高三数学复习试卷

高三复试数学试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡． 相．应．位．置．上．．
1.已知集合 A = {-1, 0, 2} ， B = {-1,1, 2} ，则 A B = .
2. 已知复数 z 满足(1 + i ) z = 2i ，其中i 是虚数单位，则 z 的模为
.
3. 某校高三数学组有 5 名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积
分依次为 35,35,41,38,51,则这 5 名党员教师学习积分的平均值为
.
4. 根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为
.
5. 已知等差数列{a } 的公差d 不为 0，且a ，a ，a 成等比数列，则 a 1
n
的值为 .
1 2 4 d
6. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的
概率为 .
7. 在正三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， AA 1 = AB = 2 ，则三棱锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为
.
8. 已知函数 f (x ) = sin(ωx - π 3
(ω> 0) ，若当 x = π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω的
6
最小值为 .
9. 已知函数 f (x ) = (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈ R ) 是奇函数，若对于任意的 x ∈ R ，关于 x
的不等式 f (x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A , B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 = 1 的两条渐近
线上,且双曲线 C 经过线段 AB 的中点，若点 A 的横坐标为 2，则点 B 的横坐标为
.
11. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,
例如.地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为
lg E = 4.8 + 1.5M .2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震,它释放出来的能量是 2019
年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 倍.
12. 已知∆ABC 的面积为 3，且 AB = AC ，若CD = 2DA ，则 BD 的最小值为
.
)
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C : x2 +y2 = 8 与圆C : x2 +y2 + 2x +y -a = 0 相
1 2
上存在点P ，使得∆ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值交于A, B 两点，若圆C
1
组成的集合为.
⎧|| x -1| -1|, x ≥ 0
14.已知函数f (x) =⎪x，若关于x 的方程 f 2 (x) + 2af (x) + 1 -a2 = 0 有五个
⎨ 
, x <0
⎩x - 1
不相等的实数根，则实数a 的取值范围是.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D, E 分别为BC, AC 的中点.
求证：（1）AB∥平面PDE；
（2）平面PAB ⊥平面PAC .
16.（本小题满分 14 分）
在∆ABC 中，已知AC = 4 ，BC = 3 ，cos B =-1 .
4
（1）求sin A 的值.
（2）求BA ⋅BC 的值.
2 b 0) 17.
（本小题满分 14 分）
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : x a 2
+ y 2
= 1 (a > > 的焦距为 4
，两条准线 b
间的距离为 8，A ,B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。

(1)求椭圆 E 的标准方程:
(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC =4，点 M ,N 分别在边 BC ,CD 上，AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P .
①若 M ,N 分别是 BC ,CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上; ②若点 P 在椭圆 E 上，证明:
BM
为定值，并求出该定值.
CN
18.（本小题满分 16 分）
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图,小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为a 的正三角形
ABC 绕其中心 O 逆时针旋转 θ 到三角形 A B C ， 且 θ∈(0, 2π
顺次连结
A ,A 1,
B ,B 1,
C ,C 1,A ,得到六边形徽标 AA 1BB 1CC 1.
(1) 当θ= π
时,求六边形徽标的面积；
6
(2) 求六边形微标的周长的最大值.
1 1 1
3 )
2
19.（本小题满分 16 分）
已知数列{a n } 满足： a 1 = 1 ，且当n ≥ 2 时， a n = λ
a n -1 +
（1）若λ= 1 ，证明：数列{a 2n -1} 是等差数列； （2）若λ= 2 .
1 - (-1)n
2
(λ∈ R ) . ①设b = a + 2
，求数列{b } 的通项公式；
n 2n
3
n
②设C = 1 ∑2n
a ，证明：对于任意的 p , m ∈ N * ，当 p > m ，都有C ≥ C . n n ⋅ 3n
i p m i -1
20.（本小题满分 16 分）
设函数 f (x ) = (ax - 1
- a )e x (a ∈ R ) ，其中e 为自然对数的底数.
x （1） 当a = 0 时，求函数 f (x ) 的单调减区间；
（2） 已知函数 f (x ) 的导函数 f '(x ) 有三个零点 x 1 , x 2 , x 3 (x 1 < x 2 < x 3 ) .
①求a 的取值范围；
②若m 1 , m 2 (m 1 < m 2 ) 是函数 f (x ) 的两个零点，证明： x 1 < m 1 < x 1 + 1 .
1 2 b ⎨ t
⎩ 附加题（40 分）
21．【选做题】本题包含 A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修 4—2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）
已知a , b ∈ R ，向量 ⎡2⎤ 是矩阵 A = ⎡2 a ⎤
的属于特征值 3 的一个特征向量. α= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦
（1） 求矩阵 A ；
（2） 若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P '(2, 2) ，求点 P 的坐标.
B ．[选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）
⎧x = -3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程⎪
y = -
+ t （ t 为参数），椭圆
C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ
θ ⎩⎪ 2
C P l
⎨ y = sin θ （
为参数），求椭圆 上的点 到直线 的距离的最大
值.
C ．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）
已知a ,b , c 都是正实数，且 1 + 1 + 1
= 1 . a b c
证明：（1） abc ≥ 27 ；
（2） b + c + a
a 2
b 2 c
2 ≥ 1 .
2
⎨0, X 为偶数
第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分 10 分）
如图，在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，AD ∥BC ，AB ⊥ AD ，AB = AD = AA 1 = 2BC = 2 .
（1） 求二面角C 1 - B 1C - D 1 的余弦值；
（2） 若点 P 为棱 AD 的中点，点Q 在棱 AB 上，且直线 B 1C 与平面 B 1 PQ 所成角的
正弦值为
4 5
，求 AQ 的长. 15
23.（本小题满分 10 分）
一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只.现从口袋中先后有放回地取球2n 次(n ∈ N *) ，且每次取 1 只球.
（1） 当n = 3 时，求恰好取到 3 次红球的概率；
（2） 随机变量 X 表示2n 次取球中取到红球的次数，随机变量Y = ⎧ X , X 为奇数，
⎩
求Y 的数学期望（用n 表示）.。