八年级数学下等腰三角形和等边三角形培优练习题
八年级数学全等三角形(培优、数学竞赛)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1B 图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5AB图6CB5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ）A. AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8CB8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。
或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。
《等腰三角形》培优专题
等腰三角形【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
E例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。
ABCD例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
求证：DCB 2B AC ∠=∠。
C4、中考题型：1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC 2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE ＝AF 。
AE F BDC5、题形展示：例1. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。
求证：B C B D AD =+。
【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。
CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。
【试题答案】（实战模拟） 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：因为AB C ∆是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
八年级下证明二等腰三角形 - 培优
等腰三角形知识点等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
③等腰三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ）。
等边三角形（也叫正三角形）（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。
⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
典型例题等腰三角形例1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线变式练习：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形例2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm变式练习.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°变式练习．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°变式练习．如图所示，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°ECA F G例3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上中线BD 将这个三角形的周长分为16和8的两部分，求这个等腰三角形的腰长与底边长．变式练习：如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长是变式练习：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高；求：△ABC 的面积．变式练习：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．例4：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为 BC 的中点.（1）写出点D 到DABC 三个顶点 A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断△DMN 的形状，并证明你的结论NMDBA C变式练习：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．培优例5：（1）等腰三角形的内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为________(2)已知等腰三角形ABC 的三边长a,b,c 均为整数，且满足a+bc+b+ac=24,则这样的三角形共有__________个.例6.如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则BAC ∠的度数是_______例7.如图，在△ABC 中，AC=BC ，90ACB ∠= ，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =，求证：BD 是∠ABC 的角平分线例8．如图1，三角形ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC=BC ，三角形EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP 。
初二数学等腰等边三角形培优题1(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑等腰等边三角形培优题11．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BBB =25∘，则∠BBB =______．2．如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC ＝_____.3．如图，在△BBBBBB 中，BB BB =BBBB ，CD 是∠BBBBBB 的平分线，BB BB //BBBB ，交AC 于点E ．若∠BBBB =35∘，则∠BBB=.4．如图，等边△BBBBBB 中，AD 是中线，BBBB ⊥BBBB 于点E ，BBBB =3，则点D 到AB 的距离为：______．5．已知：在△ABC 中，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB +BH =CH ，∠ABH =70∘，则∠BAC =______ ∘.6．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是（第1题） （第2题） （第3题）（第4题） （第6题） （第7题）等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ． ①②③B ． ②③④C ． ①③④D ． ①②④7．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，….若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为( )A ． 702n ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭B ． 1702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭C ． 1702n -⎛⎫︒ ⎪⎝⎭D ． 2702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭8．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°， 在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的有 （填序号） 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 ．10．如图，已知△BBBBBB 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠BBBBBB ，BBBB =BBBB ，BBBB =7， 则 AE 的长度是 ． 11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD于点F ，连接CF .若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为 ．12．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上的定点(不同于端点B 、C )，过点D 作直线l 垂直线段AB ，若点P 是直线l 上的任意一点，连接PA 、PB ，则能使△PAB 成为等腰三角形的点P 一共有_______ 个．（填写确切的数字）（第11题） （第9题） （第10题）（第8题）（第12题） （第13题）13．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，l⊥BC于点C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q，当BP= 时，PA=PQ. 14．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE,EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为___________________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。
等腰三角形和等边三角形培优精华
等腰三角形和等边三角形知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。
⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。
7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高” 练习题1 2.7、3、5、22、如图，在等边△ABC 中，D 、E AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= 度。
3、如图，点D 为等边三角形ABC 内的一点，BD=AD ，BE=AB ， ∠DBE=∠DBC ，则∠BED 的度数是 度。
等边三角形培优专项练习试题与答案
等边三角形培优专项练习题双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。
2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。
3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。
纵向应用1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。
2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。
3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。
4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。
5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。
6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。
7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证：ΔMNP是等边三角形。
8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。
9. 如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。
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八年级数学下等腰三角形和等边三角形培优练习题一、填空选择题:1．如下图1，等边△的边长为3，P 为上一点，且＝1，D 为上一点，若∠＝60°，则的长为（ ） A ．32B ．23C ．12D ．342．如上图2，△中，D 、E 分别是、的中点，平分∠，交于点F ，若＝6， 则的长是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）25（D ）4 3．如上图3，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△是等腰三角形，则点P 的坐标 不可能．．．是（ ）A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）4．如上图1，＝＝，若∠A ＝40°，则∠的度数是（ ） A ．20oB ．30oC ．35oD ．40o5．如上图2，△中，＝＝6，＝8，平分么交于点E ，点D 为的中点，连结，则△的周长是( ) A ．7+5 B ．10 C ．4+25 D ．126．如上图3，在△中，，∠36°，、分别是△、△的角平分线， 则图中的等腰三角形有 （ ） (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个7.在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 ，则其腰上的高为 ． 9．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 10.在△中，＝，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为50°， 则∠B 等于_ 度．AD CPB60° ED CBA(第6题)BA DC1 2 3 4-1 12xy A11.如下图1，过边长为1的等边△的边上一点P ，作⊥于E ，Q 为延长线上一点，当＝时，连交边于D ，则的长为（ ）A．13 B ．12 C ．23D ．不能确定12．如下图2，等腰△ 中，，∠20°。
线段的垂直平分线交于D ，交于E ，连接，则∠等于（ ） A 、80° B 、 70° C 、60° D 、50°ACDB13．如上图3，△内有一点D ，且，若∠20°，∠30°，则∠的大小 是（ ）A.100° B.80° C.70° D.50°14．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A ．8B ．7C ． 4D ．315．如下图1，在△中，D ，E 分别是边，的中点， 连接．若平分∠，则下列结论错误的是 （ ）A ．＝2 B ．∠A ＝∠ C ．＝2 D ．⊥16．如上图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9BA第8题图AD BEC17、如上图3，把等腰直角△沿折叠，使点A 落在边上的点E 处．下面结论错误的 是（ ）A ．＝ B ．＝C ．＝D ．＝18．已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩则此等腰三角形的周长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．5或419．如图，点C 是线段上的一个动点，△和△是在同侧的两个等边三角形，，分别是△和△的高，点C 在线段上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接，得到四边形．这个四边形的面积变化情况为（ ）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小20．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地，已知点E 、F 分别是边、的中点，量得＝5米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）A 、15米B 、20米C 、25米D 、30米 21．如图1，△中，，∠80°。
则∠B 的度数是（ ） A ．40° B ．35° C ．25° D ．20° 22．已知：△中，x ，6，则腰长x 的取值范围是（ ） A ．03x << B ．3x > C ．36x << D ．6x >23．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A ．55°，55°B ．70°，40°C ．55°，55°或70°，40°D ．以上都不对 24．如下图1，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取 △A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第8个正△A 8B 8C 8的面积是（ ）A ．731()2⨯B．831()2⨯C ．731()4⨯ D ．831()4⨯ (第20题图)FE CB A……图③图②图①25．如上图2所示，已知△和△均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连结、，则下列结论：①＝②＝③∥④∠＝∠，其中正确结论的个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个26．如上图3，△中，垂直平分交于E，∠30°，∠80°，则∠．27．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是 A．17 B．17或22 C．20 D．22 28．如下图3，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有个正三角形．29．如上图1,等边△的边长为6是边上的中线是上的动点是边上一点.若2的最小值为 . 30．如上图2，在△中，13，10，D是的中点，过点D作⊥于点E，则的长是。
31．如下图1，等腰三角形中，已知＝，∠A＝30°，的垂直平分线交于D，则∠的度数为 .32. 如上图2，在ABC△中，13AB AC==，10BC=，点D为BC的中点，DE DE AB⊥，垂足为点E，则DE等于（） A．1013B．1513C．6013D．751333.如果一个等腰三角形的两边长分别是5和6，那么此三角形的周长是A．15 B．16 C．17 D．16或1734.边长为6的等边三角形中，其一边上高的长度为.35. 已知等边△中，如上图3，点分别在边上，把△沿直线翻折，使点B落在点Bˊ处，ˊˊ分别（第26题）EDCBA交边于点F ，G ，若∠80º ，则∠的度数为36. 在等腰△中，∠90°，＝1，过点C 作直线l ∥，F 是l 上的一点，且＝，则点F 到直线的距离为 ．37. 如下图1，等边三角形中，D 、E 分别为、边上的两个动点，且总使，与交于点F ，⊥于点G ，则FGAF．38. 如上图2，在△中，，∠的角平分线交边于点D ，5，6，则.39. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 二、解答题1. 如图，已知点D 为等腰直角△内一点，∠＝∠＝15°，E 为延长线上的一点，且＝．（1）求证：平分∠；（2）若点M 在上，且，求证： ．2.如图，在等腰三角形中，∠90°，D 为边上中点，过D 点作⊥，交于E ，交于F ，若4，3，求长．GFE CBA第37题D3．如图，等边△中，是∠的角平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边△,连结. (1) 求证：△≌△；(2) 延长至Q, P 为上一点，连结、使＝＝5, 若＝8时，求的长.4. 已知：如图，锐角△的两条高、相交于点O ，且，（1）求证：△是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠的角平分线上，并说明理由。
5. 已知：在△中，，∠900，点D 是的中点，点E 是边上一点。
（1）直线垂直于于点F ，交于点G （如图①），求证：；（2）直线垂直于于，垂足为H ，交的延长线于点M （如图②），找出图中与相等的线段，并说明。
BAEDF C6．（1）如图，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．7．如图，点E ，F 在上，＝，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，与交于点O ． (1)求证：＝；(2)试判断△的形状，并说明理由．8、如图，△和△都是等腰直角三角形，∠＝∠＝90°，交于F ，分别交，于点G 、H 。
试猜测线段和的位置和数量关系，并说明理由.ACED BADB EF CO9．如图，BCD∆和都是等腰直角三角形，∠∠90°，D为边上一点。
ACB∆（1）求证：△≌△；（2）若5，12，求的长。
10．如图1－28所示，D为△的边的延长线上一点，过D作⊥，垂足为F，交于E，且＝，求证△是等腰三角形．11、如图1－29所示，在△中，∠＝90°，⊥于点D，点E在上．＝，过点E作的垂线，交的延长线于点F，求证＝．12．如图，点E、C在上，，∠∠45°，∠∠90°．（1）求证：；（2）若交于M32，将线段绕点C顺时针旋转，使点E旋转到上的G处，求旋转角∠的度数．B13．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？14．如图， 已知等边三角形中，点D ，E ，F 分别为边，，的中点，M 为直线上一动点，△为等边三角形（点M 的位置改变时， △也随之整体移动） ．（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断与有怎样的数量关系？点F 是否在直线上？都请直．．．接．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在上时，其它条件不变，（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中与的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．15. 如图1，在等边△中，点D 是边的中点，点P 是线段上的动点(点P 与点C 不重合)，连结. 将△绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ,连结1，射线1分别交射线、射线B 1B 于点E 、F .（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△与△始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△与△全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知4，设，△A 11的面 积为S ，求S 关于x 的函数关系图1图2图3111图① 图②图③A· BCD EF··N MFEDCB ANMFEDCBA·16、如图，△中，，∠36°，的垂直平分线交于E，D为垂足，连结．（1）求∠的度数；（2）若5，求长．。