信号与系统第五章
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信号与系统第五章习题答案
i = −∞ i= 0
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统郑君里版第五章
系统的H（jw）为低通滤波器，不允许高频分 量通过，输出电压不能迅速变化，于是不再表现为 举行脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第5章
例2：LTI二阶 y(k) 2 y(k 1) 3 y(k 2)
系统：
离散
4 f (k) 5 f (k 1) 6 f (k 2)
算子方程： (1 2E 1 3E 2 ) y(k) (4 5E 1 6E 2 ) f (k)
A(E)
B(E)
或写成：y(k) B(E) f (k) B(E) x(k) A( E )
列
i k
f1(k) (k) f2 (k) (k) f1(i) f2 (k i)
i 0
5.2.2 图解机理： y(k) f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
步骤：翻转、平移、相乘、求和。
step 1. 画 出f1 (i)、f2 (i)的 图 形 。 step 2. f2 (i)翻 转180 得f2 (－i)。 step 3. 将f2 (－i)平 移k 得f2 (k－i)。
(k)
1 (ak1 1) (k)
a 1
5.3 离散系统的描述 一.LTI离散时间系统：
1.输入输出模型： f(k)
离散系统
y(k)
设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称 k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入 信号或简称输入信号。
根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入 响应yzi(k)零状态响应yzs(k)和完全响应y(k)。
(k)
1 0
k0 k0
(k)
1 0 1 2 3 4 5 k
e k f (k)
0
k 1 其余
e
k
(
k
1)
（c）集合表示： ，0， 1，2，3，4，0，
5.1.2 离散基本信号：
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
信号与系统第五章 Z变换
这时序列Z变换为
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
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与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
5.3.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
第5章 离散信号与系统分析
引言 离散时间信号 离散系统的数学模型 离散系统的零输入响应 离散系统的零状态响应
5.1 引言
除连续系统外，还有一类用于传输和处理离 散时间信号的系统，称之为离散时间系统。
离散系统有时域、频域和z域分析法，本章 主要讨论离散系统的时域分析法。对于离散信号 和系统的分析，在许多方面都与连续信号与系统 的分析类似。我们在讨论离散时间系统的分析时， 可以把它与我们熟悉的连续时间系统相对比以便 与理解，但也要注意两者之间的差别。
（5）求和 把
和 相乘所得的序列相加
例5.5.1 已知两序列
求它们的卷积和。
解： 和
的波形
则
时 于是
列表法计算卷积和 由表可得
直接按定义计算卷积和
例5.5.2 求序列 的卷积和。
解：
和序列
根据等比数列求和关系式，可知
5.5.2离散时间系统的单位序列响应
单位序列响应的定义
离散时间系统对单位序列 的零状态响应称为系 统的单位序列响应，记为 。
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
5.4 离散系统的零输入响应
线性时不变离散系统的完全响应由零输入响应和零 状态响应两部分组成。在对离散系统进行时域分析时，可 以根据系统的差分方程分别求出由起始条件引起的零输入
响应和由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。
零输入响应的定义
对于离散系统，若在
时系统的输入为零，即
。由系统的起始状态所引起的响应称为
时
的零输入响应，用
表示
零输入响应的求解
在离散系统的差分方程中，令输入信号为零，得
离散系统的零输入响应就是上面的齐次差分方程 满足给定初始条件时的解
对应的算子方程为
离散系统的零输入响应的计算步骤
（1）求出系统传输算子的极点
令 对上式所示的特征方程进行求解，即可得到系统
5.5.1 离散信号的时域分解和卷积和
离散时间信号的时域分解公式
卷积和
定义:
运算规律： （1）交换律 （2）分配律
（3）结合律
图解法计算步骤
（1）换元 将和
（2）折叠
中的变量k换为i，并分别画出图形
画出 相对于纵轴的镜像
（3）移位 将
的图形沿横轴平移k，得到
的图形
（4）相乘
将移位后的序列
和 相乘
5.3 离散系统的数学模型
5.3.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某一时刻的输出只与输入有关，而
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
5.2.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
后向差分
前向差分
6．序列的累加和
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
5.2.2 常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
传输算子的极点 ，分为单极点和重极点两种情况。 （2）写出各极点对应的零输入响应的分量表示式
单极点
d重极点
（3）求出n个初始条件
（4）由初始条件确程为
及初始条件
求该系统的零输入响应。 解：令 即 传输算子的极点为
各极点对应的零输入响应项为
系统的零输入响应为
求系统单位序列响应的步骤
余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压
的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
令
代入初始条件后得到
求得 系统的零输入响应为
例5.4.2 离散系统的差分方程为
其中输入
，初始条件为
求系统的零输入响应。 解：齐次差分方程
对应的算子方程为
令 即 得到传输算子的极点为
系统的零输入响应为
将
代入系统的差分方程，可得
将已知的初始条件代入以上两式，得到
求得 将零输入初始条件代入零输入响应的表达式
解得 所以，系统的零输入响应为
5.5 离散系统的零状态响应
零状态响应 如果离散系统的起始状态为零，由系统外
加激励信号所产生的响应 ，用
表示
在求离散系统的零状态响应时，我们首先把激励信 号分解为一系列加权的冲击信号。然后将每一个冲击信 号作用于系统，系统输出一个与之相应的响应，每一个 响应也均是一个离散序列，再将这些相应序列叠加起来， 就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加过 程表现为求卷积和。
5.2 离散时间信号
5.2.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
5.3.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
第5章 离散信号与系统分析
引言 离散时间信号 离散系统的数学模型 离散系统的零输入响应 离散系统的零状态响应
5.1 引言
除连续系统外，还有一类用于传输和处理离 散时间信号的系统，称之为离散时间系统。
离散系统有时域、频域和z域分析法，本章 主要讨论离散系统的时域分析法。对于离散信号 和系统的分析，在许多方面都与连续信号与系统 的分析类似。我们在讨论离散时间系统的分析时， 可以把它与我们熟悉的连续时间系统相对比以便 与理解，但也要注意两者之间的差别。
（5）求和 把
和 相乘所得的序列相加
例5.5.1 已知两序列
求它们的卷积和。
解： 和
的波形
则
时 于是
列表法计算卷积和 由表可得
直接按定义计算卷积和
例5.5.2 求序列 的卷积和。
解：
和序列
根据等比数列求和关系式，可知
5.5.2离散时间系统的单位序列响应
单位序列响应的定义
离散时间系统对单位序列 的零状态响应称为系 统的单位序列响应，记为 。
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
5.4 离散系统的零输入响应
线性时不变离散系统的完全响应由零输入响应和零 状态响应两部分组成。在对离散系统进行时域分析时，可 以根据系统的差分方程分别求出由起始条件引起的零输入
响应和由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。
零输入响应的定义
对于离散系统，若在
时系统的输入为零，即
。由系统的起始状态所引起的响应称为
时
的零输入响应，用
表示
零输入响应的求解
在离散系统的差分方程中，令输入信号为零，得
离散系统的零输入响应就是上面的齐次差分方程 满足给定初始条件时的解
对应的算子方程为
离散系统的零输入响应的计算步骤
（1）求出系统传输算子的极点
令 对上式所示的特征方程进行求解，即可得到系统
5.5.1 离散信号的时域分解和卷积和
离散时间信号的时域分解公式
卷积和
定义:
运算规律： （1）交换律 （2）分配律
（3）结合律
图解法计算步骤
（1）换元 将和
（2）折叠
中的变量k换为i，并分别画出图形
画出 相对于纵轴的镜像
（3）移位 将
的图形沿横轴平移k，得到
的图形
（4）相乘
将移位后的序列
和 相乘
5.3 离散系统的数学模型
5.3.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某一时刻的输出只与输入有关，而
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
5.2.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
后向差分
前向差分
6．序列的累加和
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
5.2.2 常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
传输算子的极点 ，分为单极点和重极点两种情况。 （2）写出各极点对应的零输入响应的分量表示式
单极点
d重极点
（3）求出n个初始条件
（4）由初始条件确程为
及初始条件
求该系统的零输入响应。 解：令 即 传输算子的极点为
各极点对应的零输入响应项为
系统的零输入响应为
求系统单位序列响应的步骤
余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压
的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
令
代入初始条件后得到
求得 系统的零输入响应为
例5.4.2 离散系统的差分方程为
其中输入
，初始条件为
求系统的零输入响应。 解：齐次差分方程
对应的算子方程为
令 即 得到传输算子的极点为
系统的零输入响应为
将
代入系统的差分方程，可得
将已知的初始条件代入以上两式，得到
求得 将零输入初始条件代入零输入响应的表达式
解得 所以，系统的零输入响应为
5.5 离散系统的零状态响应
零状态响应 如果离散系统的起始状态为零，由系统外
加激励信号所产生的响应 ，用
表示
在求离散系统的零状态响应时，我们首先把激励信 号分解为一系列加权的冲击信号。然后将每一个冲击信 号作用于系统，系统输出一个与之相应的响应，每一个 响应也均是一个离散序列，再将这些相应序列叠加起来， 就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加过 程表现为求卷积和。
5.2 离散时间信号
5.2.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为