2021湖南高考数学试卷
2021年湖南省高考数学真题及参考答案
2021年湖南省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)(解析版)
正视图 侧视图俯视图 图1普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理）试题解析本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．)若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 ( )A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 1. 解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,a =2．设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110 由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．2()P K k ≥0．050 0．010 0．001 k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是( )A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2021年湖南省高考数学对口招生试卷(附答案详解)
2021年湖南省高考数学对口招生试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,3，5}，B={1,2，3，4}，且A∩B=()A. {1,3}B. {1,3，5}C. {1,2，3，4}D. A={1,2，3，4，5}2.函数f(x)=log3(1+x)的定义域为()A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (0,+∞)3.函数f(x)=x2−4x−1的单调递减区间是()A. [2,+∞)B. [−2,+∞)C. (−∞,2]D. (−∞,4]4.要得到函数y=sin(x+π4)的图象，只需将函数y=sinx的图象()A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位C. 向上平移π4个单位 D. 向下平移π4个单位5.点(0,−1)到直线3x−4y+1=0的距离为()A. 25B. 35C. 45D. 16.不等式|2x−1|<3的解集是()A. {x|x<2}B. {x|x>−1}C. {x|−1<x<2}D. {x|x<−1或x>2}7.“x=1”是“x2−3x+2=0”成立的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若a>b，c>d，则()A. a+c>b+dB. a−c>b−dC. ac>bdD. ad>bc9.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A. 若m//n，n//α，则m//αB. 若m//n，m//α，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β10.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为()A. 1000B. 40C. 27D. 20二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知tanα=−√3，且α为第四象限角，则cosα=______．12.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，则|2a⃗+b⃗ |=______．)6的展开式中常数项是______.(用数字作答)13.(x2+1x14.过圆x2+y2−4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为______．15.已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，g(x)=3f(x)+2.若g(−9)=−2，则g(9)=______．三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）16.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1=1，a3=4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．17.端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个．(1)用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；(2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率．18. 已知函数f(x)={2x ,0≤x ≤28−2x,2<x ≤4．(1)画出函数f(x)的图象；(2)若f(m)≥2，求m 的取值范围．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB//平面ACE ；(2)设PA =1，AD =√3，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P −ABCD 的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1经过点A(2,0)，且离心率为√32．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线y =x −1与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21. 如图，在△ABC 中，∠B =45°，点D 在BC 边上，且CD =2，AD =3，cos∠ADC =13． (1)求AC 的长； (2)求sin∠BAD 的值．22. 某学校租用A ，B 两种型号的客车安排900名学生外出研学．A ，B 两种车辆的载客量与租金如表所示：车辆型号 载客量(人/辆)租金(元/辆) A 60 3600 B362400学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆．该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={1,3，5}，B={1,2，3，4}，∴A∩B={1,3，5}∩{1，2，3，4}={1，3}．故选：A．直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由1+x>0，解得x>−1，∴函数f(x)=log3(1+x)的定义域为(−1,+∞)．故选：B．由对数式的真数大于0，求得x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(x)=x2−4x−1的对称轴为x=2，且开口向上，∴函数f(x)=x2−4x−1的单调递减区间是(−∞,2]，故选：C．先求出二次函数的对称轴，再根据开口方向即可求解．本题考查二次函数的单调性，求出对称轴是关键，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：要得到y=sin(x+π4)的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移π4个单位即可得到．故选：A．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．5.【答案】D=1，【解析】解：点(0,−1)到直线3x−4y+1=0的距离为√32+(−4)2故选：D．由题意利用点到直线的距离公式，计算求得结果．本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：不等式|2x−1|<3，则−3<2x−1<3，解得−1<x<2，即不等式的解集为{x|−1<x<2}．故选：C．由绝对值不等式的解法求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由x2−3x+2=0得x=1或x=2，则“x=1”是“x2−3x+2=0”成立充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】A【解析】解：因为a>b，c>d，则a+c>b+d，故A正确；取a=4，b=3，c=2，d=1，则a−c=b−d，故B错误；取a=−3，b=−4，c=−1，d=−2，则ac<bd，故C错误；取a=4，b=3，c=2，d=1，则ad<bc，故D错误．故选：A．由不等式的性质即可判断选项A；由特值法即可判断选项BCD．本题主要考查不等式的基本性质，特值法的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A，若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故A错误；对于B，若m//n，m//α，n//β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．对于A，m//α或m⊂α；对于B，α与β相交或平行；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：由图1得样本容量为(3500+2000+4500)×2%=10000×2%=200，抽取的高中生人数为2000×2%=40人，则近视人数为40×0.5=20人，故选：D．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】12【解析】解：∵tanα=−√3，且α为第四象限角，∴α=−π3+2kπ，k∈Z，则cosα=cos(−π3+2kπ)=cos(−π3)=12．故答案为：12．由已知求得角α，进一步可得cosα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查已知三角函数值求角，是基础题．12.【答案】√10【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，则2a⃗+b⃗ =(1,3)，故|2a⃗+b⃗ |=√1+9=√10，故答案为：√10．根据题意，求出2a⃗+b⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量模的计算，注意向量模的计算公式，属于基础题．13.【答案】15【解析】解：设通项公式为C6r(x2)6−r(1x)r，整理得C6r x12−3r，因为是常数项，所以12−3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．本题可通过通项公式T r+1=C n r a n−r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r(x2)6−r(1x)r中r的值，然后即可求出常数项是15本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型．难度系数0.9.一般的通项公式的主要应用是求常数项，求有理项或者求某一项的系数，二项式系数等．所以在今后遇到这样的试题时首先都可以尝试用通项来加以解决．14.【答案】x−2y−2=0【解析】解：∵圆x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，故它的圆心为(2,0)，由于所求直线与直线2x+y=0垂直，故所求直线的斜率为12，故要求直线的直线方程为y−0=12(x−2)，即x−2y−2=0，故答案为：x−2y−2=0．先求出已知圆的圆心，所求直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．本题主要考查圆的标准方程，再用点斜式求出直线的方程，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：根据题意，g(x)=3f(x)+2．若g(−9)=−2，即g(−9)=3f(−9)+2=−2，则有3f(−9)=−4，又由f(x)为奇函数，f(9)=−f(−9)，则g(9)=3f(9)+2=4+2=6；故答案为：6．根据题意，有g(−9)=3f(−9)+2=−2，变形可得f(−9)的值，由奇函数的定义可得f(9)的值，进而计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】解：(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a1=1，a3=4，得q2=a3a1=4，解得q=2或q=−2(舍去)，所以a n=2n−1；(2)由题意b n=log2a n=log22n−1=n−1，所以S n=b1+b2+⋯+b n=0+1+2+⋯+n−1=n−12(1+n−1)=n(n−1)2．【解析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，根据a1=1，a3=4即可求出q值，从而可得数列{a n}的通项公式；(2)由题意b n=log2a n=log22n−1=n−1，从而利用等差数列前n项和公式求出S n即可．本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=C 32C 62=15，P(ξ=1)=C 31C 31C 62=35，P(ξ=2)=C 32C 62=15，故ξ的分布列为：ξ0 1 2P153515(2)由(1)可得，选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率P =P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+15=45．【解析】(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解分布列．(2)由(1)可得，选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率P =P(ξ=1)+P(ξ=2)，将值分别代入，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，考查计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)={2x ,0≤x ≤28−2x,2<x ≤4． 其图象如图：(2)根据题意，当0≤m ≤2时，f(m)≥2即{2m ≥20≤m ≤2，解可得1≤m ≤2， 当2<m ≤4时，f(m)≥2即{8−2m ≥22<m ≤4，解可得2<m ≤3， 综合可得：1≤m ≤3， 即m 的取值范围为[1,3]．【解析】(1)根据题意，由函数的解析式，作出函数的图象即可得答案；(2)根据题意，分0≤m ≤2和2<m ≤4两种情况讨论，求出不等式的解集，综合可得答案．本题考查分段函数的性质，注意函数图象的应用，属于基础题．19.【答案】(1)证明：连接BD 交AC于点F ，连接EF ，则在三角形BDP 中，点E 是PD 的中点，点F 是BD 的中点，即线段EF 是△BDP 的中位线，所以PB//EF ，又因为PB ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，所以PB//平面AEC ．(2)解：PA =1，AD =√3，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°， PA ⊥平面ABCD ，所以AB =PA =1，所以V P−ABCD =13×AD ×CD ×PA =13×1×√3×1=√33．【解析】(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，证明PB//EF ，然后证明PB//平面AEC ．(2)利用已知条件求出AD ，AB ，然后求解几何体的体积．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：(1)因为椭圆C 经过A(2,0)，且离心率为√32， 所以{a =2ca =√32b 2=a 2−c 2，解得c =√3，b =1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{y =x −1x 24+y 2=1，得5x 2−8x =0，所以x 1+x 2=85，x 1x 2=0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)⋅(x 2−2,y 2)=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+(x 1−1)(x 2−1) =2x 1x 2−3(x 1+x 2)+5=2×0−3×85+5 =15．【解析】(1)因为椭圆C 经过A(2,0)，且离心率为√32，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立直线PQ 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由数量积公式，即可计算得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由余弦定理可得cos∠ADC =AD 2+CD 2−AC22AD⋅CD， 则13=9+4−AC 22×3×2，解得AC =3；(2)在△ADC 中，因为cos∠ADC =13， 所以sin∠ADC =2√23，所以sin∠BAD =sin(∠ADC −∠B) =sin∠ADCcos B −cos∠ADCsinB =2√23×√22−13×√22=4−√26．【解析】(1)利用余弦定理即可求得AC 的值．(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC ，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：设A 型车和B 型车分别为x ，y 辆，则租金为z =3600x +2400y ，依题意，x ，y 满足{x −y ≤760x +36y ≥900x +y ≤23x,y ∈N ∗，即{x −y ≤75x +3y ≥75x +y ≤23x,y ∈N ∗．作出可行域如图：联立{5x +3y =75x −y =7，解得M(12,5)，作出直线3x +2y =0，由图可知，平移直线3x +2y =0至M 时，目标函数z =3600x +2400y 取得最小值为3600×12+2400×5=55200元．故A 型车与B 型车分别为12和5辆时，租金最小为55200元．【解析】设A 型车和B 型车分别为x ，y 辆，则租金为z =3600x +2400y ，由题意得到x 与y 所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，正确列出约束条件是关键，是中档题．。
湖南高考数学试题及答案
湖南高考数学试题及答案一、选择题1. （2021年湖南高考数学第1题）已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求f(x)的最小值。
A. -16B. -15C. -14D. -13答案：首先求导f'(x) = 6x^2 - 6x - 12，令其等于零得到x的临界点，再判断临界点处的函数值，比较得出最小值。
2. （2021年湖南高考数学第2题）在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y = x的对称点B的坐标为：A. (3,2)B. (1,4)C. (4,1)D. (0,5)答案：根据点关于直线对称的性质，可以求得点B的坐标。
3. （2021年湖南高考数学第3题）已知等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d，若a > 0, d < 0，则此数列的第100项为：A. a - 99dB. a - 100dC. a + 99dD. a + 100d答案：根据等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，代入n=100求得第100项。
4. （2021年湖南高考数学第4题）若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线y=-x答案：根据复数的几何意义，结合|z - 1|和|z + 1|的几何意义，可以判断z在复平面上的位置。
5. （2021年湖南高考数学第5题）已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y +3)^2 = 9，直线y = 2x - 6与该圆的位置关系是：A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定答案：求出圆心和半径，再求出直线与圆心的距离，与半径比较，判断位置关系。
二、填空题6. （2021年湖南高考数学第6题）已知函数g(x) = x^4 - 4x^3 +6x^2 - 4x + 1，求g(2)的值。
答案：将x=2代入函数g(x)，计算得出结果。
7. （2021年湖南高考数学第7题）一个等比数列的前四项之和为30，前三项之和为20，求该等比数列的第二项。
2021年湖南省高考数学联考试卷(2021.03) (解析版)
2021年湖南省金太阳高考数学联考试卷（3月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x≥0}，B＝{x|x＜3}，则A⋂B＝（）A．{x|0≤x＜3}B．{x|x≤﹣2或0≤x＜3}C．{x|﹣2≤x＜0}D．{x|x≤0或2≤x＜3}2．复数z＝（1﹣i）3，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等比数列{a n}中，“a3a7＝9”是“a5＝3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，若线段AB中点的横坐标为3，则p＝（）A．1B．2C．3D．45．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A．64πB．48πC．32πD．16π6．《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（）A．65B．99C．133D．1507．（x﹣1）（x﹣2）6的展开式中的x3的系数为（）A．80B．﹣80C．400D．﹣4008．已知M，N是函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0）图像与直线的两个不同的交点．若|MN|的最小值是，则ω＝（）A．6B．4C．2D．1二、多项选择题（每小题5分）.9．已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则2n+3m＝0B．若，则2n﹣3m＝0C．若，则n2+2mn﹣3＝0D．若|2+|＝，则2m+n＝210．清华大学全面推进学生职业发展指导工作．通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业工作，引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合，鼓励到祖国最需要的地方建功立业．2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人．学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据如图，下列说法正确的有（）A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%11．为了得到函数y＝ln（ex）的图象，可将函数y＝lnx的图象（）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．向上平移一个单位长度D．向下平移一个单位长度12．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．B．r1+r2＝3C．这两个球的体积之和的最大值是9πD．这两个球的表面积之和的最小值是18π三、填空题（每小题5分）.13．某大学学生会为了解该校大学生对篮球和羽毛球的喜爱情况，对该校学生做了一次问卷调查，通过调查数据得到该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的人数占比为80%，既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%，则该校大学生喜欢篮球或喜欢羽毛球的人数占比是．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝2，f（1）＝3．写出f（x）的一个解析式为．15．已知正数x，y满足4xy﹣x﹣4y＝0，则xy的最小值为，x+y的最小值为．16．已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＝sin B．（1）求B；（2）若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB ＝PD．（1）证明：PD⊥平面ABCD．（2）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．20．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用．其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用．在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现．为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗x y n总计160m200（1）求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝8，△PF1F2面积的最大值是8．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l：x＝my+t与椭圆C交于A，B两点，点D（0，4），若直线AD与直线BD关于y轴对称，试问直线l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣x．（1）求f（x）的最小值．（2）证明：对任意的x∈（0，+∞），e x（xlnx+1）﹣x（e x+x）+4e x﹣2＞0恒成立．参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2+2x≥0}，B＝{x|x＜3}，则A⋂B＝（）A．{x|0≤x＜3}B．{x|x≤﹣2或0≤x＜3}C．{x|﹣2≤x＜0}D．{x|x≤0或2≤x＜3}解：∵A＝{x|x⩽﹣2或x⩾0}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|x⩽﹣2或0⩽x＜3}．故选：B．2．复数z＝（1﹣i）3，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为z＝（1﹣i）3＝（1﹣i）2（1﹣i）＝﹣2i（1﹣i）＝﹣2﹣2i，所以复数z在复平面内对应的点z（﹣2，﹣2）在第三象限．故选：C．3．在等比数列{a n}中，“a3a7＝9”是“a5＝3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：由等比数列的性质可得，则a5＝±3，则a3a7＝9”是“a5＝3”的必要不充分条件．故选：C．4．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，若线段AB中点的横坐标为3，则p＝（）A．1B．2C．3D．4解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的横坐标为3，则x1+x2＝2×3＝6，由题意可得|AB|＝x1+x2+p＝6+p＝8，则p＝2．故选：B．5．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A．64πB．48πC．32πD．16π解：因为圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，故圆锥的底面半径为4，底面周长为8π，故圆锥的侧面积是．故选：C．6．《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（）A．65B．99C．133D．150解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{a n}，由题设知：公差d＝17，又a1+a2+a3+…+a8＝8a1+×17＝996，解得a1＝65，故a5＝a1+4d＝65+4×17＝133，故选：C．7．（x﹣1）（x﹣2）6的展开式中的x3的系数为（）A．80B．﹣80C．400D．﹣400解：（x﹣2）6的展开式的通项为，令6﹣r＝2，得r＝4，则T5＝（﹣2）4x2＝240x2，令6﹣r＝3，得r＝3，则，故（x﹣1）（x﹣2）6的展开式中的x3的系数为240+160＝400．故选：C．8．已知M，N是函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0）图像与直线的两个不同的交点．若|MN|的最小值是，则ω＝（）A．6B．4C．2D．1解：由于M，N是函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0）图像与直线的两个不同的交点，故M，N的横坐标是方程2cos（ωx+φ）＝的解，即M，N的横坐标是方程cos（ωx+φ）＝的解，可得，解得ω＝4．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则2n+3m＝0B．若，则2n﹣3m＝0C．若，则n2+2mn﹣3＝0D．若|2+|＝，则2m+n＝2解：由，得2n+3m＝0，则A正确，B错误；因为，，，所以，，由，得﹣3+（2m+n）n＝0，即n2+2mn﹣3＝0，则C正确；由，得，则2m+n＝±2，则D错误；故选：AC．10．清华大学全面推进学生职业发展指导工作．通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业工作，引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合，鼓励到祖国最需要的地方建功立业．2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人．学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据如图，下列说法正确的有（）A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%解：A：北京地区博士生52.1%＞50%，故正确；B：北京地区有2971×21.9%+2527×39.6%+1467×52.1%＝2416人，因此北京以外有6965﹣2416＝4549＞2416，故正确；C：硕士毕业生人数约为2527×3.2%≈81人＞博士毕业生人数1467×3.7%≈54人，因此硕士多于博士，故正确；D：浙江就业人数有2971×3%+2527×5.6%+1467×4.2%＝292人，因此占总人数的比例为292÷6965≈4.2%≠12.8%，故错误．故选：ABC．11．为了得到函数y＝ln（ex）的图象，可将函数y＝lnx的图象（）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．向上平移一个单位长度D．向下平移一个单位长度解：由题意函数y＝lnx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝ln （ex）的图象，则A错误，B正确；因为y＝ln（ex）＝lnx+1，则将函数y＝lnx的图象向上平移一个单位可得到函数y＝ln（ex）的图象，则C正确，D错误．故选：BC．12．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．B．r1+r2＝3C．这两个球的体积之和的最大值是9πD．这两个球的表面积之和的最小值是18π解：由题意可得，，则，从而r1+r2＝3，故这两个球的体积之和为：，因为r1+r2＝3，所以，即，当且仅当时等号成立；这两个球的表面积之和，当且仅当时等号成立．故选：AB．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．某大学学生会为了解该校大学生对篮球和羽毛球的喜爱情况，对该校学生做了一次问卷调查，通过调查数据得到该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的人数占比为80%，既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%，则该校大学生喜欢篮球或喜欢羽毛球的人数占比是90%．解：该校大学生喜欢篮球的人数占比为65%，喜欢羽毛球的人数占比为80%，既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数占比为55%，设集合A表示喜欢篮球的大学生，集合B表示喜欢羽毛球的大学生，则作出韦恩图如下：由题意可得该校大学生喜欢篮球或喜欢羽毛球的人数占比是10%+55%+25%＝90%．故答案为：90%．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝2，f（1）＝3．写出f（x）的一个解析式为f（x）＝x2+2．解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以假设函数f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）所以对称轴为y轴，所以b＝0，因为f（0）＝2，f（1）＝3，所以c＝2，a+c＝3，所以a＝1，c＝2，所以f（x）＝x2+2，即满足题意得其中一个函数为f（x）＝x2+2，故答案为：f（x）＝x2+2．（答案不唯一）15．已知正数x，y满足4xy﹣x﹣4y＝0，则xy的最小值为1，x+y的最小值为．解：由题意可得，则xy≥1（当且仅当x＝4y时，等号成立），即xy的最小值为1．因为4xy﹣x﹣4y＝0，所以，所以，当且仅当x＝2y时，等号成立．故答案为：1，．16．已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为．解：由题意可得，则a2＝1．b2＝4﹣1＝3．故双曲线C的方程为．其渐近线方程为．设点P（x0，y0），过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设|PA|＝m，|PB|＝n，则，，故．因为点P在双曲线C上．所以．则．因为渐近线的倾斜角为．所以，故．在△APB中，由余弦定理可得，当且仅当m＝n时等号成立，则，即|AB|的最小值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＝sin B．（1）求B；（2）若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．解：（1）由题意可得，因为0＜B＜π，所以sin B≠0，则，因为0＜B＜π，所以．（2）因为．所以．因为A+B+C＝π，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得，则．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB ＝PD．（1）证明：PD⊥平面ABCD．（2）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为底面ABCD是菱形．所以AC⊥BD，因为AC⊥PB，且BD∩PB＝B，BD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，因为AB＝AD，且∠BAD＝60°，所以BD＝AB，因为，所以PD2+BD2＝PB2，则PD⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，射线OA，OB分别为x，y轴正半轴，过点O的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，设AB＝2，则B（0，1，0），，0，0），P（0，﹣1，2），从而，，设平面PBC的法向量．则，令x＝1，得，易知平面PBD的一个法向量，0，0），则，，设二面角D﹣PB﹣C为θ，由图可知θ为锐角，则，．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．解：（1）证明：因为，所以当n＝1时，，即，解得a1＝2或a1＝﹣1（舍去）．当n≥2时，，则，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，因为a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，则a n﹣a n﹣1﹣1＝0，即a n﹣a n﹣1＝1，（n∈N*，n⩾2）所以数列{a n}是等差数列．（2）由（1）可得a n＝2+n﹣1＝n+1，n∈N*，则，n∈N*，从而，故T2n＝b1+b2+…+b2n﹣1+b2n（4+1）+（4×2+1）+…+（4n+1）＝＝2n2+3n．20．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用．其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用．在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现．为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗x y n总计160m200（1）求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635解：（1）由题意得：m＝200﹣160＝40，y＝m﹣20＝20，x＝160﹣100＝60，n＝x+y＝60+20＝80，因为．所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，X＝10；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，X＝13；当这3人中没有人有疲乏症状时，X＝16．因为；；．所以X的分布列如下：X101316P期望．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝8，△PF1F2面积的最大值是8．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l：x＝my+t与椭圆C交于A，B两点，点D（0，4），若直线AD与直线BD关于y轴对称，试问直线l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由．解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则解得a2＝16．b2＝8．故椭圆C的标准方程为+＝1．（2）设A（x1⋅y1）．B（x2，y2）．联立，整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣16＝0．则．因为D（0，4），所以，因为直线AD与直线BD关于y轴对称，所以k AD+k BD＝0．即2my1y2+（t﹣4m）（y1+y2）﹣8t＝0．则，即t＝﹣2m，从而直线l的方程为x＝my﹣2m＝m（y﹣2），故直线l过定点（0，2）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣x．（1）求f（x）的最小值．（2）证明：对任意的x∈（0，+∞），e x（xlnx+1）﹣x（e x+x）+4e x﹣2＞0恒成立．【解答】（1）解：由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）＝lnx．由f'（x）＜0，得0＜x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1．则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故f（x）min＝f（1）＝﹣1．（2）证明：要证e x（xlnx+1）﹣x（e x+x）+4e x﹣2＞0，只需证e x（xlnx﹣x+1）+4e x﹣2﹣x2＞0，即证．设g（x）＝xlnx﹣x+1，由（1）可知g（x）min＝g（1）＝0．设，则．由h'（x）＞0，得0＜x＜2；由h'（x）＜0，得x＞2，则h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．故h（x）max＝h（2）＝0，因为g（x）与h（x）的最值不同时取得，所以g（x）＞h（x），即．故当x＞0时，不等式e x（xlnx+1）﹣x（e x+x）+4e x﹣2＞0恒成立．。
湖南省2021届高考六校联考数学试卷-含答案与解析
湖南省2021届高考六校联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩*R B中的元素个数为（ ）A．4B．3C．2D．12．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（3，a），Z2（2，1），且z1•z2为纯虚数，则实数a＝（ ）A．﹣6B．C．D．63．函数f（x）＝的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（ ）A．B．C．D．5．已知||＝，＝（m，3），且（﹣）⊥（2+），则向量在向量方向上的投影的最大值为（ ）A．4B．2C．D．16．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A．≥（a＞0，b＞0）B．（a＞0，b＞0）C．≤（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2（a＞0，b＞0）7．已知F1，F2分别是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．（1，2）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（2，3）8．定义函数D（x）＝，则下列命题中正确的是（ ）A．D（x）不是周期函数B．y＝D（x）的图象存在对称轴C．D（x）是奇函数D．D（x）是周期函数，且有最小正周期二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年湖南省高考数学精彩试题及问题详解理科解析汇报版
2021年湖南省高考数学精彩试题及问题详解理科解析汇报版实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数?2021z=（）1．（5分）（A1+iB1﹣iC﹣1+iD﹣1﹣i．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位）∴z===﹣1﹣i故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用属于基础题．分201湖南）是两个集合则B=”是”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断专集合；简易逻辑分析直接利用两个集合的交集判断两个集合的关系判断充要条件即可解答：解：A、B是两个集合则“A∩B=A”可得“A?B”“A?B”可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用集合的交集的求法基本知识的应用．3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）实用文档DACB．．．．程序框图．考点：的数值满足判断框的条件即可结束循环．S 分析：列出循环过程中与in=3s=0i=1解答：解：判断前第1次循环S=i=2i=3第2次循环S=S=i=4第3次循环满足判断框的条件结束循环输出结果：n此时i＞S===B故选：点评：本题考查循环框图的应用注意判断框的条件的应用考查计算能力的最小值为、xy满足约束条件则z=3x﹣y2021（4．5分）（?湖南）若变量）（21D1﹣A7B﹣C．．．．：考点简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域由图得到最优解求出最优解的坐标数形结合得答案．实用文档解答：解：由约束条件作出可行域如图A由图可知最优解为由）．由解得A（﹣21联立解得C（0﹣1）1）解得B（17．y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣∴z=3x﹣A．故选：易错本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法是中档题点评是图形中点）是=l1+）l分201湖南）设函x）上是减函数01．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（A1）上是减函数1）上是增函数D．偶函数且在（0偶函数且在（C．0利用导数研究函数的单调性导数的综合应用求出好的定义域判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可析函数的定义域为（1+解：函=l）lx所以x）x）﹣ln（1﹣）]=﹣f（[ln1+_______=lnf函数（﹣x答：）（1﹣）﹣ln（）=﹣（1+x 函数是奇函数．）B只需判断特殊值的大小即可推出选项x=0时f （0AC排除D正确结果在=0；函数是增函（）＜0f）（显然＞）1ln1+=ln（时x=f）（）﹣（﹣=ln31fAB数所以错误正确．A故选：．实用文档点本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用考查计算能力．评：5）（的项的系数为30则）﹣（6．（5分）2021?湖南）已知（的展开式中含xa=BA6DC6﹣﹣．．．．二项式定理的应用．考点：专题：二项式定理．令分析：整理成最简形式项根据所给的二项式利用二项展开式的通项公式写出第r+1再代入系数求出结果．求得rx的指数为解：根据所给的二项式写出展开式的通项解答：=；T=r+130展开式中含x的项的系数为∴解ar=并且D．故选：在这种本题考查二项式定理的应用本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项点评：题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．(曲个点则落入阴影部分湖南）在如图所示的正方形中随机投掷100005分）（2021?（7．）01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（（线C为正态分布N2则N=（μa）附“若_﹣=0.6826+σ）．P（μ﹣σ＜_≤μ=0.9544．_2σ＜≤μ+2σ）p（μ﹣4772D2718C3413BA2386．．．．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．考点：计算题；概率与统计．：专题实用文档分析：×0.6826=0.3413即可得出结论．_≤1）=求出P（0＜解答：1）=×0.6826=0.3413P解：由题意（0＜_≤∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413．故选：C本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义考查正态分布中两个量μ和σ点评：的应用考查曲线的对称性属于基础题．22的坐标为PBC若点C在圆x+y=1上运动且AB⊥．8（5分）（2021?湖南）已知AB的最大值为（20）则|）|（9C8DBA67．．．．圆的切线方程．：考点计算题；直线与圆．专题：分析：）时1由题意AC为直径所以|0+|=|4+|．B为（﹣|=|27即可得出结论．|4+|≤解答：A为直径所|=|4解：由题意|=|2|4+）时B所以．为（﹣107|≤．所以||的最大值为7．故选：B本题考查向量知识的运用考查学生分析解决问题的能力比较基础．点评：）个单位后=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜?分）（2021湖南）将函数f（x）9．（5=x|x的x、有|x﹣x）的图象．若对满足则得到函数g（x|f（x）﹣g（）|=2min121122）φ=（DBAC．．．．x+φ）的图象变换．：考点函数y=Asin（ω专题：三角函数的图像与性质．分析：的值然后判断选项即可．利用三角函数的最值求出自变量xx21解答：）的周期为π函数的图象向右平移φ（0＜φ＜x解：因为将函数f（）=sin2x的可知两个）（）﹣x|fxg个单位后得到函数（）的图象．若对满足（gx|=221实用文档|=函数的最大值与最小值的差为2有|x﹣xmin12×（=x）在x2φ）﹣2=取得最小值sin即x不妨=x=g（221=此时φ不合题意﹣1=12φ）2=xx=取得最大值sin）在即g（_______=（×﹣212满足题意．=此时φ．故选：D本题考查三角函数的图象平移函数的最值以及函数的周期的应用考查分析问点评：题解决问题的能力是好题题目新颖．有一定难度选择题可以回代验证的方法快速解答．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个湖南）2021?分）10．（5（则原工件材料体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内））的利用率为（材料利用率=（DABC．．．．简单空间图形的三视图．：考点专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．1分析：根据三视图可判断其为圆锥底面半径为高为2求解体积．xn 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为的正方形高为求解体积式子利用（利用轴截面的图形可判断得出n=1＜x＜）﹣02导数求解即可最后利用几何概率求解即．实用文档解：根据三视图可判断其为圆锥解答：1高为2∵底面半径为×2=∴V=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件∴此长方体底面边长为n的正方形高为x∴根据轴截面图得出：=）0﹣＜x＜2（解得；n=122﹣（1∴长方体的体积Ω=2Ω′）x=x﹣4x+2x=∵Ω4x+2=x=∴可判断（0）单调递增2）单调递减（2（=21﹣）×=Ω最大值×∴原工件材料的利用率为==A故选：本题很是新颖知识点融合的很好把立体几何导数概率都相应的考查了点评：综合性强属于难题．分55二、填空题共小题每小题分共25﹣（?2021湖南）x1）dx=0．（5．11（分）：考点定积分．导数的概念及应用．专题：分析：求出被积函数的原函数代入上限和下限求值．解答：(dx=）﹣x（解：1﹣|）x=0；实用文档0．故答案为：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．点评：名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35（2021?湖南）在一次马拉松比赛中12．（5分）人71﹣35号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为上的运动员人数是则其中成绩在区间[139151]．4茎叶图．考点：专题：概率与统计．根据茎叶图中的数据结合系统抽样方法的特征即可求出正确的结论．分析：解答：解：根据茎叶图中的数据得；151]上的运动员人数是20成绩在区间[139人35人中抽取7用系统抽样方法从上的运动员应抽取[139151]成绩在区间．×=4（人）7．故答案为：4本题考查了茎叶图的应用问题也考查了系统抽样方法的应用问题是基础题目．点评：使PC上存在点C：﹣=1的一个焦点．若．（5分）（2021?湖南）设F是双曲线13．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段双曲线的简单性质考圆锥曲线的定义、性质与方程专n=2即mP的中点分析的坐标代入双曲线方程结合离心率公式计算即可得到将中解答解：P的中点n=2即m）代入双曲线方程可得将点（2b ﹣=12可得e==5e=解得．．故答案为：实用文档同时考查中点主要考查双曲线的离心率的求法本题考查双曲线的方程和性质点评：坐标公式的运用属于中档题．成等S且3S2S=1S为等比数列{a}的前n项和若a分）14．（5（2021?湖南）设3n21n11n﹣．差数列则a=3n 等差数列与等比数列的综合．考点：等差数列与等比数列．专题：利用已知条件列出方程求出公比然后求解等比数列的通项公式．分析：解答：2S=1且3S{a}的前n项和若a为等比数列解：设等比数列的公比为qS2n1n1成等差数列S3a=1可得4S=S+3S12132．+3q=34（1+q）=1+q+q即1﹣n．a=3∴n1﹣n．故答案为：3本题考查等差数列以及等比数列的应用基本知识的考查．点评：=fx）b使函数g（）2021?湖南）已知函数f（x=若存在实数分）15．（5（1}．或a＞的取值范围是b有两个零点则a{a|a＜0（x）﹣函数的零点计算题；创新题型；函数的性质及应用y=）=有两个零点y==）有两个零点可的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可析范有两个零点）解：=y=的图象有两个交点）=有两个零点y=答x=1可得x==①时函）的图象如图所示此时存满足题意足题意实用文档上单调递增故不符合题意Rf（x）在定义域②当a=1时由于函数）单调递增故不符合题意f（x1③当0＜a＜时函数）单调递增故不符合题a=时y=y=））的图象如图所示此时存时函⑤y=使得有两个交点1＜0或＞aa综上可得1}0{a|a故答案为：＜或＞a实用文档分类讨论的数学思想．渗透了转化思想数形结合、点本题考察了函数的零点问题评：为选修题任选两小题作答如果全做则1817、75分16、三、简答题共1小题共4-1：几何证明选讲按前两题计分选修NCD的中点分别是M2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦AB16．（6分）（F证明：MO与直线CD相较于点直线NOM=180°）∠MEN+∠（1FO．?FN=FM?（2）FE相似三角形的判定．考点：选作题；推理和证明．：专题°MEN+∠NOM=180MEN四点共圆即可证明∠分析：（1）证明O．?FOFN=FM∽△FON即可证明FE?（2）证明△FEM的中点为CD证明：（1）∵N解答：CO的中点AAO=18°ONE=9+9在四边OME中∴OME四点共圆NOM=18∴MEN°FMEFNO=9FO中F）在FE与FE∽FO∴△=∴．?FO∴FE?FN=FM考查学生分析解决问题的能本题考查垂径定理考查三角形相似的判定与应用点评：力比较基础．4-4：坐标系与方程选修x．以坐标原点为极点（t为参数）（2021?湖南）已知直线l：分）17．（6θ．的坐标方程为ρ=2cos轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线CC的极坐标方程化为直坐标方程；（1）将曲线的值．?求的交点为与曲线直线的直角坐标为（）设点（2M5）lCAB|MA||MB|实用文档参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．考点：选作题；坐标系和参数方程．专题：2分析：θ根据极坐标和直角坐标的互化公式得cos）曲线的极坐标方程即ρ=2ρ（122即得它的直角坐标方程；x+y=2x的方程化为普通方程利用切割线定理可得结论．）直线l（2222解答：x故它的直角坐标方程为（+y=2x=2ρcosθ∴x解：（1）∵ρ=2cosθ∴ρ22；﹣1）+y=1）（5（2）直线l：（t为参数）普通方程为在直线l上22﹣=（51）+3﹣1=18过点M作圆的切线切点为T则|MT|2．由切割线定理可得|MT|=|MA|?|MB|=18本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法属于基础题．点评：：不等式选讲选修4-5b＞0且a+b=+．证明：（18．2021?湖南）设a＞0（ⅰ）a+b≥2；22不可能同时成立．+b＜2（ⅱ）a+a ＜2与不等式的证明考不等式的解法及应用专ab=再由基本不等式即可得证（ⅰ）分析结合条件可++可能同时成立．结合条（ⅱ）运用反证法证明．假矛盾即这ab=以及二次不等式的解法可得证（ⅰ）解答证明：则a+b=+=ab=1由于a+b＞0则即有a+b≥2=2取得等号．当且仅当a=b；则a+b≥2222可能同时成立．+b（ⅱ）假设a+a＜2与b＜200可得＜a＜1a+a由a＜2及＞21b02由b+b＜及b＞可得0＜＜矛盾．这与ab=122不可能同时成立．＜b2+aa＜与+b2本题考查不等式的证明主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法点评：属于中档题．实用文档19．（2021?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、ca=btanA且B为钝角．A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA由角的范围和诱导公式可得；(Ⅱ）由题意可得A∈（0）可得0＜sinA＜化简可得sinA+sinC=2﹣2（sinA﹣）+由二次函数区间的最值可得．解答：解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==即sinB=sin（）+A∴sinB=cosAπ）+A又B为钝角∴∈（+A∴B；﹣A=∴B=(Ⅱ）由（Ⅰ）知﹣+A）=2A＞0C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（02A﹣））∴sinA+sinC=sinA+sin（2=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA2﹣）+=﹣2（sinAsinA＜）∴0＜∵A∈（02∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）+≤]∴sinA+sinC的取值范围为（点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用涉及二次函数区间的最值属基础题．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．实用文档离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．考点：概率与统计．专题：分析：从乙箱中摸出一个球是={}）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球事件A（121}事件A={顾客抽奖1次获二等奖红球}事件B={顾客抽奖1次获一等奖}21BA相互独立互斥A事件C={顾客抽奖1次能获奖}利用112互斥然后求出所求概率即可．B2．求出概率_～B顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验判断（2）_的分布列然后求解期望．得到解答：从乙箱中摸出一个A={解：（1）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球}事件21}顾客抽奖1次获一等奖}事件A={1次获二等奖球是红球}事件B={顾客抽奖21互斥顾客抽奖1次能获奖}由题意AA相互独立事件C={21=P（A=互斥且B=AAB+）P（A）C=B+B因为BB1222111221=（A））+P（））（B=P=（A）P（=P（B）=P 所以P2121+====）C故所求概率为：P（）=P（B．+B=P（B）+P （）1次获一1）可知顾客抽奖1次可视为2）顾客抽奖13次独立重复试验由（（）．于是P（～所以．等奖的概率为：_B_=0 ）_=2=）=P（_=1=P（=(P_=3=．===）的分布列为：故_3_021P=3_E（）×=．期望是概率论和数理统计的重要概念之一是反映随机变量取值分布的特征数点评：学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫它在市场预测经济统计风险与决策等领域有着广泛的应用为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．的正的上、下底面分别是边长为DCB﹣湖南）如图已知四棱台2021．21（?ABCDA63和1111P点上．AADDQAA、分别在棱、BCABCD⊥底面且=6方形111（1AB的中点证明：PQ是P）若DD⊥；11实用文档的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣QD﹣A（2）若PQ∥平面ABBA二面角P11考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先以A为原点ABADAA所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐1标系求出一些点的坐标Q在棱BC上从而可设Q （6y0）只需求1即可；(2）设P（0yz）根据P在棱DD上从而由即可得到z=12﹣2221与平2y从而表示点P坐标为P（0y12﹣2y）．由PQ∥平面ABBA便知道1222AB的法向量垂直从而得=从点坐标变设平21121面PQD的法向量为根据即可表示平面AQD的一个法向量为从而由即可求出y从而得出P点坐标从而求出三棱锥P﹣AQD2的高而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知ABADAA三直线两两垂直所以分别以这三直线为xy1z轴建立如图所示空间直角坐标系则：A（000）B（600）D（060）A（006）B（306）D（011136）；Q在棱BC上设Q（6y0）0≤y≤6；11∴（1）证明：若P是DD 的中点则P；1；∴；∴实用文档；∴；∴AB⊥PQ1上；P在棱DDz∈[06]）设（2P（0yz）y12222≤λ≤1；∴0）；λ（0﹣36∴（0y﹣6z）=22；∴2y∴z=12﹣；2212﹣2y）；∴P（0y22；∴平面ABBA的一个法向量为；11A；∵PQ∥平面ABB11；）=0﹣∴=6（yy21=y；∴y21；y0）∴Q（62PQD的法向量为则：设平面；则取z=1；∴；AQD又平面的一个法向量为；的余弦值为﹣又二面角PQD﹣A；∴解得y=4；（舍去）或y=822；40P∴（4）且的高为﹣∴三棱锥PADQ4；==V．V∴ADQ三棱锥ADPQ四面体P﹣实用文档考查建立空间直角坐标系利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法点评：共线向量基本定理直线和平面平行时直线和平面法向量的关系平面法向量的概念以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系三棱锥的体积公式．2b＞+=1（：：x=4y的焦点F也是椭圆Ca22．分）（13（2021?湖南）已知抛物线C212．C与C的公共弦长为＞0）的一个焦点．21（Ⅰ）求C的方程；2同向．D两点且与、B两点与C 相交于C、C（Ⅱ）过点F的直线l与相交于A21的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|求直线l总是钝F旋转时△MFD证明：直线处的切线与x轴的交点为Ml绕点（ⅱ）设C在点A1角三角形．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程考创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题专2分析：的公共弦长为2=1再根据C 与Ca（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同得到﹣b21=1解得即可求出；得到22x+x）﹣4_______x+x）﹣4x=（x（（Ⅱ）设出点的坐标（ⅰ）根据向量的关系得kC构成方程组利用韦达定理分别代入得到关于设直线l的方程分别与C21方程解得即可；的坐标利用向量A处的切线方程求出点M在点（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1的乘积∠AFM是锐角问题得以证明．2解答：的一个焦C1）因为F也是椭圆x解：（Ⅰ）抛物线C：=4y的焦点F的坐标为（021点22=1①∴a﹣b2=4y轴对称且C的方程为xC又C与的公共弦长为2的都关于C与Cy12211的公共点的坐标为（±C与C）由此易知21②=1所以22=8a联立①②得=9b实用文档．故C的方程为+=12xy）C（xy）A（（Ⅱ）设A（xy）B （xy）同向且|AC|=|BD|（ⅰ）因为与所以=即x﹣x=x﹣x于是从而x ﹣x=x﹣x4213231422x③+x）﹣4x）（x+x﹣4_______=（y=kx+1则l的方程为设直线的斜率为k2x是这个方程的两根﹣由得x4kx﹣4=0而x214④+x所以x=4k_______=﹣211222）x+16kx﹣64=0而xx是这个方程的两根得（由9+8k43⑤_______=﹣x所以+x=4433将④⑤代入③1+2=（k+1）即1622×所以（9+8k）=169．解得k=±2得yx′=x（ⅱ）由=4yx﹣在点所以CA处的切线方程为yy=（xx）﹣11112_______即y=x﹣11x=x得令y=01）0xM（1=所以（1﹣x）1实用文档﹣1）而=（xy1122＞0=于是?x﹣y+1=x+1111AFM是钝角是锐角从而∠MFD=180°﹣∠因此∠AFMMFD总是钝角三角形．绕点F旋转时△故直线l本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系关键是联立方程构造方程利用韦达点评：的方程计算量大属于难题．定理以及向量的关系得到关于kax）（x[0∈+∞]）．记x为f202123．（13分）（?湖南）已知a＞0函数f（x）=esinx（xn_N）个极值点．证明：的从小到大的第n（n∈}是等比数列；（Ⅰ）数列{f（x）n_＜x|f（x）|恒成立．（Ⅱ）若a≥则对一切n∈Nnn考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．的根讨论根附近的导0（Ⅰ）求出导数运用两角和的正弦公式化简求出导数为分析：数的符号相反即可得到极值点求得极值运用等比数列的定义即可得证；_π﹣φ＜|f（恒成立．即为nx）|（Ⅱ）由sinφ=可得对一切n∈Nx＜nn π﹣φ）a（n求出=（te＞0）①设恒成立?＜g（t）导数求得最小值由恒成立思想即可得证．解答：axaxx+φ）′（x）=e （asinx+cosx）=?esin（证明：（Ⅰ）fφ=0＜φ＜tan_N∈≥0x+φ=mπ即x=mπ﹣φm′（令fx）=0由x）π﹣2k+2）π﹣φ＜）π＜x+φ＜（2k+2）π即（2k+1x＜（若（对k∈N2k+1φ）符mπ﹣φmπ）上f′（x﹣f则′（x）＜0因此在（（m1）πmπ﹣φ）和（号总相反．__N xn∈Nf（）取得极值所以x=nπ﹣φn∈x=n于是当π﹣φnπ﹣φ）aa（nπ﹣φ）n+1（nφ1）esin（﹣（）此时f（x=esinnπ﹣φ）=nπa是）≠f易知（x0而e==﹣n常数πa（π﹣φ）a故数列）e（f是首项为）}x{f（xsin=eφ公比为﹣的等比数列；1n实用文档_）|恒成立．x＜|f（x可得对一切（Ⅱ）由sinφ=n∈Nnnπ﹣φ）a（n恒成立?即为nπ﹣φ＜e＜①）=）=（t＞0）g′（t （设gt）递增．g′（t）＞0g（ttg当0＜t＜1时′（t）＜0g （）递减当t＞1时t=1时g（t）取得最小值且为e．=eg（1）因此要使①恒成立只需＜且0＜φ＜＞当a=tanφ==a只需π﹣φ2nn＜＜φ＜可得于是π﹣φ＜且当≥2时π﹣φ≥＞＞=e）a即因此an故①亦恒成立．_恒成立．|）x（|f＜x≥综上可得若a∈n则对一切Nnn本题考查导数的运用：求极值和单调区间主要考查三角函数的导数和求值同时考点评：查等比数列的定义和通项公式的运用考查不等式恒成立问题的证明属于难题．实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数z=（分）（2021?）1．（5A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．（5分）（2021?湖南）设A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）（2021?湖南）若变量x、y满足约束条件则z=3x ﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．（5分）（2021?湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）则f（x）是（）A．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（01）上是减函数C．偶函数且在（01）上是增函数D．偶函数且在（01）上是减函数实用文档5的项的系数为30则a=（（﹣）的展开式中含）x湖南）6．（5分）（2021?已知A．B．C．6D．﹣6﹣7．（5分）（2021?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）2）则﹣N=（μa附“若_=0.6826．≤μ+σ）P（μ﹣σ＜_=0.9544．≤μ+2σ）p（μ﹣2σ＜_B．2718C．3413D．A．23864772228．（5分）（2021?湖南）已知ABC在圆x+y=1上运动且AB⊥BC若点P的坐标为（20）则||的最大值为（）B．7C．8．A6D．99．（5分）（2021?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后则得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x）﹣g（x）|=2的x、x有|x﹣x|=min221211φ=（）A．B．C．D．10．（5分）（2021?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）实用文档D．C．A．B．分共25分5二、填空题共小题每小题5．）dx=11．（5分）（2021湖南）（x﹣1名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35?湖南）在一次马拉松比赛中（5分）（202112．人735号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣上的运动员人数151][139则其中成绩在区间．是使上存在点P=1的一个焦点．若C?湖南）设F是双曲线：﹣C 分）13．（5（2021．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段成等S且=13S2S}2021（?湖南）设S为等比数列{a的前n项和若a（14．5分）321n1n．差数列则a=n=f）g使函数（x=f（分）2021?湖南）已知函数（x）若存在实数b5．15（．abx（）﹣有两个零点则的取值范围是实用文档三、简答题共1小题共75分16、17、18为选修题任选两小题作答如果全做则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦ABCD的中点分别是MN直线MO与直线CD相较于点F证明：(1）∠MEN+∠NOM=180°(2）FE?FN=FM?FO．选修4-4：坐标系与方程：（t为参数）．以坐标原点为极点2021?湖南）已知直线lx17．（6分）（轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．(1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；）直线l与曲线C的交点为A5B求|MA|?|MB|的值．（2）设点M的直角坐标为（选修4-5：不等式选讲+．证明：且a+b=a＞0b＞0．18（2021?湖南）设（ⅰ）a+b≥2；222不可能同时成立．+b＜2与b＜（ⅱ）a+aBa=btanA且为钝角．aC的对边分别为、b、cBABC（19．2021?湖南）设△的内角A、、A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；实用文档(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．21．（2021?湖南）如图已知四棱台ABCD﹣ABCD的上、下底面分别是边长为3和6的正1111方形AA=6且AA⊥底面ABCD点P、Q分别在棱DD、BC上．111（1）若P是DD的中点证明：AB⊥PQ；11的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣A二面角P﹣QDA （2）若PQ∥平面ABB112+=1（C：a＞b（2021?湖南）已知抛物线C：x=4y的焦点F 也是椭圆分）22．（13212＞0）的一个焦点．C与C的公共弦长为．21（Ⅰ）求C的方程；2与同向．、D两点且相交于A、B两点与C相交于CC（Ⅱ）过点F的直线l与21求直线l的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|（ⅱ）设C在点A处的切线与x轴的交点为M 证明：直线l绕点F旋转时△MFD总是钝1角三角形．ax）（_______为f）x∈[0+∞]．记（x0?1323．（分）（2021湖南）已知a＞函数f（）=esinxn_）个极值点．证明：n∈N的从小到大的第n（}）是等比数列；（Ⅰ）数列{f（xn_|）（＜xNn则对一切∈a（Ⅱ）若≥|fx恒成立．nn。
2021年湖南省新高考高考数学联考试卷(2021.03)(解析版)
2021年湖南省新高考高考数学联考试卷（一）（3月份）一、单项选择题（共8小题）.1．已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或02．已知向量与的夹角是，且||＝1，||＝4，若（3+λ）⊥，则实数λ＝（）A．﹣B．C．﹣2D．23．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（）项是常数项．A．3B．4C．5D．64．下列图象可以作为函数f（x）＝的图象的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是（）A．B．C．D．与关系不确定6．已知双曲线C：的左焦点为F1，过F1的直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．37．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（4，1）C．（2，﹣1）D．（0，﹣1）8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z＝（1+2i）（2﹣i），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为3iB．C．z﹣4为纯虚数D．在复平面上对应的点在第四象限10．在△ABC中，则下列条件是A＞B的充要条件的有（）A．sin A＞sin B B．cos A＜cos BC．cos2A＜cos2B D．sin2A＞sin2B11．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在y轴上的截距为．则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数12．已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1b1＝135，a2b2＝304，a3b3＝529，则下列各数是数列{a n b n}中项的有（）A．810B．922C．1147D．1540三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的一个方向向量，且经过点（1，1），则直线l的方程为．14．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有种．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝（x﹣1）e x相切，则a的取值范围是．16．已知点M为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的球面上的动点，点N为B1C1的中点，若满足CM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝，n∈N*．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{a n}中的部分项组成数列，，，…，，…恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{k n}的通项公式．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A2B2C2的底面为正三角形，侧棱长都为4，A1、B1、C1分别在棱AA2、BB2、CC2上，且A1A2＝1，B1B2＝2，C1C2＝3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面．（1）证明：中截面DEFG是梯形；（2）若直线A1C1与平面A2B2C2所成的角为45°，求平面A1B1C1与平面A2B2C2所成锐二面角的大小．20．已知动圆Q过定点T（2，0），且与y轴截得的弦MN长为4，设动圆圆心Q的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程．（2）设P（1，2），过F（1，0）作不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，直线PA，PB分别与直线x＝﹣1相交于D，E两点，以线段DE为直径的圆为G．判断点F与圆G的位罝关系，并说明理由．21．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678 BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（Ⅰ）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及数学期望．（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，调查员甲对这8人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预报一名身高为180cm的员工体重为71kg，计算得到的其他数据如下：＝170，＝89920．（1）求的值及抽取8人体重数据的平均值；（2）调查员乙代替甲继续数据处理时，发现编号为8的员工体重数据有误，应增加8kg，其身高数据182cm无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为180cm的员工的体重．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．22．已知函数．（1）若f（x）在（0，+∞）内是减函数，求a的取值范围；（2）若a＝2，证明：当x＞0时，f（x）≥1﹣e x﹣1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或0解：∵{a，，1}＝{a2，a+b，0}，∴b＝0，∴{a，0，1}＝{a2，a，0}，则1＝a2，解得a＝﹣1或a＝1（舍去）．则a2021+b2021＝﹣1．故选：A．2．已知向量与的夹角是，且||＝1，||＝4，若（3+λ）⊥，则实数λ＝（）A．﹣B．C．﹣2D．2解：已知向量与的夹角是，且||＝1，||＝4，则：＝2，已知：（3+λ）⊥，则：，即：，解得：，故选：A．3．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（）项是常数项．A．3B．4C．5D．6解：由题设可得：2n＝512，解得：n＝9，∴的展开式的通项公式为T r+1＝•x•（﹣2）r x﹣r＝•（﹣2）r•x，r＝0，1， (9)令＝0，解得：r＝3，∴T4为常数项，故选：B．4．下列图象可以作为函数f（x）＝的图象的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：当a＜0时，如取a＝﹣4，则f（x）＝，其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a＞0时，如取a＝1，其定义域为R，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的；当a＝0时，则f（x）＝，其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的．故选：C．5．为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是（）A．B．C．D．与关系不确定解：＝＝9，＝0.1×7+0.1×8+0.2×9+0.6×10＝9.3，则＝9.15，设场内人数为a（a＞100），则．因为a＞100，所以＞，故选：C．6．已知双曲线C：的左焦点为F1，过F1的直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3解：双曲线C：的左焦点为F1，过F1的直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，所以渐近线的夹角为90°，渐近线方程为x±y＝0，此时a＝b，所以e＝＝＝．故选：A．7．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（4，1）C．（2，﹣1）D．（0，﹣1）解：由题意可知＝（，﹣2），把点B绕点A顺时针方向旋转，即点B绕点A逆时针方向旋转，得到点P，设P（x，y），则＝（cos+2sin，﹣2cos）＝（﹣1，﹣3），所以，解得x＝0，y＝﹣1，所以点P的坐标为（0，﹣1），故选：D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），＝（a﹣1，﹣1，c﹣1），＝（1，1，0），＝（0，1，1），设平面DBC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），∵B1E∥平面BDC1，∴＝a﹣1+1+c﹣1＝0，解得a+c＝1，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝1﹣2ac，ac≤（）2＝，设直线B1E与直线AB所成角为θ，∵＝（0，1，0），∴cosθ＝＝，∵ac≤（）2＝，∴2﹣2ac≥，∴，∴sinθ＝＝＝＝≥＝．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z＝（1+2i）（2﹣i），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为3iB．C．z﹣4为纯虚数D．在复平面上对应的点在第四象限解：因为z＝（1+2i）（2﹣i）＝4+3i，所以z的虚部为3，选项A错误；由||＝|z|＝＝5，所以选项B正确；由z﹣4＝3i为纯虚数，所以选项C正确；由＝4﹣3i对应的点（4，﹣3）在第四象限，所以选项D正确．故选：BCD．10．在△ABC中，则下列条件是A＞B的充要条件的有（）A．sin A＞sin B B．cos A＜cos BC．cos2A＜cos2B D．sin2A＞sin2B解：选项A：利用正弦定理可得，故sin A＞sin B，等价于a＞b，而在△ABC中，a＞b等价于A＞B，故选项A正确；选项B：cos A＜cos B，利用同角三角函数关系可得sin A＞sin B，等价于a＞b，而在△ABC中，a＞b等价于A＞B，故选项B正确；选项C：cos2A＜cos2B，利用二倍角公式可得1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，所以sin2A＞sin2B，即sin A＞sin B，等价于a＞b，而在△ABC中，a＞b等价于A＞B，故选项C正确；选项D：sin2A＞sin2B不能推出a＞b，如A＝45°，B＝60°时满足sin2A＞sin2B，但由大角对大边可得a＜b，故选项D不正确．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在y轴上的截距为．则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间上单调递增D．为偶函数解：由图知，f（x）的最小正周期，则ω＝2．由，得．由，得，则A＝2，所以．由于函数的最小正周期为＝π，故A不正确；显然，f（x）的最大值为2，故B正确；当时，2x+∈[﹣，]，则f（x）单调递增，故C正确；．因为，则不是偶函数，故D不正确，故选：BC．12．已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1b1＝135，a2b2＝304，a3b3＝529，则下列各数是数列{a n b n}中项的有（）A．810B．922C．1147D．1540解：由数列{a n}，{b n}均为等差数列，∴可设a n b n＝a（n﹣2）2+b（n﹣2）+c．∵a1b1＝135，a2b2＝304，a3b3＝529，∴a﹣b+c＝135，c＝304，a+b+c＝529，解得a＝28，b＝197，c＝304，∴a n b n＝28（n﹣2）2+197（n﹣2）+304．n＝4时，a4b4＝28×22+197×2+304＝810，因此A符合；n＝5时，a5b5＝28×32+197×3+304＝1147，因此C符合；n＝6时，a4b4＝28×42+197×4+304＝1540，因此D符合；则下列各数是数列{a n b n}中项的有ACD．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的一个方向向量，且经过点（1，1），则直线l的方程为3x﹣y ﹣2＝0．解：经过点（1，1）的直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为＝3，故直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．故答案为：3x﹣y﹣2＝0．14．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有36种．解：先将4名医务人员分成无记号3组，其中有一组2人，另两组各1人，有种方法；再将三组人员安排到3个乡镇，有种方法．据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×6＝36种．故答案为：36．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝（x﹣1）e x相切，则a的取值范围是（﹣3，1）．解：设点为曲线C上任意一点，∵y'＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，∴，则曲线C在点B处的切线l的方程为．据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程，即无实根，∴△＝（a+1）2﹣4＜0，解得﹣3＜a＜1，∴a的取值范围是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．已知点M为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的球面上的动点，点N为B1C1的中点，若满足CM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为π．解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的半径R＝1，由题意，取BB1的中点H，连接CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，所以NB⊥平面DCH，所以动点M的轨迹是平面DCH截内切球O的交线，也即平面DCHG截内切球O的交线，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，所以O到平面DCH的距离为d＝，截面圆的半径r＝＝，所以动点M的轨迹的长度为截面圆的周长为2πr＝π．故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．∴2b2＝2bc cos A•（1﹣tan A）．∴b＝c（cos A ﹣sin A），由正弦定理可得：sin B＝sin C（cos A﹣sin A），∴sin（A+C）＝sin C cos A﹣sin C sin A，∴sin A cos C＝﹣sin C sin A≠0，∴tan C＝﹣1，解得C＝．（2）选择条件②，cos B＝，∴sin B＝．∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝，由正弦定理可得：a＝＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，解得AD＝．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝，n∈N*．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差不为0，数列{a n}中的部分项组成数列，，，…，，…恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{k n}的通项公式．解：（1）证明：由S n＝，得2S n＝n（a1+a n），所以2a n+1＝2S n+1﹣2S n＝（n+1）（a1+a n+1）﹣n（a1+a n），即（n﹣1）a n+1＝na n﹣a1，所以na n+2＝（n+1）a n+1﹣a1，两式相减得na n+2+na n＝2na n+1，所以a n+2+a n＝2a n+1．所以数列{a n}成等差数列．（2）等差数列{a n}的公差d≠0，其子数列{a}恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，可得a＝a1，a＝a5，a＝a17，且有a52＝a1a17，即（a1+4d）2＝a1（a1+16d），化为a1＝2d，则a n＝a1+（n﹣1）d＝（n+1）d，子数列{a}为首项为2d，公比为＝3的等比数列，则a＝2d•3n﹣1＝（k n+1）d，可得k n＝2•3n﹣1﹣1．19．如图，已知直三棱柱ABC﹣A2B2C2的底面为正三角形，侧棱长都为4，A1、B1、C1分别在棱AA2、BB2、CC2上，且A1A2＝1，B1B2＝2，C1C2＝3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面．（1）证明：中截面DEFG是梯形；（2）若直线A1C1与平面A2B2C2所成的角为45°，求平面A1B1C1与平面A2B2C2所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：由题意可知，AA2∥截面DEFG，AA2⊂平面ACC2A2，且平面ACC2A2∩截面DEFG＝NF，所以AA2∥NF，同理可证AA2∥ME，所以ME∥NF，即DE∥GF，因为A1A2＝1，B1B2＝2，C1C2＝3，所以四边形A1A2B2B1和四边形A1A2C2C1均是梯形，又M，N，分别为AB，AC的中点，所以D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，故DE，GF分别为梯形A1A2B2B1和梯形A1A2C2C1的中位线，故DE＝，GF＝，所以DE≠GF，故中截面DEFG是梯形；（2）解：因为直三棱柱ABC﹣A2B2C2的底面为正三角形，所以B2F⊥A2C2，FN⊥平面A2B2C2，以F为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝a，则，，，平面A2B2C2的一个法向量为，因为直线A1C1与平面A2B2C2所成的角为45°，所以，解得a＝2，所以，故，设平面A1B1C1的法向量为，则有，令y＝1，则x＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面A1B1C1与平面A2B2C2所成锐二面角的大小为45°．20．已知动圆Q过定点T（2，0），且与y轴截得的弦MN长为4，设动圆圆心Q的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程．（2）设P（1，2），过F（1，0）作不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，直线PA，PB分别与直线x＝﹣1相交于D，E两点，以线段DE为直径的圆为G．判断点F与圆G的位罝关系，并说明理由．解：（1）设Q（x，y），因为动圆Q过定点（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4，所以，所以|x|2+22＝（x﹣2）2+y2，整理可得y2＝4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x；（2）设直线l的方程为x＝ty+1（t≠0），代入y2＝4x，可得y2﹣4ty﹣4＝0，设点，则有y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，已知点P（1，2），则，直线PA的方程为，令x＝﹣1，可得，所以点，同理可得，点，则，则有＝＝＝＝0，故，即∠DFE＝90°，所以点F在圆G上．21．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678 BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（Ⅰ）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及数学期望．（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，调查员甲对这8人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预报一名身高为180cm的员工体重为71kg，计算得到的其他数据如下：＝170，＝89920．（1）求的值及抽取8人体重数据的平均值；（2）调查员乙代替甲继续数据处理时，发现编号为8的员工体重数据有误，应增加8kg，其身高数据182cm无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为180cm的员工的体重．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．解：（I）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为X012P数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝．（II）（1）∵根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，∴71＝0.5×180+，解得＝﹣19，故线性回归方程为＝0.5x﹣19．∵样本中心点（，）一定在回归直线方程上，∴＝0.5×170﹣19＝66．（2）（2）由（1）知更正前的数据＝170，＝66，∵＝＝0.5，∴﹣82＝2（x i y i﹣8）＝2×（89920﹣8×170×66）＝320，更正后的数据＝＝170，＝＝67，∴x i′y i′＝x i y i+x8×8＝x i y i+182×8，8＝8（+1）＝8+8×170，∴＝＝＝0.5+，∴＝﹣＝67﹣0.8×170＝﹣69，故更正后的线性回归方程为＝0.8x﹣69．当x＝180时，＝0.8×180﹣69＝75，∴重新预估一名身高为180cm的员工的体重约为75kg．22．已知函数．（1）若f（x）在（0，+∞）内是减函数，求a的取值范围；（2）若a＝2，证明：当x＞0时，f（x）≥1﹣e x﹣1．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+1﹣ax，因为f（x）在（0，+∞）内是减函数，所以f′（x）≤0恒成立，即a≥在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，可得0＜x＜1，令g′（x）＜0，可得x＞1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．（2）证明：当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣x2+1，令g（x）＝f（x）﹣1+e x﹣1＝xlnx﹣x2+e x﹣1，x＞0，g′（x）＝lnx+1﹣2x+e x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，g′″（x）＝﹣+e x﹣1，在（0，+∞）上，g′″（x）单调递增，且g′″（1）＝0，所以在（0，1）上，g′″（x）＜0，g″（x）单调递减，在（1，+∞）上，g′″（x）＞0，g″（x）单调递增，所以g″（x）≥g″（1）＝0，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）＝0，所以在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g （x）单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，所以f（x）﹣1+e x﹣1≥0，即f（x）≥1﹣e x﹣1，得证．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021湖南高考数学试卷
选择题：
1. 已知函数f(x) = 2x³ + 3x² - x + 1，求f'(x)的值是：
A) 6x² + 6x - 1
B) 6x² + 3x - 1
C) 6x² + 6x + 1
D) 4x³ + 3x² - x
2. 若在一个等差数列中，前四项依次为2，5，8，11，则这个等差数列的公差为：
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
3. 若两个互为倒数的数的和是1，那么这两个数是：
A) 1和2
B) 2和-2
C) 0.5和1
D) -3和3
4. 若f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的最小值是：
A) -4
B) 0
C) 1
D) 2
5. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B的元素是：
A) {1, 2, 5, 6}
B) {3, 4}
C) {1, 2}
D) {5, 6}
填空题：
1. 若f(x) = 3x - 1，求f(4)的值是（）。
2. 一条直线过点A(2, 1)和点B(1, -3)，求直线的斜率是（）。
3. 若a² + b² = 25，且ab = 12，则a和b的和是（）。
4. 求集合A={x|x∈N, 2 ≤ x ≤ 7}的元素个数是（）。
5. 若sin²θ + cos²θ = 1，则tan²θ的值是（）。
应用题：
1. 一个等差数列的第一项是3，公差是4，若前n项的和为68，请求这个等差数列的第n项是多少。
2. 若直角三角形斜边长为10，其中一个锐角的正弦值是0.6，求另一个锐角的余弦值。
3. 一个球从20米高的楼顶落下，每次弹跳的高度是原高度的一半，求第三次弹起时球的高度是多少米。
4. 小明和小张两人一起修地铁，小明1天可以修5米，小张1天可以修3米，若他们一起工作，一共修了120米，求他们共同工作了多少天。
5. 经过3分钟的观测，某天文台的一颗新发现的陨星以每分钟移动2度，求这颗陨星在观测结束时相对于观测开始时的角度偏移量。