等腰三角形知识要点及培优试题教案资料

等腰三角形知识要点及培优试题

等腰三角形性质与判定知识点及精选练习题

知识梳理

知识点1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C

（3）证明：取BC的中点D，连接AD

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2

（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，

底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）

（2）符号语言：∵AB=AC，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC

（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底

边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，

作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所

对的边也相等（简写为“等角对等边”）

（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC

（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化

关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化

为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如

作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定

义 2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论

1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对

的直角边等于斜边的一半。

知识点5：等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等

腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过

它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底

边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可

以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况

来定。

一、知识点回顾

等腰三角形的性质：

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△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上

（1）∵AB=AC ， ∴∠_____=∠______；（即性质1）

（2）∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）

（3）∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）

（4）∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；

_______=_______．（即性质2）

等腰三角形的判定：△ABC 中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题

第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．

第2题. 在△ABC 中， ∠ABC =∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 第3题. 如图1，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是（ ）

图1 图2 图3 A ．8+2a

B ．8+a

C ．6+a

D ．6+2a

第4题. 如图2，O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E 点，若BC =10cm ，那么△ODE 的周长为（ ）

A ．8cm

B ．9cm

C ．10cm

D ．11cm

第5题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______． 第6题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．

第7题. 如图7，已知AE 平分∠DAC ，AE ∥BC ，那么AB =AC 吗?请简要说明理由．

图7 图8

第8题. 如图8，PQ 为Rt △MPN 斜边上的高， ∠M =45°，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3

个 D ．4个

第9题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或1

第10题. 下列命题正确的个数是（ ） ①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上

一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

第11题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A ．42° B ．60° C ． 36° D ． 46°

A

O

C B E

D A Q C

P B P Q

M

N G A

C B

E

D P Q M N