n阶行列式的计算方法

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1定义法 (1)

2利用行列式的性质 (2)

3化三角形行列式 (3)

4行列式按一行（列）展开 (4)

5 升阶法 (5)

6 递推法 (6)

7 范德蒙德行列式 (7)

8 拉普拉斯定理 (7)

9 析因法 (8)

小结 (10)

参考文献 (11)

n阶行列式的计算方法

学生姓名:孙中文学号：20120401217

数学与计算机科学系数学与应用数学专业

指导老师:王改霞职称：讲师

摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征.

关键词：行列式；定义；计算方法

Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method.

Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method

引言

行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法.

1定义法

n阶行列式计算的定义：

n D =

nn

n n n

n a a a a a a a a a 212222111211

=∑-n

n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)

()1(τ

在这里

∑

n

j j j ...21表示对所有n 级排列求和.n j j j 21是，， 3,2,1n 的一个排列，

当n j j j 21是偶排列时，()()n j j j 211-（（τ是正号；当n j j j 21是奇排列时，

()()

n j j j 211-（（τ是负号.n nj j j a a a 2121是D 中取自不同行不同列的n 个元素的乘积. 例1 计算行列式

00400300

2001000

这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！=24项.但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了.展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零.因此只需考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑1,2,3432===j j j 这些列指标的项.这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而()64321=τ，这一项前面的符号应该是正的.所以

2443210

004003002001

000=⋅⋅⋅=

2利用行列式的性质

总结行列式的性质，可分为以下四类

(1) 使行列式的值不变的有两条性质：行列式的行与列互换;把一行的倍数加到另一行上.

(2) 使行列式的值为零的有三条性质：两行对应的元素相同；

行列式中有一行为零；两行成比例； (3) 使行列式的值反号的有一条性质：把行列式中两行的位置互换.

(4) 其他性质：某行的公因子可以提取到行列式符号外； 这些性质和行列式的计算定义构成了行列式计算的基本构架 例2 计算下面n 阶行列式的值

n

n n n n

n

n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=

21222121211

1

解 当n =1时111b a D +=. 当n =2时，()()12212

2122

1112b b a a b a b a b a b a D --=++++=

.

当3≥n 时，01

111

212121211

1=------+++=a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n

n

3化三角形行列式

化三角形行列式关键在于如何把行列式转化为上（下）三角形行列式，在这里我们引入行阶梯型矩阵的定义，有了矩阵这一工具转换变得很简单.矩阵和行列式是相辅相成的但是又是两种不同的概念. （1）三角行列式的值与其对角线上元素的乘积相等.

nn nn

n n nn

n n a a a a a a a a a a a a a a a

22112122

2111

22211211==

（2）同理，次三角行列式的值等于添加适当的正、负号的次对角线元素的乘积.

()()11,21211,121,211

1

,22111,1111n n n n n nn

n n n n

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a a a a

-------==

例3计算下面n +1阶行列式的值