n阶行列式的计算方法

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1定义法 (1)2利用行列式的性质 (2)3化三角形行列式 (3)4行列式按一行（列）展开 (4)5 升阶法 (5)6 递推法 (6)7 范德蒙德行列式 (7)8 拉普拉斯定理 (7)9 析因法 (8)小结 (10)参考文献 (11)n阶行列式的计算方法学生姓名:孙中文学号：20120401217数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导老师:王改霞职称：讲师摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征.关键词：行列式；定义；计算方法Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method.Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method引言行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法.1定义法n阶行列式计算的定义：n D =nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ在这里∑nj j j ...21表示对所有n 级排列求和.n j j j 21是，， 3,2,1n 的一个排列，当n j j j 21是偶排列时，()()n j j j 211-（（τ是正号；当n j j j 21是奇排列时，()()n j j j 211-（（τ是负号.n nj j j a a a 2121是D 中取自不同行不同列的n 个元素的乘积. 例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！=24项.但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了.展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零.因此只需考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑1,2,3432===j j j 这些列指标的项.这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而()64321=τ，这一项前面的符号应该是正的.所以2443210004003002001000=⋅⋅⋅=2利用行列式的性质总结行列式的性质，可分为以下四类(1) 使行列式的值不变的有两条性质：行列式的行与列互换;把一行的倍数加到另一行上.(2) 使行列式的值为零的有三条性质：两行对应的元素相同；行列式中有一行为零；两行成比例； (3) 使行列式的值反号的有一条性质：把行列式中两行的位置互换.(4) 其他性质：某行的公因子可以提取到行列式符号外； 这些性质和行列式的计算定义构成了行列式计算的基本构架 例2 计算下面n 阶行列式的值nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=212221212111解 当n =1时111b a D +=. 当n =2时，()()1221221221112b b a a b a b a b a b a D --=++++=.当3≥n 时，011112121212111=------+++=a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n nn3化三角形行列式化三角形行列式关键在于如何把行列式转化为上（下）三角形行列式，在这里我们引入行阶梯型矩阵的定义，有了矩阵这一工具转换变得很简单.矩阵和行列式是相辅相成的但是又是两种不同的概念. （1）三角行列式的值与其对角线上元素的乘积相等.nn nnn n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a22112122211122211211==（2）同理，次三角行列式的值等于添加适当的正、负号的次对角线元素的乘积.()()11,21211,121,2111,22111,1111n n n n n nnn n n nn nn n nn a a a a a a a a a a a a a a a-------==例3计算下面n +1阶行列式的值na a a a D 01001011112101n =+，其中()n i a i ,,2,10 =≠解 ∏∑∑===+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=nj ni i j nni in a a a a a a a a D 11021101111114 行列式按一行（列）展开在使用这一计算方法时要引入余子式和代数余子式的概念.在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行与第j 列去掉，然后将剩下的()21+n 个元素按照之前的排列方法构成1-n 级的行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11-,11,1,11,1-1-,1-1,1-11,11,111+-+++++-++-—称为元素ij a 的余子式，记为ij M .当()ij ji ij M A +-=1时，称ij A 为元素ij a 代数余子式.只有这两个概念是不够的，还要了解下面这条行列式的值的定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即(),,2,122111111n i A a A a A a a a a a D in in i i i i nnn n=+++==(),,,2,12211n j A a A a A a nj nj nj j j j j =+++=例4 计算下面行列式53241-4-00132-025271021-35 解 05320041-4-00132-025271021-35()53241-4-0132-021-3521-52+=53241-4-132-52-⋅=66027-0132-10-=()()6627-2-10-⨯=()1080-12-42-20=⨯=这里第一步是按第5列展开，然后再按第一列展开，这样就归结到一个三级行列式的计算. 5 升阶法某些行列式直接计算比较麻烦，这时将原行列式增加一行（例），并确保在增加的基础上仍能保持原行列式的值不变，此时此行列式的计算便变得十分简便.这种计算行列式的方法叫做升阶法也叫加边法.例5证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++∑=ni i n na a a a a a a a 1213211111111111111111111111证明 将左边的行列式加一行一列，得1+n 级行列式左边nn a a a a ++++=-111111110111101111011111121nn a a a a 0100010001000111111121----=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑∑==n i i nni i a a a a a a a 1212111100000000011111 加边后的行列式的值不一定等于原行列式的值，不过两者之间存在一个关系.例如原行列式n D ，n D 行列式的值直接不容易求解，但很容易得到加边后的行列式1+n D 的值，两者之间存在C BD AD n n =++1的关系，我们可以根据这个关系求出行列式n D 的值.这个方法也是适用于升阶法的. 6 递推法递推法计算行列式是将已知行列式按行（列）展开成较低阶的同类型行列式（注：同类型行列式是指阶数不同但结构相同的行列式），找出n D 与1-n D 或n D 与1-n D 、2-n D （其中n D 、1-n D 、2-n D 的结构相同）的递推关系，然后利用这个关系得到行列式的值.例6 计算βααββαβααββααββα+++++=100000010001000n D解 ()βαβααββααβαββα+++-+=-100010000000111n r n D D 展开按()21---+=n n D D αββα所以 ()()[]()12232211D D D D D D D D n n n n n n n αβαββαβα-==-=-=------- n β=即()21-n 1--++=+=n n n n n D D D αβαβαβ()βαβαβααβαβααββ≠--=+++++=++---111221n n nn n n n当βα=时，()n n n D α1+= 7范德蒙德行列式范德蒙德行列式计算公式：()∏≤<≤----=ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a 1112112222121111例7 计算43214321432143cos 3cos 3cos 3cos 2cos 2cos 2cos 2cos cos cos cos cos 1111a a a a a a a a a a a a D =解4433332231134232221243214cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos 41cos 21cos 21cos 21cos 2cos cos cos cos 1111a a a a a a a a a a a a a a a a D --------=813243r r r r ++=()∏≤≤≤-=4143332313423222124321cos cos 8cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 1111i j j i a a a a a a a a a a a a a a如果一个行列式的结构符合范德蒙德行列式的结构形式，那么此时我们便可使用此种方法.但在做题中往往会遇到一些行列式它的结构类似于范德蒙德行列式的结构，但并不符合范德蒙德行列式结构的.这通常是一个计算方法的误区.还有一些行列式看起来不符合，但经过一番变形之后便可看出是范德蒙德行列式.所以在做题过程中要注意观察. 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理：设在行列式D 中任意取定了()11-≤≤n k k 个行.将行列式中这k 行元素所构成的所有k 级子式加上它们的代数余子式的乘积等于行列式D .这个定理可以看成是行列式按一行展开公式的推广， 拉普拉斯的四种特殊形式： （1）mm nn mm mnnn B A B C A ⋅=0（2）mm nn mmnm nnB A BC A ⋅=0（3）()mm nn mnmn mm nn B A C B A ⋅-=10 （4）()mm nn mnmmnn nmB A B AC ⋅-=10例8 计算n 阶行列式：αβββββαββββαααααλbb b D n =解 βαααββββααααααλ---=00000b D n()()βαβαβαββββαααααλ----+-=0000000021n b n()()()()2222000021-⨯-⨯---⋅-+-=n n n bn βαβαβαβααλ()()[]()212--⋅---+=n n ab n βαβλλα9 析因法利用多项式函数、多项式根的性质、定理等来计算行列式，这种方法就称为析因法.如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当做一个多项式()x f ，然后对行列式施行某些变换，求出()x f 的互素的一次因式，使得()x f 与这些因式的乘积()x g 只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较()x f 与()x g 的某一项的系数，求出C 的值，便可求得()x Cg D =.例9 用析因法求解如下：解 令 ()ax a aaa a a x a a a a ax x f ---=显然()()()02,02=--=a n f a f （各列之和为0），故()a n x a x 2,2-+-是()x f 的一次因式.又 =dxx df )(ax a a aa a a a x a x a a aa a a x a --+--001000011111100----=+++=--++n n n n nD D D D a a a x a a a a a x同理可得()()()()(),,33322221,1 ----=-=n n D n n n dx x f d D n n dx x f d ()(),31222D n n dxx f d n n -=-- ()()()1111!221D n D n n n dx x f d n n =--=-- 因此()()()(),02222===''='-a f a f a f n 而()()a n a f n !21=-. 即a 2是()x f 的1-n 重根，又因()x f 是x 的n 次多项式， 从而()()()[]a n x a x c x f n 221-+-=-，其中c 是待定系数，由行列式()x f 可以看出n x 的系数为1，故1=c .()()[]a n x a x D n n 221-+-=-析因法有时也叫线性因子分离法.小结以上是n 阶行列式的几种计算方法，在实际运用中不同的n 阶行列式有不一样的求法，因此在解题之前要先判断好行列式的类型，在采用相对应的解题思路.另外虽然n 阶行列式的计算有一定的规律，但也不能生搬硬套，要学会灵活应用，某些题有多种解题方法我们要采用最简单的思路.只有在做题中多总结、归纳才能熟练掌握、运用这几种方法.参考文献[1]北京大学数学系几何与代数研究室代数小组编.高等代数（第三版）.[M].高等教育出版社，2003.[2]徐仲，陆全主编.高等代数导数·导学·（北大·第三版）.[M].西北工业大学出版社，2006.[3]苑文法，n阶行列式的计算.[N].湖北三峡学院学报，1999.[4]李师正主编，高等代数解题方法与技巧.[M].高等教育出版社，2004.[5]陈林，求n阶行列式的几种计算方法与技巧.[N].SCIENCE INFORMATIA,2007[6]陈黎钦，关于求解行列式的n种特殊的方法.[J].福建商业高等专科学校学报，2007.[7]史昱，关于行列式计算方法的讨论.[J].山东电力高等专科学校学报，2006.[8]田文平，行列式计算的常用方法.[J].工科数学，1994.[9]牛静，抽象行列式的几种计算方法.[N].科技咨询导报，2006.。