)n 次试验中事件A 出现的次数n A f n (A)＝n An(2)常数 稳定性3．发生 一定发生 B ⊇A A ⊆B A ⊇B A ＝B 当且仅当事件A 发生或事件B 发生 A ∪B A ＋B 当且仅当事件A 发生且事件B 发生 A ∩B AB 不可能 ∅ 不可能 必然 A B 4.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)P(A)＋P(B) (5)1 1－P(B)自我检测1．B 2.D 3.D 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引 解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现(可能出现、可能不出现)，它们的概率(范围)分别为1,0，(0,1)．解 (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率是0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.变式迁移1 解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生也会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D 不是互斥事件．(4)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，故事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解题导引 本题利用直方图求出获奖的频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．解 (1)由频数分布直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)． (2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴获奖的频率为1432＝716，即本次竞赛获奖的概率大约是716.变式迁移2 解 (1)频率是在试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，由此得，进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)因为频率是概率的近似值，所以这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.例3 解题导引 用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件，再决定用哪一个公式．利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想，利用对立事件求概率体现了“正难则反”的策略．解 方法一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P(A 1)＝512，P(A 2)＝412，P(A 3)＝212，P(A 4)＝112，根据题意知，事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2) ＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A 1∪A 2∪A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A 1∪A 2)＝1－P(A 3∪A 4)＝1－P(A 3)－P(A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P(A 1∪A 2∪A 3)＝1－P(A 4)＝1－112＝1112.变式迁移3 解 方法一 从9张任取2张共有36种，记为(1,2)，(1,3)，…，(8,9)，记事件A 为任取2张，号数至少有一个为奇数，则A ＝{(1,2)，…，(1,9)，(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,9)，(3,4)，…，(3,9)，…，(8,9)}．共有8＋4＋6＋3＋4＋2＋2＋1＝30.∴P(A)＝3036＝56.方法二 事件A 的对立事件为任取2张，号数都为偶数， ∴A ＝{(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)}共6种．∴P(A)＝1－P(A )＝1－636＝56.课后练习区 1．D2．B [由概率的相关定义知①④⑤正确．]3．B [由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件．]4．C [由互斥事件定义可知，如果两事件互斥，两个事件不能同时发生．“至少有一次中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”．故A 、B 、D 都能同时发生．]5．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]6．0.25 7.35解析 从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35.8．0.985解析 9位同学出生月份的所有可能种数为129,9人出生月份不同的所有可能种数为A 912，故P ＝1－A 912129≈1－0.015 47≈0.985.9．解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P(A)＝1220＝35.(6分)(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P(B)＝1－220＝910.(12分)10．解 设事件A 、B 、C 、D 分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P(A)＝13，(3分)P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B ∪C ∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－13＝23.(10分)解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为14，16，14.(12分) 11．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}共18个基本事件组成．(4分)由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(8分)(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，(10分)所以P(N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56.(14分)。
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学案52 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在．为________．自我检测 1．(2011·安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．已知双曲线x 22－y2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．(2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 4．(2011·武汉调研)已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是__________________．5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求|PF |＋|P A |的最小值．探究点一 双曲线的定义及应用例1 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．探究点二 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2011·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三 双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．方程思想的应用例 (12分)过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.多角度审题 (1)要求弦长|AB |需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)x 23－y 26＝1，得5x 2＋6x －27＝0.[2分]∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43·3625＋1085＝1635.[4分] (2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.[6分] ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235.[8分](3)证明如图，由双曲线的定义得 |AF 2|－|AF 1|＝23， |BF 1|－|BF 2|＝23，[10分] ∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|， 即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.[12分] 【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB |，再求点O 到直线AB 的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线2．设点P 在双曲线x 29－y216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．123．(2011·宁波高三调研)过双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 54．双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含5．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·上海)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.7．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．(2011·铜陵期末)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(12分)(2011·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．11．(14分)(2010·四川)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理1．双曲线 焦点 焦距 (1)a <c 双曲线 (2)a ＝c 两条射线 (3)a >c 3.等轴双曲线 y ＝±x e ＝ 2自我检测1．C [∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4.] 2．C3．B [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.] 4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．解 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知 |PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|， ∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF 1|＋|P A |.∴当满足|PF 1|＋|P A |最小时，|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，易求得最小值为|AF 1|＝5，故所求最小值为9. 课堂活动区例1 解题导引 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)． 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.所以|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．变式迁移1 解设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2， |MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以 C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)．例2 解题导引 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x 2a 2－y 2b 2＝λ (参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上．解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.方法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x24－y 2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.变式迁移2 y 24－x212＝1解析 由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1.例3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解 (1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.变式迁移3 解 (1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课后练习区1．C 2.A 3.A 4.C5．A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.]6．16解析 由已知条件有52＝m ＋9，所以m ＝16. 7.163 8.629．解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上， (2分)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x 2－y 24＝1.(6分)方法二 设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，(2分)将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y24＝1.(6分) (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意c ＝2 5.(8分)又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.(10分)故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(12分)10．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4.(4分) ∵|F 1F |＝25>4.∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，(8分) 且|MF |＝(355－5)2＋(455－0)2＝2.(9分) 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.(11分) ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．(12分) 11．解 (1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪x －12， 化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(5分) (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.(7分)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3. 因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)． 因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12(x 1＋1)， FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 12(x 1＋1). 同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 22(x 2＋1). 因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.(11分) ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32. 因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝0.(13分) 综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .(14分)。