有限、无限与极限
极限与无穷大
极限与无穷大在数学中，极限和无穷大是两个重要的概念。
极限是用来描述函数或数列的趋势和性质的工具，而无穷大则指代趋近于无限的数值。
本文将探讨极限与无穷大的定义、性质以及应用。
一、极限的定义与性质1.1 极限的定义对于一个函数$f(x)$，当$x$无限接近某个数$a$时，如果$f(x)$的取值也无限接近于一个确定的数$L$，那么称$L$是$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
1.2 极限的性质- 唯一性如果一个函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在，则该极限必定唯一。
- 有界性如果函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在且为有限数，则$f(x)$在足够接近$a$的一个邻域内是有界的。
- 保号性如果一个函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限存在且大于（小于）零，则对于足够接近$a$的$x$值，$f(x)$将大于（小于）零。
二、无穷大的定义与性质2.1 无穷大的定义当一个数$x$趋近于无穷大时，如果对应的函数$f(x)$的取值无限增大或无限减小，那么就称$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为无穷大，记作$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$。
2.2 无穷大的性质- 无界性当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为无穷大时，该函数在一定区间内是无界的。
- 正负性当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为正无穷时，函数取值大于任何有界正数；当函数$f(x)$在$x$趋近于无穷大时的极限为负无穷时，函数取值小于任何有界负数。
三、极限与无穷大的应用3.1 极限的应用极限在微积分中具有重要的应用，例如：- 确定函数的连续性- 求解函数的极值点- 计算曲线的斜率3.2 无穷大的应用无穷大在数学和物理学中有着广泛的应用，例如：- 描述粒子在无限远处的行为- 讨论函数的渐近线- 研究随机变量的极限分布总结：极限和无穷大是数学中重要的概念。
极限思想
极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
数列与级数的极限与收敛
数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。
了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。
本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。
一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。
如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。
数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。
记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。
例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。
2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。
记作lim(a_n) = ±∞。
例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。
二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。
收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。
1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。
收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。
例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。
2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。
发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。
例如，数列n是一个发散数列。
三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。
如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。
级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。
记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。
例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。
2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。
发散级数的部分和没有明确的趋近性。
极限与无穷小的关系定理证明
极限与无穷小的关系定理证明
极限与无穷小的关系定理是：函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
这个定理可以通过以下步骤证明：
第一步，假设函数在某点的极限为A，该点的函数值为f(x)。
第二步，根据极限的定义，我们知道当x趋近于这个点时，f(x)无限接近A，即f(x)=A+a(x)，其中a(x)是一个无穷小量。
第三步，由于a(x)是无穷小量，那么在x趋近于这个点的过程中，a(x)的值
可以忽略不计。
因此，我们可以得出结论：函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
此外，还可以通过无穷小的性质来证明这个定理。
无穷小的性质包括：有限个无穷小的代数和仍然是无穷小；有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小；常数与无穷小的乘积仍然是无穷小等等。
利用这些性质，我们可以证明函数在某点的极限等于该点的函数值加一个无穷小量。
总之，极限与无穷小的关系定理是一个重要的数学定理，它表明函数在某点的极限与该点的函数值之间存在一定的关系。
这个定理可以通过极限的定义和无穷小的性质来证明。
极限思想的辩证思考与理解
摘要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。
认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。
通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。
关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一0 引言。
微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。
极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。
要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。
极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。
1 极限思想与辩证哲学的联系。
1.1 极限思想是变与不变的对立统一。
“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。
例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。
除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。
当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。
当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。
1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。
过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。
在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。
一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。
[笔记]论述有限与无限的区别与联系
![[笔记]论述有限与无限的区别与联系](https://img.taocdn.com/s3/m/9bda8bc229ea81c758f5f61fb7360b4c2e3f2a24.png)
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
(修改2014)第六讲：有限与无限
一、创设情境：有无限个房间的旅馆客满了 还要再安排新来的客人住下
1 号 房 间 的 客 人 搬 到 2 号 房 间，2 号 房 间的客人
“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4 ┅ k ┅ ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ 2 3 4
空出了1号房间
14
5 ┅ k+1 ┅
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
注意“有限个”的条件）
无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量
（甚至可以是无穷大量）。
54
2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往
往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
如：
lim an 自然数 ； N ，都
4. [思考题] 该旅馆客满后又来了无
穷个旅游团，每个团中都有无穷个客
人，还能否安排？
19
思考题解答
20
答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进 入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有
房间住。
一团： 1.1 → 1.2 ↙ 二团： 2.1 ↙ ↙ 2.2 ↙ 1.3 ↙ 2.3 2.4 …… 1.4 ……
50
在“无限”的情况下，加法结合律不
再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [( 1) 1]
0 1
51
有限半群若满足消去律则一定是群。
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。
连续函数极限
连续函数极限极限是一种经典问题，是数学中非常重要的概念，它把不同的概念联系起来，使得我们可以建立更为普遍的概念和数学模型，例如对函数求极限和对应的定义。
极限描述的是一个函数当其变量趋近某一数值时，函数值的取值情况。
极限函数的一般定义为：在某一点的极限值，只要在一定的接近区域内，函数值都非常接近该极限值，那么就称该极限值为该点的极限。
二、极限的分类极限有很多分类，我们重点讨论连续函数的极限。
极限可以分为有限极限和无限极限，有限极限是指在某一点的极限值是有限的，而无限极限则是指该点的极限值是无限大或无限小。
例如：函数f(x)=2x+2，其中在点x=2的极限为有限的6，而对于函数g(x)=1/x，其中在点x=0的极限值为无限小。
三、连续函数极限在前文中，我们简单介绍了极限的分类，在数学中，极限可以分为连续函数极限和间断函数极限。
连续函数是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性性质，即函数值的变化是比较连续的，而间断函数则是指在某一区间内，任何区间内的两个不同的点，其函数值之间的连续性是不能保证的。
关于连续函数极限，需要注意以下几点：1.于连续函数，某一点的极限可以称为函数定义域中该点的值。
2.于连续函数，极限只能通过对其定义域中某一点的值来确定，而不能通过其函数值。
3.于连续函数，极限可以用其偏导数来表示，偏导数的计算可以用公式的形式表示，并且可以用来求极限的值。
4.于不满足连续性性质的函数，连续函数极限的计算仍然可以采用偏导数的方法，但是该函数的连续性性质会给求取极限的过程带来困难。
四、总结连续函数极限是数学中一个重要的概念，它把函数的分段性和连续性联系起来，让我们可以计算函数极限的值，而这些值具有重要的意义，对于分析函数特性有着重要意义。
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辩 证 的 ， 对 立 统 一 的 ． 体 体 现 在 ， 限 由 有 限 构 成 ， 限 是 具 无 无 不 能脱 离有 限 而 独 立 存 在 ； 限 包 含 无 限 ， 限 体 现 无 限 ； 有 有
有 限 和 无 限 的辩 证 统 一 ， 现 在 任 何 事 物 之 中 ， 这 一 原 理 表 从 ｌ 发 ， 们 通 过有 限 去 认 识 无 限 ， 过 有 限 去 把 握 无 限 ， ｑ ｌ 人 通 通 过 有 限 的 、 对 的 各 种 事 物 和 现 象 逐 步 把 握 事 物 在 无 限 发 相
几 何 问题 而 产 生 的 ． 于运 动 与 无 限 相 伴 共 生 ， 而 极 限 与 由 因
的改 住 三 号 ， 号 的 改 住 四 号 ， 此 依 次 往 后 推 ， 让 新 客 三 如 他
住 进 了 刚 腾 空 的 一号 房 间． 是 这 家 酒 店 ， 在 义 来 了 无 限 还 现 多 位 旅 客． 主 说 ： 没有 问题 ， 稍候 ． 他 请 一 号房 间 的 客 店 “ 请 ” 人 改 住 二 号 ， 号 的改 住 四 号 ， 号 的 改 住 六 号 ， 号 的 改 二 三 四 住 八 号 ， 此 类 推 ， 样 便 腾 空 了所 有 的 奇 数 号 房 间． 有 依 这 所 的 新 客 人 又都 住 了下 来 ． 个 故 事 清 楚 地 说 明 ， 限 所 具 有 这 有 的 特性 ， 不 可 以 照 搬 到 无 限 上 面 去 ． 有 限 到 无 限 ， 往 绝 从 往 会 由量 变 引 起 质 变 ．
延伸和实无限的穷竭 而构造 ｍ越来 越大 的序数 和基数． 集 合 论 成 为 “ 学 精 神 最 令 人 惊 羡 的 花 朵 ， 类 理 智 活 动 的一 数 人
个至高成就” ． 无 限 历来 是 数 学 基 础 、 学 哲 学 争 论 探 究 的 重 要 课 题 ， 数 有 着 丰 富 的辩 证 法 内涵 ．
专 题 研 究
… …
２撒
Ｔ Ｉ
《 Ｊ 蟹静 １ 璎
。
．
有隰 、 隰与极阳
◎ 仲 生 仁 （ 肃 武 威 职 业 学 院 工程 技 术 系 ７ ３ ０ ） 甘 ３０ ０
【 摘要 】 数学 中的量有有 限与无 限两种 ， 限和 无 限是 有
有本 质 差 别 的 ， 限就 是 有 限 与无 限 的 统 一 ， 文 讨 论 的 以 极 本 上 问题 对 于 微 积 分 的 学 习有 重要 意义 ．
能 脱 离 有 限 而 存 在 ， 有 有 限也 就 没 有 无 限 ． 量 地 描 述 无 没 定 限 过 程 ， 须 借 助 于一 系列 无 限 多个 有 限 过 程 来 实 现． 样 必 怎
把 人 们 认 识 到 的 无 限 用 有 限 来 描 述 和应 用 呢 ？ 能 否 从 我 们 熟 知 的 事 物 的 有 限性 来 理 解 和 掌 握 事 物 的 无 限 性 ？ 若 想 做 到 这 些 ， 们 认 为 应 该 搞 清 楚 事 物 发 展 变 化 的 有 限 性 和 无 我 限 性 的 辩证 关 系 是 十 分 重 要 的． 哲 学 上 讲 ， 限 和 无 限 是 从 有
展 过 程 中所 体 现 的本 质和 规 律 ．
微 积 分 中极 限概 念 就 是 一 个 最 好 的 例 子 ． 限 与 无 限 极 有 着 密 不 可 分 的 亲 缘 关 系 ． 界 处 于 永 恒 的运 动 之 中 ， 积 世 微 分 就 是 由研 究 变 化 和 运 动 的 力 学 、 文 等 以 及 与 之 有 关 的 天
人 类 早 期 的某 些 原 始 部 落 只 满 足 １２等 这 种 有 限 数 量 ，
分类 ， 罗马 人最 大 的计数 单位 不 过是 千 ， 实用 角度 出 古 从
发 ， 限 不 值 一 提 ． 学 家 则 不 一 样 ， 氏学 派 认 为 整 数 可 无 数 毕
以穷 尽 天 下万 物 ， 们 明 确 提 出 有 限 和 无 限 的 概 念 ， 把 它 他 并
“ 不起 ， 经 客满 了． 但 是 ， 象 有 一 个 酒 店 ， 对 已 ” 想 内设 无 限个
房 间 ， 在 也 已 客 满 ． 时 又 有 一 旅 客 投 宿． 主 说 ： 没 有 现 这 店 “ 问 题 ， 稍 候 ． 然 后 ， 请 一 号 房 间 的 客 人 改 住 二 号 ， 号 请 ” 他 二
【 关键词】 限； 有 无限； 极限； 微积分
有 限 与 无 限
一
、
数 学 对 无 限 的研 究 永 无 止 境 ， 学 因 此 而 获 得 源 源 不 哲
有 限与 无 限 是 反 映 物质 运动 在 时 间 和 空 间 上辩 证 性 质
Hale Waihona Puke 断 的素 材 和 养 分 ， 学 因此 而 获得 不 断创 新 的思 想 和 方 法． 科
们 列 入一 与多 、 与偶 等组 成 的 第 一 个 哲 学 范 畴 中 ． 格 斯 奇 恩 说过 ：数 学 的 无 限 是从 现 实 中借 来 的 ” 因 此 无 限既 是 抽 象 “ ，
思 维 的产 物 ， 又具 有 现实 的 客观 性 ． 有 限 和无 限 是 有 本 质 差 别 的 ． 学 家 希 尔 伯 特 曾 用 故 数 事 巧 妙 地 说 明 了 这 个 问 题 ． 一 家 酒 店 内 设 有 限个 房 间 ， 有 现 已客 满 ． 时 又 来 了一 位旅 客 ， 主 只 好 无 可 奈 何 地 回 答 ： 这 店
二 、 限 、 限与 极 限 有 无
的一 对 哲 学 范 畴 ． 限体 现 了具 体 事 物 的 暂 时 性 、 部 性 和 有 局 相 对 性 ， 限表 现 了 物 质 总 体 的 永 恒 性 、 遍 性 和 绝 对 性 ． 无 普
数 学 中的 量 有 有 限 与无 限两 种 ．
人 类 的实 践 是 有 限 的 ， 而认 识 又 是 无 限 的． 因此 无 限 不