不定积分习题课
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不定积分经典习题
=
td
cot
t
tdt
t
cot
t
cot
tdt
t2 2
= t cot t ln | sin t | t2 C 2
= arctgx ln | x | (arctgx)2 C
x
1 x2
2
[解二]
arctan x dx x2 (1 x2 )
=
令 x tant ，则
原式=
1 x2 1 x
1 x
dx
＝
1
cos t sin
t
1 sin
t
d
sin
t
=
cos2 t 1 sin t
1 sin t
dt
= ln csc t cot t t C = csc tdt t C = csc tdt t C = ln csc t cot t t C
一、知识网络图
原函数
1.基本概念不定积分
不定积分的几何意义
不 2.性质与公式不基定本积积分分的公性式质
定 积 分
3.计算方法查换分直表元部接法积积积分分分法法法第第一二换换元元积积分分法法(凑微分法)
4.特殊函数的积分某三有些角理无函函理数数函有积数理分积式分积分
( 1 1 ) arctan xdx x2 1 x2
arctan xdx =
arctan x2
xdx
(arctan 2
x)2
arctan xd 1 (arctan x)2
e习题课(不定积分)
dx
= d( ln( x + x 2 + a 2 ))
. .
.. . . ..
第二换元法计算不定积分. 第二换元法计算不定积分
反用第一换元法： 反用第一换元法：
∫ f ( x )dx
令x = ϕ ( t )
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dx = ∫ g(t )dt
−1 = G ( t ) + C = G[ϕ ( x )] + C
. .
填空（ 二 1. 填空（共6题） 题
. . . . . .
f ( x )d x 1 d f ( x )dx = __________.
o
∫
2o 3o
o
∫ ∫
1 (1 − x ) 3 + C 2 (1 − x ) dx =______________. 3 −
6x +C x x 2 ⋅ 3 dx = __________. ln 6
x
a t
a2 − x2
a2 = ∫ (1 + cos 2 t )d t 2 x a2 1 = arcsin ( t + sin 2 t ) + C . 由 x = a sin t , ∴ t ？ = a 2 2
x a2 − x2 为代回原变量， 为代回原变量，作三角形 . sin 2t = 2 sin t cos t = 2 ⋅ a a
两个不同类型函数积的积分可考虑分步积分法： 两个不同类型函数积的积分可考虑分步积分法： 可考虑分步积分法
x n lnxdx , ∫ u e ax sinbxdx , ∫
x n sinkxdx , ∫ dv e ax cosbxdx , ∫
x n arctanxdx , ∫ u
不定积分,习题
联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 y′ = 2 x ， 且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（ ） 这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
第五章不定积分习题课
(21)
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
嘉兴学院
30 May 2019
第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
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第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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1、原函数
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第五章 不定积分
不定积分习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C
不定积分-习题课
1(lntanx)2 C 2
(11) 1dx2x
解: 令 t 2x,则 x1t2 (t0)， 2
原式
tdt 1 t
(111t)dt
dt11td(1t)
tln1 (t)C
2xln1 ( 2x)C
4 、 (1) x3coxsdx
解: 原式 x 3 d six nx 3six n 3x 2sixnd
( 1 )9 cx d s x c l|n cx s c c x o | C t
1 dx
x2 a2
ln(x x2 a2)C
1、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
2、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
(4) 11x2dxarcx tC an(1)0sextcaxnds xex cC
(5) 11x2dxarc x sC in (1)1csxco xtdx cs x c C
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
(1)3axdx lan
(t 1)e2t C 2
( x1)e2 x C 2
(9)
exsin2xdx解: 原式
1(ex exco2sxd)x 2
令 Iexco2xsd,则 x
Ic2 o xx s d e xc e2 o x 2 se xs2 ixn xd
而 exsi2n xx d co 2xsd x e
ln|x2x1|24lnx3C 7 x4
(3)
2 dx x3 1
解: 令 x321xA 1xB 2 xxC 1
(AB)x2(B x 3 C 1A)xAC
(11) 1dx2x
解: 令 t 2x,则 x1t2 (t0)， 2
原式
tdt 1 t
(111t)dt
dt11td(1t)
tln1 (t)C
2xln1 ( 2x)C
4 、 (1) x3coxsdx
解: 原式 x 3 d six nx 3six n 3x 2sixnd
( 1 )9 cx d s x c l|n cx s c c x o | C t
1 dx
x2 a2
ln(x x2 a2)C
1、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
2、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
(4) 11x2dxarcx tC an(1)0sextcaxnds xex cC
(5) 11x2dxarc x sC in (1)1csxco xtdx cs x c C
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
(1)3axdx lan
(t 1)e2t C 2
( x1)e2 x C 2
(9)
exsin2xdx解: 原式
1(ex exco2sxd)x 2
令 Iexco2xsd,则 x
Ic2 o xx s d e xc e2 o x 2 se xs2 ixn xd
而 exsi2n xx d co 2xsd x e
ln|x2x1|24lnx3C 7 x4
(3)
2 dx x3 1
解: 令 x321xA 1xB 2 xxC 1
(AB)x2(B x 3 C 1A)xAC
不定积分复习课(例题)
不定积分一、分段函数的积分1．求2min(,6)d x x x +⎰． 二、有理函数的积分2. 求241d 1x x x ++⎰ 3．若积分222d (1)(1)x ax b x x x ++++⎰的结果 （1）不含反正切函数，则常数a ＝（2）不含对数函数，则常数b ＝（1）是个有理函数，则常数a ＝ ；b ＝三、倒代换4. 求821d (1)x x x +⎰5.求x6. 求21ln d (ln )x x x x -+⎰ 注：求223d (1)x x x +⎰时，倒代换不行，应作变换tan x t = 四、分部积分（被积函数是两类不同函数的乘积）7.求x x 8. 求22(tan 1)d x e x x +⎰9. 求221()d 1x x e x x -+⎰10. 设ln(1)(ln )x f x x +=，求()d f x x ⎰五、含抽象函数的积分11. 设()f x 的一个原函数是sin x x，求3()d x f x x '⎰ 12. 求23()()()d ()()f x f x f x x f x f x ''⎡⎤-⎢⎥''⎣⎦⎰六、其他13. 求()()d ,(,,,,0ax b px q x a b p q a αα++≠⎰是常数，） 14．求sin222sin d x x e x x e ⎰． 15．求2d ,()3x x y x y x y =--⎰其中．课外练习题计算下列积分1. ,(02)x x π<<2. |ln |d x x ⎰3. 2421d 31x x x x -++⎰ 4.x 5.21d x x x x e +⎰ 6. 1ln d (ln )ln x x x x x --⎰ 7. 1sin d 1cos x x e x x++⎰ 8. 222d ,()x y x y x y-=⎰其中自习内容一、形如sin cos d (m n x x x m n ⎰，是正负整数）的积分（1） 若m 、n 中至少有一个是奇数：化为(sin )d(sin )(cos )d(cos )R x x R x x ⎰⎰或；（2） 若m 、n 均为正偶数：降次； （3） 若m 、n 均为负偶数（或均为负奇数）：化为(tan )d(tan )(cot )d(cot )R x x R x x ⎰⎰或。