考研数学模拟卷数三答案

2013考研数学模拟试卷一【数三】解析

一、选择题 (1) D

解：.15

)

sin 1(cos 55sin 5lim lim

sin 10

0≠=

+⋅

=→→e

x x x

x

x

x x βα

（2）B 解：由0()1

lim

01cos x f x x →-=-，0lim(1cos )0x x →-=，得0

lim(()1)0x f x →-=，而由()f x ''连续知()f x 连续，所以

lim ()(0)1x f x f →==.

于是2

200()(0)()11cos (0)lim

lim 01cos x x f x f f x x x f x x x x

→→---'==⋅⋅=-， 所以0x =是()f x 的驻点.

又由0

1x →''=

，0

1)0x →=，

得0

lim(()1)(0)10x f x f →''''-=-=，即(0)10f ''=>，

所以()f x 在点0x =处有(0)0f '=，(0)10f ''=>， 故点0x =是()f x 的极小值.应选（B). （3）B

解：当01p <≤时，由积分中值定理得

1

1sin()12(1)sin()11(1)

n

n n p p p n

n n n x dx x dx x ππξπξ++-==+++⎰

⎰，(,1)n n n ξ∈+， 所以1

sin()22

|

|1(1)((1)1)

n p p p n

n x dx x n ππξπ+=>++++⎰

，(,1)n n n ξ∈+，

而22

~()((1)1)p p n n n ππ→∞++，1

2p

n n π∞

=∑发散，所以原级数非绝对收敛. 又1

sin()2

|

|0()1(1)

n p p n

n x dx n x ππξ+=→→∞++⎰

，

而(,1)n n n ξ∈+，即1

sin()

|

|1

n p n

x dx x π++⎰

单调减少.

由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B ）. (4) D

解：记⎰

=

2

)(dx x f A 为常数，于是有8)(='x f A ，即A

x f 8

)(=

'，两边积分得 C x A x f +=

8)(，由0)0(=f 得0=C ，从而x A

x f 8)(= 于是A xdx A dx x f A 16

8)(2020===⎰⎰，即4±=A ，故4)(20±==⎰A dx x f 选（D ）

（5）A

解：易知0=Bx 的解是0=ABx 的解。当A 列满秩时，即n A r =)(时，齐次线性方程组0=Ax 只有零解。于是，若0x 为0=ABx 的任一解，即00=ABx ，则一定有00=Bx ，从而0x 也为0=Bx 的解，故组0=Bx 与0=ABx 同解。

（6）C

解：A =2x; A 特征值：2,1,x ；对应*A 特征值为：x ，2x ，2；解得x=-1或-2 (7) B

解：因为aX bY -服从正态分布，股根据题设1

()2

P aX bY μ-<=

知， ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=，从而有1a b -=，显然只有（B ）满足要求。

（8）B

解：B A ∴⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,0005.15.011102115.15.0111

0 成立。

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 1 解：

设2

cos ()t x

f x e dt -=

+⎰

⎰

，

则2

1

(0)0t f e dt -=

<⎰

，()02

f π

=>，

由介值定理知，存在0(0,

)2

x π

∈，使0()0f x =.

又2

cos ()sin x f x e x -'=⋅

1>，2

cos |sin |1x e x -⋅≤， 故()0f x '>，()f x 严格单调增加，()0f x =只有唯一的根0x .

（10）解：du u dt t x y x

u

t x x

⎰⎰=-=-=00sin )sin(，x y sin ='，1)2

(=π

'y ，⎰π

==π201sin )2(udu y ，

故过)1,2

(π

处的切线方程为2

1π

-

=-x y

（11）解：由222=∂∂y z 知

)(21x C y y z +=∂∂，由x x f y =')0,(得x x C =)(1，于是x y y

z

+=∂∂2， 从而)(22

x C xy y z ++=，又1)(1)0,(2=⇒=x C x f ，故12

++=xy y z