上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
2021-2022学年上海市浦东新区高三数学一模试卷含答案
浦东新区2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则||z = .2．函数()1f x =的反函数为1()f x -，则1(3)f -= .3．已知3cos 5θ=-，则cos2θ的值为 .4．已知集合{|11}A x x =-<< ，{|0}2xB x x =<-，则A B = .5．底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 .6．三阶行列式125143356中，元素2的代数余子式的值为 . 7．数列{}n a 的通项公式为21(110)12(11)n n n a n n -≤≤⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则lim n n a →∞= . 8．方程22log (1)log (1)1x x ++-=的解为 .9. 已知函数2()23f x x x m =+++，若()0f x ≥对任意的[1,2]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .10．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 .（用数字作答）11．已知(1,0)A -、(1,0)B、P ，点C 是圆221x y +=上的动点，则PC PB PC PA ⋅+⋅的取值范围是 .12．已知实数x y 、满足||||14x x y y +=，则|24|x y +-的取值范围是 .B二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知直线a 在平面β上，则“直线l ⊥a ”是“直线l ⊥β”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．10(1)x -的二项展开式中第4项是 （ ） （A ）3710C x （B ）4610C x （C ）3710C x - （D ）4610C x - 15．若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 （ ）（A ）（B ）（C（D 16．函数1()sin 2f x x =-，[,40]x t t ∈+零点的个数不可能是（ ） （A ）12个 （B ）13个 （C ）14个 （D ）15个三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知三棱锥P ABC -中，PA 、BA 、CA 两两互相垂直，且长度均为1． （1）求三棱锥P ABC -的全面积；（2）若点D 为BC 的中点，求PD 与平面PAC （结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()1f x x ax =++，a R ∈．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某水产养殖户承包一片靠岸水域．如图，AO 、OB 为直线岸线，1000OA =米，1500OB =米，3AOB π∠=，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB ，过弧AB 上一点P 按线段PA 和PB 修建 养殖网箱，已知23APB π∠=． （1）求岸线上点A 与点B 之间的直线距离；（2）如果线段PA 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB 上的网箱每米可获得30元的经济收益．记PAB θ∠=，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：24y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为32和3，求AB ； （2）若2AF AB BF +=，求k 的值；（3）点(,0)M t ，0t >，对任意确定的实数k ，若AMB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列n a ，若存在A R 使得数列na A 是递减数列，则称数列n a 是“A 型数列”． （1）判断数列1,3,1,2是否为“0型数列”； （2）若等比数列n a 的通项公式为n na q （*n N ），0q ，其前n 项和为n S ，且{n S }是“A 型数列”，求A 的值和q 的取值范围； （3）已知0k，数列n a 满足10a ，11nna k a （*n N ）．若存在A R ，使得 n a 是“A 型数列”，求k 的取值范围，并求出所有满足条件的A （用k 表示）．浦东新区2021学年度第一学期期末教学质量检测高三数学答案 2021.121．2． 4 3． 725-4． {|01}x x << 5． 12π 6． 3 7．2 8．9. [6,)-+∞ 10． 4511． [4,12] 12．[44)- 13． B 14． C 15．B 16． D17．解：（1）三棱锥P ABC -的全面积1332242S +=⨯+=…………………….6分（2）取AC 的中点，连接HD 和HP ， 因为PA ⊥平面ABC ，DH 在平面ABC 上， 所以PA DH ⊥，又因为DH AC ⊥ 所以DH ⊥平面PAC ，所以DPH ∠是PD 与平面PAC 所成角；……………………….10分 因为12DH =，PH =，所以tan DPH ∠=DPH ∠= 所以PD 与平面PAC所成角的大小为arctan ………………………14分18．解：（1）当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ， 任选x R ∈，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；………………………………….3分 当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+ 则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-；B0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；………………………….6分（2）函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞．证明：()1()f x g x x a x x==++， 任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <……………………….8分12121212121212121111()()()()(1)()()x x g x g x x a x a x x x x x x x x x x --=++-++=--=- ……………10分由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∈+∞，则121210x x x x ->； 所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <． …………………………12分函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞． ………………………………….14分19． 解：（1）AB ===岸线上点A 与点B之间的直线距离为米．…………………………….6分 （2）△PAB中，2sin sin sin()33PA PBππθθ==-，sin()3PA πθ⇒=-，PB θ=，（03πθ<<）………………8分设两段网箱获得的经济总收益为y 元，则4030sin()3y PA PB πθθ=+=-+[4sin()3sin ]sin )3πθθθθ=-+=+arctan θ=+……………………….12分当arctan 2πθ+=，即arctan (0,)23ππθ≈-时，……………………….13分max 55076y =≈（元） 所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．……………………….14分20． 解：（1）根据抛物线定义，3,32AF BF ==，∴92AB =. ……………4分.（2）直线l 的方程为()1y k x =-，()()()21,14.2y k x y x =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪⎨=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩()()2222240,3k x k x k ⇒-++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 0>∆， ………………5分()()1221242,41.5x x kx x ⎧+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⇒⎨⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩………………6分 12121,1,2AF x BF x AB x x =+=+=++，2AF AB BF +=，()()()11221221x x x x ⇒++++=+，()2121,6x x ⇒-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ …………8分221222458,33k k x x k k++⇒==， ………………9分 代入（5）得：224222458=178033k k k k k k++⋅⇒--=， ()21k ⇒=-舍或28k =，∴ k =±………………10分（3）∵ AMB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，∴ MA MB ⊥，0MA MB ⋅=， ………………11分()()1122,,0x t y x t y -⋅-=, ()()12120x t x t y y -⋅-+=,即()21212120x x t x x t y y -+++=，()()2121211y y k x x =--()2121214k x x x x =--+=-，（或者221212124416,4y y x x y y =⋅==-），∴ 2241240t t k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，224230t t k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ………………14分 2242120k ⎛⎫∆=++> ⎪⎝⎭， 120t t ⋅<，方程仅有一个正实数解，存在一个满足条件的点M . ………………16分.21．解：（1）1312，因此是的……………………………………………4分 （2）若1q，nS AnA ，不存在A R 使得数列nA 是递减数列，n S 不是“A 型数列”；若1q ，(1)(1)11n n n q q q q S q q --==--，因为{}n S 为递增数列，对于任意A ，存在N ，当n N >时，n nS AS A ，递增，不存在A ，n S 不是“A 型数列”；若01q，11n n q q S q q q -=+--，取1qA q=-，1n nq S Aq q，递减；综上，01q <<．…………………………….……10分 （3）（i ）若1k ，则10a ，21a ，31a k . 此时若存在AR 使得n a 是A 型数列，则11A AkA ，从而12A且1k ，矛盾………..12分（ii ）当01k时，首先证明0na （*nN ）. 用反证法.（猜出答案给2分）…14分 由题意，此时10a ，21a ，31a k. 因此，若存在*nN ，使得0na ，则4n .假设n m 为使得0n a 的最小正整数，则1mma a ，故11110mmma ka a k，而12221110m mmk a ka a kk ，与m 的最小性矛盾. 故0na （*nN ），从而11n na ka 对一切*n N 成立.据此，可解得111n n k a k. 故当11k时，11n nk a k ，即：na 为递减数列. 于是n a 为型数列…………………….16分再证明是唯一解. 用反证法.假设存在A 使得n a 是A 型数列.若A ，则由22211m m k a k 得，当2log 11k m Ak 时，21ma A . 故222212111m m mmk k a AAAa A k k ，n a A 不是递减数列，从而na 不是A 型数列. 同理可证A 时n a 也不是A 型数列……………………..18分综上，0,1k，相应的11Ak.。
上海市浦东新区2021届新高考最新终极猜押数学试题含解析
上海市浦东新区2021届新高考最新终极猜押数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 计算3121ii i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121ii i+=+-Q，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.2．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ；又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 3．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2xy =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易. 4．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 5．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 7．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D 【解析】 【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得. 【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=. 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.9．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积11S =，3a =2b =，则sin A 等于（ ） A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或1136【答案】C 【解析】 【分析】将112S =，3a =2b =，代入2222221[()]42c a b S a c +-=-225,9c c ==，再分类讨论，利用余弦弦定理求cos A ，再用平方关系求解. 【详解】已知2S =，a =2b =，代入S =2=， 即4212450c c -+= ， 解得225,9c c ==，当25c =时，由余弦弦定理得：222cos 210b c a A bc +-==，sin 10A ==.当29c =时，由余弦弦定理得：2225cos 26b c a A bc +-== ，11sin 6A ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.10．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f > B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f > C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f < D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】 【分析】 设()()x f x g x e=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '''--'==， 又由()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e'-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增，则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e=<<， 变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.11．已知i 是虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】故选 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a 、b 是实数，则a >b 是2a >2b 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 若某线性方程组的增广矩阵为(1282416)，则该线性方程组的解的个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 不确定3. 下列命题中正确的是( )A. 三点确定一个平面B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l ⊥αD. 若a 、b 、c 是三条直线，a//b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面4. 已知函数f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，则以下4个命题：①f(x)是偶函数；②f(x)在[0,+∞)上是增函数；③f(x)的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，g(x)=f(x)−a 存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. n →∞lim n 2n+1=______．6. 半径为2的球的表面积为______．7. 抛物线x 2=−4y 的准线方程为______．8. 已知集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2≤1}，则A ∩B =______．9. 已知复数z 满足z(1−i)=4(i 为虚数单位)，则|z|=______．10. 在△ABC 中，若AB =2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC =______．11. 函数f(x)=1+log 2x(x ≥4)的反函数的定义域为______．12. 在(x +√2)7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为______.(用数字作答)13. 正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE =AF ，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．14. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2，则数列{a n }的前n 项和为S n 为______． 15. 设函数f(x)=|x −a|−2x +a ，若关于x 的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为______．16. 对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =π2，A 1A =4，点M 为线段A 1A 的中点．(1)求直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 的体积；(2)求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．(结果用反三角表示)18. 已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω与f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，若f(A 2)=1，求sinB +sinC 的取值范围．19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n(n =1,2，3，…，12)个月对某种食材的需求总量S n (公斤)近似地满足S n ={635n(1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12).为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．(1)如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？(2)若每月初等量进货p(公斤)，为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20. 已知椭圆C 1：x 24+y 2=1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．(1)求椭圆C 1的焦距；(2)点Q(√2,√22)为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；(3)已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2−y 2=1在第一象限的交点为M(x M ,y M )，椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点(x,y)组成曲线C.若点N 是曲线C 上一动点，求NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知函数f(x)的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数．(1)判断f 1(x)=x 2−4x ，(x ∈[1,4])与f 2(x)=|x −1|+|x −2|，(x ∈[1,4])是否是非减函数？(2)已知函数g(x)=2x +a2x−1在[2,4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．(3)已知函数ℎ(x)在[0,1]上为非减函数，且满足条件：①ℎ(0)=0，②ℎ(x 3)=12ℎ(x)，③ℎ(1−x)=1−ℎ(x)，求ℎ(12020)的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，则a>b是2a>2b的充要条件，故选：C．根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，由充分必要条件的定义即可得答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．3.【答案】D【解析】解：对于选项A：不共线的三点确定一个平面，故A错误，对于选项B：由墙角模型可知，显然B错误，对于选项C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不垂直，故C错误，对于选项D：因为a//b，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面α，又c与a和b都相交，所以c也在平面α内，即直线a、b、c共面，故选项D正确，故选：D．利用平面的基本性质及推论可知A，B错误，D正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C错误．本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．4.【答案】B【解析】解：①因为f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，所以f(1)=1，f(−1)=−1， 所以f(x)不是偶函数，故错误；②因为f(3)=3<f(√5)=5，所以f(x)在[0,+∞)不是增函数，故错误；③因为f(x)={x 2,(x 为无理数)x,(x 为有理数)，显然F(x)的值域中不含负无理数， 故f(x)的值域不为R ，故错误；④g(x)=f(x)−a 的零点即x =a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数，对于x =a ，x 为有理数，必有解x =a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x =±√a 或无解，故g(x)=f(x)−a 有三个零点或一个，故正确；故选：B ．①由偶函数的定义，举例即可判断；②举例即可判断；③F(x)的值域中不含负无理数，故可判断；④根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．5.【答案】12【解析】解：n →∞lim n 2n+1=n →∞lim 12+1n =12，故答案为：12．由n 2n+1=12+1n ，再利用极限运算法则即可得出．本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题．6.【答案】16π【解析】解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π故答案为：16π利用球的面积公式，直接求解即可．本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．7.【答案】y=1【解析】解：抛物线x2=−4y焦点在y轴的负半轴上，则p2=1，∴抛物线的焦点坐标为(0,−1)，准线方程：y=1，故答案为：y=1．由抛物线x2=−4y焦点在y轴的负半轴上，则p2=1，即可求得抛物线的准线方程．本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．8.【答案】(0,1]【解析】解：∵A={x|x>0}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B=(0,1]．故答案为：(0,1]．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】2√2【解析】解：复数z满足z(1−i)=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2√2直接利用复数的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】√6【解析】解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．由三角形的内角和即B ，C 的值，求出A 角的值，再由正弦定理可得边BC 的值．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．11.【答案】[3,+∞)【解析】解：函数f(x)=1+log 2x(x ≥4)的值域为[3,+∞)，故其反函数的定义域为[3,+∞)．直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】12【解析】解：因为(x +√2)7展开式的通项为T r+1=C 7r x 7−r (√2)r =C 7r 2r 2x 7−r ， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r ∈[0,7](r ∈N)，故有r =0，2，4，6满足题意，所以所求概率P =48=12，故答案为：12．先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 13.【答案】[0,1]【解析】解：取EF 中点为O ，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2， 因为正方形的边长为2，所以AO =√2,OE ∈[1,√2]，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,1]． 故答案为：[0,1]．由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．14.【答案】S n =2n+1−2【解析】解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ，数列{a n }满足∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2，则有a n+1−S n =2， 当n =1时，有a 2−S 1=a 2−a 1=2，①当n =2时，有a 3−S 2=a 3−(a 1+a 2)=2，②联立①②可得：a 1=2，q =2，则数列{a n }的前n 项和为S n =a 1(1−q n )1−q =2n+1−2， 故答案为：S n =2n+1−2．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由∣∣∣a n+1S n 11∣∣∣=2变形可得a n+1−S n =2，令n =1和n =2可得a 2−S 1=a 2−a 1=2和a 3−S 2=a 3−(a 1+a 2)=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题．15.【答案】{1−2√22,1+2√22,2}【解析】解：由方程f(x)=1，得|x −a|+a =2x +1有两个不同的解，令ℎ(x)=|x −a|+a,g(x)=2x +1，则ℎ(x)=|x −a|+a 的顶点(a,a)在y =x 上，而y =x 与g(x)=2x +1的交点坐标为(2,2)，(−1,−1)，联立{y =−x +2a y =2x +1得x 2+(1−2a)x +2=0，由△=(1−2a)2−8=0，解得a =1−2√22或1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得|x −a|+a =2x +1有两个不同的解，则实数a 的取值范围是a =1−2√22或1+2√22或2． 故答案为{1−2√22,1+2√22,2}．由题意，转化为两个函数问题，即设ℎ(x)=|x−a|+a,g(x)=2x+1，作出图，即可求解实数a的取值构成的集合．本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题．16.【答案】[√22,1)【解析】解：2√2a+√a2+9b25a+3b =2√2+√1+9(ba)25+3⋅ba，故可看作A(3×ba ,√1+9(ba)2)与B(−5,−2√2)两点的斜率，其中点A在y2−x2=1(x>0,y>0)上，故k AB最小值在相切时取得，设y+2√2=k(x+5)，联立{y+2√2=k(x+5)y2−x2=1，由△=0，解得k1=√22,k2=13√2舍)当ba →+∞时，kAB=2√2+√1+9(ba)25+3×ba→1，故2√2a+√a2+9b25a+3b 的取值范围是[√22,1)．故答案为：[√22,1)．首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：基本不等号式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵S△ABC=12×1×1=12，∴V=S△ABC⋅A1A=12×4=2．(2)∵BC//B1C1，∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，在△MBC中，BM=CM=√5，BC=√2，由余弦定理得，cos∠MBC=BM2+BC2−CM22BM⋅BC =√1010，∴∠MBC=arccos√1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【解析】(1)由V=S△ABC⋅A1A，即可得解；(2)易知∠MBC或其补角即为所求，再在△MBC中，由余弦定理求得cos∠MBC的值，即可．本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f(x)=sin(2x+π6)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．(2)在△ABC中，若f(A2)=1，由(1)得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0<A<π，所以A+π6=π2，解得：A=π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6；所以12<sin(B+π6)≤1,√32<√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC的取值范围(√32,√3]．【解析】(1)由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；(2)由(1)及f(A2)=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.【答案】解：(1)当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7−S7=646×7−(−6×49+774×7−618)=16>0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．(2)为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n对n=1，2，…，12恒成立，①当1≤n ≤6时，pn ≥635n 恒成立，可得p ≥635，②当7≤n ≤12时，pn ≥−6n 2+774n −618恒成立，即p ≥774−6(n +103n)恒成立，因为774−6(n +103n)≤774−6×2√n ⋅103n≈652.2，当且仅当n =103n，即n =√103≈10.15时，等号成立，又因为n ∈N ∗，且n ≤12，所以当n =10时，774−6(n +103n)的最大值为652.2，综上所述，p ≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【解析】(1)当1≤n ≤6时，每月食材显然都够用，当n =7时，因为646×7−S 7=16>0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．(2)为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn ≥S n 对n =1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C 1：x 24+y 2=1，可得a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3， 则椭圆C 1的焦距为2c =2√3；(2)由k OQ =12，设l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2−2=0， 由△=4m 2−8(m 2−1)=8−4m 2>0，得|m|<√2， x A +x B =−2m ，x A x B =2m 2−2，所以|AB|=√1+14⋅√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5⋅√2−m 2，又Q 到直线l 的距离为d =√52，由S △QAB =12d|AB|=|m|√2−m 2=1,m =±1， 所以l ：y =12x ±1；(3)由{ x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得{x M =2√105 y M =√155 ，设N(x,y)是曲线C 上一点，则F 1(−√3 , 0)，F 2(√3 , 0)，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x , −y)，NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x , −y)， 所以NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3；当点N 在曲线x 2+4y 2=4(|x|≥|x M |)上时，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2，当y =√155时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45，当y =0时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1，所以NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , 1]； 当点N 在曲线x 2−y 2=1(|x|≥|x M |)上时，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2；当y =√155时，(NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , +∞)；综上，NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 , +∞)．【解析】(1)求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；(2)设l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；(3)求得M 的坐标，设N(x,y)是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f 1(x)不是，f 2(x)是．因为f 1(1)>f 1(2)，则f 1(x)不是[1,4]上的非减函数， f 2(x)={1,1≤x ≤22,2<x ≤4，∀x 1，x 2∈[1,2]，且设1≤x 1<x 2≤2，则f 2(x 1)=f 2(x 2)，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)，∀x 1，x 2∈(2,4]，且设2<x 1<x 2≤4，则f 2(x 1)=2x 1−3<2x 2−3=f 2(x 2)，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)， ∀x 1∈[1,2]，∀x 2∈(2,4]，则f 2(x 1)=1，f 2(x 2)=2x 2−3>1，显然满足f 2(x 1)≤f 2(x 2)， 综上所述，f 2(x)是[1,4]上的非减函数． (2)∀x 1，x 2∈[2,4]，设2≤x 1<x 2≤4， 则g(x 1)−g(x 2)≤0，g(x 1)−g(x 2)=2x 1+2a 2x 1−(2x 2+2a 2x 2) =2x 1−2x 2+(2a 2x 1−2a 2x 2)=2x 1−2x 2+2a 2x 12x 2(2x 2−2x 1) =(2x 1−2x 2)(1−2a2x 12x 2)≤0，则∀x 1，x 2∈(2,4]，设2≤x 1<x 2≤4，不等式1−2a2x 12x 2≥0恒成立， 即2a ≤2x 12x 2，则a ≤8．(3)ℎ(1)+ℎ(0)=1，所以ℎ(1)=1， 所以ℎ(13)=12ℎ(1)=12， ℎ(23)=1−ℎ(13)=12， 得出ℎ(13)=ℎ(23)=12，∀x ∈(13,23)，因为函数ℎ(x)在[0,1]上为非减函数，所以ℎ(13)≤ℎ(x)≤ℎ(23)， 所以12≤ℎ(x)≤12， 得到∀x ∈[13,23]，ℎ(x)≡12，由②ℎ(x3)=12ℎ(x)知，ℎ(x)=12ℎ(3x)， ℎ(12020)=12ℎ(32020)=⋯=164ℎ(7292020)， 所以ℎ(12020)=1128．【解析】(1)结合非减函数的定义，即可得出答案．(2)根非减函数的定义，推出2≤x 1<x 2≤4，则g(x 1)−g(x 2)≤0恒成立，即可得a 的取值范围． (3)由ℎ(1)+ℎ(0)=1，推出ℎ(1)=1，ℎ(13)=ℎ(23)=12，根据题意可得12≤ℎ(x)≤12，推出∀x ∈[13,23]，ℎ(x)≡12， 再结合由②推出，ℎ(12020)=12ℎ(32020)=⋯=164ℎ(7292020)的值．本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2021年新高考Ⅰ卷数学试题(含答案)
2021年新高考Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2C.4D.44.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是A.(0,)B.( ,)C.(,)D.(,)5.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在 C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tan=-2,则 =A.B.C.D.7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x +=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】B【解析】【分析】 由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x +=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2.又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B.本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 2．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．5 B．30 C ．6 D ．25 【答案】C【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D所成角的正弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r， 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos ,|6EF n EF n EF n⋅==⋅u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6. 故选C ．本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．3．函数2sin cos()20x x xf xx=+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos()()2020x x x x x xf x f xx x----=+=+=-，故函数()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而2()020fππ=-<，排除B；2(2)05fππ=>，排除D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.4．已知符号函数sgnx100010xxx⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 【答案】A根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i = 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.6．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3πD ．23π 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =- 【答案】C【解析】【分析】 在等比数列中，由11n n a a S q q -⋅=-即可表示之间的关系. 【详解】 由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n n n n a a q a a q S -⋅-===--- 故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 10．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．7B ．7-C ．17D ．17- 【答案】A【解析】【分析】由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=， 4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．B ．C ．1-D ．1【解析】【分析】根据向量坐标运算求得2a b +rr ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】 ()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学试卷含答案及解析(新高考全国Ⅰ卷)
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
6.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
上海市青浦区2021届新高考一诊数学试题含解析
上海市青浦区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则A ．{|0}AB x x =<IB ．A B R =UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<故选A2．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件.本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.3．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大 【答案】C 【解析】【分析】 1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可． 【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+= 222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭， 是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 故选：C ．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．5．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故55A B ⎧⎫⎛⎪⎪⋂= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.6．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D【解析】【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D.【点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.7．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ）A ．2-2B ．-1或1C ．1D 2【答案】B【解析】【分析】 由题意得，()()2111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可 【详解】∵1z ai =+，∴()()2111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题8．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==，因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<， 综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.9．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 10．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i -- 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.11．若()12n x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rr n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可 【详解】()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果. 【详解】因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；所以由p 能推出q ；q 不能推出p ；即p 是q 的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考1卷)
2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i += )A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i + 3( )A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A ．(0,)2πB ．(2π，)π C ．3(,)2ππ D ．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+ )A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则( )A ．12||||OP OP =B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，||PB =D ．当PBA ∠最大时，||32PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心． 2．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 3．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】 【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >，由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=，即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， ()13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， ()3,1,1D；()10,2,2AC =-u u u u r， ()3,1,1CD =--u u u r ；异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u r g u u u ur u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．5．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.6．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()16π D ．()16π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为2π24π⨯=，侧面积为14π2⨯=，下面圆锥的母线长为2π48π⨯=，侧面积为18π2⨯=，没被挡住的部分面积为22π4π212π⨯-⨯=，中间圆柱的侧面积为2π214π⨯⨯=.故表面积为()16π，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.7．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.9．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 10．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】 解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 11．已知函数2()sin 3cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可． 【详解】 解：2()sincos444f x x x x πππ=．1(1cos )222x x ππ=- 1sin()262x ππ=-++，1()sin()262f x x ππ∴=-++，()f x ∴的周期为242T ππ==，()1f ，()21f =， ()3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=． ()()()122020f f f ∴+++L ()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦5052=⨯1010=．故选：C 【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．12．已知向量a r ，b r夹角为30°，(a =r ，2b =r ，则2a b -=r r ( )A ．2B ．4C．D．【答案】A 【解析】 【分析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】由于2a b -===r r2=， 故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。