高一数学下学期期中质量评估试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．在复平面内，复数iz 对应的点的坐标是()3,1-，则z =（）A ．13i +B ．3i +C ．3i-+D ．13i--【正确答案】A【分析】根据复数的几何意义得到3i iz =-，结合复数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，复平面内，复数iz 对应的点的坐标是()3,1-，可得3i iz =-，所以(3i)i 13i z =-⋅=+.故A.2．已知向量()2,1a =r ，(),2b x =- ，若a b ∥，则a b +=（）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【正确答案】A【分析】先根据向量平行的运算规则计算x ，再根据向量的加法法则求解.【详解】2//,,421x a b x -∴==- ，()1,2b =-- ，()2,1a b +=-- ；故选：A.3．复数z 1=a+4i,z 2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b 的值为()A ．a=-3,b=-4B ．a=-3,b=4C ．a=3,b=-4D ．a=3,b=4【正确答案】A【详解】由题意可知12(3)(4)z z a b i +=-++是实数,12(3)(4)z z a b i -=++-是纯虚数,所以403040b a b +=⎧⎪+=⎨⎪-≠⎩，解得3,4a b =-=-，故选A ．4．设1e ，2e 是两个不共线的向量，若向量12(R)m k e e k =-+∈ 与向量212n e e =-共线，则（）A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【正确答案】D【分析】根据平面向量共线定理得存在实数λ，使m n λ=，代入条件列式计算即可.【详解】若向量12(R)m k e e k =-+∈ 与向量212n e e =-共线，则存在实数λ，使m n λ=，()21112222e e ke e e e λλλ∴-+=-=-+ ，12k λλ-=-⎧∴⎨=⎩，解得12k =.故选：D.5．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【正确答案】D【详解】试题分析：因为12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，所以12z z +是实数，a+1=0，a=－1，故选D.本题主要考查复数的概念，复数的四则运算，复数的几何意义．点评：基础题，理解概念并记忆．6．在ABC 中，a =2b c =，1cos4A =-，则ABC S = （）AB ．4CD ．【正确答案】C【分析】利用余弦定理得到2c =，4b =，利用同角三角函数基本公式得到sin A 利用面积公式求面积即可.【详解】a =2b c =，2221cos 24b c a A bc +-==-，所以222424144c c c +-=-，解得2c =，4b =，因为()0,A π∈，所以sin A 11sin 2422ABC S bc A ==⨯⨯= .故选：C.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C =（）A ．6πB ．3π或23πC ．23πD ．6π或56π【正确答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C .【详解】依题意，由正弦定理得()()22c a b b a b a -+=-，2222c ab b a ab --=-，222a b c ab +-=-，222122a b c ab +-=-，即1cos 2C =-.由于0C π<<，所以23C π=.故选：C8．设向量OP ，PQ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0【正确答案】D【分析】根据复数所对应向量的运算法则即可.【详解】∵OP PQ OQ +=，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0；故选：D.9．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ︒∠=，45DBC ︒∠=，14AB =米，则岳阳楼的高度CD约为1.414≈ 1.732≈)（）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【正确答案】B【分析】在Rt △ADC 中用CD 表示AC ，Rt △BDC 中用CD 表示BC ，建立CD 的方程求解即得.【详解】Rt △ADC 中，30DAC ︒∠=，则3AC CD =，Rt △BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC -BC =AB 3147(31)19.12431CD CD CD -=⇒=+≈-，CD 约为19米.故选：B10．已知i 为虚数单位，则下面命题错误的是（）A ．若复数3i z =+，则13i 1010z =-.B ．复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=.C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，120z z ≥.D ．复数3i 1z =-+的虚部是1.【正确答案】D【分析】对于A ，利用复数的除法运算求解，对于B ，利用复数的模直接求解即可，对于C ，根据共轭复数的概念及复数的乘法运算求解判断，对于D ，利用虚部的定义即可判断.【详解】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i 3i (3i)(3i)101010z --====-++-，所以A 正确；对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以()2221x y +-=，所以B 正确；对于C ，令2i(,R)z a b a b =+∈，因为12z z =，所以1i(,R)z a b a b =-∈，所以()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确；对于D ，复数3i 113i z =-+=-的虚部为3-，所以D 错误.故选：D11．已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且关于x 的方程20x a x a b +-⋅= 有实根，则向量a 与b夹角的取值范围是（）A ．2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】根据方程有实根得到2Δ4cos 0a a b θ=+≥ ，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≥-，根据余弦函数图象结合向量夹角的范围可求得结果.【详解】记向量a 与b 夹角为θ，因为关于x 的方程20x a x a b +-⋅= 有实根，所以2222Δ44cos 48cos 0a a b a a b b b θθ=+⋅=+⋅⋅=+⋅≥，所以1cos 2θ≥-，又[]0,πθ∈，所以2π03θ<≤，即a 与b 的夹角θ的取值范围是2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.12．已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足3c a b ++= ，则c r 的取值范围为（）A ．[1,1B ．[2C ．D ．[3【正确答案】D【详解】法一：由3a b c ++=得29a b c ++=，即2222·2·2·9c a b a b a c b c +++++= ，所以()22·7c a b c ++= ，则有22·cos ,7c a b c a b c ++〈+〉=，又因为a b += ，所以2cos ,7c a b c+〈+〉=，由于[]cos ,1,1a b c 〈+〉∈- ，所以有27c -≤-≤ ，解得：33c ≤≤D.法二：设向量()()1,0,0,1a b == ，设向量(),c x y = ，则()1,1a b c x y ++=++，所以有3=，即()()22119x y +++=，所以点(),x y 的轨迹是以()1,1--为圆心，3为半径的圆，如下图，因为22c x y =+ (),x y 到原点()0,0距离的最大值、最小值，先求圆心()1,1A --到原点()0,02，所以max 32c r d =+=+ min 32c r d=-=-，所以3232c ≤≤故选：D.点睛：求向量模的值或取值范围问题时，可以先将模平方，然后根据平面向量数量积的运算，转化为关于模的方程或不等式可以求出具体值或取值范围，另外，也可以通过建立平面直角坐标系，转化为坐标运算，从而转化为解析几何问题.“基底法”与“坐标法”是解决数量积问题常用的方法.两种解体方法具有互补性，在解题要善于分析、合理运用.二、填空题13．在复平面内，复数1i +和13i +分别对应向量OA 和OB，其中O 为坐标原点，则AB =_________.【正确答案】2【分析】利用复数的几何意义、向量模长计算和坐标运算即可得出．【详解】∵复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，∴向量OA ＝（1，1），OB＝（1，3），∴AB OB OA =-＝（0，2），∴2AB = 故2本题考查复数代数表示法及其几何意义，向量模长计算和坐标运算，属于基础题.14．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a b =，5c =，且5cos 6C =，则=a ______．【正确答案】3【分析】根据余弦定理，即可求得a 的值．【详解】因为a=3b ，∴b=13a ；又cosC=56，∴c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴5=a 2+19a 2﹣2a•13⋅a 56⋅，化简得a 2=9，解得a=3．故答案为3本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．15．已知AD 是ABC 的中线，(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，120A =︒，6AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是______.【分析】利用两个向量的线性运算、数量积、模长公式以及基本不等式进行求解.【详解】设ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为120A =︒，6AB AC ⋅=-，所以cos1206AB AC bc ⋅==- ，所以12bc =，因为AD 是ABC 的中线，所以()()()22221111263242AD AB AC c b bc ⎡⎤=+=+-≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当b c ==.故AD16．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，则A 与D 间的距离为________nmile .【正确答案】24【分析】利用正弦定理直接解三角形.【详解】如图，可知60ADB ∠=o ，=12075=45B ∠-在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AD ABB ADB =∠∠，所以1262sin 24sin 232AB AD B ADB =∠=∠ .故24.三、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.【正确答案】(1)113i 22z =-(2)2m =-【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z .（2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值.【详解】（1）设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，32b =∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴32b =-，∴11322z =-；（2）()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-，又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-，∴2m =-.18．已知平面向量a ，b，c ，且()2,1a =- ，(1)若a c ⊥，且25c = ，求向量c 的坐标；(2)若()3,2b = ，求a 在b方向的投影向量（用坐标表示）.【正确答案】(1)(c =或(c =-- .(2)128,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),c x y =，由向量垂直、模长的坐标表示列方程求坐标即可；（2）根据投影向量的定义，应用数量积的坐标表示、b 方向上的单位向量求a 在b方向的投影向量.【详解】（1）设(),c x y = ，()2,1a =-，由a c ⊥ ，25c = ，则2y x =，22625x y +=，可得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(c ∴=或(c =--.（2）设a 与b 的夹角为θ，故624a b ⋅=-+=-，cos 13a b a bθ⋅∴==--，而||b b = ，a ∴r 在b上的投影向量cos a θ⋅ ||b b为128,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭.19．已知函数()2sin 1(0)6f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，且()()f x f x π-=(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最值及其对应的x 的值.【正确答案】(1)(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当0x =时，min ()2f x =-；当3x π=时，max ()1f x =.【分析】（1）求出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解不等式222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈即得解；（2）利用不等式的性质结合三角函数的图象和性质求解.【详解】（1）解：()()f x f x π-= ,T π∴=,2,2T ππωω∴==∴=，又()0,2,2sin 216f x x πωω⎛⎫>∴=∴=-- ⎪⎝⎭ ，222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈ ，2222,,,3363k x k k Z k x k k Z ππππππππ∴-+≤≤+∈∴-+≤≤+∈，()f x \的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）解：50,02,22666x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤ ，1sin 21,12sin 22266x x ππ⎛⎫⎛⎫∴-≤-≤∴-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22sin 2116x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭，当0x =时，min ()2f x =-，当226x ππ-=，即3x π=时，max ()1f x =.20．已知非零向量a 、b ，满足||1a = ，()()1·2a b a b -+=，且12a b ⋅= ．(1)求向量a 、b的夹角；(2)求||a b - ．【正确答案】(1)4π(2)2【分析】（1）对()()1·2a b a b -+= 化简结合||1a = 可得||2b =r ，然后利用12a b ⋅= 结合数量积的定义可求得答案，（2）先求出2||a b - ，然后平方可得结果【详解】（1）∵()()1·2a b a b -+=，∴2212a b -= ，即221||||2a b -= ，又||1a = ，∴||2b =r ，设向量a 、b 的夹角为θ，∵12a b ⋅= ，∴1cos 2a b θ= ，∴cos 2θ=，∵[0,]θπ∈，∴4πθ=，即向量a 、b 的夹角为4π；（2）∵222111||212222a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=∴||2a b -= ．21．已知向量),cos a x x = ，()2cos ,2cos b x x = ，函数()f x a b m =⋅+．若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为6．(1)求常数m 的值及函数当x R ∈时的最小值；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且62A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC 的周长的取值范围．【正确答案】(1)3m =，最小值为2(2)(]2,3【分析】（1）根据向量的数量积的坐标运算，确定()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由最大值为6，可确定m 的值，并可求解函数最小值.（2）可利用正弦定理，将边化角，利用辅助角公式化一后，通过角度范围求解边长范围，也可采用余弦定理，结合基本不等式求解范围【详解】（1）()2cos 2cos f x a b m x x x m=⋅+=++ 2cos 212sin 216x x m x mπ⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，于是有216m ++=，得3m =()()2sin 246f x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的最小值为242-+=（2）解法1：由2sin 4626A f A π⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵()0,A π∈，∴7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=，∴23B C π+=由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==及1a =，得3b B =，sin 3c C =∴)sin sin 3b c B C+=+222sin sin sin cos cos sin sin 333C C C C C πππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 2sin 26C C C π⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴(]2sin 1,26C π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴(]1,2b c +∈∴ABC 的周长的取值范围为(]2,3解法2：由2sin 4626A f A π⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵()0,A π∈，∴7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=由余弦定理得：()()()()22222222312cos 344b c b c b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=()24b c +≤，04b c ≤+≤，当且仅当1b c ==，取到“=”，又∵1b c a +>=，∴12b c <+≤，∴23b c a <++≤∴ABC 的周长的取值范围为(]2,322．如图，在四边形ABCD 中，BAD BCD ∠=∠，3BD =，2AD =，π4BDC ∠=.(1)若7π12ADC ∠=，求sin BCD ∠；(2)若AB =，BAD BCD α∠=∠=，求12sin25cos2αα-.【正确答案】(1)14(2)13【分析】（1）由余弦定理可得AB =（2）由余弦定理得24cos 5AB AB α-=，由正弦定理得3sin AB α==，两式结合即可求解.【详解】（1）由题意得7πππ=1243ADB ADC BDC ∠=∠-∠=-，在ABD △中，由余弦定理得2222cos 7AB AD BD AB BD ADB =+-⋅∠=，得AB =由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，得3sin sin14BD ADB BAD AB ∠∠==.故sin sin BCD BAD ∠=∠=（2）在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AB AD α=+-⋅，得24cos 5AB AB α-=①，在BCD △中，由正弦定理sin sin BD BC BDC α=∠，得sin sin 2sin BD BDC BC αα∠==.所以3sin AB α==，代入①式得2912cos 5sin sin ααα-=，得2912sin cos 5sin ααα-=，则1cos296sin252αα--=⨯，即12sin25cos213αα-=.2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．下列各组对象不能组成集合的是（）A ．大于6的所有整数B ．高中数学的所有难题C ．被3除余2的所有整数D ．函数y ＝x 图象上所有的点【正确答案】B【分析】利用集合中元素的确定性直接求解【详解】对于A ，大于6的所有整数能构成集合，故A 能组成集合；对于B ，高中数学的所有难题标准不确定，所以B 不能构成集合对于C ，被3除余2的所有整数能构成集合，故C 能组成集合；对于D ，所有函数y ＝x 图象上所有的点能构成集合，故D 能组成集合．故选：B ．2．函数()0(1)f x x =-的定义域为（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得32>010x x -⎧⎨-≠⎩，解得2>3x 且1x ≠，所以函数()0(1)f x x =-的定义域为()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故选：B.3．“2x <”是“11x -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据不等式的关系即可判断为必要不充分条件.【详解】由于112x x -<<⇒<，但2x <不一定11x -<<，故“2x <”是“11x -<<”的必要不充分条件.故选：B4．已知命题p ：n N ∃∈，223n n ≥+，则p ⌝为（）A ．n N ∀∈，223n n ≥+B ．n N ∃∈，223n n ≤+C ．n N ∀∈，223n n <+D ．n N ∃∈，2236n n =+【正确答案】C【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解.【详解】因为p ：n N ∃∈，223n n ≥+，所以由特称命题的否定的概念可知，p ⌝：n N ∀∈，223n n <+.故选：C.5．已知不等式210ax bx +->的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（）A ．(][),32,-∞--+∞B ．[]3,2--C ．[]2,3D ．][()–,23,∞+∞ 【正确答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为不等式210ax bx +->的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以有<0=611+()==523111×()=23a a b b a a ----⇒----⎧⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎩，由2205602x bx a x x x --≥⇒++≥⇒≥-，或3x ≤-，故选：A6．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x =()g x =；②()f x x =与()g x =③()f x =()g x =；④()21f x x =-与()21g t t =-A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【正确答案】B【分析】运用同一函数的定义，从定义域、值域和解析式进行判定，即可得到结果.【详解】()f x (],0-∞，()g x =的定义域为(],0-∞，≠x =，故()()=f x g x ，②正确；由+1010x x ≥-≥⎧⎨⎩，解得：1x ≥，故()f x =的定义域为[)1,+∞，由210x -≥，解得：1x ≥或1x ≤-，故()g x =的定义域为(][),11,-∞-⋃+∞，所以()f x =()g x 不是同一函数，③错误；()21f x x =-与()21g t t =-的定义域和对应关系相同，为同一函数，④正确.故选：B7．设函数()23+1,1=2,>1x x x f x x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则((3))f f =（）A ．23B ．1C ．59D ．59-【正确答案】D【分析】代入分段函数解析式依次计算2(3)3f =，25((3))39f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.【详解】由题意，得2(3)3f =，则22225((3))313339f f f ⎛⎫⎛⎫==-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D8．函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,∞+C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,∞+【正确答案】B【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,∞+．故选：B.9．已知1x >，则121x x +-的最小值为（）A ．4B．C．D2+【正确答案】C【分析】将原式构造成两正数12(1),1x x --和的形式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为1x >，且112=2(1)22211x x x x +-++≥=--，当且仅当12(1),1x x -=-即12x =+时取等号.故选：C.10．已知偶函数()f x ，当0x >时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x -+B ．2x x --C ．2x x +D ．2x x-【正确答案】D【分析】由0x <得0x ->，代入得()f x -，根据偶函数即可求解.【详解】当0x <，则0x ->，()()()22f x x x x x -=-+-=-，又()f x 为偶函数，∴当x <0时，()()2f x f x x x =-=-.故选：D11．若不等式210x ax -+≥对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立，则a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．52【正确答案】D【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.【详解】因为不等式210x ax -+≥对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21ax x ≤+，即21x a x +≤恒成立．令()21110,2x g x x x x x +⎛⎫==+∈ ⎪⎫⎪⎭⎝⎛ ⎭⎝．易知()1g x x x =+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内为减函数．所以()15>()=22g x g ，故52a ≤，所以a 的最大值是52．故选：D12．函数()()252,2()213,2a x x f x x a x a x ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若对任意1212,()x x x x ∈≠R ，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(－∞，1]B ．(1，5)C ．[1，5)D ．[1，4]【正确答案】D【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意1212,()x x x x ∈≠R ，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，所以()f x 是减函数，则44(1)32(5)25012a a a a a -++≥--⎧⎪-<⎨⎪+≥⎩，解得14a ≤≤．故选：D ．13．设a 为实数，定义在R 上的偶函数()f x 满足：()f x 在[0,)+∞上为增函数，则使得(2)(1)f a f a >+成立的a 的取值范围为（）A ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(,1)-∞【正确答案】A【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得21a a >+，进而即得.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上为增函数，由(2)(1)f a f a >+可得()()21f a f a >+，∴21a a >+，解得：13a <-或1a >所以实数a 的取值范围为1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 故选：A14．已知偶函数()f x ，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则不等式()0f x x<的解集是（）．A ．(2,2)-B ．(,2)(0,2)-∞-⋃C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】B【分析】利用函数为偶函数求出0x <时的解析式，解不等式即可.【详解】由题意可知，设0x <，则0x ->，则()22f x x x -=+，函数为偶函数，所以0x <时，2()2f x x x =+，()0f x x<，当0x <时，220x x +>，解得<2x -；当0x ≥时，220x x -<，解得02x <<，所以不等式的解集为(,2)(0,2)-∞-⋃，故选：B ．二、多选题15．下列结论正确的是（）A ．若0x >，则1y x x=+的最小值为2B ．若0a >，0b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最大值为9D ．若()02x ∈，，则()2y x x =-的最大值为2【正确答案】AB【分析】根据基本不等式依次求解判断各选项即可．【详解】对于A ：因为0x >，所以12y x x =+=，当且仅当=1x 时取等号，即1y x x=+的最小值为2.故A 正确；对于B ：00a b >>，，则22a b a b ab +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当=a b 时取等号.故B 正确；对于C ：00a b >>，且41a b +=，则()11114455549a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++=+= ⎪⎝⎭，当且仅当1136a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为9.故C 错误；对于D ：因为()02x ∈，，则()202x -∈，，则()22212x x y x x +-⎛⎫=-≤= ⎝⎭，当且仅当2x x =-，即=1x 时取等号，故()2y x x =-的最大值为1.故D 错误．故选：AB ．16．下列说法正确的序号为（）A ．若||a b >，则22a b >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若0a b >>，0c <，则c ca b>【正确答案】AD【分析】根据不等式的性质判断A 、D 选项，再利用特殊值法，判断B 、C 选项.【详解】因为||0a b >≥，由不等式的性质可得22a b >，A 正确；若取21,30a b c d =>==>=，则2310-<-，不符合a c b d ->-，B 错误；若取21,12a b c d =>==->-=，则()()2112⨯-=⨯-，不符合ac bd >，C 错误；因为0a b >>，所以110a b<<，又0c <，所以c c a b>.故选：AD 三、解答题17．已知集合{}{}{}|48,|26,|A x x B x x C x x a =<≤=<<=<(1)求A B ⋃；()R A B ⋂ð；(2)若A C ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}|28A B x x =<≤ ，(){}|68R A B x x =≤≤ ð(2)4a >【分析】（1）由集合的交并补运算，计算即可得出答案；（2）由A C ⋂≠∅，借助数轴可得4a >.【详解】（1）因为{}{}|48,|26A x x B x x =<≤=<<，所以{}|28A B x x =<≤ ，所以{|2R B x x =≤ð或6}x ≥，所以(){}|68R A B x x =≤≤ ð.（2）因为{}{}|48,|A x x C x x a =<≤=<，A C ⋂≠∅，所以4a >.18．（1）计算：(11121421310.25610224300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知()11223a aa R -+=∈，求值.22111a a a a --++++【正确答案】(1)14-;(2)6.【分析】（1）先将各个因式和为指数幂，然后根据指数幂的运算法则化简即可；（2）根据指数运算性质先将已知条件平方求得17,a a -+=再平方可得2247,a a -+=代入计算即可.【详解】（1）原式=1111242273002144-⎛⎫⎛⎫⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭=()()11212341122211224310232310022⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯-⨯=(111+3221124224102312--⨯⨯⨯⨯-+=(3102142⨯-++-；（2）11122223,7,47,a a a a a a ---+=∴+=∴+= 22114716171a a a a --+++∴==+++.本题考查指数幂的运算与化简求值，属中档题，（1）的关键在于先化成指数幂再按照指数幂的运算法则进行运算，（2）的关键在于利用平方法求得17,a a -+=和2247a a -+=.19．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，()()12f x f x x +-=，且()01f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域．【正确答案】(1)()21f x x x =-+(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）函数图象与y 轴交点确定c 值，函数()()1y f x f x =+-和函数2y x =相等，对应系数相等确定a 、b 值.（2）根据区间[]1,1-上的单调性求出最值，即可得到区间[]1,1-上的值域.【详解】（1）解：因为()01f =，所以1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()12f x f x x +-=，所以()()()2211112a x b x ax bx x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，所以22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，即()21f x x x =-+．（2）解：因为()2213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 是开口向上，对称轴为12x =的抛物线．因为()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()min 1324f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为()11113f -=++=，()11111f =-+=，所以()()max 11113f x f =-=++=，所以()f x 在[]1,1-上的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．已知函数()21x b f x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数.（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<.【正确答案】（1）()21x f x x =-；（2）证明见解析；（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）利用奇函数的定义()()f x f x -=-，经过化简计算可求得实数b ，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，作差()()12f x f x -，化简变形后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为()()1f t f t -<-，再利用函数()y f x =的定义域和单调性可得出关于t 的不等式组，即可解得实数t 的取值范围.【详解】（1）由于函数()21x b f x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即()2211x bx b x x -++=-+-+，化简得0b =，因此，()21x f x x =-；（2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，即1211x x -<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，1211x x -<<< ，210x x ∴->，1210x x +>，110x -<，110x +>，210x -<，210x +>.()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此，函数()y f x =在区间()1,1-上是减函数；（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义域为()1,1-的减函数，且为奇函数，由()()10f t f t -+<得()()()1f t f t f t -<-=-，所以111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得112t <<.因此，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.。
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．第一部分 选择题（共58分）一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1．i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数（ ）．6i 2i 1i z +=+z =A ．B ．C ．D ．13i 22-13i 22+13i 22-+31i 22-2．已知向量，向量在向量上的投影向量（ ）()()1,1,2,0a b =-= a b c = A ．B ．()2,0-()2,0C ．D ．()1,0-()1,03．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．92π72π52π32π4．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵201892489士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科1859学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可x 以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素()πln xx x ≈10000数即质数，，计算结果取整数）lg e 0.43≈A ．B ．C ．D ．1079107543425005．在中，角对边为，且，则的形状为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 22cos 2Ac b c ⋅=+ABC A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知圆锥的底面圆周在球O 的表面上，顶点为球心O ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π37．已知平行四边形中，，，．若点满足，点ABCD 8AB = 4AD = π3A ∠=M 15AM MB = 为中点，则（ ）N AB ()DM DA DN ⋅+=A ．B ．C ．D ．61224308．是定义在R 上的偶函数，对，都有，且当时，()f x R x ∀∈(2)(2)f x f x -=+[2,0]x ∈-.若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．(1,2)(2,)+∞二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．，则()(),R,i 234i 2ix y x y y ∈++=-+5x y +=B ．3i 1i+>+C ．若，则复数z 对应的点位于第四象限2(1)i 2z =+D ．已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆|2i |3z -=10．下列说法中正确的有（ ）A ．设正六棱锥的底面边长为1B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 2C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．11．给出以下命题正确命题的选项为（ ）A ．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位cos 2y x =sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12πB ．函数的最大值为2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．定义运算，则且，设，,:,a a b a b b a b ≤⎧⊗⊗=⎨>⎩()sin f x x =()cos ()g x x x =∈R ()()()F x f x g x =⊗则的值域为()F x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数，当等时恒有解，则的范围是2()4sin4cos 1f x x x a =-++-2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a [4,5]-第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，,,A B C 13i +2i -，则点D 对应的复数为．3i -+13．已知向量满足，则.21,ee 12121e e e e ==-=122e e +=14．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且PQR ABC AB BC CA ，，，则长度的最大值为PQ =2QR =2PQR π∠=AB 四、解答题：本题包括5小题，共77分．15．在锐角中，的对边分别为ABC ,,A B C ,,a b c 2sin c A =(1)确定角的大小；C (2)若，求边.c =6ab =,a b16．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．,,a b c(1,1)a =-r(1)若，且，求向量的坐标；c =//c a c (2)若是单位向量，且，求与的夹角.b (2)a a b ⊥- a bθ17．已知.()()sin 0f x x ωω=>(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；()y f x =4πω1()2f x =(2)已知，，求函数，的值域.1ω=2π()()()()2g x f x x f x =+--()y g x =π[0,4x ∈18．如图，四边形为梯形，ABCD，，．//AB CD 2AB CD ==tan A =1cos 3ADB ∠=(1)求的值；cos BDC ∠(2)求的长．BC 19．已知函数，．2()lg()1f x a x =+-a R ∈(1)若函数是奇函数，求实数的值；()f x a (2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；()y f x =lg 2xy =(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取[)1,2x ∈(2)x y f =lg(42)xy =-a 值范围．【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-所以.13i22z =-故选：A 2．C【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，()()1,1,2,0a b =-=所以向量在向量上的投影向量，ab ()21,0a bc b b⋅=⋅=- 故选：C 3．D【分析】由旋转体的概念得旋转是一个大圆锥去掉一个小圆锥，由圆锥体积公式可得．【详解】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA ＝AB ·cos 30°＝∴旋转体的体积为π2·(OC －OB )＝.1332π故选：D.4．B 【分析】计算的值，即可得解.()10000π【详解】因为，()1000010000100002500lg 25000.431075ln100004ln10πe ===≈⨯=所以，估计以内的素数个数为.100001075故选：B.【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.2cos 2A222c a b =+【详解】因为，22cos 2Ac b c⋅=+所以，即，1cos 22Ac b c +⋅=+cos c c A b c +=+所以，cos c A b =在中，由余弦定理：，ABC 222cos 2b c a A bc +-=代入得，，即，2222c b b c a bc +-⋅=22222b c a b +-=所以.222c a b =+所以直角三角形.ABC 故选：B 6．B【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，r l 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得．π2πl r =2l r =由圆锥的高为3，解得3=3=l =因此球的半径.O R l ==34π3R =故选：B 7．C【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可DM DA DN {},AB AD求得的值.()DM DA DN ⋅+ 【详解】如下图所示：因为，则，又因为点为的中点，则，15AM MB = 16AM AB = N AB 12AN AB=，16DM AM AD AB AD=-=- ，1222DA DN AD AN AD AN AD AB AD+=-+-=-=- 所以，()2211152262126DM DA DN AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅+=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .222215π151cos 2884242412631262AB AB AD AD =-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯= 故选：C.8．C【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函()f x 数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.()f x []2,6-【详解】由，可得：.(2)(2)f x f x -=+()()4f x f x -=+又因为是定义在R 上的偶函数，()f x 则，且函数图象关于轴对称.()()f x f x -=()f x y 所以，即的周期为4.()()4f x f x +=()f x 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]x ∈-()f x ()f x 上的图象.[]2,6-令()log (2)(1)a g x x a =+>若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的实数根，至多有(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>3个不同的实数根，则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不()f x ()log (2)(1)a g x x a =+>(2,6]-同的交点.所以，即.()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<故答案为：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；()f x ()f x ()g x 将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.9．AD【分析】根据复数相等的充要条件即可求解A ，根据复数的性质即可求解B ，根据复数的几何意义即可求解CD.【详解】A ：由题意，(i)2(2)i (34i)2i 3(24)i x y x y y y ++=++=-+=+-所以，解得，，所以,故A 正确，2324x y y +=⎧⎨=-⎩1x =4y =5x y +=B ：因为两个复数不能比较大小，所以B 不正确；C ：因为，所以复数z 对应的点位于第二象限，因此C 2(12i)14i 434i z =+=+-=-+()3,4-不正确；D ：因为，所以z 在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此|2i |3z -=()0,2D 正确，故选：AD10．ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•1×1×sin60°；12⨯=则棱锥的高h 2,==所以该棱锥的体积为VS 底面积h 2正确；13=13==对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′a 2×sin60°,则原12=⨯2=△ABC 的面积为S ＝′＝a 22,所以B 错误；=对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确；综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.11．ABD【分析】对于A ，由三角函数的平移变化即可判断A ；对于B ，用正、余弦的和差角公式及辅助角公式化简为，即可判断B ；对于C ，取时，即可判断C ；对于2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x π=D ，将化简，然后用二次函数求最值，即可判断D.()f x 【详解】对于A ，将图象沿轴方向向左平移个单位，则sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12π，所以A 正确；sin 2sin 2cos21232y x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ，，当时，sin cos sin 2sin 363y x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.max 2y =对于C ，，即，当时，(),()()()()()(),()()f x f x g x F x f x g x g x f x g x ≤⎧=⊗=⎨>⎩sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xF x x x x ≤⎧=⎨>⎩x π=，，所以C 错误.sin 0,cos 1ππ==-()()cos 1F x F ππ===-对于D ，()22()4sin 4cos 1=41cos 4cos 1f x x x a x x a=-++---++-，令，22=4cos 4cos 3,,43x x a x x ππ⎡⎤+--∈∈-⎢⎥⎣⎦12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，所以在上单调递增，()221443442f t t t a t a⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭()f t 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，()min 142f t f a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()max 15f t f a ==-当时恒有解，则2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()0f x =404505a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⎨⎨-≥≤⎩⎩所以的范围是，所以D 正确.a [4,5]-故选：ABD.12．##45i -+54i -【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，,,A B C 13i +2i -3i -+所以，()()()1,3,2,1,3,1A B C --因为是平行四边形，所以，设，ABCD AB DC =(),D x y 则，故，解得，()()1,43,1x y -=---3114x y --=⎧⎨-=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩所以，则点D 对应的复数为.()4,5D -45i -+故答案为: .45i -+13【分析】由向量的数量积的运算公式，运算求得，结合，1212e e ⋅= 222121212244e e e e e e +=++⋅即可求解.【详解】由向量满足，21,e e12121e e e e ==-=可得，解得，22121212122122221e e e e e e e e e e ==-=+-=-⋅⋅= 1212e e ⋅= 又由，所以.2221212122441427e e e e ee +=++⋅=++=1e + .14【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，，设 ，则根据题意有：,60AB BC B C =∠=∠=︒QRC θ∠=， 180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒中，BPQ 180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-中，根据正弦定理得：BQP ·sin sin sin sin BQ PQ PQ BPQ BQ BPQ B B∠=∴==∠∠∠中，根据正弦定理得：RQC ·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒2sin sin 60AB BC BQ QC θ∴==+=︒化简计算得：（()AB θϕ=+tan ϕ=当时，有最大值 ()sin 1θϕ+=AB .15．(1)π3C =(2)或23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.sin sin a A c C =(2)由余弦定理可得，再由可求答案.2213a b +=6ab =【详解】（1及正弦定理得2sinc A =sin sin a A c C ==因为，故sin 0A >sin C =又锐角，所以.ABC π3C =（2）由余弦定理，22π2cos 73a b ab +-=，得6ab =2213a b +=解得:或.23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩16．(1)或(3,3)c =- (3,3)c =- (2)π4【分析】（1）设，由，列出方程组，求得的值，即可求解；(,)c x y = c = //c a ,x y （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.(2)a a b⊥- 1a b ⋅= cos θ=【详解】（1）解：设，因为，且，(,)c x y = c = //c a 可得，解得或，22018y x x y +=⎧⎨+=⎩3,3x y =-=3,3x y ==-所以或.(3,3)c =- (3,3)c =- （2）解：因为，且，，(1,1)a =-r b 1b = 又因为，可得，所以，(2)a a b ⊥- 2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=1a b⋅= 则cos a b a b θ⋅=== 因为，所以.[]0,πθ∈π4θ=17．(1)，或；12ω=π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈(2).1[,0]2-【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.ω（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.()g x 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得，2π4πω=12ω=1()sin 2f x x =1()2f x =1sin 22x =解得或，即或π2π26x k =+5π2π,Z 26x k k =+∈π4π3x k =+5π4π,Z 3x k k =+∈所以的解集为或.1()2f x =π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈（2）依题意，，()sin f x x =2π11()sin )sin()cos 2cos 222g x x x x x x x =--=-，111πcos 22sin(2)2226x x x =-=-+当时，，则有，，π[0,]4x ∈ππ2π2[,]663x +∈1πsin(2)126x ≤+≤11πsin(20226x -≤-+≤所以函数，的值域为.()y g x =π[0,]4x ∈1[,0]2-18．(2)BC =【分析】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得sin ,cos ,sin A A ADB ∠的值；cos cos BDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出BD 的长，再在中利用余弦定理可求得BC ABD △BCD △的长.【详解】（1）因为，解得，sin tan cos A A A ==22sin cos 1A A +=sin A cos A =而，所以，1cos 3ADB ∠=sin ADB ∠==所以cos cos()cos()ABD A ADB A ADB π∠=-∠-∠=-∠+∠(cos cos sin sin )A ADB A ADB =-∠-∠13=因为，所以，所以．//AB CD BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理得，ABD △sin sin BD AB A ADB =∠因为．AB =sin sin AB A BD ADB ⋅==∠在中，由余弦定理得CBD △2222cos BC BD CD BD CD BDC=+∠-⋅⋅，2718233=+-⨯=所以BC =19．(1) .1a =(2) 函数与函数的图象有2个公共点；说明见解析.()y f x =lg 2x y =(3).(3)-+∞【详解】分析：（1）由题意可得，解出；()()0f x f x +-=1a =（2）要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数，1lg lg21x x x +=-22101x x --=-D 令，利用零点存在定理判断即可；()2211x F x x =---（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，令，则，上式整理得24221x x a +>--[)1,2x ∈2x t =[)2,4t ∈在恒成立，分类讨论即可.()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，()f x x ()()0f x f x +-=即，22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.1x ≠1x ≠-上面等式左右两边同时乘以得()()11x x -+，化简得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，.()()2221430a x a a ---+=上式对定义域内任意恒成立，所以必有，x 2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩解得.1a =（2）由（1）知，所以，即，1a =()2lg 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1lg 1x f x x +=-由得或，101x x +>-1x <-1x > 所以函数定义域. ()f x ()(),11,D =-∞-⋃+∞由题意，要求方程解的个数，即求方程1lg lg21x x x +=-在定义域上的解的个数.22101x x --=-D 令，显然在区间和均单调递增，()2211x F x x =---()F x (),1-∞-()1,+∞又，()22112210343F --=--=-<-323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭- 且，.32322150122F ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭()22221101F =--=> 所以函数在区间和上各有一个零点，()F x 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭即方程在定义域上有2个解，22101x x --=-D 所以函数与函数的图象有2个公共点.()y f x =lg2x y =（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）11x y x +=-2x y =()(),11,D =-∞-⋃+∞（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，24221x x a +>--[)1,2x ∈令，则，上式整理得在恒成立.2x t =[)2,4t ∈()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈方法一：令，.()()256g t t a t a =+-+-[)2,4t ∈① 当，即时，在上单调递增，522a -≤1a ≥()g t [)2,4所以，恒成立；()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦② 当，即时，在上单调递减，542a -≥3a ≤-()g t [)2,4只需，解得与矛盾.()4320g a =+≥23a ≥-3a ≤-③ 当，即时，5242a -<<31a -<<在上单调递减，在上单调递增，()g t 52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以由，解得()2min 561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭33a -<<+又，所以31a -<<31a -<<综合①②③得的取值范围是. a ()3-+∞方法二：因为在恒成立. 即，()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈()2156t a t t ->-+-又，所以得在恒成立113t ≤-<2561t t a t -+->-[)2,4t ∈令，则，且，1u t =-[)1,3u ∈1t u =+所以， ()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭由基本不等式可知时，等号成立.）2u u +≥=[)1,3u =即，min 2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以,2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以的取值范围是.a ()3-+∞点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测合集2套(含答案)
2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A ．6232-B ．3636-4．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4A．42B．二、多选题：（本题共4小题，每小题合题目要求．全部选对的得9．若复数2022i iz=+（i为虚数单位）z=B．A．1四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知1a = ，2b = ，且()()243a b a b +⋅-=(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图像向右平移的12，纵坐标不变，得到函数(1)求ABD △的面积；(2)求点C D ，之间的距离．20．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC(1)求AM；(2)求MPN ∠的余弦值.【详解】12AB BD AB BC AB =+=+= ()1132ED DB AB AC +=+=⨯ ，观察图形可知，当点P 在线段CD 上时，且684CBM πππ∠=-=，则BM = 故AP AB ⋅的最大值为(AM AB ⋅= 故选：C.9．CD所以()221111122222AM BN AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22111111=72124=13222222AM BN AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21=18124102BN AC AB ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，所以131310cos ===50510AM BN AM BN AM BN ⋅⨯⋅ ，，又MPN ∠与,AM BN的夹角相等，所以1310cos =50MPN ∠，所以MPN ∠的余弦值为131050.22．(1)43310-(2)()3,1--【分析】（1）先通过已知条件求得π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，通过配角的方法并结合正弦差角公式求得sin x 的值；（2）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，通过参变分离转化为最值问题进而求得答案.【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON =的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}210,124x A x x B x =-≤=≤≤∣∣，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．[)1,0-D ．[]1,0-A ．(21)y f x =-B ．y =C ．(12)y f x =-D ．y =7．已知函数()*()sin cos N n n f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（①1n =时，()f x 的最大值为2；A ． AP的长度为αβ-B ．扇形11OA P 的面积为αβ-C ．当1A 与P 重合时，12sin AP β=D ．当3πα=时，四边形11OAA P 面积的最大值为12．如图，设()0,πα∈，且π2α≠，当A ．设(),a m n = ，(),b s t = ，若B ．设(),a m n = ，则2a m =+C ．设(),a m n = ，(),b s t = ，若(1)求AM BC ⋅ ；(2)若45BAC ∠=︒，求MPN ∠的余弦值，20．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观h x 的实数解的个数.于x的方程()012()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.当1m <时，直线y m =与函数当1m =或54m ≥时，()h x =当514m <<时，()0h x =在(综上，1m <或54m >时，(h。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一下学期期中阶段诊断测试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年乌鲁木齐高一下册期中阶段诊断测试数学模拟试题一、单选题1．下列角中终边与330 相同的角是A ．30B ．30-C ．630D ．630-【正确答案】B【详解】与30°的角终边相同的角α的集合为{α|α=330°+k•360°，k ∈Z}当k=-1时，α=-30°，故选B2．函数()3πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程是（）A ．4π3x =B ．πx =C ．7π12x =D ．π4x =-【正确答案】D【分析】令()3πππ282x k k -=+∈Z ，求出图像的对称轴，然后逐项代入求出k ，k 为整数即可解的答案.【详解】解：由题意得：令()3πππ282x k k -=+∈Z ，可得()5π2π123k x k =+∈Z 当4π3x =时，5π2π411,Z 12338k k π+==∉当x π=时，5π2π7,Z 1238k k π+==∉当712x π=时，5π2π71,Z 123124k k π+==∉当4x π=-时，5π2π,1Z 1234k k π+=-=-∈故选：D ．3．在△ABC 中，(1,2),(,2)a b m == ，若a b ⊥，则m =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【正确答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示求参数m 即可.【详解】由a b ⊥知：40m +=，解得4m =-.故选：A4．要得到cos(23y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【正确答案】A【分析】化简函数cos 2sin 2312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断.【详解】cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴需将函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位.故选：A.5．已知cos170m ︒=，则tan10︒的值为（）．A ．mB ．mC D ．【正确答案】B根据诱导公式及同角三角函数公式直接求解.【详解】根据诱导公式得cos170cos(18010)cos10m ︒=︒-︒=-︒=，即cos100m m ︒=-<，，又22sin 10cos 101︒+︒=，sin10∴︒sin10tan10cos10︒︒==︒，故选：B.6．在ABC 中，AB a = ，AC b = ，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（）A ．1344a b+ B ．1344a b-C ．3144a b+D ．3144a b-【正确答案】D【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.【详解】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，EB AB AE =- 12AB AD=- ()1122AB AB AC=-⨯+3144AB AC=-3144a b =- 故选：D .本题考查向量的线性运算和基本定理，属于基础题.7．已知向量a ，b 的夹角为3π，1a = ，(3,4)b =- ，则4a b += （）A ．5B ．6C ．7D 【正确答案】D【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质，求向量的模即可.【详解】因为15||||cos 15322a b a b π⋅==⨯⨯= ，所以|4|a b += .故选：D8．下列选项正确的为（）A ．若a 与b 都是单位向量，则a b=B ．若a 与b 是平行向量，则a b=C ．若a 与b 平行，则存在唯一实数λ，满足b aλ=D ．a b a b+≤+【正确答案】D【分析】利用向量的概念判断A ，B 选项；若a 与b 平行，且0a = 时，b为非零向量，来判断C选项；利用向量三角不等式来判断D 选项.【详解】解：若a 与b 都是单位向量，则=1a b = ，但a 与b 方向不一定相同，故A 错误；若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反，且a 与b的模不一定相同，故B 错误；若a 与b 平行，且0a = 时，b 为非零向量，则找不到实数λ使得b a λ=，故C 错误；当a 与b 方向相同时，a b a b +=+ ，当a 与b不共线时，由三角形三边关系可知，a b a b +<+ ，故D 正确.故选：D 9．已知3tan 4α=，则sin 2cos 2sin cos αααα-=+（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】分子分母同时除以cos α即可得sin 2tan 2cos sin 2tan 121cos αααααα--=++，代入3tan 4α=即可求值.【详解】解：sin 322tan 21cos 4sin 32tan 122121cos 4αααααα---===-++⨯+，故选:C.本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题.10．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【正确答案】B【详解】如图，设内切圆半径为r ，则r ＝3a，∴S 圆＝π·3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝29a π，S 扇＝12a 2·3π＝26a π，∴S S 圆扇＝23.11．已知(1,2),(3,2)a b ==- ，k b a +r r 与3a b -平行，则k 的值为（）A ．3B ．13C ．12D ．13-【正确答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算公式，结合共线向量的坐标运算公式，可得答案.【详解】由(1,2),(3,2)a b ==- 得(3,22)ka b k k +=-+，3(10,4)a b -=- ，由k b a +r r 与3a b - 平行得(3)(4)10(22)0k k -⨯--+=，解得13k =-.故选：D.12．在ABC 中，a x =，2b =，45B =︒．若利用正弦定理解ABC 有两解，则x 的取值范围是()A ．2x <≤B ．2x <<C ．2x >D ．2x ≤≤【正确答案】B【分析】以C 为圆心，CA 为半径画圆弧，圆弧与BA 边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出x 的范围．【详解】如图，B =45°，CD ⊥AB ，则sin45sin45sin45CD BC a x =⋅== ，以C 为圆心，CA =b =2为半径画圆弧，要使△ABC 有两个解，则圆弧和BA 边应该有两个交点，故CA >CD 且CA <CB ，即sin 452x x ︒<<，解得2x <<故选：B ．二、填空题13．已知15sin 17α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.【正确答案】834先根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系求出cos α，再根据两角差的余弦公式即可求出．【详解】∵15sin 17α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴8cos 17α=-.∴1815cos cos cos sin sin 33321717πππααα⎛⎫⎛⎫-=+=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为本题主要考查两角差的余弦公式，三角函数值在各象限的符号以及平方关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．14．已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =.若c = //a c ，则c 的坐标为_______________.【正确答案】()2,4或()2,4--设出向量的坐标，根据模长计算公式，以及向量平行的坐标公式，列方程即可求得.【详解】设(),c x y = ，因为c =，=2220x y +=；又//a c，故2y x =；联立方程组解得2,4.x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=⎩故()2,4c = 或()2,4c =--.故答案为.()()2,4,2,4--本题考查向量模长的坐标计算公式，以及向量平行的坐标公式，属基础题.15．已知向量()3,1a =- ，()4,2b a -=- ，则a b ⋅=______.【正确答案】4-【分析】先求出b，再根据数量积的坐标表示求解即可．【详解】解：∵()3,1a =-，()4,2b a -=- ，∴()1,1b b a a =-+=-，∴()()3,11,1a b ⋅=-⋅-()13114=-⨯+⨯-=-，故4-．本题主要考查平面向量的数量积的坐标表示，属于基础题．16．已知0a >，函数()cos sin f x m x x =+的图象过点26π⎛⎫⎪⎝⎭，，若函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则a 的取值范围为_________．【正确答案】(0,6π首先求出参数m 的值，即可将()f x 化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求出其单调递增区间，从而得到参数a 的取值范围；【详解】解：因为函数()cos sin f x m x x =+的图象过点26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos sin 2666f m πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得m =，则()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由22232k x k πππππ-+≤+≤，()k Z ∈，解得52266k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，令0k =，则566x πππ-≤≤，即函数()f x 在区间5,66πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则06a π<≤，则0,6a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故0,6π⎛⎤⎥⎝⎦本题考查三角函数的性质及三角恒等变换的应用，属于中档题.三、解答题17．已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-.（1）求3a b -的值；（2）若()a a b λ⊥+，求λ的值.【正确答案】（1）3a b -= 2）1λ=-【分析】（1）根据题中条件，先求出3(6,2)a b -=，进而可求出结果；（2）先由题意得到(13,24)a b λλλ+=-+ ，根据()a ab λ⊥+得到()0a a b λ⋅+= ，进而可求出结果.【详解】（1）因为向量(1,2)a =，(3,4)b =- ，则3(6,2)a b -=，则3a b -== （2）因为向量(1,2)a =，(3,4)b =- ，则(13,24)a b λλλ+=-+，若()a ab λ⊥+，则()1(13)2(24)550a a b λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=，解得：1λ=-．本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.18．（1）已知角α的终边经过点(,P x ，（0x ≠），且cos α，求cos sin sin ααα+的值；（2）求值.()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)+--+-o o o o o【正确答案】（1）6-或6；（2）1+【分析】（1）先利用三角函数的定义算出x 再求三角函数值即可；（2）利用诱导公式进行化简.【详解】（1）角α的终边经过点(,P x，由三角函数的定义，cos α=，解得=x当x =时，cos α=，sin 6α=，cos sin sin 6ααα+=；当x =时，cos 6α=，sin 6α=，cos sin sin 6ααα++=-.（2）由诱导公式可得：()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)sin 60cos30sin 30cos 60tan 6011122+--+-=+++⋅=o o o o o o o o o o 19．某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A 测得海上面油井P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30︒，海轮改为北偏东60︒的航向再航行40分钟到达C 点．（1）求P ，C间的距离；（2）求在点C 测得油井P 的位置？【正确答案】（1）40海里；（2）P 在C 的正南40海里处．【分析】（1）由正弦定理求BP ，再在直角△PBC 中求PC 即可.（2）由1sin 2BPC ∠=求BPC ∠，易知//CP AB ，结合（1）的结果，即知在点C 测得油井P 的位置.【详解】（1）如图，在△ABP 中，403020,30,12060AB APB BAP =⨯=∠=∠=︒︒，由正弦定理：2012=，解得BP =，在△PBC 中，40302060BC =⨯=，又90PBC ∠=︒，故40PC =．答：P ，C 间的距离为40海里．（2）在△PBC 中，90,20,40PBC BC PC ∠==︒=，∴1sin 2BPC ∠=，即30BPC ∠=︒，又30ABP BPC ∠=∠=︒，∴//CP AB ，即在点C 测得油井P 在C 的正南40海里处．20．已知平面向量(sin cos ,2sin )a x x x =+，(sin cos ,)b x x x =- ，函数()(R)f x a b x =⋅∈．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若(0,)m π∈，223m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin m 的值．【正确答案】（1）T π=；[,]()36k k k Z ππππ-++∈（2）6+【分析】（1）()f x =2sin 26x π⎛⎫-+ ⎝⎭，利用公式2T πω=计算周期，令222,()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得单调减区间；（2）21sin 2363m f m π⎛⎫⎛⎫=-⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过分析易知cos 63m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，将sin m 配成sin sin[()]66m m ππ=+-，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.【详解】（1）22()sin cos cos f x a b x x x x =⋅=--，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，又令222,()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得,()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈.（2）21sin 2363m f m π⎛⎫⎛⎫=-⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又115sin sin 0,,6326666m m ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<=⇒+∈⋃ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又(0,)m π∈，故5,66m πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭cos 63m π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭，sin sin[()]66m m ππ=+-1sin cos 626m m ππ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题考查正弦型函数的周期、单调性以及三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到向量数量积的坐标运算，考查学生的运算能力，是一道容易题.21．在△ABC中，AB =2AC =，56BAC π∠=，O 是ABC 的外接圆圆心，若AO AB AC λμ=+ ．(1)求AO AB ⋅及AO ；(2)求λ，μ．【正确答案】(1)32AO AB ⋅=，AO (2)74,2λμ==【分析】（1）如图，以点A 为原点，建立平面直角坐标系，取AB 的中点M ，AC 的中点N ，连接,OM ON ，设(),O x y ，根据O 是ABC 的外接圆圆心，可得,OM AB ON AC ⊥⊥，则有0MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，求得O 点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解；（2）根据AO AB AC λμ=+结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.【详解】（1）解：如图，以点A 为原点，建立平面直角坐标系，则())()0,0,,A BC ，取AB 的中点M ，AC 的中点N ，连接,OM ON ，则1,222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),O x y，则1,,,222MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==，因为O 是ABC 的外接圆圆心，所以,OM AB ON AC ⊥⊥，则02102MO AB x NO AC x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎭⎨⎪⋅=++-⎪⎭⎩，解得272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以)7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎝⎭，AO == （2）解：因为AO AB AC λμ=+ ，即)())7,22λμμ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，，所以72μ=⎨⎪=⎪⎩，解得472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩.所以74,2λμ==.。
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳东辰高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳东辰高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．设复数(1)z i i =⋅-，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．-1D ．-i【正确答案】C【分析】结合复数的四则运算，计算z ，得到虚部，即可．【详解】1i z =--,所以z 的虚部为-1，故选C ．本道题考查了复数的运算，关键化简复数z ，难度较容易．2．平面向量()1,2a =- ，()2,b x =- ，若//a b，则x 等于（）A ．4B ．2C ．1-D ．4-【正确答案】A【分析】根据向量共线列方程，从而求得x .【详解】由于//a b，所以()()1224x x ⋅=-⋅-⇒=.故选：A3．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π【正确答案】A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.4．在ABC 中，若cos a B c =，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到()sin cos sin sin A B C A B ==+，再结合三角函数恒等变换得到cos 0A =，即可得到答案.【详解】因为cos a B c =，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B .因为sin 0B >，所以cos 0A =.又因为00A <<18 ，所以90A = ，ABC 为直角三角形.故选：B5．已知cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．29-B ．13-C ．29D ．13【正确答案】B 【分析】由223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题，因为223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以221sin 2sin 2cos 22cos 121312212123πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故选：B6．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图像关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎝⎭内单调递增【正确答案】A【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.【详解】因为1tan ()22tan f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错；()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()|tan |f x x =的图像可知，C 、D 均正确，故选：A.本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【正确答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(0ω>)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+.再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+.所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤.综上所知1165ω≤≤.故选:C解法二:(特殊值法)当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,所以12ω=不合题意,排除B 、D .当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤,则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1,所以112ω=不合题意,排除A .故选:C本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．若||0a = ，则0a=B ．0AB BA += C ．若21,e e 为单位向量，则12e e = D ．||aa是与非零向量a 共线的单位向量【正确答案】ABD【分析】对于选项AC ，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B ，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D ，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.【详解】选项A ，因为||0a = ，根据零向量的定义知，0a=，故选项A 正确；选项B ，根据向量加法的运算法则知，0AB BA +=，故选项B 正确；选项C ，21,e e为单位向量，则有12e e = ，但1e 与2e 可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C 错误；选项D ，因||aa的模长为1，且与向量a 同向，故选项D 正确.故选：ABD10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A ．7,36b c C π===，B ．564b c C π===，，C．63a b B π===，D ．20156a b B π===，，【正确答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A 选项有无穷多解，显然错误；B中，因为sin 2b C =，C 为锐角，所以sin b C b c <<，所以该三角形有一解，B 正确；C中，因为sin a B =B 为锐角，所以sin b a B =，所以该三角形有一解，C 正确；D 中，因为sin 10a B =，B 为锐角，所以sin a B b a <<，所以该三角形有两解，D 错误.故选：BC11．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦单调递减D ．该图象向右平移π12个单位可得2sin 3y x =的图象【正确答案】AD【分析】根据图象求出()y f x =的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC ，根据图象的平移变换可判断D.【详解】由图象可得()f x 的最大值为2，即2A =，2πππ4412T ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即3ω=，所以()()2sin 3f x x ϕ=+，因为π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确；对于B ，因为()25π12sin π0f ⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭，所以错误；对于C ，当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π7ππ3,444x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；对于D ，该图象向右平移π12个单位可得ππ2sin 32sin 3124y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故正确，故选：AD12．已知函数()sin cos f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．它是偶函数B ．它是周期为2π的周期函数C ．它的值域为⎡-⎣D ．它在()-π,2π这个区间有且只有2个零点【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义可知，()()f x f x -=，即A 正确；由周期函数得定义可知，()2πf x +与()f x 不一定相等，故B 错误；将函数()f x 写成分段函数的形式并画出函数图像可得C 正确；结合C 以及偶函数的性质，可判断D 正确.【详解】由于()()sin cos()sin cos f x x x f x x x -=-+-==+，所以它是偶函数，故A 正确；由于π7π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B 错误；现在来考察这个函数在[]0,2πx ∈内的情况.当π30,π,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭当π3,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：由此可知函数值域为⎡-⎣，即选项C 正确；又由于这个函数是偶函数，它在[]π,π-内没有零点，而在[]π,2π有2个零点，故D 正确.故选：ACD.方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C 选项时，首先可讨论[]0,2πx ∈时的函数解析式，画出图形；当[]2π4πx ∈，时图像重复[]0,2πx ∈的图像，而[]2π0x ∈-，时，关于y 轴作出对称图像即可.三、填空题13．已知复数21iz i=-，则z =________．【详解】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z =复数模的概念与复数的运算.14．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，2b = ，若()a ab ⊥+ ，则a = ______.【正确答案】1由()a a b ⊥+，得到22cos 03a ab π+= ，进而得到20a a -= ，即可求解.【详解】由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b ⋅+= ，所以20+⋅= a a b ，即22cos03a ab π+= ，又由2b = ，可得20a a -=，解得0a = (舍)或1a = .故1.本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．化简：(4010sin tan ︒︒-＝________.【正确答案】－1【详解】原式sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1 0 0)2︒︒2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16．如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ =，2QR =，2PQR π∠=，则AB 长度的最大值为_________【正确答案】3【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，,60AB BC B C =∠=∠=︒，设QRC θ∠=，则根据题意有：180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-，9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒BPQ 中，180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-BQP中，根据正弦定理得：()150·sin sin sin sin sin 60BQ PQ PQ BPQBQ BPQ B B θ︒-∠=∴==∠∠∠︒RQC 中，根据正弦定理得：·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒()1502sin sin 60sin 60AB BC BQ QC θθ︒-∴==+=+︒︒化简计算得：()3AB θϕ=+（tan ϕ=当()sin 1θϕ+=时，AB 有最大值故答案为.3四、解答题17．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，求：(1)求向量a b +与a b - ；(2)求向量a 与b的夹角.【正确答案】(1)()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- (2)135【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；（2）利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- .（2）a =，a = ，325a b ⋅=--=-，cos 2a b a bθ⋅===- ，∴135θ= .18．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）将简函数为π()2sin(2)6f x x =+，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；（2）通过x 的范围，求出π26x +的范围，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；【详解】（1）因为22π()cos cos sin cos22sin(2)6f x x x x x x x x =+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，由ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈得到π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）因为π()2sin(2)6f x x =+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数sin y x =的图像与性质知，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为1-.19．在①222cos sin sin 1sin sin A B C B C ++=+；②2cos cos cos c A a B b A =+；③sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，()c b c <，若已知a =ABC S = ,b c 的值．【正确答案】(1)3A π=(2)2b =，6c =【分析】（1）若选①，首先转化221cos sin A A -=，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A ；若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A ；若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A ；（2）首先根据面积公式求bc ，再结合余弦定理求b c +，即可求解,b c 的值.【详解】（1）若选①：由已知得：222sin sin 1cos sin sin B C A B C+=-+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+由正弦定理可得222b c a bc +=+，可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2cos cos cos c A a B b A=+由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，所以()2sin cos sin sin C A A B C=+=因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=若选③：因为sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin sin cos 6A C C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0C π<<，所以sin 0C >，故可得1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A ,所以tan A =0A π<<，所以3A π=；（2）由（1）可得3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△12bc =，由余弦定理得：()22222cos 328a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以8+=b c ，又因为b c <，解得2b =，6c =．20．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin 10αβ-=，且π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【正确答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；(2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.【正确答案】(1)348=+ PMN S【分析】（1）设MN 交AD 交于E 点由30MOD ∠=︒，利用锐角三角函数可求ME ，OE ，进而可求MN ，BN ，代入12PMN S MN BN =⋅ 可求（2）设MOQ θ∠=，由[0θ∈，]2π，结合锐角三角函数的定义可求sin MQ θ=，cos OQ θ=，代入三角形的面积公式1(1sin )(1cos )122PMN MN B S N θθ∆=++⋅=展开利用换元法，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，转化为二次函数的最值求解.【详解】（1）解：设MN AD E ⋂=，则cos OE OM MOD =∠=1sin 2ME OM MOD =∠=则1BN AE AO OE ==+=+32MN ME AB =+=，故1324PMN S MN BN =⋅= （2）设MOD θ∠=，[)0,θπ∈，MN AD E ⋂=，则sin 1MN θ=+，cos 1BN AE θ==+1sin cos sin cos 122PMN S MN BN θθθθ+++=⋅= ，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2x θθ-=，[)0,θπ∈，5,444πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则sin ,142πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(x ∈-()2212130,444PMN x x x S ⎛++++==∈ ⎝⎦△，即三角形PMN 面积的最大值为34+.22．如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知c ＝1且2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，cos ∠BAD =(1)求b 边的长度；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【正确答案】(1)4(2)2【分析】（1）根据2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，利用正弦定理和余弦定理化简求解；（2）设,AE x AF y == 利用D 为中点，得到2AB AC AD += ，两边平方，设,AB AC θ=uu u r uuu r，结合cos 7AB AD BAD AB AD⋅=∠=⋅ ，求得θ，进而得到ABC S ，再根据AEF △的面积为ABC 面积的一半，得到2xy =，然后利用E ，G ，F 共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）解：因为2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，所以，所以222221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得：4c ＝b ，又c ＝1，所以b ＝4．（2）设,AE x AF y == ，因为D 为中点，所以2AB AC AD += ，设,AB AC θ=uu u r uuu r ，则θθ++⋅⋅+== 2222cos 178cos 44AB AC AB AC AD ，所以= 2AD ，而()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+= ，⋅=∠==⋅ cos AB AD BAD AB AD 即228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，因为14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，sin 2θ=，所以1sin 2ABC S bc θ== 因为AEF △的面积为ABC 面积的一半，所以1sin 22AEF S xy θ== ，即2xy =，设AG AD λ= ，则22AG AD AB AC λλλ==+ ，又E ，G ，F 共线，设()1AG AD AF μμ=+-，则()()114y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ ，所以：()2142x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：4y x y μ=+，所以：2244AG AB AC x y x y =+++ ，又4y EF AC xAB =- ，所以22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ,222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，又xy ＝2，化简得：22296186321442242y x x AG EF x y x x --⋅===-++++ ，又y ≤4，所以112x ≥≥，所以2AG EF ⋅≥ ，当x ＝1时等号成立．。
2023-2024学年广东省深圳市高一下学期期中质量检测数学试题1(含解析)
2023-2024学年广东省深圳市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知,a b 为两个非零向量，其中()()1,2,1,a b m ==- ，若a b ⊥，则m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【正确答案】C【分析】根据垂直数量积的坐标计算规则计算出结果.【详解】1,120,2a b a b m m ⊥∴=-+== ；故选：C.2．复数()()3213i+2i22i z +=-+，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．iD ．2-【正确答案】D【分析】利用复数的乘方、除法化简，由共轭复数的概念求z ，进而确定虚部.【详解】由题设，28(3i)(2i)i 55i 12i 8i (2i)(2i)i 5z +++=-+=-+=+-+，所以12i z =-，虚部为2-.故选：D3．已知单位向量,a b满足||a b -= cos ,a a b + =（）A ．12-B ．12C．2D．【正确答案】B【分析】由向量夹角公式、数量积的运算律得2cos ,||||a a ba ab a a b +⋅+=+，根据已知得12a b ⋅=- ，进而求出||a b +，最后求夹角余弦值.【详解】由2()cos ,||||||||a ab a a ba ab a a b a a b ⋅++⋅+==++，又222||2223a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则12a b ⋅=- ，所以222||21a b a a b b +=+⋅+= ，则||1a b += ，综上，1112cos ,112a ab -+==⨯ .故选：B4．从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是（）A ．三个面是直角三角形的正三棱锥B ．有一个面是钝角三角形的四面体C ．每个面都是等边三角形的四面体D ．每个面都是直角三角形的四面体【正确答案】B【分析】作图，根据图形分析.【详解】如图1111ABCD A B C D -是正方体，三棱锥1A A BD -是三个面为直角三角形的正三棱锥，A 正确；三棱锥1A A BC -是四个面都是直角三角形的四面体，D 正确；三棱锥11C A BD -是四个面都是等边三角形的四面体，C 正确；对于B ，先选取A 点，与剩下的7个顶点的任意两个都不可构成钝角三角形，B 错误；故选：B.5．在△ABC 中，已知cos 2cos 2cos 212sin sin A B C A B +-=-，则一定成立的是（）A ．π3A =B ．π4A =C ．A C =D ．π3C =【正确答案】D【分析】应用二倍角余弦公式、正弦边角关系可得222a b c ab +-=，结合余弦定理、三角形性质即可求C 的大小，其余两角大小不确定.【详解】由题设，22212sin 12sin (12sin )12sin sin A B C A B -+---=-，所以222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，结合正弦边角关系知：222a b c ab +-=，又2221cos 22a b c C ab +-==，0πC <<，则π3C =，故2π,,3A B A B +=不确定.故选：D6．在△ABC 中，,60a x b B ===，若三角形有两解，则x 的取值范围是（）A ．2x <<B 2x <<C2x <D ．2x <<【正确答案】C【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，根据,,BC CD AC 的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.【详解】由题设，过C 作CD AB ⊥于D ，如下图示，则sin 60CD x x ⎧=︒<⎪⎨>⎪⎩2x <<时，三角形有两解.当sin 60x ︒>2x >时，三角形不存在；当x =2时，△ABC 分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当x <在射线BD 方向上有一个△ABC ，而在射线DB 方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：C7．过△ABC 的重心G 的直线l 分别交线段,AB AC 于点,E F ，若,AE AB AF AC λμ==，则2λμ+的最小值为（）A ．13+B ．3+C ．23+D ．53【正确答案】A【分析】利用重心的性质及已知用,AE AF 表示出AG，再由,,E G F 共线得11133λμ+=，最后应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件.【详解】如下图，若D 为BC 中点，又△ABC 的重心G ，则,,A G D 共线，且23AG AD =，而11112222AD AB AC AE AF λμ=+=+，又,,E G F 共线，所以311222AG AE AF λμ=+，即1133AG AE AF λμ=+ ，则11133λμ+=，故1112(2)()(3)(3333112μλλμλμλμλμ+=+=+=+≥++当且仅当μ=，即21,63λμ==时等号成立.故选：A8．在锐角△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2b c A c-=，则2cc b +的取值范围是（）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得sin()sin A C C -=，进而有2A C =，再把2cc b +化为212cos C并确定C 的范围，应用余弦函数性质求范围即可.【详解】由sin sin cos 22sin b c B CA c C--==，则sin sin 2sin cos B C C A -=，所以sin()sin sin cos cos sin sin 2sin cos A C C A C A C C C A +-=+-=，则sin cos cos sin sin()sin A C A C A C C -=-=，所以A C C -=或πA C C A -+==（舍），故2A C =，综上，22sin 2sin 2sin sin sin sin sin()sin sin 3c C C Cc b C B C A C C C===+++++，且sin 0C >所以22sin sin sin 2cos cos 2sin c Cc b C C C C C=+++，222sin sin 2sin cos (2cos 1)sin C C C C C C =++-212cos C=，由锐角△ABC ，则π3π2π022π02A C C A C C ⎧<+=<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，可得ππ64C <<cos C <所以232cos (1,2C ∈，故22(,1)3c c b ∈+.故选：A关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即2A C =，再把目标式，由边化角得2c c b +212cos C=求范围.二、多选题9．设,,a b c为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（）A ．a b a b +=+ 的充要条件是//a bB ．a b ⊥的充要条件是0a b ⋅= C ．若//,//a b b c，则//a c D ．若a b a c⋅=⋅r r r r，则b c = 【正确答案】BC【分析】根据向量三角不等式、垂直、共线的判定性质判断A 、B 、C；由数量积相等的几何意义有||cos ,||cos ,b b c a c =判断D.【详解】A ：a b a b +=+ 的充要条件为,a b 同向共线，而//a b是a b a b +=+ 的必要不充分条件，错误；B ：,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥ 的充要条件是0a b ⋅=，正确；C ：,,a b c 为三个非零向量，//,//a b b c，则//a c ，正确；D ：a b a c ⋅=⋅r r r r说明||cos ,||cos ,b a b c a c = ，但不一定有b c = ，错误.故选：BC10．已知复数()i ,R z a b a b =+∈，下列结论正确的是（）A ．R z ∈的充要条件是z z =B ．z 是纯虚数的充要条件是0z z +=C ．若22z z =，则Rz ∈D ．若220z z +=，则z 是纯虚数【正确答案】AC【分析】根据共轭复数定义，利用复数相等判断A ；由复数乘方、模的定义有222220a b a b ab ⎧-=+⎨=⎩判断C ；特殊值法0z z ==判断B 、D.【详解】A ：由z z =，而i z a b =-，则b b =-，故0b =，所以R z ∈，反之也成立，正确；C ：由22z z =，则22222(i)2i a b a b ab a b +=-+=+，即222220a b a b ab ⎧-=+⎨=⎩，所以0b =，故R z ∈，正确；由0z z ==时0z z +=、220z z +=成立，此时z 不是纯虚数，B 、D 错误；故选：AC11．在正四面体ABCD 中，若2AB =，M 为BC 的中点，下列结论正确的是（）A ．正四面体的体积为12B ．正四面体外接球的表面积为6πC ．如果点P 在线段DM 上，则()2AP CP +的最小值为4+D ．正四面体ABCD 内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD 上，上底圆面与面ABD 、面ABC 、面ACD 均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为π3【正确答案】BCD【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使()2AP CP +最小，只需,,A P C 共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体ABCD 内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值.【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，O 为底面中心，则,,D O M 共线，AO为体高，故23BO BD =，所以AO ===，故正四面体的体积为1111sin 6043233223AO BC BD ⋅⋅⋅⋅⋅︒=⨯⨯⨯=，A 错误；由题设，外接球球心E 在AO 上，且半径r EA EB ==，所以222()r AO r BO =-+，则22843323AO BO r AO ++=，故外接球的表面积为234π4π6π2r =⨯=，B 正确；由题意知：将面AMD 与面CMD 沿MD翻折，使它们在同一个平面，如下图示，所以2AD CD ==且cos DO BO ADM AD AD ∠==sin AO ADMAD ∠==又30CDM ∠=︒，而13cos cos()32326ADC ADM CDM ∠=∠+∠=-⨯=，要使()2AP CP +最小，只需,,A P C 共线，则()2222min 2cos APCP AC AD CD AD CD ADC +==+-⋅∠，所以()2min 8(1AP CP +=-=C 正确；如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体ABCD 内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为(0,2)x ∈，则圆柱体的高(1)2x h AO =⋅-1326=⨯=r x ，所以其侧面积2π2πS rh x ====，故当1x =时，max 3S =，D 正确.故选：BCD12．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，π4c C =，O 是△ABC 的外接圆圆心，下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值是2B ．b 的取值范围是()0,2C ．若0OA OB +=，则△ABC 是等腰三角形D ．OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是3【正确答案】ACD【分析】由余弦定理、基本不等式可得222(2a b ab +=≥，进而求ab 最大值，注意取值条件，由已知条件和构成三角形条件有sin 45AD b b ⎧=︒⎪⎨>⎪⎩求b 范围，若,,E F G 为,,AB BC AC 中点，由外心的性质、向量线性关系可得CE AB ⊥且AE BE =，即得三角形形状，将OC AB CA CB ⋅+⋅化为2211||||||||cos 4522CA CB CA CB -+︒，根据对应线段位置关系、长度及正弦边角关系、三角恒等变换、正弦函数性质求最值.【详解】由题设，△ABC 的外接圆直径22sin cr C==，如下图，过A 作AD BC ⊥于D ，由2222cos 2a b ab C c +-==，则222(2a b ab +=≥，所以2ab ≤+a b ==时等号成立，A 正确；由题意，sin 45AD b b ⎧=︒⎪⎨>⎪⎩2b <≤，B 错误；若,,E F G 为,,AB BC AC 中点，由2OA OB OE +==，故,,C O E 共线，又OE AB ⊥，所以CE AB ⊥且AE BE =，故CE 为中垂线，所以△ABC 是等腰三角形，C 正确；由()OC AB CA CB OC CB CA CA CB OC CB OC CA CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2211||||||||cos 4522CO CB CO CA CA CB CA CB CA CB =-⋅+⋅+⋅=-+︒221()22b a ab =-+222(sin sin )sin B A A B =-+，又3π4A B =-，则上式222[sin sin ()]3π3π44)sin B B B B --=-+，原式22sin (12sin cos )2(cos sin )sin B B B B B B =-+++24sin 1B =-，由3π04B <<，故π2B =时OC AB CA CB ⋅+⋅ 最大值为3，D 正确.故选：ACD关键点点睛：D选项注意应用数量积运算律、及线性关系转化为2211||||||||cos 4522CA CB CA CB -+︒，进而在三角形中正弦边角关系、3π4A B =-得到关于B 的函数式，根据其范围求最值.三、填空题13．若,a b 为单位向量，且357+= a b ，则a 在b 方向上的投影向量为___________．【正确答案】12ˆb /ˆ2b【分析】利用向量数量积运算律求得12a b ⋅= ，再根据投影向量的定义求a 在b方向上的投影向量.【详解】由2223593025343049+=+⋅+=+⋅=a b a a b b a b ，所以12a b ⋅= ，则1||||cos ,||cos ,2== a b a b a a b ，故a 在b方向上的投影向量为1||cos ,2||⋅=b a a b b b .故12b14．在复数范围内方程2450x x -+=的两根为α，β，则αβ+=__________.【正确答案】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，5αβ=，设i i a b a b αβ=+=-，，a ，b ∈R ，则5αβ=225a b ⇒+=，则αβ+=．故15．若G 为ABC 的重心，BG CG ⊥，则cos A 的最小值为_______.【正确答案】45【分析】根据BG CG ⊥，利用向量的数量积运算可得22225cos 0c b bc A +-=，再由均值不等式即可求出cos A 的最小值.【详解】如图，CG BG ⊥ ,CD BE ∴⊥,11()()22CD BE CA CB BA BC ⋅=+⋅+ ()()(2)(2)AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC =-+-⋅-+-=--⋅- ()225AB AB AC AC AB AC=-⋅+⋅-⋅ ()22225cos c b bc A=-+-22225cos 0c b bc A ∴+-=22224cos 55c b A bc +∴==,当且仅当b c =时，等号成立，cos A ∴的最小值为45.故4516．水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.【正确答案】23+【分析】首先确定半球形容器的半径最小时，三个小球与半球、及三个小球之间的位置关系，进而确定球心、切点的位置关系，根据已知求容器半径.【详解】当半球形容器的半径最小，即三个小球与半球球面都相切，且各切点与对应小球球心、半球球心共线，各小球两两也相切，此时三个小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即为半球最大圆的圆心（也为球心），如下图示：,,A B C 为三个小球球心，,,D E F 分别为它们在桌面上的投影，O 为半球球心，所以,ABC DEF 为边长为4的等边三角形，故23DO DF ==而2AD =，故3AO ===，所以半球最小半径为223AO +=+.故2四、解答题17．已知(3,2)a =- ，(2,1)=b ．(1)若ma b +与2a b -r r 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围；(2)当[]1,1t ∈-时，求||a tb -的取值范围．【正确答案】(1)116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5⎡⎢⎣【分析】（1）根据ma b + 与2a b -r r 的夹角为钝角，由()()20+⋅-= ma b a b ，且ma b +与2a b -r r 不共线求解；（2）先得到a tb -，再利用向量模的公式结合二次函数的性质求解.【详解】（1）解：因为(3,2)a =- ，(2,1)=b ，所以(32,21)ma b m m +=+-+ ，2(1,4)a b -=--，因为ma b +与2a b -r r 的夹角为钝角，所以()()2=3284560ma b a b m m m +⋅---+-=-< ，且()()43221m m +≠-+，解得65m <且12m ≠-，所以m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）根据题意，(32,2)a tb t t -=---，则2222||(32)(2)5813a tb t t t t -=-+--=-+ ，所以||-=a tb又11t -≤≤||a tb ≤-所以||a tb -的取值范围是⎣．18．已知半圆圆心为O 点，直径8AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.(1)若3144PA CA CB =- ，求PA 与CB夹角的大小；(2)试求点P 的坐标，使PA PO ⋅取得最小值，并求此最小值.【正确答案】(1)23π(2)最小值为1-，点P 的坐标为12⎛- ⎝⎭.【分析】（1）先求出A ，B ，C 三点的坐标，根据条件算出PA，再运用数量积求夹角；（2）设变量t ，使得OP tOC = ，求出·PA PO的解析式，再求最小值.【详解】（1）因为半圆的直径8AB =，由题易知：又()4,0A -､()4,0B ，又4OC =，23BOC π∠=，则24cos23C x π==-，24sin 3C y π==即(2,C -，(2,CA =--，(6,CB =-，所以(313,44PA CA CB =-=-.设PA 与CB 夹角为α，则1cos 2PA CB PA CB α⋅==- ，又因为[]0,απ∈，所以23πα=，即PA 与CB 的夹角为23π；（2）设()01OP tOC t =≤≤，由（1）知，(()2,2,OP t t =-=-，()2,PO t =-，()24,PA t =--，所以()2221224121681614PA PO t t t t t t ⎛⎫⋅=-+=-=-- ⎪⎝⎭，又因为01t ≤≤，所以当14t =时，PA PO ⋅ 有最小值为1-，此时点P的坐标为1,22⎛- ⎝⎭；综上，PA 与CB 的夹角为23π，PA PO ⋅ 的最小值为1-，点P的坐标为12⎛- ⎝⎭.19．如图，在ABC 中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC上．(1)若23ADC ∠=π，求AD 的长；(2)若2BD DC =，sin sin BADCAD∠=∠ABD △的面积．【正确答案】(1)AD =(2)3【分析】（1）求出cos B 的值，求出sin B 和ADC ∠，利用正弦定理可求得AD 的长；（2）由已知可得出2ABDACDS S =△△，结合三角形的面积公式以及已知条件可求得AB 、AC 的长，利用余弦定理可求得BC 的长，进而可求得BD 的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）解：23sin 2cos 20B B --= ，()231cos 2cos 20B B ∴---=，则23cos 2cos 10B B +-=，0B π<<，解得1cos 3B =，sin 3B ==，23ADC π∠= ，3ADB π∴∠=，在ABD △中，由正弦定理可知sin sin AD AB B ADB =∠得sin sin 9AB B AD ADB ==∠.（2）解：由2BD DC =得2ABD ACDS BD S CD== ，所以1sin 221sin 2AB AD BAD AC AD CAD ∠∠⋅⋅=⋅⋅，因为sin sin BADCAD∠=∠2AB =，所以，AC =在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即234840BC BC --=，得6BC =，所以4BD =，11sin 242233ABD S AB BD B =⋅⋅=⨯⨯⨯=△.20．已知正四棱锥P ABCD -和底面边长为2.(1)求正四棱锥P ABCD -的体积和表面积；(2)若点,,E F G 分别在侧棱,,PB PA PC 上，且312,,423PE PB PF PA PG PC ===，求三棱锥A EFG -的体积.【正确答案】(1)83P ABCD V -=；4P ABCD S -=+(2)13【分析】（1）由正四棱锥性质求体高、斜高，再应用棱锥的体积公式、表面积求法求体积、表面积；（2）由线段的数量关系得38AEF ABP S S = ，进而有38A EFG G ABP V V --=、23G ABP C ABP V --=，最后可得18A EFG P ABCD V V --=即可求体积.【详解】（1）由题设，ABCD 为正方形，若O 为底面中心，则PO为体高，OD =所以2PO ==，故1822233P ABCD V -=⨯⨯⨯=，=所以14242242P ABCDPCD ABCD S S S -=+=⨯+⨯=+ （2）由31,42PE PB PF PA ==，则133248AEF ABP ABP S S S =⋅⋅= ，所以38A EFG G EFA G ABP V V V ---==，而23PG PC = ，则23G ABP C ABP V V --=，所以111483A EFG C ABP P ABCD V V V ---===.21．正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为7cm ，31cm ，高为32cm ，如图水平放置，盛有水深为12cm ．(1)求玻璃容器的体积；(2)将一根长度为40cm 的搅棒l 置入玻璃容器中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）【正确答案】(1))3cm(2)20cm【分析】（1）根据棱台的而体积公式，即可求得答案；（2）作出截面图11E EGG ，作辅助线，根据等腰梯形的知识求得相关边长和底角的正弦值，然后解EMG ,由正弦定理求得sin EMG ∠，进而求得sin GEM ∠，在直角三角形NPE 中可求得答案.【详解】（1）由题意可知，下底面面积为2213147376(c )m 42S =⋅⋅=，上底面的面积2233164S =⋅⋅=228833(cm 2)，又台体的高为32cm ，所以正六棱台的体积()12121114732883314732883332332222V h S S S S ⎛⎫ ⎪=++⋅=⨯⨯++⋅ ⎪⎝⎭()3196323cm =;（2）设搅棒在1GG 上的点为M ，则40cm EM =，搅棒与水面的交点为N ，在平面11E EGG 中，过点N 作⊥NP EG ，交EG 于点P ，过点E 作11⊥EQ E G ，交11E G 于点Q ，∵111111EABGCD E A B G C D -为正六棱台，∴11=EE GG ，11EG E G ∥,11EG E G ≠∴11EE G G 为等腰梯形，画出平面11EE G G 的平面图，∵1162cm,14cm,32cm,12cm E G EG EQ NP ====，∴124cm =E Q ，由勾股定理得：221140cm E E E Q EQ +=，∴114sin 5EE G ∠=，114sin sin 5EGM EE G ∠=∠=，3cos 5EGM ∠=-，根据正弦定理得：sin sin =∠∠EM EGEGM EMG，∴40144sin 5EMG =∠，∴724sin ,cos 2525EMG EMG ∠=∠=，∴sin sin()GEM EGM EMG ∠=∠+∠424373sin cos cos sin 5255255EGM EMG EGM EMG =∠∠+∠∠=⨯-⨯=，∴12203sin 5NP EN cm GEM===∠,∴搅棒l 没入水中部分的长度为20cm ．22．如图1，某景区是一个以C的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．(1)若△OAB的面积2S =，求木栈道AB 长；(2)如图2，若景区中心C 与木栈道A 段连线得CAB α∠=，求木栈道AB 的最小值．【正确答案】(1)7AB =(2)6【分析】（1）应用1sin 2S OA OB AOB =⋅∠得40OA OB ⋅=，由OCA OCA OAB S S S S =++ 得20OA OB AB ++=，最后利用余弦定理列方程求木栈道AB 长；（2）设圆与AO 、OB 分别切于N 、P ，易证CMA CNA ≅ ，CMB CPB ≅ ，由CAB α∠=且π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π3CBM α∠=-，再由AB AM BM =+得到关于α的关系式，应用基本不等式求最值，注意取值条件.【详解】（1）在OAB 中，因为1sin 2S OA OB AOB =⋅∠，解得40OA OB ⋅=，所以(12OCA OCA OAB S S S S OA OB AB =++=++△△△20OA OB AB ++=，所以222240400OA OB OA OB AB AB ++⋅=-+，则22240320OA OB AB AB +=-+，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，即222AB OA OB OA OB =+-⋅，则22240OA OB AB +=+，则224032040AB AB AB -+=+，解得7AB =；（2）设圆与AO 、OB 分别切于N 、P ，则AM AN =，BM BP =，90CMA CNA CMB CPB ∠=∠=∠=∠=︒，所以CMA CNA ≅ ，CMB CPB ≅ ，则CAM CAN ∠=∠，CBM CBP ∠=∠，由CAB α∠=，得2BAO α∠=，由2ππ3BAO OBA AOB ∠+∠=-∠=，得2π23OBA α∠=-，则π3CBM α∠=-，则πtan tan tan tan 3CM CM AB AM BM CAM CBM αα=+=+=+∠∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；1tan tan AB ααα==3tan α=+()1tan tan 3tan ααα⎛=++-⎝26=≥，当且仅当tan 3α=时等号成，则AB 的最小值6．关键点点睛：第二问，利用三角函数的定义及边角关系得到AB AM BM =+得到关于α的关系式，结合基本不等式求最值.。
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2017年春期高中一年级期中质量评估数 学 试 题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷 选择题一、选择题．1．下列赋值语句正确的是A ．S ＝a ＋1B ．a ＋1＝SC ．S －1＝aD ．S －a ＝1 2．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人3．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两人命中个数的中位数分别为甲 乙 8 0 9 3 2 1 1 3 4 8 7 6 5 4 2 0 2 0 0 1 1 3 7 3A ．22,20B ．24,18C ．23,19D ．23,204．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”5．某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 6 0 1 2 3 42.24.3t4.86.7且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t =（ ）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.57．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落在正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是（ ）A ．nmB ．2n mC ．3n mD ．2mn8．在样本容量为160的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若其中某一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的14，则该组的频数是（ ）A ．32B ．20C ．40D ．259．如图所示是一个算法程序框图，在集合{}R x x x A ∈≤≤-=,1010|中随机抽取一个数值作为x 输入，则输出的y 值落在区间（-5，3）内的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.410．将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是（ ）A ．167B ．3215C ．21D ．3217 11．执行如下图的程序框图，输出S 的值是（ ） A ．2B ．1C ．12D ．－112．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．52B ．107C ．54 D ．109第Ⅱ卷 非选择题二、填空题．13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748114．已知如下算法语句输入t ;If t <5 Theny=t 2+1;ElseIf t <8 Then y =2t －1; Elsey =81t +;End If End if输出y若输入t =8,则下列程序执行后输出的结果是 .15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．16．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______.①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。
三、解答题．17．（10分）根据下面的要求，求1+3+5+…99的值． （1）请将该程序框图补充完整； （2）请用for 语句写出该算法． 18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？19．（12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，记x =|a ﹣b |．（1）求x =1的概率；（2）若x ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．20．（12分）关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0（1）由资料可知y 对x 呈线形相关关系.试求：线形回归方程；（a y b x ∧∧=-，1221()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21．（12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55）岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数占本组的频率第一组 [25,30） 120 0.6第二组 [30,35） 195 p第三组 [35,40） 1000.5 第四组 [40,45）0.4 第五组 [45,50） 30 0.3 第六组[50,55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求的值（直接写结果）；（2）从年龄段在[40,50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中至少有1人年龄在[45,50）岁的概率． 22．（12分）已知某中学高一学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取的学生数为n ，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设y x ,分别表示数学成绩与地理成绩.例如：表中地理成绩为A 等级的共有64104014=++人，数学成绩为B 级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的频率是07.0.x A B CA 14 40 10 Ba36b人 数 y（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是%30，求b a ,的值；（2）已知6,8≥≥b a ，求数学成绩为A 等级的人数比数学成绩为C 等级的人数多的概率.南阳市2017春期中高一数学期中参考答案 1-5 ADCCA 6-10 CBAAC 11-12 AC13. 01 14. 9 15. 1/3 16. (4) (5) 17.（1）.1、s s i =+;2、2i i =+；3、100i ≥或99i >或 或（写一个即可） 4分（2）s=0For i=1 To 99 Step 2 s=s+i Next输出s 10分 18. 解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5. 3分(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户． 12分19.解：由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，基本事件总数n=6×6=36，（列表或树状图） 4分（1）x=1包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4）， （4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共10个，C 28 8 34∴x=1的概率P （x=1）==． 8分（2）x ≤1包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16个， ∴“甲乙心有灵犀”的概率p==． 12分20．解：（1）55.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x∑∑====515123.112,90i i i i i y x x ()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧xx yx yx b i i i ii 6分；于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .所以线性回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y 8分； （2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y ，即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 12分； 21．解：（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=，图略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 1000,60,0.65n a p ===．（没有求出n 的不扣分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人，设[)40,45岁中的4人为a b c d 、、、，[)45,50岁中的2人为m n 、，则选取2人作为领队的有()()()()()()()()()()()()()()(,,,d ,,,,,,,,,,,a b a c a a m a n b c b d b m b n c d c m c n d m d n m、、、、、、、、、、、、、、共15种；其中至少有1人年龄在[)45,50岁的有()()()()()()()()(),,,m ,,m ,,,,a m a n b b n c c n d m d n m n 、、、、、、、、共9种，∴选 取的2名领队中至少有1人年龄在[)45,50岁的概率为35p =．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）20007.014=⇒=n n ，所以3.02002814=++a ，故18=a 而2003410836402814=++++++++b a ，所以12=b 5分（2）30=+b a 且8≥a ，6≥b ，由34102814++>++b a 得2+>b a .),(b a 的所有可能结果为)6,24(,),19,11(),20,10(),21,9(),22,8( ，共有17组，其中2+>b a 的共有8组，则所求概率为178=P . 12分。