初中数学培优之特殊三角形专题

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浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷及答案

浙教版⼋年级上册数学第2章《特殊三⾓形》培优测试卷及答案浙教版⼋年级上册数学第2章《特殊三⾓形》培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分⼀、选择题（本⼤题有12⼩题，每⼩题3分，共36分）下⾯每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是正确的.1.将⼀根长24cm的筷⼦置于底⾯直径为5cm，⾼为12cm的圆柱⽔杯中，设筷⼦露在杯⼦外⾯的长度为h，则h的取值范围是（）A. 12cm≤h≤19cmB. 12cm≤h≤13cmC. 11cm≤h≤12cmD. 5cm≤h≤12cm2.勾股定理是⼈类最伟⼤的科学发现之⼀，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。

如图1，以直⾓三⾓形的各边为边分别向外作正⽅形，再把较⼩的两张正⽅形纸⽚按图2的⽅式放置在最⼤正⽅形内.若知道图中阴影部分的⾯积，则⼀定能求出（）A. 直⾓三⾓形的⾯积B. 最⼤正⽅形的⾯积C. 较⼩两个正⽅形重叠部分的⾯积D. 最⼤正⽅形与直⾓三⾓形的⾯积和（第1题）（第2题）（第3题）3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED 沿直线沿直线AE翻折⾄△ABC所在的平⾯内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A. 8B.C.D. .4.如图，BM是△ABC的⾓平分线，D是BC边上的⼀点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（）A. 30°B. 25°C. 22.5°D. 20°（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，C为线段AE上⼀动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成⽴的结论有（）A. ①③⑤B. ①③④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④⑤6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A. B. C. D.7.如图，⼩正⽅形边长为1，连接⼩正⽅形的三个顶点得△ABC，则AC边上的⾼是（）．A. B. C. D.8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的⾓平分线AP和∠ACB外⾓的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB 的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（）A.①②④B. ①②③C. ①②④⑤D. ①②③⑤（第8题）（第9题）（第10题）9.如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连，则线段的长等于（）A. B. C. D.10.如图，△ABC和△ADE都是等腰直⾓三⾓形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD 交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC是等腰直⾓三⾓形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE= BD?CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.如图，在边长为1正⽅形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有⼀只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所⾛的最⼩路程是（）A. 2B. 4C.D.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为( )A. B. C. D.（第11题）（第12题）（第13题）（第14题）⼆、填空题（本⼤题有6⼩题，每⼩题3分，共18分）要注意认真看清题⽬的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内⼀点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针⽅向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.14.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，点D是AC边的中点，点P是BC边上⼀点，若△BDP 为等腰三⾓形，则线段BP的长度等于________．15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的⾯积为________．（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）16.如图，等边三⾓形ABC内有⼀点P，分別连结AP、BP、CP，若，，．则＝________．17.如图是⼩章为学校举办的数学⽂化节没计的标志，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边作三个正⽅形，点G落在HI上，若AC+BC=6，空⽩部分⾯积为10.5，则阴影部分⾯积为________.18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为________.三、解答题（本⼤题有7⼩题，共66分）解答应写出⽂字说明，证明过程或推演步骤.19.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．20.（8分）如图，等边三⾓形ABC中，D为AC上⼀点，E为AB延长线上⼀点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝12，试求BF的长．21.（10分）如图，△ABC和△AOD是等腰直⾓三⾓形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O 是△ABC内的⼀点，∠BOC=130°．（1）求证：OB=DC；（2）求∠DCO的⼤⼩；（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三⾓形．22.（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上⼀动点（点D不与点B、C重合），以AD为直⾓边在AD右侧作等腰直⾓三⾓形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.（2）应⽤：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为________.（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为________.②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为________.23.（10分）如图：（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC.请你证明结论②。

三角形培优讲解：特殊三角形（二）

三角形培优讲解：特殊三角形（二）
本文题目摘自《初中数学典型题思路分析》计划赠送电子资料.【知识汇总】
一、等腰三角形
①等腰三角形的两大特性．
②构造等腰三角形．
③特殊等腰三角形．
二、直角三角形
1．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余．②．三边满足勾股定理．③．边
角间满足锐角三角函数．
2．特殊直角三角形
3．直角三角形中的特殊线．
三.尺规构造等腰三角形和直角三角形
【典型例题1】
【答案解析】C，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半，于是M的轨迹围成一个半径为1的圆.【典型例题2】
【答案解析】A，如图，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大.
更多内容见公众号：初中数学解题思路
【典型例题3】
【答案解析】
【典型例题4】
【答案解析】
【本节归纳】动线段最值的求法一般可总结为两种方法：
（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB、BP为定值，求动线段AP的最大或最小值）；（2）如下图，垂线段最短，端点处最大（已知点P是线段BC上的动点，求线段AP的最大或最小值）.。

2024年中考数学专题课件第16讲三角形与特殊三角形

图2-16-2
例3 如图2-16-2，在中，，，垂足分别为点和点，与交于点，连接并延长交于点。若，，，则的值为__________。
思路分析由题意得，再根据三角形的面积公式得，进而即可得到答案。
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解答在中，，，垂足分别为点和点，与交于点，。，，，，，。故答案为。
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5.（2023·河北中考）在和中，，，。已知 ,则 ( )
C
A. B. C. 或 D. 或
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图2-16-10
6.（2023·杭州中考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图2-16-10，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，
01
重点1 三角形中的重要线段
1.三角形的高：由高线可得直角，常与勾股定理、三角形面积相关；三角形三条高的交点是三角形的垂心。 2.三角形的中线：中线将三角形分为面积相等的两个三角形；三角形三条中线的交点是三角形的重心，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。 3.角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，内心即三角形内切圆的圆心。 4.中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
相等
相等
3
等边三角形
判定
（1）三条边都⑤______的三角形是等边三角形；（2）三个内角都⑥______的三角形是等边三角形；（3）有一个角是⑦____的等腰三角形是等边三角形

特殊的钝角三角形专题培优

特殊的钝角三角形专题培优概述本文档旨在介绍特殊的钝角三角形，并提供专题培优的方法和技巧。

通过深入了解和熟练掌握这类三角形的特点和性质，学生能够在几何学学科中获得更好的成绩和能力。

钝角三角形的定义和特点钝角三角形是指其中一个角的度数大于90°的三角形。

与锐角三角形和直角三角形相比，钝角三角形具有一些独特的特点和性质，包括但不限于：- 钝角三角形的两个较短边之和大于最长边的长度。

- 钝角三角形的两个较短边之差小于最长边的长度。

- 钝角三角形的最长边位于钝角的对面。

钝角三角形的专题培优方法以下是一些钝角三角形专题培优的方法和技巧，供学生参考和实践：1. 性质总结：整理、总结和记忆钝角三角形的性质，包括边长关系、角度关系等，以便在解题时能够灵活运用。

性质总结：整理、总结和记忆钝角三角形的性质，包括边长关系、角度关系等，以便在解题时能够灵活运用。

2. 画图分析：在解决钝角三角形问题时，通过绘制准确的图形来帮助理解和分析问题，尤其是对于边长关系和角度关系的理解非常有帮助。

画图分析：在解决钝角三角形问题时，通过绘制准确的图形来帮助理解和分析问题，尤其是对于边长关系和角度关系的理解非常有帮助。

3. 角度运算：学生应熟练掌握钝角三角形中各个角度的计算方法，包括使用余弦定理和正弦定理等几何公式，以及角度的关系和和差角公式等。

这将有助于解决求角度的问题。

角度运算：学生应熟练掌握钝角三角形中各个角度的计算方法，包括使用余弦定理和正弦定理等几何公式，以及角度的关系和和差角公式等。

这将有助于解决求角度的问题。

4. 长度计算：钝角三角形中常常需要计算边长或者比较边长的大小。

学生应该熟悉和掌握使用勾股定理、正弦定理和余弦定理等几何公式，以及边长的关系和比较大小的技巧。

长度计算：钝角三角形中常常需要计算边长或者比较边长的大小。

学生应该熟悉和掌握使用勾股定理、正弦定理和余弦定理等几何公式，以及边长的关系和比较大小的技巧。

初三特殊的三角形培优同步讲义

初三特殊的三角形培优同步讲义1. 等腰三角形1.1 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两边对应的两个角也是相等的。

1.2 性质- 等腰三角形的底角（即两个底边夹角）相等。

- 等腰三角形的顶角（即顶边夹角）也是相等的。

2. 直角三角形2.1 定义直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的斜边是其他两边之间最长的一边。

2.2 特殊三角形- 30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

- 45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

3. 等边三角形3.1 定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，每个角的度数都是60度。

3.2 性质- 等边三角形的三个内角都是60度。

- 等边三角形的高、中线、角平分线三者重合，且均通过三角形的重心点。

4. 总结初三特殊的三角形主要包括等腰三角形、直角三角形和等边三角形。

通过对这些三角形的认识和特点的理解，能够更好地解决与三角形相关的问题和题目。

---_注意：以上内容仅供参考，具体知识点和定义请以教材为准。

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特殊三角形(压轴必刷30题)—2024学年八年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)

特殊三角形（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．全等三角形的判定与性质（共1小题）1．（2022秋•南昌期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°．（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE＝∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B＝∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；（2）①由（1）的结论即可得出α+β＝180°；②同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC；∴∠CAE＝∠BAD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠B＝∠ACE；∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝∠BCA+∠B＝180°﹣∠BAC＝90°；故答案为90°；（2）①由（1）中可知β＝180°﹣α，∴α、β存在的数量关系为α+β＝180°；②当点D在射线BC上时，如图1，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴α+β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ACB＝∠BAC＝α，∴α＝β．【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．二．等腰三角形的性质（共7小题）2．（2022秋•拱墅区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝12，则AF＝．【分析】过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，先证得△DEG≌△DEC（AAS），运用勾股定理可得AB＝10，利用面积法可求得：DK＝，BH＝，EM＝EN＝，AE＝，EF＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝×12＝6，∠BAD+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠C，∵EF⊥AB，∴∠BAD+∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠AGF＝∠C，∵∠AGF＝∠DGE，∴∠DGE＝∠C，∵DE平分∠ADC，EM⊥CD，EN⊥AD，∴EM＝EN，∠EDG＝∠EDC，在△DEG和△DEC中，，∴△DEG≌△DEC（AAS），∴DG＝CD＝6，∵AG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+6＝8，在Rt△ABD中，AB＝＝＝10，∴AC＝AB＝10，∵AC•DK＝AD•CD，∴10DK＝8×6，∴DK＝，∵AC•BH＝BC•AD，∴10BH＝12×8，∴BH＝，∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD，∴AD•EN+CD•EM＝AD•CD，∴4EN+3EM＝24，∵EN＝EM，∴7EN＝24，∴EN＝，∴EM＝EN＝，∵DK•AE＝AD•EN，∴AE＝8×，∴AE＝，∵AB•EF＝AE•BH，∴10EF＝×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，全等三角形的判定和性质等，综合性强，有一定难度，添加辅助线作三角形的高，运用面积法是解题关键．3．（2022秋•金华期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．【分析】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵AB＝AD，在三角形ABD中，∠B＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝37.5°．∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内4．（2022秋•余杭区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CE相等吗？为什么；（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质即可得出AD＝CE；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的内角和以及角平分线的定义得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解；（3）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC，由角平分线的定义得∠DBC＝∠ABD，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的内角和即可得出结论．【解答】解：（1）AD＝CE，理由：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（3）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2022秋•隆回县期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC 上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【分析】（1）CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠B＝∠C＝y，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．（2022秋•岳阳县校级期中）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．7．（2022秋•余姚市校级期中）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，∴a＝3 b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得：x＝2x﹣20，解得x＝20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．8．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；（1）若AB＝BD，则∠A的度数为°（直接写出结果）；（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．【分析】（1）如图1中，设∠C＝x．则可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x 即可解决问题；（2）证明△ABD≌△ECD（AAS），可得结论；（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．证明△ABD≌△ECT（AAS），可得结论．【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝x．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝2x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝2x＝72°，故答案为：72．（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC．（3）证明：如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，∵BD＝CD，∴BD＝CT，在△ABD和△ECT中，，∴△ABD≌△ECT（AAS），∴AB＝EC．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．三．等腰三角形的判定（共3小题）9．（2022秋•泗洪县期中）如图，已知直线OM垂直于直线ON，点A在直线OM上，且∠OAB＝30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C（与A、B不重合），使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到个．【分析】分两种情况讨论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可求解．【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线，分别与AO，线段BO的延长线相交，共两个交点，都符合题意；（2）当AB是腰时①以A圆心AB长为半径画圆交直线OM于两点，交线段BO延长线于一点（该点与前面的点重合）②以B圆心AB长为半径画圆交直线ON于两点（有一个点与前面的点重合），交线段AO延长线于一点，有两个交点符合题意，因此这样的点C能找到6个，使△ABC成为等腰三角形．故答案为：6．【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．10．（2022秋•涟源市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．11．（2022秋•江干区校级期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）12．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据三角形的周长公式即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2022秋•房县期中）如图，A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到结论．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC＝∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．五．勾股定理（共8小题）14．（2022秋•镇海区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP＝BQ，由BQ＝2t，BP＝8﹣t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时，则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】解：（1）∵BQ＝2×24（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或1213.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．15．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为（直接写出所有结果）．【分析】（1）由勾股定理即可计算；（2）①分两种情况：AO＝OE或AO＝AE，由等腰三角形的性质和判定，余角的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解；②分两种情况：点D在线段OB上时或点D在线段OB延长线上时，由余角的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AO+BO＝4+6＝10，∴BC＝AB＝10，∵CO⊥AB，∴CO＝＝＝8，∴AC＝＝＝4；（2）①当AO＝OE时，∴∠A＝∠AEO，∵∠OED+∠AEO＝∠ODE+∠A＝90°，∴∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE＝AO＝4；当AO＝AE时，∵∠A＝∠A，∠AOC＝∠AED＝90°，∴△AED≌△AOC（ASA），∴AD＝AC＝4，∴OD＝AD﹣AO＝4﹣4，②当点D在线段OB上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：3，∵BC＝10，∴BF＝，∵BC＝BA，∴∠A＝∠BCA，∵∠EDA+∠A＝90°，∠BDF＝∠EDA，∴∠BDF+∠A＝90°，∵∠BFD+∠BCA＝90°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF＝，当点D在线段OB的延长线上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：5，∵BC＝10，∴BF＝2，同理可证：∠D＝∠DFB，∴BD＝BF＝2．故答案为：或2．【点评】本题考查勾股定理，三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，关键是熟练掌握以上知识点，并注意解题时分情况讨论．16．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．17．（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为．【分析】作EG⊥AC，垂足为G．根据△ABF∽△CDF，求出AF＝AC＝×8＝，FC＝，然后利用勾股定理求出BF，DF，然后求出EB，EF．根据△ABF∽△GEF，求出EG、FG，然后利用勾股定理求出AE的长．【解答】解：作EG⊥AC，垂足为G．∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF，∴＝，∵AB＝5，DC＝11，∴＝，∴AF＝AC＝×8＝；∴FC＝8﹣2.5＝，∴BF＝＝，DF＝＝，∴EB＝×（+）＝4，∴EF＝4﹣＝．易得，△ABF∽△GEF，∴，，∴，，∴EG＝3，FG＝，∴AG＝+＝4，在Rt△AEG中，AE＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．18．（2022秋•莲都区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝10（cm），∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm），∴BC+CQ＝11（cm），∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2则BC+CQ＝12（cm），∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．19．（2022秋•江干区校级期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为（直接写出结果）．【分析】（1）根据BA＝BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；（2）①分两种情况：AO＝OE和AO＝AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得＝，可得BF＝5，证明△BDF是等腰三角形，得BD＝BF＝5，最后利用勾股定理可得结论；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，同i）计算可得结论．【解答】解：（1）∵AO＝6，BO＝9，∴AB＝15，∵BA＝BC，∴BC＝15，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，由勾股定理得：CO＝＝＝12，AC＝＝＝6；（2）①分两种情况：i）当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：∴AN＝EN，∵DE⊥AC，∴ON∥DE，∴ON是△ADE的中位线，∴OD＝AO＝6；ii）当AO＝AE＝4时，如图2所示：在△CAO和△DAE中，，∴△CAO≌△DAE（ASA），∴AD＝AC＝6，∴OD＝AD﹣AO＝6﹣6；综上所述，OD的长为6或6﹣6；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G，如图3所示：∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴＝，∴＝，∵CB＝15，∴BF＝5，∵EF⊥AC，∴BG∥AC，∴∠GBF＝∠ACB，∵AE∥BG，∴∠A＝∠DBG，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∴∠DBG＝∠GBF，∵BG⊥DF，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝5，∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4，∴CD＝＝＝4；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，如图4所示：同理得：＝，∵BC＝15，∴BF＝3，同理得：△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝3，∴OD＝BO+BD＝9+3＝12，Rt△COD中，CD＝＝＝12；综上所述，CD的长为4或12，故答案为：4或12．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明△BDF是等腰三角形是解题的关键．20．（2022秋•上城区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．【分析】（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DE+BE＝AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．【点评】（1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；（2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．21．（2022秋•江阴市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）按要求作出草图，并求∠ADE＝；（直接写出结果）（2）当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．【分析】（1）根据题意作出图形；根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示．∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE＝90°．故答案为：90°；（2）∵MN是线段AC的中垂线，∴EA＝EC，在Rt△ABC中，BC＝，∴C△ABE＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+4＝7．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．六．作图-轴对称变换（共5小题）22．（2022秋•滨江区校级期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．【解答】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．（2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分类如下：①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．③DE＝BE时，则∠B＝（）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+，此方程无解．∴DE＝BE不成立．综上所述∠B＝45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．23．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法，正确得出对应点位置是解题关键．24．（2022秋•城阳区期中）（1）在下面的平面直角坐标系中画△ABC，使△ABC各顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）；（2）使ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘﹣1，得△A1B1C1，画出△A1B1C1并说明△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系？【分析】（1）直接利用A，B，C各点的坐标画出三角形即可；（2）利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键．25．（2022秋•泸县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标．（3）求出△ABC的面积．。

2020中考数学二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题(含答案)

2020中考数学二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题（含答案）1. 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（1）由抛物线22y ax bx =++过点(3,0)A -，(1,0)B ，则0932,0 2.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴二次函数的关系表达式为224233y x x =--+．（2）点1(2,1)Q -，2(1,1)Q --，3(2,3)Q ，4(3,1)Q ．2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A ，点(1,0)C -，如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点作轴，垂足为，∵ ； ∴；又∵；，∴ ∴，； ∴点的坐标为(3,1)-；（2）抛物线经过点(3,1)B -，则得到，解得， ∴抛物线解析式为；（3）方法一：①若以为直角边，点为直角顶点；则可以设直线交抛物线于点，由题意，直线的解析式为：1122y x =--，解得舍 ∴1(1,1)P -．过点作轴于点，在中，∴，∴为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，交抛物线于点，由题意，直线AF 的解析式为212,2.11222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得114,4.x y =-⎧⎨=⎩（舍）222,1.x y =⎧⎨=⎩ 过点2P 作2P N y ⊥轴于点N ，在2Rt AP △中，2AP =yxA (0,2)C (-1,0)BOB BD x ⊥D 90,BCD ACO ∠+∠=︒90ACO OAC ∠+∠=︒BCD CAO ∠=∠90BDC COA ∠=∠=︒CB AC =BCD CAO △≌△1BD OC ==2CD OA ==B 22y ax ax =+-1932a a =--12a =211222y x x =+-AC C BC 211222y x x =+-1P BC 211,2211 2.22y x y x x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩113,1.x y =-⎧⎨=⎩221,1x y =⎧⎨=-⎩1P 1PM x ⊥M 1Rt PMC △1CP =1CP AC =1ACP △AF BC ∥211222y x x =+-2P 12,2y x =-+2AP AC ∴=. 2ACP ∴△为等腰直角三角形.综上所述，在抛物线上存在点使是以为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形1ACP △，过点作，∵1=，，；∴1MPC DBC △≌△ ∴==2，∴==1，可求得点1(1,1)P -；经检验点1(1,1)P -在抛物线使得1ACP △是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，且使得，得到等腰直角三角形2A C P △，过点作，同理可证2AP N △≌CAO △；∴==2，==1，可求得点(2, 1)经检验点(2, 1)也在抛物线上，使得2ACP △也是等腰直角三角形．3. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形．（1）当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴1(3,0)K -，2(1,0)K ．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒，分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为3K ，4K ，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =分别与抛物线解析式联立，12(1,1)(2,1).P P -ACP △AC BC 1P 1PC BC =1P 1PM x ⊥轴CP BC 1MCP BCD ∠=∠190PMC BDC ∠=∠=︒CM CD 1PM BD 211222y x x =+-2AP CA ⊥2AP AC =2P 2P N y ⊥轴2NP OA AN OC 2P 2P 211222y x x =+-可得3K坐标为⎝⎭，4K坐标为⎝⎭．（2）当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，．综上所述，所求的点K 坐标为1(3,0)K -，2(1,0)K ，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭. 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．NN备用图（1）21212y x x =-+-；（2）M的坐标是(12)-、(12)+、(4,1)-、(2,3)-、(2,7)--．5. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C ．①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（0t >），同时将直线:3l y x =沿y 轴正方向平移t 个单位．平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B ．当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得''A B P △为以''A B 为直角边的等腰直角三角形?（1）证明：令，则．22=(2)8(2)a a a -+=+△． ∵，∴．∴>0△． ∴方程有两个不相等的实数根．∴抛物线与x 轴有两个交点．（2）①令，则，解方程，得． ∵A 在B 左侧，且，∴抛物线与x 轴的两个交点为(,0)A a -，(2,0)B ．∵抛物线与y 轴的交点为，∴(0,2)C a -． ∴．在中，，．可得．∵，∴． ∴抛物线的解析式为．②依题意，可得直线的解析式为，'(2,0)A t -，'(2,0)B t +，．∵为以为直角边的等腰直角三角形，∴当时，点的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --．∴．解得或．当时，点的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-．∴．解得或（不合题意，舍去）．综上所述，或．0y =2(2)20x a x a +--=0a >20a +>2(2)20x a x a +--=0y =2(2)20x a x a +--=122x x a ==-，0a >C 2AO a CO a ==，Rt AOC△222AO CO +=22(2)20a a +=2a =±0a >2a =24y x =-l '3y x t =+4A B AB ''==A B P ''△A B ''90PA B ''∠=°P 3(2)4t t -+=52t =12t =90PB A ''∠=°P 3(2)4t t ++=52t =-12t =-52t =12t =6. 如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．（1）抛物线解析式为2424455y x x =-+-，令0y =，即24244055x x -+-=，解得1x =或5x =，∴A (1, 0)，B (5, 0)．如答图1所示，分别延长AD 与EM ，交于点F ． ∵AD ⊥PC ，BE ⊥PC ，∴AD ∥BE ， ∴∠MAF =∠MBE ．在AMF △与BME △中， MAF MBE MA MB AMF BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)AMF BME △≌△，备用图∴ME MF =，即点M 为Rt EDF △斜边EF 的中点， ∴MD ME =，即MDE △是等腰三角形．（2）答：能．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，∴对称轴是直线3x =，M (3, 0)；令0x =，得4y =-，∴(0,4)C -．MDE △为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE ⊥EM ，由DE ⊥BE ，可知点E 、M 、B 在一条直线上，而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线PC 与y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM ⊥DM ，如答图2所示：设直线PC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ．在ADM △与NEM △中，135EMN DMA EM DM ADM NEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ADM NEM △≌△， ∴MN MA =．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，故对称轴是直线3x =，∴M (3, 0)，2MN MA ==，∴N (3, 2)．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点N (3, 2)，(0,4)C -在抛物线上， ∴324k b b +=⎧⎨=-⎩，解得2k =，4b =-，∴24y x =-．将24y x =-代入抛物线解析式得：242424455x x x -=-+-，解得：0x =或72x =，当0x =时，交点为点C ；当72x =时，243y x =-=．∴7,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为7,32⎛⎫⎪⎝⎭．（3）答：能．如答题3所示，设对称轴与直线PC 交于点N ．与（2）同理，可知若MDE △为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ． ∵MD ⊥ME ，MA ⊥MN ，∴∠DMN =∠EMB ．在DMN △与EMB △中， 45DMN EMB MD MB MDN MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)DMN EMB △≌△， ∴MN MB =． ∴(3,2)N -．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点(3,2)N -，(0,4)C -在抛物线上，∴324k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得23k =，4b =-，∴243y x =-．将243y x =-代入抛物线解析式得：2242444355x x x -=-+-，解得：0x =或316x =，当0x =时，交点为点C ；当316x =时，25439y x =-=-，∴315,69P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为315,69⎛⎫- ⎪⎝⎭．7. 在如图的直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒，而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =，∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==，∴点C 的坐标为(3,1)-（2）①∵抛物线2122y x ax =-++经过点(3,1)C -，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.②i ）当A 为直角顶点时，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==，则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形，如果点1P 在抛物线上，则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴， ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为(1,1)-，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件；ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △，作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为(2,1)--，经检验2P 点在抛物线上，因此存在点2P 满足条件．同理可得点3P 的坐标为(2,3)-，经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1(1,1)P -，2(2,1)P --两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．8. 如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN △是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴(1,0)A -、(0,4)C -把(1,0)A -、(0,4)C -代入243y x bx c =++得∴，解得 xyCAB O4034b c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩834b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ （2）设M 、N 的纵坐标为a ，由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：443y x =-，则4,4a M a --⎛⎫⎪⎝⎭，312,4a N a +⎛⎫⎪⎝⎭， ①当90PMN ∠=︒，4MN a =+，PM a =-，因为PMN △是等腰直角三角形，则4a a -=+，则2a =-，即P 点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90PNM ∠=︒，PN MN =，同上，2a =-，即P 点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；③当90MPN ∠=︒，作MN 的中点Q ，连接PQ ，则PQ a =-，又PM PN =， ∴PQ MN ⊥，则2MN PQ =，即：42a a +=-，解得：34a =-，即P 点的坐标为(23, 0)．248433y x x =--9. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =时，2211212y x x =-++=-++=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上，∴抛物线①、②有关联；（2）点C 是y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中的B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF CAH △≌△，∴，，点的坐标为(2,1c c +-，当点在抛物线211:(1)28C yx =+-上时，211(21)28c c -=++-，解得：．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中点，过点作轴的垂线，垂足为，同理可得：点的坐标为(2,1)c c --+，当点在抛物线211:(1)28C y x =+-上Oyx1CF AH ==2BF CH c ==+B B 1c ='B 'B y D 'B 'B时，211(21)28c c +=--+-，解得：．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点的坐标分别为：1(0,1)C，2(0,3C +，3(0,3C -.10. 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．存在符合条件的P 点，由(0,3)C ，(1,0)M -，∴CM①当CM CP =时，1(1,6)P -；②当MC MP =时，2(P-，4(1,P -；③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线，由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为1(1,6)P -，2(1,P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，4(1,P -．11. 已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．（1）请直接写出A 、B 的坐标：A 、B ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）如图，点D 的坐标为(2,0)，点(,)P mn 是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ． 3c =+3c =-C①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（）由，易知，2()CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-， 2()OC OA AB OA =-，可求， ∴(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C可设解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点(00)C ，代入，可求． ∴．（2）①，，提示：直线的解析式为设(,)E x y ，利用勾股定理和点(,)E x y 在直线BC 上，可得两个方程组分别可求和． ②过作x 轴的垂线，交于，易求的解析式为，且，故故，当时，，．x1OA =4OB =12a =-213222y x x =-++1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24855E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34E ⎛-⎝BC 122y x =-+()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩2E 3E D PC M PC 22n y x m -=+2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+52m =25=8CDP S 最大值△52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，12. 已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D . 若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．（1）用含b 的代数式表示m ，n 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由．（1）如图，作BE x ⊥轴，由题意可得(0,)A b ，,)(0b C - ∵抛物线的顶点(,)B m n 在2(0)y x b b =-+>上， ∴2n m b =-+，(,2)B m m b -+在矩形ABCD 中，OC OB =，∴22OC OB = 即：222(2)b m m b =+-+ ∴(54)0m m b -=∴10m =(舍去)，245m b =∴325n m b b =-+=-∴45m b =，35n b =-；（2）存在，有4个点：47,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，49,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，416,515b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，413,55b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得BCQ △为直角三角形？存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示：由(1,4)D -，(0,3)C 可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为(1,4)-由(3,0)B -，(0,3)C 易得，2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍）可得2Q 坐标为(2,5)-；设23(,23)Q a a a --+，所以22(1)(2)1BQ CQ k k a a ⋅=-+--=-，解得3Q，4Q 综上所述，Q 的坐标为1Q (1,4)-，2Q (2,5)-3Q ，4Q .14. 抛物线333842y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）当直线l 过点(4,0)E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.y CABxO（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为(4,0)20A B -、（，）. （2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即两个点M ；以AB 为直径的圆如果与直线l 相交，那么就有两个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了. 连结GM ，那么GM ⊥l ，在Rt EGM △中，3GM =，3GE =，∴4EM = 在1Rt EM A △中，AE =8，113tan 4M A M EA AE ∠==，∴16M A =∴点1M 的坐标为(4,6)-，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+根据对称性，直线l 还可以为334y x =+.15. 如图，经过x 轴上(1,0)A -、(3,0)B 两点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交y轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D ．（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若90BCD =︒，请确定抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使BDQ △为直角三角形?如果能，请求出Q 点坐标；如果不能，请说明理由．（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 则2223)(1)4(x a x a y a x --=--=.则点D 的坐标为(1,4)D a -，点C 的坐标为(0,3)C a -.（2）过点D 作轴于，如图1所示，则有.∴.∴. ∴，（舍去）.∴.抛物线的解析式为.DE y ⊥E DEC COB △∽△DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++（3）①如图2，若为，作轴于，轴于.可证. 有，点坐标2(,23)k k k -++，. 化简得，即(3)(23)0k k -+=.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. ②如图3，若为.延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为. DM 所在的直线方程为.则与的解为（舍），，得交点的坐标为.③若90BQD ∠=︒，容易证明此种情况不成立所以满足题意的点另有两个：.图2图2图1DBQ ∠90︒QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ =Q 242323k k k =---22390k k --=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BDQ ∠90︒DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM =12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：〔1〕可以从结论出发,看要证明相等的两条线段〔或角〕分别在哪两个可能全等的三角形中；〔2〕可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等；〔3〕从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等；〔4〕若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形.三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折,构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形.常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用"三线合一"的性质解题,思维模式是全等变换中的"对折"．2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"旋转"．3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的"对折",所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"平移"或"翻转折叠"5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线,垂足为D⑶延长AB至C,使BC＝AC⑷在AB上截取AC,使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线,交AC于D⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点例1如图,AB＝CD＝1,∠AOC＝60°,证明：AC＋BD≥1.例2<2007年中考〕如图,已知△ABC⑴请你在BC边上分别取两点D、E〔BC的中点除外〕,连接AD、AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明AB＋AC＞AD＋AE.例3已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF.∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°.且AD＝BE＝CF＝2.求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF3.例4如图1,在四边形ABCD中,连接对角线AC、BD,如果∠1＝∠2,那么∠3＝∠4.仔细阅读以上材料,完成下面的问题.如图2,设P为□ABCD内一点,∠P AB＝∠PCB,求证：∠PBA＝∠PDA.图1图2⑴集散思想：有些几何题,条件与结论比较分散,通过添加适当的辅助线,将图形中分散,远离了的元素聚集到有关的图形上,使它们相对集中,便于比较,建立关系,从而找出问题的解决途径.⑵平移只能用来作为作辅助线的思路,具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC 平移至△DEF .1．在正方形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的点,且EG ⊥FH ,求证：EG ＝FH .2．如图所示,P 为平行四边形ABCD 内一点,求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形,并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC .3．如图,已知△ABC 的面积为16,BC ＝8,现将△ABC 沿直线BC 向右平移a 个单位到△DEF 的位置.⑴当a ＝4时,求△ABC 所扫过的面积；⑵连接AE 、AD ,设AB ＝5,当△ADE 是以DE 为一腰的等腰三角形时,求a 的值.4．如图,AA ′=BB ′=CC ′=1,∠AOB ′=∠BOC ′=∠COA ′=60°,求证：34AOB BOC COA SS S '''++<.例1 如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且∠EAF ＝45°,AH ⊥EF ,H 为垂足,求证：AH ＝AB .例2△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,P 是△ABC 内的一点,且AP ＝3,CP ＝2,BP ＝1,求∠BPC 的度数.例3已知在△ABC 中,AB ＝AC ,P 为三角形内一点,且∠APB ＞∠APC ,求证：PB ＜PC .有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转⑴边相等时常见图形为正方形,等腰三角形和等边三角形等等 ⑵角度能拼成的特殊角指的是180°,90°等等例4已知△ABC ,∠1＝∠2,AB ＝2AC ,AD ＝BD .求证：DC ⊥AC .例5△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC ＝90°,AB ＝AE ,∠BAE ＝30°,求证：BE ＝CE .例6在△ABC 中,E 、F 为BC 边上的点,已知∠CAE ＝∠BAF ,CE ＝BF ,求证：AC ＝AB .出现轴对称的时候可以考虑翻折,尤其注意有角平分线,有角相等或者出现特殊角的一半的时候,翻折是常用添加辅助线的思想.强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路,具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC旋转或翻折至△DEF.1．如图,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在O点处,并将纸板绕O点旋转,其半径分别交AB、AD于点M、N,求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.2．〔2008##〕在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A＝90°,AB＝2,BC＝3,CD＝1,E是AD中点,试判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程.3．如图,P是等边△ABC内一点,若AP＝3,PB＝4,PC＝5,求∠APB的度数.4．已知：在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,∠DAE=45°.⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.5．如图,已知等腰直角三角线ABC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E,求证：BD＝2CE.6．如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果AB＝8,BC＝10,求EC的长.中点的妙用一、倍长中线法例1<文汇中学2009-2010期中测试题>,AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=2,AC=4,则AD的取值范围是___________.例2已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.例3⑴如图1,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,点D在AB边上.连接EC,取EC中点F,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并加以证明.图1⑵如图2,将△BDE旋转至如图位置,使E在AB延长线上,D在CB延长线上,其他条件不变,则⑴中AF,DF的数量关系和位置关系是否发生变化,并加以证明.图2例4已知四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证EFGH为平行四边形.例5如图,已知四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD中点,延长MN与AB、CD延长线交于E、F,求证∠BEM=∠CFM例6已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°,连接DE,设M为DE的中点.⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE ,固定Rt △ABD ,让Rt △ACE 移至图示位置,此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论.出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法⑴倍长中线法⑵构造中位线⑶如果是直角三角形,经常还会构造斜边上的中线例7如图,已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,点M 为EC 中点,求证△BMD 为等腰直角三角形.1．在△ABC 中,AB =12,AC =30,求BC 边上的中线AD 的范围.2．在△ABC 中,D 为BC 边上的点,已知∠BAD =∠CAD ,BD =CD ,求证：AB =AC .3．如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,M 是BC 中点,∠B =2∠C ,如图,求证：DM =12AB 4．已知△ABC 中,AC =7,BC =4,D 为AB 中点,E 为边AC 上一点,且102AED C ∠=︒+∠9,求CE 的长.5．在任意五边形ABCDE 中,M,N,P,Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点,K 、L 、分别为MN 、PQ 的中点,求证：KL 平行且等于14AE . 6．如图,已知△ABC 中,AB =AC ,CE 是AB 边上的中线,延长AB 到D ,使BD =AB ,那么CE 是CD 的几分之几？7．四边形ABCD 四边中点分别为E 、F 、G 、H ,当四边形ABCD 满足时,EFGH 为菱形；当四边形ABCD 满足时,EFGH 为矩形；当四边形ABCD 满足时,EFGH 为正方形.例1在△ABC 中,∠B =2∠C ,∠BAC 的平分线AD 交BC 与D .求证：AB +BD =AC .例2 ABCD 是正方形,P 为BC 上任意一点,∠P AD 的平分线交CD 于Q ,求证：DQ =AP -BP . 例3已知△ABC ,∠ABC =90°,以AB 、AC 为边向外做正方形ABDE 和ACFG ,延长BA 交EG 于H ,则BC =2AH .例4 AD 是△ABC 的角平分线,BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ,EF //AC 交AB 于F .求证：AF =FB .截长补短法补形法例5如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等,已知BC+CD=11,DE-AB=3,求DC+EF的值. 例6如图所示：BC>AB,AD=AC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°.1．如图,在△ABC中,AB+BD=AC,∠BAC的平分线AD交BC与D,求证：∠B=2∠CAB CD已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE,M是BC中点,连接AM求证：EF＝2AM且AM⊥EF.3．在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BE评分∠B交AC与E,如图,求证：AE+BE=BC 4．在△ABC中,D、E为AB、AC中点,DE与∠B的平分线交与F,如图所示.求证：AF⊥BF5．在△ABC中,MB、NC分别是三角形的外角∠ABE、∠ACF的角平分线,AM⊥BM,AN⊥CN,垂足分别是M,N.求证：MN∥BC,MN=12<AB+AC+BC>6．在△ABC中,MB、NC分别是三角形的内角∠ABC、∠ACB的角平分线,AM⊥BM,AN⊥CN,垂足分别是M,N.求证：MN∥BC,MN=12<AB+AC-BC>例1在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠ABC=70°,∠BCD=170°,求∠BAD的度数.例2如图,△ABC中,AB=AC,AD=BC,∠A=20°,求∠DCA的度数.例3任意△ABC,试在△ABC内找一点P,使得P A+PB+PC的值最小例4<2000 初二数学竞赛〕,在等腰△ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE, 恰有AD=BC=CE=DE.求证：∠BAC=100°.例5如图所示,在△ABC中,∠B=60°∠A=100°,E为AC的中点,∠DEC=80°,D是BC边上的点,BC=1,求△ABC的面积与△CDE的面积的两倍的和.例6如图所示,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC,P为三角形内一点,AP=AC,PB=PC,求证：∠BAC=3∠BAP.1．如图所示,在四边形ABCD中,BC CD=,60BCA ACD∠-∠=︒,求证：AD CD AB+≥.2．在ABC∆中,AB AC=,60120A︒<∠<︒,P为ABC∆内部一点,PC AC=,120PCA A∠=︒-∠,求CBP∠的度数.巧构等边3．在等边△ABC内有一点P,它到三个顶点A、B、C的距离分别为1求∠APB的度数.4．在凸四边形ABCD中,∠DAC=30°,∠CAB=20°,∠ADB=50°,∠BDC=30°,四边形的对角线交于点P,求证：PB=PC5．在等腰△ABC中,∠B=∠C=40°,延长AB至点D,使AD=BC,求∠BCD的度数. 6．如图,D是△ABC外一点,AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°.求∠ACD的度数.。

第二章特殊三角形单元培优测试卷 (含答案)2024-2025学年八年级上册数学

特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7C．12 D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（）第2题图第4题图第5题图A．4B．3C．2D．1 3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（）A．245B．125C．52D．35．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7B．8C．10D．12 6．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．（）第6题图第7题图第8题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（）A．18B．24C．25D．36 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．③④D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA. 其中正确的个数是（）第9题图第10题图A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SΔPCA=AB：AC，正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB=c，则下列说法正确的是 .(填序号)①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= °．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC= ．第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】5216．【答案】2517．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= AD2+BD2=122+162=20同理：AC= AD2+CD2=122+52=13∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中{AE=CFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE 和△ACD 中{∠ABD =∠ACD AB =AC ∠BAE =∠CAD，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AE ＝AD ；（2）解：∵∠ACB ＝65°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AOB ＝∠COD ，∴∠BDC ＝∠BAC ＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =62+82=10.∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC =12AC·BC =12AB·CD ，∴ 10CD=6×8，即CD =245.（2）解：如图1，∵3AE=2CE ，AC=8，CD =245，∴CE =35×8=245，即CE=CD.∵CD ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF ，∴△CEF ≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF ，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8−245=165.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(165)2=(325−FD)2，∴FD=125.②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8+245=645.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(645)2=(FD+325)2，∴FD=485.③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=245，CE=FD.∵E F2+A E2=A F2，∴(245)2+(8−FD)2=(325+FD)2，∴FD=85.④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+325=725.综上，所有符合条件的DF的长是85，125，485，725.21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∠CAD=180°−∠D−∠ACD=70°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=30°，∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，AC=AC，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∠AEC=∠D，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线，∠ACB=40°，∴∠ACD=∠DCB=12∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.。

【九年级数学代数培优竞赛专题】专题11 巧解二次函数与特殊三角形综合题【含答案】

专题11 巧解二次函数与特殊三角形综合题知识解读二次函数与特殊三角形综合题，是指以二次函数的图象为载体，探究图象上是否存在一些点，使其能构成特殊的三角形，有以下几种常见形式：（1）二次函数图象上的点能否构成等腰（或等边）三角形；（2）二次函数图象上的点能否构成直角三角形；（3）二次函数图象上的点能否构成等腰直角三角形。

由于有平面直角坐标系为背景，为点的坐标与线段长度的相互转化提供了可能，着重考查数形结合与转化的能力；由于三角形边和角的不确定性，为思维的发散提供了可能，着重考查分类讨论思想及思维的缜密性。

培优学案典例示范例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－（2＋n ）x ＋2n （n <2）与x 轴相交于A ，B 两点（点A 2x 位于点B 的右侧），与y 轴相交于点C .若△ABC 是等腰三角形，求n 的值。

【提示】求得点A ，B ，C 的坐标，从而表示出线段OA ，OB ，OC ，AB 的长度，接着根据勾股定理求出AC ，BC ，再用分类讨论的数学思想分三种情况构建方程模型便可求出n .【跟踪训练】已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y轴交于2y =C 点.点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标。

【提示】求出A ，B ，C 三点坐标，表示出△PBC 的三边长，再模仿例1分三种情况讨论求解。

例2 如图11－1，点A （5，m ）在抛物线上.试探究：在抛物线的对称轴上是否存在215222y x x =-+点B ，使△OAB 是直角三角形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由。

【提示】不能确定直角△OAB 的直角顶点，所以点B 的坐标的存在情况需要分类讨论：①直角顶点在对称轴上，②直角顶点在A 点，③直角顶点在O 点.①11-1【跟踪训练】已知抛物线y ＝－－2x ＋3交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点。

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变式 1 在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠DAB．
（1）如图①，当∠DAB=120° ，∠B=∠D=90° 时，求证：AB+AD=AC．（2）பைடு நூலகம்图②，当∠DAB=120° ，∠B 与∠D 互补时，线段 AB、AD、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当∠DAB=90° ，∠B 与∠D 互补时，线段 AB、AD、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证．
特殊三角形中的那些特殊边、角带来的启发
引例：如图，已知∠ABC=120° ，BD 平分∠ABC，∠DAC=60° ，若 AB=2，BC=3，则 BD 的长是（ A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 D ）
A C B
例 1、如图，△ ABC 与△ ABD 都是等边三角形，点 E，F 分别在 BC，AC 上，BE=CF，AE 与 BF 交于点 G．（1）求∠AGB 的度数；（2）连接 DG，求证：DG=AG+BG．
例 2：如图,已知正方形 ABCD 中,∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF.
变式2 如图,在四边形ABCD中，AB＝AD，
1 BAD.求证 : EF＝BE＋FD; 2 1 （2）若B D＝180，E、F 分别是边BC、CD上的点，且EAF BAD, 1中的结论是否 2 仍然成立？不用证明.? （ 1）若B＝D＝90，E、F 分别是边BC、CD上的点，且EAF （3）若B ADC＝180，E、F 分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF 1 BAD, 1中的 2 结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.