上财研究生高微题库——四、不确定性下的选择
不确定情况下的选择理论
使用SPSS软件对数据进行分析，包括描述性统计、 卡方检验和相关性分析等。
结果展示
将统计和分析结果以图表和表格的形式展示出来。
结论和讨论
结论
根据实验结果，发现大多数参与者倾向于选择概率较高、结果较好的选项。同时，也有一部分参与者 表现出风险偏好或风险厌恶的特征。
讨论
选择理论在不确定情况下的应用需要考虑个体差异和情境因素。未来的研究可以进一步探讨选择理论 在不同情境下的适用性和局限性。此外，也可以通过改进实验设计和方法，提高研究的可靠性和有效 性。
06 选择理论的应用
金融投资决策
投资组合选择
在不确定的金融市场中，投资者可以使用选择理论来构建有效的投资组合，以最大化预期 收益并最小化风险。
期权定价
选择理论也可用于确定期权的合理价格，通过考虑未来股票价格的不确定性来计算期权的 预期收益。
资本资产定价模型（CAPM）
选择理论在CAPM中用于解释风险资产的预期收益率，以及投资者如何根据风险偏好来决 定其投资组合。
期望效用理论在许多领域都有广泛应用，如经济学、金融学、统计学等。
预期效用最大化
预期效用最大化是期望效用理论的延伸， 它考虑了决策者对不确定性的态度和偏
好。
预期效用最大化是指在给定预期效用函 数下，决策者会选择能够最大化预期效 用的方案。预期效用函数描述了决策者
对不确定性的偏好关系。
预期效用最大化在金融、保险、风险管 理等领域有广泛应用，用于指导决策者
研究不足与展望
理论深化
虽然不确定条件下的选择理论已经取得了一定的成果，但 该理论的某些基本假设和推论仍需要进一步的理论证明和 实践检验。
应用拓展
目前该理论的应用主要集中在金融和经济领域，未来可以 进一步拓展到其他领域，如社会学、政治学等。
上海财经大学《高级微观经济学I》题库
证明：必要性：如果 u(x) 是相似函数，则
u(x) > u( y) ⇔ g ( f (x)) > g ( f ( y)) （因为 u(x) = g ( f (x)) ）
⇔ f (x) > f ( y) （因为 g 严格递增）
⇔ tk f (x) > tk f ( y) （因为 t > 0 ）
⇔ f (tx) > f (ty) （因为 f (x) 是 k 次齐次函数）
《高级微观经济学 I》题库
目录
第一部分 数学基础
第一节 齐次函数与欧拉方程 第二节 凹函数与拟凹函数 第三节 向量与矩阵 第四节 优化问题与包络定理
第二部分 偏好与效用
第一节 偏好与选择 第二节 效用函数 第三节 需求函数与显示偏好弱公理
第三部分 生产与消费理论
第一节 效用最大化问题 第二节 支出最小化问题 第三节 对偶问题与 Slutsky 方程 第四节 利润最大化问题 第五节 成本最小化
第四部分 不确定性下的选择
第一节 彩票与期望效用 第二节 风险厌恶
第五部分 博弈论
第一节 完全信息静态博弈 第二节 不完全信息静态博弈 第三节 完全信息动态博弈 第四节 不完全信息动态博弈 第五节 重复博弈
第六部分 市场结构
第一节 垄断定价 第二节 寡头竞争 第三节 产业结构 第四节 进入合作与退出 第五节 外部性和公共品
3
因为 g(1) = f (x) ，所以 C = f (x) ，从而 g(t) = tk f (x) ，即 f (tx) ≡ tk f (x) ， f (x) 是 k 次齐次函数。
4. [简单][来自 Sydsaeter，Strom，and Berck]证明：对于 k 次齐次函数 f (x) 有
不确定性下的选择
不确定性下的选择本章讨论不确定性下消费者的最优选择。
3.1彩票首先描述可供消费者选择的对象，这个对象称为彩票，记为p ,二（1 - p） y，它意味着以概率p得到x ，以概率1 - p得到y , x 和y可以是货币，商品或其它彩票。
一般地凡是联系到不确定性的东西都可以看作是彩票。
关于彩票有以下几个假设：L1 : 1 x 二（1 -1） y ~ xL2 : p x 二（1「p） y ~ （1「p） y 二p xL3: q （ p x 二（1 -p） y）二（1 -q） y ~ qp x 二（1 -qp） yL1是说以概率1得到x与确定地得到x是一样的。
L2是说消费者并不关心得到的先后次序。
L3是简单地把复合彩票看成是简单彩票。
记:为消费者所能得到的所有彩票的集合。
假设消费者在-上有一个偏好关系，且这个偏好关系满足完备性，自反性和传递性。
注意到，我们并没有要求每一种彩票只要两种结果，它可以有任意有限多种结果，例如以1/3概率得到x，以1/3概率得到y，以1/3概率得到z，2 1 1 1可以写成（—x y） z，据L3这两个彩票是等价的。
3 2 2 33.2期望效用函数和确定性情形一样，很容易证明在-上存在一个代表偏好关系的效用函数u：丨＞R满足以下性质：p x 二（1 一p） y 一q w 二（1 —q） z = u（p x 二（1 -p） y） u （q w~（1 -q） z）同样地，效用函数不是唯一的，它的任意一个单调增加的变换仍然是一个效用函数，并且如果对偏好关系强加其它一些假设，这个效用函数具有一个很方便的性质一一期望效用性质:u（p x 二（1 一p） y）二pu（x）（1 - p）u（y）在下述四个公理假设下，我们能保证期望效用函数存在。
U1 ：对于任意x, y,z三「，集合｛p [0,1]: p x二（1 - p） y二z｝和集合｛p [0,1]: p x 二（1 _p） y_z｝是闭集。
上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库4
（2）下面的矩阵是某一理性消费者的替代矩阵。价格分别为 p1 = 1， p2 = 2 ， p3 = 6 。
求矩阵中剩余的几个位置的值。
⎡−10 ? ?⎤
⎢ ⎢
?
−4 ?⎥⎥
⎢⎣ 3 ? ?⎥⎦
∑ 证（1）：要证明 pσ(p.u)=0，即要证明对于任意的 k = 1, 2,..., n 都有
p n
i=1 i
是否总是存在这样一个价格向量呢？答案是肯定的。 因为根据 C-D 效用函数的性质，消费者会将收入按照特定的比例分配到各商品上
(参考第 6 题的说明)。所以，不论 x ( x 是向量)是什么，总可以用那特定比例的 收入除以 xi ，得到对应的价格 pi 。在这个价格 p 下，选择 x ，消费者必定实现效 用最大化，即有 u(x) = v( p, px) 。
二种商品的边际效用总是 1，而第一种商品的边际效用是递减的（我们假定 f (x1) 不
是 x1 的线性函数，并且满足一阶导数递减），所以增加的收入会都用在第二种商品
上。
5. 斯勒茨基方程
（1）证明 pσ(p.u)=0.其中 p=(p1, p2,.., pn), σ(p.u)是一个理性的消费者的 Slutsky 替代矩 阵；
(2)是否总是存在一个价格向量 p 使得 v( p, px) = u(x) ？如果是，请证明；如果不
是请举一个反例。
证明：(1)根据定义，间接效用函数是效用最大化的值函数，即
v( p, px) = max u(x′)
s.t. px′ ≤ px 。
因为 x 是可行的，所以总有 v( p, px) ≥ u(x) 。
∂xih ∂pk
= 0。
3/6
其中 ∂xih 为 Slutsky 替代矩阵σ(p.u)的第 i 行第 k 列的元素。 ∂pk
高级微观04-不确定性与消费者选择 2011
4 不确定性与消费者选择在本章以前，我们讨论的所有问题，都没有对理性行为人的行动和结果加以区分，每一个行动都确定地对应了一个特殊的最大化结果。
在本章，我们要讨论消费者选择的行动与其结果不确定地对应，即随机性对应。
这样，就可以把行动的选择看作是对于彩票的选择，而结果就是彩票中奖的奖金。
在本章以后，我们依然不专门考虑不确定性下的选择问题。
但是，有了本章的思考方式，我们的思考经济学问题的视野就不再局限于确定性世界了，博弈论和信息经济学的思考方式，都渗透了本章的因子。
当前，由美国次贷危机引发的日益蔓延的金融危机，说明经济学人充分思考不确定性问题的重要性。
4.1 确定性，不确定性，不完全理性与风险4.1.1 确定性，不确定性与不完全理性为了导出不确定性，先要了解确定性。
确定性与完全理性相关联。
决策者具有完全理性必须同时满足以下条件：（1） 影响决策者决策的任何因素是确定的；（2） 对于这些决策因素，决策者具有完备信息；（3） 在给定信息条件下，决策者具有处理信息的能力。
破坏（1）则成客观不确定性。
破坏（2）则成主观不确定性。
破坏（3）则成有限理性。
破坏上述任何一条，决策者就偏离了完全理性，其选择行为就是不完全理性的。
4.1.2 不确定性与风险这两者有所区别。
不确定性是风险存在的必要条件。
风险实际上是不同决策者关于彩票（赌局）偏好关系的特征。
换言之，风险可以用计算彩票的概率来刻画，而不确定性难以用概率刻画。
4.2 状态依存的收益函数4.2.1 确定性收益函数设决策者面临的有界的机会集合为A ＝｛1a , …, n a ｝, i a 代表一种金融资产，其收益集合为X=｛1x , …, m x ｝。
如果是在确定性条件下决策，则连续函数x =)(a f , ,A a ∈ x ∈X此时的决策原则是选择*a ，使得)(*a f = max )(a f ，A a ∈。
4.2.2 彩票与状态依存收益函数在不确定性条件下，给定i a ，决策者不能确定i x ，这相当于他不知道)(i i a f x =，从而他不能做出最优选择。
上财研究生高微题库——二、偏好与效用
第二部分 偏好与效用第一节 偏好与选择1. [简单][来自Rubinstein P .10]对于定义在集合X 上的偏好关系，定义()I x 为满足z X ∈且z x ∼的所有z 的集合。
证明：对于任意属于X 的x y 和，都有()()I x I y =或者()()I x I y φ∩=。
证明：根据定义，(){|,}I x z z x z X =∈∼，(){|,}I y z z y z X =∈∼。
如果x y ∼，由∼的传递性知，(){|,}{|,}()I x z z x z X z z y z X I y =∈=∈=∼∼。
如果x y ∼不成立，我们用反证法证明()()I x I y φ∩=。
假设()()I x I y φ∩≠，则存在()w I x ∈，且()w I y ∈。
由()()I x I y 和的定义知，w x ∼且w y ∼。
由∼的传递性知，x y ∼，矛盾。
2. [简单][改编自Rubinstein P .50] 证明：在一个两种商品的世界里，假定偏好满足严格单调、传递且凸，并且对于,x ε∀都有121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼，则21δδ≥。
证明：121211212(,)(,)(2,)x x x x x x εδεδδ−+−++∼∼⇒ 1212(2,)x x εδδ−++<12121(,)(,)x x x x εδ−+∼⇒ 1212120.5(2,)0.5(,)x x x x εδδ−+++<121(,)x x εδ−+⇒ 1212(,0.50.5)x x εδδ−++<121(,)x x εδ−+⇒21δδ≥3. [中等][来自田国强教授《微观经济理论讲义》] 证明：如果偏好满足严格单调，则满足单调；如果偏好满足单调，则满足局部非餍足；如果满足局部非餍足，则满足非餍足。
证明：由严格单调的定义：x y ≥且x y ≠，则x y ，和单调的定义：x y >>，则x y ，易知偏好满足严格单调意味着满足单调。
不确定情况下的选择
期望值：期望值是对不确定情况下各种可能出现的 结果的加权平均值，权数是概率。
E（X） = P×X1＋（1－P）×X2
方差：所谓风险，指预期中的结果无法实现的可能 性，不确定就是风险。在这里，风险用各种预期的 结果偏离期望值的区域大小来衡量，用方差来作为 测量尺度。各种可能结果与期望值之间的差称为离 差，计算出离差后，再计算平均离差（用概率进行 加权平均），比较两种情况下的平均离差，大者风 险大。由于离差有正负，所以方差就是离差平方后 再加权平均，然后再开方得到标准差，比较方差或 标准差大小即可知风险大小。
风险溢价或称风险贴水：指风险规避型者为规避风 险而愿意付出的代价，即在等效用条件下（收入确 定情况下之效用与收入不确定情况下之效用相等） 愿意接受的收入差额。
4.3
降低风险的方法
（1）多样化。多样化策略就是不把鸡蛋放在一个篮子里。多 样化策略不是消除风险而是分散风险。多样化的要诀是找到此 消彼长的对象，才能东方不亮西方亮。比如，股市行情的周期 与房产市场周期此起彼伏的，那么家庭资产分布就应该根据这 一特点来确定。 （2）保险：保险是现实生活中花小钱来规避可能发生的巨大 风险的一种有效策略。如航空意外险，虽然飞机发生事故的概 率非常小，但一旦发生，对某个特定的受损者就是100%。所 以你愿意为此付费来化解风险。而对保险公司而言，概率是不 会轻易改变的，所以赔付数额是可以估计的。保险与不确定性 （3）增加信息量：增加信息量可以降低不确定性，比如工程 项目招投标。投标的不确定性和中标之后的获利前景使一些单 位愿意高价购买内部信息。信息的价值 ＝ 完全信息条件下收 益的期望值 － 不完全信息条件下收益期望值。 4.4 对风险资产的需求
马斯克莱尔 微观经济学 第6章 不确定下的选择
一阶随机占优不意味着优分布的每个可能收 益均大于劣分布的每个可能收益。
一阶随机占优意味着F下的期望支付大于G 下的期望支付，但反之不对。
二阶随机占优
具有相同期望值的分布F()和G()，如果每个风险规避者 均认为F优于G，我们说G比F风险更大。
定义6.D.2 对于任意两个具有相同期望值的分布F和G， 如果对于每个非递减的凹函数u，我们均有
资产是一种对未来金融收益的可分的索取权。有
两种资产，一种是安全资产，投资1美元可收
益1美元；一种是风险资产，投资1美元可收益
z美元的随机收益。随机收益z的分布函数F(z)，
假设该分布满足
zdF (z) ；1 也就是说，
其期望收益大于安全资产。
个人可用于投资的初始财富为w，可以在两种资 产之间进行分配。
命题6.C.2 上述5个定义的更风险规避关系是等价的。
例6.C.2续 安全资产和风险资产的资产组合问题。 假设有两个人，他们的伯努利效用函数分别为u1和 U2。1*,2* 分别表示他们在风险资产上的最优投资。
我们将证明，如果u2比u1更规避风险，则 2* 1*
不同财富水平之间的比较
定义6.C.4 如果rA(x,u)是x的递减函数，则 称货币伯努利效用函数u显示出递减的 绝对风险规避。
递减绝对风险规避的假设可以导出许多其他的关于 风险承担行为的结果。
定义6.C.5 给定一个伯努利效用函数u，在x处的相对 风险规避系数为 rR (x,u) xu ''(x) / u '(x) xrA(x,u)
命题6.C.4 对于一个定义在货币数量上的伯努利效用 函数u而言，下述条件是等价的： 1. rR(x,u)在x上递减； 2. 只要x2<x1, u2(t)=u(tx2)就是u1(t)=u(tx1)的一个凹 变换。 3. 任给t>0上的一个风险F(t)，确定性等价
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x，
6．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 假设彩票的结果空间为 A = {a1 , a2 ,… a n } ，证明或者举出反例 说明下面两种消费者面对不确定性时作选择的方式是否满足独立公理： (1) 标准 I： 比较出现好的结果的概率： 首先将集合 A 划分成好的结果 G 和坏的结果 B 两 个子集， A = G ∪ B ，且 G ∩ B = ∅ 。对于任意两个彩票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和
52
U ( L3 ) = 0.75u ($10) + 0.25u($ − 10) = 0.75 , U ( L4 ) = 0.5u ($10) + 0.5u ($0) = 0.5 + 0.5a ， 因为 a ∈ (0.5,1) ， 所以 0.75 < 0.5 + 0.5a ， U ( L3 ) < U ( L4 ) 。故该消费者更偏好 L4 。
∑
n i =1
p(ai )u (ai ) = ∑ a ∈G p(ai ) ，彩票 q 的期望效用为 ∑ a ∈G q(ai ) ，
i i
a2 ， 根 据 该 标 准 ， L1 = (1 a1 ,0 a2 ) 应当严格优于 L2 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ，考虑彩票 L3 = (0 a1 ,1 a2 ) ， 对于复合彩票 L4 = (0.5 L1 ,0.5 L3 ) 和 L5 = (0.5 L2 ,0.5 L3 ) ，假如独立公理成立，应 当有 L4 L5 ，但是根据标准 II， L4 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ∼ L5 = (0.25 a1 , 0.75 a2 ) ，即 L4 与 L5 无差异，矛盾。
q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ，其中 ∑i =1 p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n n
q
当且仅当
∑
ai ∈G
p(ai ) > ∑ a ∈G q(ai ) 。
i
(2) 标准 II：比较可能出现的最坏的结果：不失一般性，假设 a1
答：(1) 对于任意一个定义在结果空间为$10, $0，和$‐10 的彩票，均可以表示成如下形式： L = ( p1 $10, p2 $0, p3 $ − 10) ，其中 p1 , p2 , p3 ≥ 0 ，且 p1 + p2 + p3 = 1 。则该消 费者的期望效用为 U ( L) = p1u ($10) + p2u ($0) + p3u ($ − 10) 。我们接下来要找满足题 意的三个贝努利效用 u ($10) ， u ($0) ， u ($ − 10) 。因为该消费者认为 L1 优于 L2 ，所 以我们有 0.5u ($10) + 0.5u ($ − 10) < u ($0) ，故可以令 u ($10) = 1 ， u ($ − 10) = 0 ， u ($0) = a ，其中 a ∈ (0.5,1) 。 (2) 根据(1)中构造的效用函数， 我们可以比较彩票 L3 和 L4 的效用值得到消费者的偏好：
53
α P + (1 − α )Q 。即由 P Q 可得 P α P + (1 − α )Q Q 。 考虑任意的 α , β ∈ (0,1) ，如果 α = β ，显然有 α P + (1 − α )Q ∼ β P + (1 − β )Q 。 故不失一般性，假设 α > β ，则注意彩票 β P + (1 − β )Q 可以表示为 α P + (1 − α )Q 和 Q β β 的 复 合 彩 票 。 特 别 地 ， β P + (1 − β )Q = α [α P + (1 − α )Q ] + (1 − α )Q 。 因 为
1 − p 的概率使他的财富变为 w2 ，请问当他的初始财富为多少时，他会认为保持原有财
富不变和接受上面的彩票无差异？ 答：如果该消费者认为接受上面的彩票和保持原有财富不变无差异，我们有如下关系式，
w1w2 p 1− p 1 + = ，所以他的初始财富 w 应满足： w = 。 (1 − p)w1 + pw2 w1 w2 w
j −1
j j
p ，因此，这个彩
ln 2 。 p
1
∑
∞ j =1
∞
j =1
(1 − p)
j −1
p × 2 = ∑ j =1 0.5 × 2 = ∞ 。
j
∞
j
∑
(1 − p) j −1 p × ln(2 j ) = p∑ j =1 j (1 − p) j −1 × ln 2 =
a2 a n ，对任意 彩票 g ，令 a ( g ) 为在彩票 g 中可能出现的最坏的结果(即出现 a ( g ) 的概率大于 0) 。比 较 任 意 两 个 彩 票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和 q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ， 其 中
P
α P + (1 − α )Q α P + (1 − α )Q
Q ， 所 以 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 。结论得证。
β α
β [α P Leabharlann (1 − α )Q] + (1 − α )Q ， 即
8．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 考虑不断重复地掷一枚硬币，假设每次出现正面的概率为 p ， 一个消费者面临如下的彩票：如果一直掷到第 j 次才第一次掷出正面，那么该消费者将 得到 2 元钱。 (1) 当 p = 0.5 时，这个彩票的期望收益是多少？ (2) 假设该消费者的期望效用函数为 u ( w) = ln( w) ，那么彩票给他的期望效用是多少？ (3) 该消费者愿意以至少多少钱的价格出售此彩票？ 答：(1) 第一次出现硬币正面的事件发生在第 j 次投掷的概率为 (1 − p) 票带给消费者的期望收益为： (2) 此彩票的期望效用为：
U ( Lmax ) = 1 ， 如果他认为以 1 的概率得到 B 和以 0.6 的概率得到 A 以 0.4 的概率得到 C 无差异，分别计算彩票 (0,1, 0) , (0.6, 0, 0.4) 和 (0.3, 0.5, 0.2) 的期望效用。 答：(1) Lmax = (1,0,0) ， Lmin = (0,0,1) 。 (2) α (1, 0, 0) + (1 − α )(0, 0,1) = (0.6, 0, 0.4) ，所以 α = 0.6 。 (3) 根据题意， U ((0,1,0)) = U ((0.6,0,0.4)) = 0.4U ( Lmin ) + 0.6U ( Lmax ) = 0.6 , U ((0.3, 0.5, 0.2)) = 0.5U ((0,1, 0)) + 0.5U ((0.6, 0, 0.4)) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.6 = 0.6 。
2．[简单] (Varian, 1992) (1) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = w 。 假设他的初始财富为 8 元，现在这个消费者拥有一张彩票，这张彩票以 0.5 的概率给他 带来 8 元的收入，以 0.5 的概率给他带来 1 元的收入，计算该消费者的期望效用。该消 费者愿意最低以多少钱将这张彩票卖出？ 答：该消费者的期望效用为 0.5 8 + 8 + 0.5 8 + 1 = 3.5 。假设该消费者愿意以 P 的价格卖 出这张彩票，我们有如下关系式： 8 + P = 3.5 ，故 P = 4.25 。 3．[简单] (Varian, 1992) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = −1/ w ， 假设该消费者的初始财富为 w ，他面对的彩票为以 p 得概率使他的财富变成 w1 ，以
7．[中等] (Rubinstein, 2007) 假设偏好 满足 vNM 期望效用函数的公理，对于任意两个彩票
因此标准 I 等价于用上面的期望效用去比较彩票。 (2) 标 准 II 不 满 足 独 立 公 理 。 反 例 如 下 ： 假 设 n = 2 ， a1
P 和 Q ，证明如果 P Q ，那么 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 当且仅当 α ≥ β ，其 中 α , β ∈ (0,1) 。 答：假设 P Q ，对于任意的 α ∈ (0,1) ，根据独立公理，我们有 α P + (1 − α )Q Q ，以及
∑
n i =1
p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n
q 当且仅当 a ( p )
a (q ) 。
答：(1) 标准 I 满足独立公理。因为我们可以构造出满足此选择标准的 vNM 期望效用函数， 而期望效用满足独立公理。令 u (ai ) = 1 ，如果 ai ∈ G ； u (ai ) = 0 ，如果 ai ∈ B 。则彩 票 p 的期望效用为
4．[简单] (William Sandholm, 2006) 一个消费者目标是最大化他的期望效用，如果该消费者 在面对如下两个彩票 L1 和 L2 时，他更偏好于 L2 ： L1 = (0.5 $10, 0 $0, 0.5 $ − 10) ，