0103n阶行列式的计算
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
计算n阶行列式的若干方法举例
9．拆开法 例14 计算n阶行列式
1 x 1y 1 D n
2 x 1y 2
nx 1y n nx2yn nxn yn
1x2 y 2x2 y2 1 1xn y 2xn y2 1
a 0 D 0 1 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 1 0 0 a
解： 按第一行展开，得
a 0 D a 0 a 0 0 0 0 0 0 0 a 1
1 n
0 a 0 0 0 a 0 0 0 1 0 0
0 0 a 0
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展 开，则可得到
1 12 31
112 31
D
0 2 0 4 1 0 21 53 00 2 2 2
0 2 0 4 1 02 0 41 4 2 00 10 2 0010 2 0 21 53 00 2 2 2 00 112 00 2 22
1 12 31 1 12 31 4 3 03 0 4 1 02 0 4 1 5 2 3 5 2 4 1 2 1 1 6 1 2 . 00 10 2 00 10 2 00 0 10 00 0 10 00 0 2 6 00 0 0 6
0 1 0
0 0 x a2
0 0 1 a1 x
an1 an2
例13 计算行列式
cos 1 D n 0 0 0 1 2cos 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2cos
2cos
2cos
cos 1 1 2 cos Dn 2 cos Dn1 (1)
2 xn xn
n 1 n2 n 1 n2 x x x x 1 1 2 2
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式：
1、矩阵行列式：当一个矩阵中元素按行（列）排列时，这个矩阵的行（列）式就是由这个矩阵中各元素的多元一次积组成的式子。
2、三阶矩阵行列式计算公式：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式的计算公式为：
△=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32 -
（a13·a22·a31+a11·a23·a32+a12·a21·a33）
其中aij表示矩阵的第i行第j列的元素的值。
3、三阶矩阵行列式的展开计算方法：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式一般用展开的方法来计算。
展开是把一元二次方程表达式分解成多个定义同等的一元二次式。
三阶矩阵行列式计算步骤如下：
（1）选取矩阵中一行或一列，并写出矩阵行列式的展开式；
（2）把选出的行或列换成与其他行（列）不同的其他行（列）；
（3）根据求行列式的性质，把展开式中系数的符号颠倒；（4）重新组合，用得到的新式子计算矩阵行列式的值；（5）经过几次混合计算，最终可以求得矩阵的行列式的值。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支，而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量，它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中，行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过如下公式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式，最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，如果A是一个可逆矩阵，那么方程组的解可以表示为：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式，det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值，可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下步骤计算：当n=1时，行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时，可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式，然后递归计算下去，直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外，行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法，比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-L LM M M M L L解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
n阶行列式万能公式
n阶行列式万能公式在数学的世界里，行列式可是个让人又爱又恨的家伙。
特别是当涉及到 n 阶行列式的时候，那更是让人头大。
不过别担心，今天咱们就来聊聊 n 阶行列式的万能公式。
先来说说什么是行列式。
简单来讲，行列式就是一个数学表达式，它可以用来解决很多线性代数的问题。
比如说判断一个方程组有没有解，解是唯一的还是有无数个。
那 n 阶行列式又是啥呢？其实就是一个 n×n 的矩阵所对应的行列式。
比如说 2 阶行列式，就是一个 2×2 的矩阵对应的行列式；3 阶行列式呢，就是 3×3 的矩阵对应的。
以此类推，n 阶行列式就是 n×n 的矩阵对应的啦。
n 阶行列式的计算方法有很多种，其中有一种被称为“按行展开”的方法。
我记得我当初上学的时候，为了搞懂这个方法，可是费了好大的劲。
有一次上数学课，老师在黑板上写了一个 4 阶行列式，让我们自己计算。
我看着那一堆数字，脑袋都大了。
我就按照老师讲的按行展开的方法，一步一步地算。
先选一行，然后把这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式，再把这些乘积加起来或者减起来。
可是我算着算着就乱了，一会儿忘了正负号，一会儿又算错了代数余子式。
我旁边的同桌也和我一样，愁眉苦脸的。
这时候老师走过来，看到我一脸迷茫的样子，笑着说：“别着急，慢慢来。
你看这个元素，它对应的代数余子式应该这样算……”老师耐心地给我讲解，我这才恍然大悟，原来我之前有一步算错了。
经过一番努力，我终于算出了答案，那一刻，心里别提多有成就感了。
说回 n 阶行列式的万能公式。
其实严格来说，并没有一个真正意义上适用于所有情况的万能公式。
但是通过一些方法和技巧，我们可以把复杂的 n 阶行列式转化为比较简单的形式来计算。
比如，如果行列式中有很多零元素，那我们就可以利用这个特点来简化计算。
还有，如果行列式的某一行（列）是另外一行（列）的倍数，那也可以通过一些变换来简化。
另外，还有一种叫做“三角化”的方法。
n阶行列式的若干计算方法
n 阶行列式的若干计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ijji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。