“空间向量与立体几何”自测题B卷
2024-2025学年上学期高二数学章末(空间向量与立体几何)测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
高中数学-空间向量与立体几何(B卷能力提升练)
第一章空间向量与立体几何（B 卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP ++=-uur uuu r uuu r uuu r B ．OA OB OC OP ++=uur uuu r uuu r uuu r C ．2OA OB OC OP ++=uur uuu r uuu r uuu r D ．3OA OB OC OP++= 2．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 的中点，N 为11A C 靠近1A 的三等分点，设AB a =，AC b = ，1AA c = ，则用a ，b ，c 表示NM 为（）A ．1126a b c +- B ．1126a b c -++ B ．C ．1126a b c -- D ．1126a b c --+ 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，下列判断中正确的个数为（）①直线1B M BN ⊥；②AD ⊥平面11CDD C ；③BN ∥平面ADM ．A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形且PA ⊥平面ABCD ，连接AC 与BD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A ．PD 与ABB ．PB 与DAC ．PC 与BD D ．PA 与CD5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA = ，11A M MD = ，11B E B C λ= ，当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（）A ．12B ．13C ．14D ．156．已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()PA PB AB +⋅ 的最大值为（）A ．4B ．42C ．5D ．557．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60B ．二面角1A BC B --的正切值为2C ．直线1AB 与平面11ABCD 所成的角为45D ．四面体11D AB C -的外接球体积为3π28．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．22πB ．32B ．C ．63D ．33π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅= B ．若空间四个点,,,P A B C ，1344PC PA PB =+ ，则,,A B C 三点共线C ．已知向量()()1,1,,3,,9a x b x ==- ，若310x <，则,a b 为钝角D ．任意向量,,a b c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k === ，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1AD 上的投影向量的模长为133D ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=11．如图，菱形ABCD 边长为2，∠BAD =60°，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使A 到A '，连接A B '，A C '，且A D DC '⊥，平面A BE '与平面A CD '的交线为l ，则下列结论中正确的是（）A ．平面A DE '⊥平面A BE'B ．CD l ∥C ．ВС与平面A DE ¢所成角的余弦值为12D ．二面角E A B D '--的余弦值为712．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1112AB AA AD ===，点P 是经过点1B 的半圆弧 11A D 上的动点（不包括端点），点Q 是经过点D 的半圆弧 BC 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A ．四面体PBCQ 的体积是定值B ．1AD A P ⋅ 的取值范围是()0,4C ．若1C Q 与平面ABCD 所成的角为θ，则1tan 2θ>D ．若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则[)4π,13πS ∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，底面边长和侧棱长均为2，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则对角线1AC 的长为________．14．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14DD =，则点B 到平面11ACD 的距离为________．15．如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，若35PE PB =，12PF PC =，则PG PD的值为___________．16．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．17．（10分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CA a = ，CB b = ，1CC c = ，11CA CB CC ===，2π,,3a b a c == ，π,2b c = ，N 是AB 中点．（1）用a ，b ，c 表示向量1A N ；（2）在线段11C B 上是否存在点M ，使1AM A N ⊥？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠= ，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点（1）求证：CF 面SAB ；（2）求异面直线FC 与BD 所成角的大小．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，,90,90,,22PA PB BAD PAD AB CD AD AB CD ∠∠======∥ ，平面PBD ⊥平面PAD ．（1）证明：PB ⊥平面PAD ；（2）求二面角B PC A --的正弦值．四边形ABCD 是平行四边形，π4CBA ∠=，四边形ABEF 是梯形，//BE AF ，且AB AF ⊥，112AB BE AF ===，BC =ABCD ⊥平面ABEF ．（1）求证：AC EF ⊥；（2）求直线EC 与平面EFD 所成角的正弦值．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD BC，190.2ADC PAB BC CD AD∠=∠===， E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90︒．（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM 平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；（2）若二面角P−CD−A的大小为45︒，求P到直线CE的距离．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 为边AD 上的动点，将DCE 沿CE 折起，记折起后D 的位置为P ，且P 在平面ABCD 上的射影O 恰好落在折线CE 上．（1）设DCE α∠=，当α为何值时，PBC 的面积最小？（2）当PBC 的面积最小时，在线段BC 上是否存在一点F ，使平面PAF ⊥平面POF ，若存在求出BF 的长，若不存在，请说明理由。
2022年广州市高二教研资料空间向量与立体几何B卷高中数学高考
2022年广州市高二教研资料空间向量与立体几何B卷高中数学高考选修2-1第三章《空间向量与立体几何》训练卷B卷供稿人吴坚（广大附中）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a(某,4,3),b(3,2,y),且a//b,则某y（）A.－4B.9C.－9D.a(0,1,1)b(1,2,1)2．已知、，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．90D．1503．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的一点，在下列条件中能说明M与A，B，C四点共面的是（）64911111OAOBOCB.OMOAOBOC22233C.OMOAOBOCD.OM2OAOBOCA.OM4．已知OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为（）131123448447（A）(,,)（B）(,,)（C）(,,)（D）(,,)2432343333333125．点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足APABADAA1，则423点P到棱AB的距离为（）A．464D．145126．如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则MN等于（）D121221A．abcB．abc332232C．211111abcD．abc3222227．已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）1363B.C.D.23328．正四棱锥SABCD的高SO2，底边长AB2，则异面直线BD和SC之间的距离（）A．A．155B．5255C．D．55109．已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离（）A．2a4B．232aC．a84D．2a210.如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线A．①③④B．③④C．①③D．①②③二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）11.已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是．12.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG=某OA+yOB+zOC，则（某，y，z）为.13.已知向量a(1,1,0),b(1,0,2)，a在b方向上的射影是____________.14．若a(2,1,1)，b(2,1,3)，则与a,b均垂直的单位向量的坐标为__________________．15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC 与平面BDE所成的角为________16.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，则B、D之间的距离是三、解答题（本大题共5题，共70分）17.（本小题14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA14，点D是AB的中点.（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1;（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.18.（本小题14分）如图4，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CD 上。
高中数学第三章空间向量与立体几何检测(B)(含解析)新人教A版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何检测（B）（含解析）新人教A版选修21(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在平行六面体ABCD-EFGH中,A解析:因所以2x=1,3y=1,3z=-1,则x x+y+z答案:D2已知点A(1,2,-1)关于平面xOy的对称点为B,而点B关于x轴的对称点为C,A.(0,4,2)B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,0,-2)解析:∵B(1,2,1),C(1,-2,-1),答案:B3以下四组向量中,互相平行的组数为()①a=(2,2,1),b=(3,-2,-2)②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)③a=(0,-1,1),b=(0,3,-3)④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3)A.1B.2C.3D.4解析:②中,∵a=2b,∴a∥b;③中,∵a=a∥b;而①④中的向量不平行.答案:B4已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是()A.(1,-4,2)BC解析:设平面α的法向量为n,依题意必有n⊥a,n⊥D项不符.答案:D5把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角,则点A到BC的距离是() A.aBC解析:取BC中点E,则AE⊥BC,即AE为A到BC的距离,AE答案:D6已知点A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sinA.解析:所以cos所故sin答案:C7在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A解析:不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量cos BB1与平面ACD1所成角的余弦值答案:D8在如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=AB=DA=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,则下述结论成立的是()A.DM⊥EBB.DM⊥ECC.DM⊥BMD.DM⊥BA解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设EA=DA=AB=2CB=2,则A(0,0,0),E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),DM⊥EB,故选A.答案:A9如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:不妨设AB=BC=AA1=1,∴∴cos∴EF与BC1的夹角是60°.答案:B10已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中点,GC垂直于正方形ABCD所在的平面α,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.3BC解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,令x=1,则y=1,z=3.则n=(1,1,3),设点B到平面EFG的距离为d,则d答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11正四棱锥S-ABCD的底面边长解析:以底面ABCD的中心为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有B(0,1,0),D(0,-1,0),S(0,0λ=2.答案:212如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以解析:答案:13若点A,B的坐标为A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则解析:≤cos(α-θ)≤1,∴1≤13-12cos(α-θ)≤25.∴1≤≤5.答案:[1,5]14在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个命题:①③向④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为其中正确的命题是.(填序号)解析:①中,设正方体的棱长为1,①正确;②②正确;③中,A1B与AD1两异面直线所成角为60°,120°,故③不正确;④中,④也不正确.答案:①②15如图所示,已知二面角α-l-β的平面角为⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为.解析:因所θ.所AD的长答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知A(3,-2,1),B(1,1,1),O为坐标原点.(1)写出一个非零向量c,使得c⊥平面AOB;(2)求线段AB中点M及△AOB的重心G的坐标;(3)求△AOB的面积.解:(1)设非零向量c=(x,y,z),要使c⊥平面AOB,则c·c·x=3,则y=2,z=-5,即非零向量c=(3,2,-5).(2)线段AB中点M△AOB的重心G坐标(3)|OA|∴cos∠AOB∴sin∠AOB∴S△AOB17(8分)如图,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a b c a,b,c为基向量表示出向解:∵a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)∴BN的长18(9分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,E是DD1的中点.(1)求证:AC⊥B1D;(2)若B1D⊥平面ACE,(3)在(2)的条件下,求二面角D-AE-C的大小.(1)证明∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,底面ABCD是正方形,∴DA,DC,DD1两两垂直.如图,以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AA1=a,AB=b,则D(0,0,0),A(b,0,0),B(b,b,0),C(0,b,0),B1(b,b,a).⊥B1D.(2)解∵B1D⊥平面ACE,∴B1D⊥AE.∵(3DAE的一个法向设n=(x,y,z)是平面AEC的一个法向量,则n·n·x=1,则y=1,z n=(1,1设二面角D-AE-C的平面角的大小是θ,则cosθ∴二面角D-AE-C的大小是60°.19(10分)如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=∠DAB=90°,SD=AD=AB=2,DC=1.(1)求二面角S-BC-A的余弦值;(2)设P是棱BC上一点,E是SA的中点,若PE与平面SAD所成角的正弦值解:(1)以D为原点,分别x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则由已知可得,D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,1,0),S(0,0,2),设平面SBC的一个法向量为n1=(x,y,z),由n1⊥n1⊥,n1·n1·取z=1,得x=-1,y=2,∴n1=(-1,2,1).∵SD⊥平面ABCD,∴取平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1).设二面角S-BC-A的大小为θ,|cosθ|,二面角S-BC-A为锐二面角,∴二面角S-BC-A的余弦值(2)由(1)知E(1,0,1)≤λ≤1),CD⊥平面SAD,SAD的一个法向量.设PE与平面SAD所成的角为α,则sinα=|cos解得λ).∴即线段CP的长20(10分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于点A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满(1)解直线l∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以直线l∥平面PAC.图①(2)证明方法一:如图①,连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.因为AB是☉O的直径,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC,而l⊂平面ABC,所以PC⊥l.而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.连接BE,BF,因为BF⊂平面PBC,所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,即∠CBF=β.DQ∥CP,且DQ连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF.从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF为锐角,故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即∠BDF=α.于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得sinθ从而sinαsinβθ,即sinθ=sinαsinβ.方法二:如图②,DQ∥CP,且DQ连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.图②以点C为原点,向x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),所以cosα从而sinα.又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得sinθ设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z), 所以取n=(0,c,b),于是|cosβ|从而sinβ故sinαsinβθ,即sinθ=sinαsinβ.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何综合检测 新人教B版选修21
第三章 空间向量与立体几何(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·佛山高二检测)与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(13，1,1)B ．(－1，－3,2)C ．(－12，32，－1)D ．(2，－3，－22)【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)．【答案】 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.应选D.【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →·BC →＝0C.AA 1→·B 1D 1→＝0 D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A 、B 、C 选项均正确． 【答案】 D5．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之由于a 、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B6．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝－12＋－22＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B7．(2013·岳阳高二检测)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255. 【答案】 C8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63【解析】 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33. 故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－332＝63. 【答案】 D9．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A ．(407，－157，－4)B ．(407，－157，－3)C ．(337，－157，4)D ．(337，－157，－3)【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)． ∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1×1＋y ×5＋－3×－2＝0，x －1×3＋y ×1＋－3×4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 D10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A －BD －P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝(3,0，－453)，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·3，0，－453＝0，x ，y ，z ·－3，4，0＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，34，543)．又n 1＝(0,0，453)为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．(2013·北京高二检测)若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3212．(2013·重庆高二检测)已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________．【解析】 ∵AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴AC →·BC →＝10－3－7＝0. ∴AC →⊥BC →，∴∠ACB ＝90°，又∵|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形13．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是________．【解析】 如图所示， 设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝1×1×cos 60°＝12.又AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， |AC 1→|＝a ＋b ＋c2＝3＋3×2×12＝ 6.【答案】 614．命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面； ③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．【解析】 当b ＝0时，①不正确；a 、b 、c 共面于平面α，则a ，b ，c 所在的直线可能异面，但都与α平行，所以②不正确；③不正确．因为a ∥b ⇔b ＝λa (a ≠0)；由空间向量基本定理可知④正确．【答案】 ④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)图115．(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 【证明】 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.图216．(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.【证明】 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→，∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.图317．(本小题满分12分)如图3，四棱锥S－ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC ＝2a，SB＝SD＝2a，点E是SC上的点，且SE＝λa(0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．【解】(1)证明连接BD，AC，设BD与AC交于O.由底面是菱形，得BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥平面SAC.又AE⊂平面SAC，∴BD⊥AE.(2)由(1)知BD ⊥SO ， 同理可证AC ⊥SO ， ∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2.∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2， 解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α， 则sin α＝|SC →·SA →||SC →|·|SA →|＝|－3a 2＋a 2|3＋1a 2·3＋1a 2＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418．(本小题满分14分)(2012·山东高考)在如图4所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．【解】(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D (32，－12，0)，F (0,0,1)．因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.。
空间向量与立体几何测试试卷
空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
(完整版)空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量,∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为( ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于( ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，答案:Ａ9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89,则λ=（ ) Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ )Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，答案:Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案:Ｄ12．给出下列命题:①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ,则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ,向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫-⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ． 答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ,30DCF ∠=°,且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，,使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在,请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．为2a ,求1AC 与侧面18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则113(000)(00)(002)222⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =， 则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =, 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ,并延长交xOy 面于H ,设(0)H x y ，，，则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =,确定P Q ，的位置,使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系,设BP t =， 22那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，,从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·, 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°,SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． 延长CD 交x 轴于点F ,易得(100)F ，，,作AE SF ⊥于点E ,连结DE ,则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·, 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时,1A C ⊥面1C BD ?请予以证明．解:欲使1A C ⊥面1C BD ,只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·, 22由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥． 因此，当11CDCC =时，1A C ⊥面1C BD ．一。
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“ 空 间向量与 立体 几何 ” 自测题 Ａ卷
１ ．（ Ｏ ， １ ， １ ） ． （ 答 案不 唯一 ， 与ＡＢ 一（ ０ ， 一１ ， 一１ ） 共线 的 向量 均可 ） ２ ．②． ３ ．必要 不 充分．
４ ．（ ， Ｊ ， ） 是 空 间一组 单位 正交基 底 ， 已知 向量 ｎ 一３ ｆ ＋２ ‘ ， 一 ， ｂ ＝ｉ －ｊ ＋２ ｋ ， 则 ５ ａ与
３ ６的数量 积 一 ． ５ ．已知／ ￣ ＡＢ Ｃ的 三个顶 点为 Ａ（ ３ ， ３ ， ２ ） ， Ｂ（ ４ ， 一３ ， ７ ） ， Ｃ （ ０ ， ５ ， １ ） ， 则Ｂ Ｃ边上 的 中线长 为
４ ． ｚ ／ ／ 口 或ｌ Ｃ ｍ ５ ． １ ３ ５ 。 ．６ ． 或 ． ７ ． 譬． ８ ． ３ ．
＞Ｏ ， 所 以 Ｃ Ｂ Ｄ为锐角 ； 同理／Ｂ Ｃ Ｄ， Ｂ ＤＣ均为锐角．
’
９ ． 锐角． 提示： 茴 ． 赢 一（ Ａ 一 Ｄ 一 ） ． （ 一 ） 一 Ａ 一 Ｄ． 一 Ａ 一 Ｄ． Ａ 一 Ｂ 一 Ａ 一 Ｂ． 一 Ａ Ｃ ＋ Ａ 一 Ｂ ｚ ： Ａ 一 Ｂ ｚ
一
、
＝ ｊ ＝
２ ．正 方体 ＡＢ Ｃ Ｄ— Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， ０是平 面 ＡＣ 的 中心 ， Ｅ， Ｆ分 别是 Ｃ Ｃ ， ＡＤ 的 中点 ，
异 面直 线 ＯＥ与 Ｆ Ｄ 所成 的角 的余 弦值 是
．
．
— —
３ ．已知 ｎ 一（ ＋１ ， ０ ， ２ ， Ｄ， ６ 一（ ６ ， ２ 一１ ， ２ ） ， 若ａ ／ ／ ｂ ， 则 ＋ 一
是 ＡＡ 上一 点 ， 且 ＡＣ 上Ｅ Ｇ． （ １ ）确定 点 Ｇ的位 置 ；
（ ２ ）求直 线 ＡＣ 与平面 Ｅ Ｆ Ｇ所 成角 的大小 ．
（ 第１ ２题 ）
・
１ ４ ・
所 以 ， 当 ＝ 号 时 ， ， （ ） 有 极 小 值 ， 即 最 小 值 ， （ 号 ） 一 ２ — ２ １ ｎ ２ ．
平 行 四边形 的面积为 ． ８ ．如 图 ， 在 正 三 棱 柱 ＡＢ Ｃ— Ａ Ｂ Ｃ ｌ中 ， 已 知 ＡＢ一 １ ， Ｄ 在 棱
Ｂ Ｂ 上 ， 且Ｂ Ｄ＝１ ， 若 ＡＤ 与平 面 Ａ Ａ Ｃ Ｃ所 成 的角 为 ａ， 则 ｓ ｉ ｎ ７ － －
９ ．在平 面直 角坐标 系 中 ， Ａ（ 一２ ， ３ ） ， Ｂ（ ３ ， 一２ ） ， 沿 轴 把平 面直 角 坐标 系折成 １ ２ ０ 。 的二 面角 ， 则 ＡＢ的长度 为
ＱＢ一 １：２ ．
Ｃ
（ １ ）求 证 ： ＰＱ 上ＡＤ；
（ ２ ）求 证 ： ＰＱ∥平 面 Ｃ ＤＤ Ｃ ．
口
Ｃ
（ 第 儿 题）
１ ２ ．（ 本 题 满分 １ ８分） 如 图， 在 直 三棱 柱 ＡＢＣ— Ａ１ Ｂ Ｃ １中 ，
Ｃ Ａ＝Ｃ Ｂ＝Ｃ Ｃ １ —２ ， Ｃ 的中 点 ， Ｇ
（ ２ ）解 ： 设Ａ Ｂ与ＡＤ的夹角为 ， 则
二 一—呈一
．
— —
６ ．已知 Ｚ ｘ ＡＢ Ｃ的顶 点为 Ａ（ ３ ， ４ ， ４ ） ， Ｂ（ 一２ ， 一１ ， ５ ） ， Ｃ （ ４ ， ５ ， Ｏ ） ， 点 Ｄ 在线 段 ＡＣ上 ， 且
１
ＡＡ Ｂ Ｄ是／ ￣ Ａ Ｂ Ｃ的面积的÷， 则Ｂ Ｄ 的长为
．
矾 ｌ Ｉ
７ ．若Ｏ Ａ＝ （ ２ ， ３ ， 一１ ） ， Ｏ Ｂ一 （ 一２ ， ｌ ， ３ ） ， 则 以Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ为 邻 边 的
每 周 一 习
班 级
‘ ‘
姓 名
‘
得 分
回 ０ ｝
空 间 向量 与 立体 几 何 ＂ 自测 题 Ｂ卷
醐
圆
蒜
填 空题 （ 每题 ６分 ， 共 ９题 ， 共５ ４分） １ ．若 向量 ｎ＝ （ ３ ３ ： ， 一５ ， ４ ） 与 ｂ 一（ １ ｚ ， ２ ３ ： ， ～２ ） 的夹角 为钝 角， 则 ｚ 的取 值 范 围为
二 、解 答题 （ 共４ ６分 ）
１ ０ ．（ 本题 满分 １ ２分 ） 设 Ａ（ １ ， 一２ ， 一３ ） ， Ｂ（ 一１ ， 一１ ， ～１ ） ， Ｃ（ ｘ，
。
（ 第 ８题 ）
０ ， 一５ ） ， 若／ ￣ ＡＢＣ是 直角 三角形 ， 求 的值．
・
１ ３ ・
１ １ ．（ 本题 满分 １ ６分） 如图， 正方 体 ＡＢ Ｃ Ｄ— Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 棱 长 为 １ ， Ｐ， Ｑ分 别是 线段 ＡＤ 和 Ｂ Ｄ 上 的点 ， 且 Ｄ Ｐ： Ｐ Ａ＝ＤＱ ：
１ Ｏ ．以 Ｄ为原点 ， Ｄ Ａ， ＤＣ， ＤＤ 所在 直线 分别 为 ． ２ ７ 轴， Ｙ轴 ， ｚ轴 建立 空 间直 角坐 标 系 Ｄ — ｘ ｙ ｚ ， 则 Ｃ １ （ Ｏ ， １ ， ２ ） ， Ｂ（ ２ ， ４ ， Ｏ ） ， Ｃ（ Ｏ ， ｌ ， Ｏ ） ． 所 以Ｂ Ｃ １ ：（ 一２ ， 一３ ， ２ ） ， Ｃ Ｄ＝ （ ０ ， 一１ ， ０ ） ． 设Ｂ Ｃ ｌ 与Ｃ Ｄ所 成角 为 口 ， 则
ｃ ｏｓ
矗 一 ． 孵 面 直 线 Ｂ Ｃ 】 与 Ｄ Ｃ 所 成 角 的 余 弦 值 为 ．
１ １ ．（ １ ）证 明 ： 因 为ＡＰ ・ ＡＢ＝ 一 ２ —２ ＋４ － － ０ ， 所 以 ＡＰ 上 ＡＢ ． 同理 由ＡＰ ・ ＡＤ＝ 一４ ＋４ ＋０ ＝０ ， 得 ＡＰ 上 ＡＤ ． 因 为 ＡＢ， ＡＤ 是 底 面 ＡＢ Ｃ Ｄ 上 的两 条 相 交 直 线 ， 所 以 ＡＰ上底 面 ＡＢ Ｃ Ｄ．