柯西中值定理中间点”的渐近性

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一个命题的中间点的渐近性

十分丰富的研究成果，乎各种中值定理的中间点的渐近性都得到了明确的刻画，参见［ —３．其几可１］
实许多命题与习题的中间点都具有渐近性特征，里我们以数学分析中的一个经典命题的渐近性来说这
明这个问题．
ａ口
－，＿）ｃ－（，
一
一
ｂ
Ｄ
，，
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ｎ
一
－ｃ邑）（＋厂
一
厂（）已一厂（，矗）
同时有
三（＋三（））已＞
由导数的达布定理知存在己，己，， ∈［已］使得
（）＋
（）色＋
令一口ｂ可得，，
厂）厂）厂ｃａｃ（（ｃ＋厂（ｃ，（＝（（）厂ｃａ）吉（ａ）口ｃ（－＋）— 。＋））－。，）厂）厂）一＋厂ｃ６ｃ＋厂（ｃ．（一（（ｃ专（（）吉（６）６ｃ（６））一。＋）一。
命题１设ｆ（在［，］阶可导，厂（在Ｃ（，）连续，厂（）０试证：在ｚ）口６三且ｚ） ∈ ａ６点５≠ ，－存
已，口６， ∈（，）使得
丢一厂
若记口 —ａ，一ｃ９（＞０，０一ｆ６＋Ｊ）贝
［稿日期］２０ —００收０９１ —９［金项目］浙江省级精品课程建设经费资助项目基
第３期
朱军，：个命题的中间点的渐近性等一

柯西中值定理的逆问题与渐进性初探

柯西中值定理的逆问题与渐进性初探摘要】本文主要研究了柯西中值定理逆问题，首先对柯西中值定理与高阶柯西中值定理进行了简要介绍，在其根底上，将其与“中间点〞渐进性联系到一起，对高阶柯西中值定理进行了推广，并获取了一些结论，针对逆问题的研究，提出命题，并对命题进行证明，验证逆命题是否成立.对于渐进性问题，采用两个引理，分别设定了两个条件，通过泰勒公式运算得到多个公式，经过推理分析，判断命题是否成立.【关鍵词】柯西中值定理；逆问题；渐进性在微积分理论当中，占据比重比较大的内容是微分中值定理，并广泛应用到各个领域.近几年，很多学者将目光转移向了“中间点〞渐进性研究方向，除此之外，还包括一些逆问题的研究.为了对这些问题进行深入研究，对本文在已有研究的根底上，将两者结合起来，对柯西中值定理逆问题进行分析，提出逆命题，并对该命题做出了证明.另外，本文还对该定理的渐进性进行了初探.以上为柯西中值定理的逆命题探究内容，基于柯西中值定理，提出两种命题方式，其中一种命题方式为：首先，假设函数在某闭区间上连续，在此开区间上可导，判断是否存在两个数值，使得命题成立.经过推理验证分析，该命题不成立，并列举了实例.接下来通过添加一些附加条件，判断逆命题是否成立.另外一种命题方式为：假设函数满足3个条件，验证逆命题是否成立，依据条件，提出了三种假设，对这三种假设方法相同，基于定理，提出两个假设条件，用泰勒公式进行运算，对运算结果进行处理与分析，从而验证命题是否成立.以上为本文对柯西中值定理的逆问题与渐进性做出的论述.通过查找文献资料，在已有定理的根底上，提出逆命题并做出了相应论证.其中，针对逆问题的研究，提出了相应的命题并对命题进行了证明，从而验证逆命题是否成立.对于渐进性问题，采用两个引理，分别设定了两个条件，如果满足条件，那么通过泰勒公式运算得到4个公式，再次对其进行推理分析，经过验证，确定命题成立.这些研究内容可以为今后柯西中值定理研究奠定根底，从而为定理研究拓宽思路，到达加深对命题理解的目的.四、总结近年来，柯西中值定理逐渐成为人们关注的重点，并加大了在考试中的比重.虽然很多人对此定理有一定认识，其中局部人能利用这个定理求解一些实际问题，但是对定理逆问题的研究不是很多，而柯西中值定理的逆问题与定理的渐进性占据了数学研究领域的重要局部，必须对其给予一定重视.本文在该定理的根底上，将其与渐进性联系到一起进行初探.【参考文献】【1】李文娟.柯西中值定理的逆问题及渐进性[J].数学的实践与认识，2021〔22〕：293-298.【2】刘丽娜.高阶柯西中值定理中间点的渐近性及误差估计[J].高等数学研究，2021〔1〕：22-28.【3】姚元金.柯西中值定理在证明中值问题中的教学体会[J].考试周刊，2021〔97〕：49-50.【4】陈新一，王学海.Cauchy中值定理的逆问题[J].甘肃教育学院学报，2021方法分析[J].神州旬刊，2021〔16〕：197-198.【6】王良成，马秀芬，杨明硕.再论Cauchy微分中值定理的逆问题[J].大学数学，2021〔5〕：101-104.【7】李昆，董泉发，艾小伟，等.积分型Cauchy中值定理的逆问题[J].南昌航空大学学报〔自然科学版〕，2021〔3〕：61-64.[8]刘丽娜.广义积分型Cauchy 中值定理及其逆定理[J].淮阴工学院学报，2021〔5〕：16-20.。

广义柯西中值定理的“中间点”的渐近性的推广

函数，（，）在ａｂ内均存在有限导数，必有 ∈ ａｂ，则 ∈（，）
使
则由定理１定的专足确满
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２１００年第５期
（窆［ｌ。ｌｃａ≠ 则３ｆ（（２））０），ａａ【。］，））（（ａ
由定理１定的专确满足：
ｌｍｉ
…
当ｐ，然ｕ时显有＿号１｝ ‘ ａ
这就是文［的定理２３］。所以本文的定理２是文［］，
定理的“ 间点 ∈ 的渐近性，到了当区间的端点中 ” 得ｂａ时的变化趋势；本文就当区间的两个端点都趋 —
ａ
一
一
。
ａ
向于一个定点１时，１广义柯西中值定理的“ 中间点考 ” 变化趋势进行了讨论，从而得到了文定理的推广。定理１设￡ｘｉ１２ … ，ｎ是［，］的连续（）（，，２）ａ上＝ｂ
文［［［对广义柯西中值定理的“ ２３］］中间点 ” 的渐
近性进行了研究。文［］ｓ讨论了文［中广义柯西中值］
（ ∑Ｉ））＇ｆ３ｆ一（－挫），－ｆ）ｑ
４ｌｍ＂ｉｑ离＇
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＋（— １Ｐ）ｏ（－）ｏ（ｂＴ＋一（ｂ－￣））ｑ

微积分中值定理“中间点”渐进性的统一

了
ｇ６（）
一
Ｅ（）一ｇｇｂ
］
‘ ” ” （）
㈩
…
［，］上连续，至少存在一点ＥＥ，］使得ｎ６则ａ６，
Ｉ（）ｘ一厂（—ｎｒｘｄ６ｆ（）６— ）
．
（）６
这里，厂（］ｆ（）Ｔ［）一口＋
（＋Ｌ＋（ｚ
（ｚ一口）＋
（推广的积分第一中值定理）函数－ｚ若厂）在闭（
（ａｃｙ中值定理）函数，（）ｇ（）闭Ｃｕｈ若ｚ和ｚ在区间［，］ｎ６上连续，开区间（，）可导，ＶＸＥ在口６内且（，）ｇ（ ≠ ０则至少存在一点 ∈（，）使得ｎ６，ｚ）．ｎ６，
，
含）（一
ａ（一
ｉ一ｍ（暑
ｉ￥ｍ－ｌ
一
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…
证明由于函数厂（和ｇ）区间［，］）（在ａ６上存在ｍ阶导数，对Ｖｚ∈ （，］构造辅助函数：ｚ一则口６，Ｆ（）
基于以上的定理，就有以下的推论：
第２２卷第３期
２１０２年９月
湖南工程
学院学报
Ｖｏ＿２Ｎｏ３１２．．
Ｓｅｔ２２ｐ．０１
ＪｕｎｌｆＨｕａｎｔｕｅｏｎｉｅｒｎｏｒａｎｎＩｓｉｔｆＥｇｎｅｉｇｏｔ
微积分中值定理 “中间点＂进性的统一渐

积分第二中值定理的应用及中间点的渐近性

关于积分第二中值定理的探讨范喜红指导老师：朱福国(河西学院数学与统计学院甘肃张掖 734000)摘要本文以实例的形式,列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛,解决与极限有关的问题,证明积分的不等式和等式等方面的应用.并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.关键词积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态中图分类号 O 172.2On the integral of the second mean value theoremFan XihongInstructor Zhu Fuguo(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract: In this paper, as an instance of, The second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, Prove integral inequalities and equations in such applications.And discussed the weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point" of the progressive state.Keywords: The second integral mean value theorem;Application;Mid-point;Asymptotic behavior1 引言积分第二中值定理是数学分析的基本定理,在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用.为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.2 积分第二中值定理定理如果是上的可积函数,且在单调,则至[]11()(),f x g x [],a b ()g x [],a b 少存在一点使得[],a b ξ∈ (1)()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰3 积分第二中值定理的应用3.1 无界函数积分收敛的判别法.例1 阿贝尔判别法：设在有奇点,收敛,其中,[]2()f x x a =()baf x dx ⎰b a >单调有界,那么积分收敛.()g x ()()baf xg x dx ⎰证明依假设,利用第二积分中值定理,在任何上,存在使[](),,a b 'A A ⊆ξ得,又因为收敛,所()()f x g x dx 'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'=A +A ⎰⎰()baf x dx ⎰以对任意的,存在满足,且,时,有0ε>η0b a η<<-A (),a a η'A ∈+,.因为有界,不妨设,所以有当,()f x dx ξεA<⎰()f x dx ξε'A <⎰()g x ()g x L <A 时,(),a a η'A ∈+()()f x g x dx'A A ⎰()()()()g f x dx g f x dx ξξ'A A'≤A +A ⎰⎰()()()()g f x dx g f x dxξξ'A A'≤A ⋅+A ⋅⎰⎰.2L ε≤由柯西积分原理得,收敛.()()baf xg x dx ⎰3.2 与极限有关的问题.例2 设,试计算.()21,101x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩当 , 当()0sin lim (0)b x f x dx b x λλ→∞>⎰解取,则在上递减,由积分第二中值定理有{}*min ,1b b =()f x *0,b ⎡⎤⎣⎦()sin bxf x dx x λ⎰()()*0sin 0b xf f x dxx λ=⎰ ()0sin 0xf dx xξλ=⎰ 0sin tdt tλξ=⎰*(0)b ξ<<因此.()0sin lim b x f x dx x λλ→∞⎰0sin t dt tλξ=⎰2π=3.3 证明积分不等式和等式.例3设在上连续，且单调增加，证明：()f x [],a b.()()2bba aa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰证明因为()()2bba a ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ =()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ()2a a b f a x dx ξ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰+()2b a b f b x dx ξ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()a b ξ≤≤ ()()()22bb a a b a b f a x dx f b f a x dx ξ++⎛⎫⎛⎫=-+--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰ =()()()2222b a b f b f a b ξξ⎡⎤-+---⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()02b f b f a a ξξ-=--≥⎡⎤⎣⎦所以.()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰例4 设,,证明：,使得.0b a >>0θ>1ξ∃<sin 2x ba e x dx x aθξ-=⎰证明令,,则在上连续,又()x e f x xθ-=()sin g x x =()g x [],a b ,所以在上严格单调减少,且非负.于是,由积()210xx f x e xθθ-+'=-<()f x [],a b 分第二中值定理知,,使得[],a b η∃∈,sin x bae x dx xθ-⎰()()a f a g x dx η=⎰()cos cos xe a θαη-=-即sin 2x bae x dx x aθ-<⎰令,则有,且.sin 2x b a a e x dx x θξ-=⎰1ξ<sin 2xb a e x dx x aθξ-=⎰4 积分第二中值定理中间点的渐近性态定理2 设函数在上连续且不变号,,在上[]3()f x [],a b ()0f a ≠()g x [],a b单调且连续,存在,且=…==0,,则()()n g a ()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a ≠(1)n ≥对于(1)中的有ξ1lim1b a b b a n ξ→-=-+或lim1b a an b a n ξ→-=-+定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱.下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:定理3设函数在上连续且不变号,且,在[]4()f x [],a b ()0f a ≠()g x 上单调,存在,=…==0,,则对于式(1)中[],a b ()()n g a +()()g a g a '''=(1)()n g a -()()0n g a +≠的有ξ 1lim 1b ab b a n ξ+→-=-+证明由题设可得.由在上连续,则有()0ba f x dx ≠⎰()f x [],ab ,.由存在,==…==0，()()()ba f x dx fb a η=-⎰[],a b η∈()()n g a +()g a '()g a ''(1)()n g a -,容易证明()()0n g a +≠ （2）()()()()lim ()!n n b a g a g b g a b a n ++→-=-1()()()()lim()bba an b b a a f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()()()lim (1)()()nb b aa fb g b f a g a n f x dx f b +→-=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰[]()()lim (1)()()nnb ag b g a n f b a η+→-=+- （3[]()()(1)!()n ng a n f a +=+）另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）,我们有1()()()()lim ()bba a nb b aa f x g x dx g a f x dxf x dx ++→-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰1()()()()()()lim ()bbaa nb b aa g a f x dx gb f x dx g a f x dxf x dx ξξ++→+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰[]1()()()lim ()bn b b aa gb g a f x dxf x dx ξ++→-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]112()()()lim ()()n n b af g b g a b b a b af ηξη++→--=⋅⋅-- （4）[]()()lim !()n nb ag a b b an f a ξ++→-=⋅-其中,.由式（3）和式（4）即得[]1,b ηξ∈[]2,a b η∈.1lim 1b a b b a n ξ+→-=-+ 比较定理2和定理3可以看出,定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.致谢衷心感谢朱福国老师的悉心指导!参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2001.223-224.[2] 朱碧,王磊.积分第二中值定理的一些推广及其应[J ].数学教学与研究,2008,30:49-50.[3] 吴志友,夏雪.积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J ].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.[4] 陈新一,唐文玲.关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J ].甘肃联合大学学报,2005,19（3）：3-5.。

积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明

积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明张素玲
【期刊名称】《焦作大学学报》
【年(卷),期】2008(022)003
【摘要】积分第一中值定理是联系函数及其积分的桥梁,是用积分研究函数性质或用函数研究积分性质的工具,自从1982年美国数学月刊(Amer Math Monthly)上有两篇文章[1-2]研究了当区间长度趋于零中值定理中间点的渐进性,最近几年有许多文章[3-7]进行了进一步的研究,获得了有趣的结果.文章继杨彩萍等人对积分中值定理的中值当区间长度趋于零时的渐近性研究,对第一中值定理中值点渐进性定理及它的等价性定理给出了简洁的证明.
【总页数】2页(P60,64)
【作者】张素玲
【作者单位】焦作大学,河南,焦作,454003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.8
【相关文献】
1.微积分中值定理“中间点”渐进性的统一 [J], 杜争光
2.关于n重积分中值定理"中间点"的渐进性定理 [J], 张煜
3.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
4.积分第二中值定理"中间点"的渐进性研究 [J], 王春光
5.带有Beta型积分的Cauchy中值定理及其中间点的渐进性 [J], DU Zheng-guang
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线性抛物型方程柯西问题解的渐近性质

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且对于任意正数 T
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柯西中值定理的中间点总位于区间正中间的函数类

柯西中值定理的中间点总位于区间正中间的函
数类
柯西中值定理的函数类是指任意连续可导函数在区间[a,b]内存在
一个点c，使得函数f(c)在此区间上达到极值，且c位于[a,b]中间，
此点称为柯西中间点。

根据柯西中值定理，函数f(x)在[a,b]上可表示为f(x)=(x-a)(x-c)(x-b)，其中c即为极值点，而c位于[a,b]中间。

由此可以发现，
柯西中值定理的函数类不受[a,b]区间大小的限制，只要[a,b]区间内
的任意连续可导函数都满足柯西中值定理。

例如，当函数f(x)=x^3+5x^2+6x+7在区间[-1,2]内取值时，该函
数的极值点为-0.4573，位于[-1,2]的中间位置，此点即为柯西中间点。

此外，柯西中值定理也可以拓展至三维函数f(x,y)，也就是说，
在满足条件的三维区间[a,b]×[c,d]内，f(x,y)也存在一定的极值点，且位于区间正中间。

总之，柯西中值定理可以用来推断任意连续可导函数在区间[a,b]
内存在一个点c，使得函数f(c)在此区间上达到极值，且c位于[a,b]
正中间，此点称为柯西中间点，因此柯西中值定理的函数类有着广泛
的应用。

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关键词 ! 柯西中值定理 2 泰勒公式 2 渐近性中图分类号 ! , * 5"
柯西中值定理是微分学中重要的定理之一 0 其内容如下 ! 设函数 7 上连续0 在开区间 0 0 < 8在闭区间 9 : ; 内可导 0 且当 = 时0 有8 则 ) 0 + >) 0 + ? ) + @# 0 : ; : ; = ? ) : CD ) ; A: + + 7 ) ; + A7 ) : + 7 B 0 D >) # 0 " + 1 8 ) ; + A8 ) : + 8 ? ) : CD ) ; A: + + 其中 E 称为中间点. 它随区间 B: CD ) A: + + 0 ; 长度的改变而变化的性质称为渐近性 4 本文讨论了固定区间端点 : 当区间 9 的长度 F 0 0 < B; A:趋近 : ; 于 #时 0 中间点 . 其中的 D 的变化规律 4 + ) E 定理 G 若函数 7 内二阶连续可 0 0 + 8在 H) : I 导0 且8 对 K= 均 ? ) + J ) + @7 ? ) + J ) + 0 >H) 0 + : 7 : : 8 : : I 有8 则对 # 柯西中值定理 ? ) + @# 0 LM M LI 0 = F
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江苏连云港 * * ’ # # * 2* 1连云港师范高等专科学校数学系 0
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摘
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第" #卷第 ’期 * # # "年 " *月
淮பைடு நூலகம்
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柯西中值定理中间点 . 的渐近性
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