高三数学综合试卷

的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不是充分条件也不是必要条件 14．下列命题中 （1）若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面； （2）在空间，两条直线没有公共点是这两条直线平行的充分不必要条件； （3）若直线 l 与平面 、 满足条件： l 且 l , ，则 l // ； （4）底面为矩形，且有两个侧面是矩形的平行六面体是长方体。 ( B) 2 个 (C ) 3 个 ( D) 4 个 其中真命题的个数有（ ） ( A) 1 个 15． a , b 为不相等的正实数，且 a, x, y, b 成等差数列， a, m, n, b 成等比数列，则下列关系 成立的是（ ）
( A) x y m n (C ) x y m n
( B) x y m n ( D) x y 与 m n 的大小关系不能确定
16．国际上通用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活的状况，它的计算公式 n
x y
（ x ：人均食品支出总额， y ：人均个人消费支出总额） ，且 y 2 x 475 。各种类型家 庭： 家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕


参考答案 一、填空题：
1 5 。4． ①②④ 。5． 3 。6． 。7． arctg 5 。 2 11 1 2 8． 5 5cm 。9． 。10． 1 。11． 3n 2 ， (2n 1) 。12． 。 3 12
1． ,1 。2． 2 。3． 二、选择题： 13． C 14． A 15． A 16． D 三、解答题： 17．解： （1）底面 ABCD 是矩形， BC DC 又 SD 底面 A B C D DC 是 SC 在平面 A B C D 上的射影 由三垂线定理得 B C S C （2） SD AD 1, SDA 90 S D A 是等腰直角三 角形，又 M 是斜边 SA 的中点， D M S A ， BA AD, BA SD, DA SD D ，
n
n 59%
50% n 59%
40% n 50% 30% n 40%
李先生居住地 2003 年食品价格下降了 7 . 5 % ， 该家庭在 2003 年购买食品和 99 年完全 相同的情况下人均少支出 75 元，则该家庭 2003 年属于（ ） （ A ）贫困 （ B ）温饱 （ C ）小康 （ D ）富裕 三、解答题： 17．如图，四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， SD 垂直 于底面 ABCD ， SB 3 ， （1）求证 BC SC ； （2）设棱 SA 的中点为 M ，求异面直线 DM 与 SB 组成角的大小。 18．在 ABC 中， Z
小值为 二、选择题： 。
3 4

1 x n ，且 M 、 N 都是集合 x 0 x 1 3
13． 在 ABC 中， 设 BC a, CA b, AB c ， 则 “ ABC 为正三角形” 是 “ a b bc c a ”

2 O 1 m 30 x
PN PM 0 （1）求点 N 的轨迹 C 方程；
和等式
M 在 x 轴上， N 为动点， 20、 如图所示， 点 F 2,0 ， 点 P 在 y 轴上运动， 且 PM PF 0 ，

（2）设 x1 , x2 R ，定义运算： x1 x2 x1 x2 x1 x2 ，求满足（1）的轨迹方程
以 (m, n) 为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 则 lim
an 2bn n 3a 4b n n
。
4．关于函数 f ( x) cos(2 x
) cos(2 x ) ，有下列命题 3 3 （1） y f ( x) 的最大值为 1； （2） y f ( x) 是以 为最小正周期的周期函数； （3） y f ( x) 在区间 , 上是增函数； （4）将 y f ( x) 图象向右平移 个单位，可得到 12 2 2
根据题意，设 f (n) =
5n + a
1 ≤ n ≤ m （n N*） ， 1分 － 3 n + b m ≤ n ≤ 30 而 f (1) = 2，∴ 5 + a = 2 a = －3． 2分 又 5m + a = －3m + b，∴ b = 8m + a = 8m－3， 3分 19 、解：(I) ∴ f (n) =
5n－3 －3n + 8m－3 5n－3
1 ≤ n ≤ m （n N*） ． m ≤ n ≤ 30 5分
4分
由 f (m) = 57 得 m = 12． ∴ f (n) =
1 ≤ n ≤ 12 ， （n N*） 6 分 －3n + 93 12 < n ≤ 30 前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + „ + 12)－3×12 = 354 件． (II) 第 13 天的销售量为 f (13) = －3×13 + 93 = 54 件， 8 分 而 354 + 54 > 400 件， ∴ 从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行． 9 分 设第 x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 < x ≤ 30)， 即 f (x) = －3x + 93 < 30 ， 10 分 解得 x > 21． 11 分 ∴ 从第 22 天开始日销售量低于 30 件． ∵ 21－13 = 8， ∴ 该服装流行的时间不超过 10 天． 12 分


y cos(2 x ) 图象。其中正确命题的序号是 。 6 5．已知函数 f ( x) x , g ( x) x a(a 0) ，若点 M f ( x), g ( x) 到直线 x y 1 0 的
函数

最小距离为 2 ，则 a 的值是 。 6．把强弱不同的 11 支球队分为两组进行单循环比赛，一组 5 支队，另一组 6 支队，最强的 两队被分在同一组的概率为 。
3 5 A B A B 2， ，且 Z sin i cos 4 2 2 2 1 （1）证明: tgA tgB ； 9 （2） C 是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，说明理由。
19．某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f (n) 与时间 n（1≤n≤30、n N*） 的函数关系如下图所示， 其中函数 f (n) 图象中的点位于斜率为 5 和 －3 的两条直线 上，两直线交点的横坐标为 m，且第 m 天日销售量最大. (Ⅰ)求 f (n) 的表达式，及前 m 天的销售总数； (Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款 服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在 市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理 y 由. 57
11．观察下表： 1， 2，3，4， 3，4，5，6，7， 4，5，6，7，8，9，10， 这个表里第 n 行里的最后一个数是 12． M x m x m ， N x n

，第 n 行各个数之和为
。

的子集，如果把 b a 叫做集合 x a x b 的“长度” ，那么集合 M N 的“长度”的最
7分
20、解： （1）∵ PM PF 0 ， PN PM 0 ，∴ PM PF , P 为 MN 的中点，



y N x , y ， 则 P 0, ， M x,0 ， 2 y M N 2 x , y , P F 2 , 2 y2 0 ，即 y 2 8x 。 0 ，得 4 x 由 M N P F 2 2 2 （ 2 ） x 3 x 3 y y 6 , 即 x-3 y 9 , 由
2 2
x 3 x 3 y y 6 的点 N 坐标； （3） 已知点 A 1,0 , B 1,0 ， 且在 （1） 的轨迹上取两点 M1 , M 2 , M1M 2 Ox 轴， 若 AM1
与 BM 2 交于 Q 点，试证明 Q 点在（1）的轨迹上。若从该问题出发，把已证的命题的 条件或结论进行变换，写出其中一个可能成立的命题，不需证明。
BA 平面 ASD ， SA 是 SB 在 ADS 上的射影， DM SB ，即 DM 与 SB 成 90 角
18．解： （1）由 Z
2
(
5 A B 2 A B 9 sin ) cos 2 得 2 2 2 8
5 co As ( B ，即 ) 0cos A cos B 9sin A sin B ， tgA tgB
x 3t 2 （ t 为参数） ，直线 l2 在以原点为极点， x 轴正半轴为 y 2t 1 极轴的极坐标系中的方程为 sin( ) 2 ，则直线 l1 和 l2 的夹角为 。 4 8．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm, 4cm,3cm ，把它们重叠在一起组成一
高三数学综合试卷
一、填空题： 1．若 f 1 ( x) 为函数 f ( x) arcsin(2x 1) 的反函数，则 f 1 ( x) 的值域为 2．若直线 mx ny 3 0 与圆 x y 3 没有公共点，则 m, n 满足的关系式为
2 2
2 2
。 ；
x y 1 的公共点有 个。 7 3 n n 3． 在二项式 1 3 x 和 2 x 5 的展开式中， 各项系数之和分别记为 an , bn ，n 是正整数，
21、 （1）对任意向量 x, y ，证明： 2 x y x y ; （ 2 ） 对 任 意 向 量 x, y 及 任 意 实 数 t 0,1 , 设 z t x 1 t y , 试 比 较 z