最短路径问题课件
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《勾股定理的应用-最短路径问题》课件
举一反三
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B
2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入
合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B
2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入
合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
最短路径问题 课件
课题学习 最短路径问题
知识点1：两点在直线异侧时的最短路径问题 【例1】 如图1-13-30-1，在直线l上找一点P，使得 PA+PB的和最小.
解：答图13-30-1,点P即为所求.
知识点2：两点在直线同侧时的最短路径问题 【例2】 如图1-13-30-3,已知直线l和l外两点A,B， 点A,B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且 使PA+PB最短．
解：如答图13-30-6，作点A的对称点A′， 连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC， 点C即为所求．
6. 如图1-13-30-9，正方形网格中每个小正方形边 长都是1．在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小.
略.
7. 如图1-13-30-10，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使 PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）
略.
8. 如图1-13-30-11，∠XOY内有一点P，请在射线OX上 找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
解：如答图13-30-7,作点P关于OX对称的点 P1，关于OY对称的点P2，连接P1P2，交OX， OY于点M，N，则M,N两点即为所求．
9. 如图1-13-30-12，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边 上的高，P是AB边上的一点，请在高AD上找一点E， 使得△PEB的周长最短．
解：作图略, 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B与直线l交于点P， 则P点即为所求．
4. 如图1-13-30-7，直线l旁有两点A，B，在直线上 找一点CA，B两点的距离相等．
解：如答图13-30-5,点C,点D即为所求.
5. 如图1-13-30-8，l为某河流的南岸线，一天傍晚 某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家 B处，牧童想以最短的路程回家．请你在找中画出牛 饮水C的位置．
知识点1：两点在直线异侧时的最短路径问题 【例1】 如图1-13-30-1，在直线l上找一点P，使得 PA+PB的和最小.
解：答图13-30-1,点P即为所求.
知识点2：两点在直线同侧时的最短路径问题 【例2】 如图1-13-30-3,已知直线l和l外两点A,B， 点A,B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且 使PA+PB最短．
解：如答图13-30-6，作点A的对称点A′， 连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC， 点C即为所求．
6. 如图1-13-30-9，正方形网格中每个小正方形边 长都是1．在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小.
略.
7. 如图1-13-30-10，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使 PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）
略.
8. 如图1-13-30-11，∠XOY内有一点P，请在射线OX上 找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
解：如答图13-30-7,作点P关于OX对称的点 P1，关于OY对称的点P2，连接P1P2，交OX， OY于点M，N，则M,N两点即为所求．
9. 如图1-13-30-12，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边 上的高，P是AB边上的一点，请在高AD上找一点E， 使得△PEB的周长最短．
解：作图略, 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B与直线l交于点P， 则P点即为所求．
4. 如图1-13-30-7，直线l旁有两点A，B，在直线上 找一点CA，B两点的距离相等．
解：如答图13-30-5,点C,点D即为所求.
5. 如图1-13-30-8，l为某河流的南岸线，一天傍晚 某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家 B处，牧童想以最短的路程回家．请你在找中画出牛 饮水C的位置．
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
课件_人教版数学八年级上册1 最短路径问题优秀精美PPT课件
A
B
于点C． 则点C 即为所求．
C
l
你能用所学的知识证明AC +CB最短吗？
B'
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，C′B，C′B′．
由轴对称的性质知，
CB =CB′，C′B=C′B′．
∴ AC +C B= AC +C B′= AB′，
AC′+C′B= AC′+C′B′．
A
在△AB′C′中，
·
AB′＜AC′+C′B′， ∴ AC +CB＜AC′+C′B．
C′ C
B
·
l
即 AC +CB 最短．
B′
问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
利用了轴对称的有关知识， 把两点在直线同侧问题转化为 两点在直线异侧问题。从而用 “两点之间，线段最短”
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A到B地的路程为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则A到B地的路程为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
13.4课题学习 最短路径问题 根据：两点之间线段最短.
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
∴ AC +CB＜AC′+C′B．
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》精品课件(共15张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.学会轴对称变换知识的应用，提高解决实际问题 的能力.
2.通过独立思考，合作探究，学会求最值问题. 3.感受数学在实际生活中的巨大作用，享受成功学 习的乐趣.
重点：应用轴对称解决实际问题. 难点：如何应用轴对称解决实际问题.
阅读课本P85-87页内容，了解本节主要内容.
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
应如何建？
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
垂线段线段ຫໍສະໝຸດ 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
探究一：在直线上找一点，使它到直线外两点距离和最小
1.点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短.
2.由上面情景导入，当A、B两点在直线l的同侧时， 又如何求解.
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
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根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
-最短路径问题课件
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
C
① ②
D
E
③
A
B
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。 P
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A · C′
C
B ·
l
B′
A·
M
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两
A· M
C
N D E B
(Ⅲ)一点在两相交直线内部 已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，
使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 D B C E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形， 使三角形周长最小.
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
A C
B l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
B · A ·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？
A·
B ·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″， 分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
谢谢
B · A ·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
A ·
C
B ·
l
B′
探索新知 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
A ·
CB ·l NhomakorabeaB′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
岸是平行的直线，桥要与河垂直）
N E
B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
-最短路径问题课件
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
C
① ②
D
E
③
A
B
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。 P
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A · C′
C
B ·
l
B′
A·
M
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两
A· M
C
N D E B
(Ⅲ)一点在两相交直线内部 已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，
使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 D B C E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形， 使三角形周长最小.
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
A C
B l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A · C′
C
B ·
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
追问1 对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
B · A ·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？
A·
B ·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″， 分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
谢谢
B · A ·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
A ·
C
B ·
l
B′
探索新知 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
A ·
CB ·l NhomakorabeaB′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
岸是平行的直线，桥要与河垂直）
N E
B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．