图像处理中的正则化(技术类别)

图像处理中的正则化 二维的图像可以分解成不同的频率成分。

其中，低频成分描述大范围的信息，而高频成分描述具体的细节。

在灰度图像中，亮度变化小的区域主要是低频成分，而亮度变化剧烈的区域 (比如物体的边缘)主要是高频成分。

前一章说明当噪声存在时过滤是必要的。

这章需要仔细看看过滤。

过滤也称为正则化,因为它可以解释成对解执行特定规律的条件。

正规化的程度是由一个正则化参数决定的,这个参数应该仔细选择。

我们本章主要关注两个正则化方法(TSVD 和Tikhonov)和三个计算正则化参数的方法(差异原则,广义交叉验证和L-曲线标准).
6.1 两个重要的方法
在前面的章节中SVD 分析激发了谱过滤方法的使用，因为这些方法使我们通过过滤因子能控制模糊图像的谱的内容。

实现谱过滤方法必须通过选择计算出的解
∑==N i i i T i i
filt v b u X 1σφ， (6.1)
中的过滤因子i φ。

为了获得一个有理想性质的解。

这些方法受坐标系b u T i 和坐标系x v T
i 的影响，其中坐标系b u T i 由向量()N i u i ,...,1=决定，坐标系x v T i 由向量()N i v i ,...,1=决定。

操作b 的数据 上面提到的坐标系是谱坐标系,因为这些向量分别是A A T 和T
A A 的特征向量。

我们看到了精确的求解方程组b Ax =，当数据被噪声污染时得不到一个好的解。

相反，我们通过（5.3）中的过滤展式过滤光谱解，使得在i v 方向上解的元素按过滤因子i φ缩放，而且可以减小误差在b u T i 中的影响。

在这一节中我们讨论两个最重要的谱过滤方法。

1.TSVD 方法. 对于这个方法，我们定义对于大奇异值过滤因子的大小为1，对于其他奇异值过滤因子为0。

更确切地说， ⎩
⎨⎧+==≡.,...,1 ,0,,...,1 ,1N k i k i i φ (6.2) 参数k 称为截断参数决定了正则解中奇异值的数量。

注意k 总满足N k
≤≤1。

例如，这是一种用于
计算图5.6所示的解的方法。

2.Tikhonov 方法. 对于这种方法，我们定义过滤因子为 ,,...,1 ,2
22N i i i i =+≡ασσφ (6.3) 其中0>α称为正则化参数，这个参数的选择得到了最小化问题
{}22222 m in x Ax b x α+-， (6.4)
的解向量αX 。

正如我们将在第7.2节中讨论的那样。

我们希望22Ax b -要很小得到了(6.4)这个问题，但如果我们选择b A x
1-=使它等于0，则 ()∑==N i i T i b u X 1222
2σ。

当噪声在一些方向i u 上的大小超过了奇异值i σ的大小时这个值是很大的。

因此，我们也要保持 2
2X 相当小，我们(6.4)中的最小化问题要确保αAX b -的残差范数和解αX 的范数有点小。

在去模糊处理中除了SVD 坐标系
b 外，傅里叶坐标系也经常被用到. 过滤是用来消除噪音影响的。

用代替符号b ，其中 是正交傅里叶变换矩阵的一行。

对于低通滤波器，低频元素对应的过滤因子接近1，对应于高频元素的过滤因子接近0。

TSVD 和Tikhonov 方法和这个方法是类似的。

更多傅里叶滤波法的信息可参见
3.傅里叶波滤法
我们现在考虑参数α选择的效果。

先考虑对于ασ>>i 的过滤因子i φ。

则，
利用泰勒展开()()3212111εεεεO ++-=+-，我们得到 (2111144)
2222222++-=+=+=i
i i i i i σασασαασσφ 接下来，我们考虑对于ασ<<i 的一个过滤因子i φ。

再次使用()1
1-+ε的泰勒扩展，得到 ....211114422222222222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=+=+=ασασασασασασσφi i i i i i i i 因此，我们可以得出这样的结论：Tikhonov 过滤因子满足
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+>>+-= , ),)(()(, ),)(()(14242ασσασαασσασαφi i i
i i i i O O
这意味着，如果我们选择[]1,σσαN ∈，则对于小的指标i ，1≈i φ，对于大的指标i ，22ασφi i ≈，对于一个给定的α，在该“断点”的过滤因子变化的本质是在该指标处ασ≈i 。

6.2 波滤方法的实现
如果我们假设A 的所有奇异值是非零的，那么这个naive 解可以写成
.11b U V b A X T --∑== (6.5)
类似地，谱过滤解可以写为
.11b U V b A X T filt --Φ∑== (6.6)
其中Φ是一个对角矩阵，其中包含了特定方法的滤波因子i φ（例如，TSVD 方法的滤波因子为1和0，Tikhonov 的滤波因子为()
222ασσ+i i
）。

如果谱分解存在的话，（6.5）和（6.6）的关系类似的可以写成谱分解的形式。

在第4章中，我们讲了（1）由图像去模糊问题导出的各种结构矩阵；（2）如何高效的计算这些矩阵的SVD 和谱分解；（3）如何高效的计算（6.5）的naïve 解（参看VIPs 10,11,12）
因为表达式（6.6）只是（6.5）式的一个变式，所以它对于第4章中的结构矩阵也能高效的实现滤波方法。

我们可以把（6.6）式写成
,1b U V X T filt filt -∑= 其中11--∑Φ=∑filt 。

因此，如果滤波因子已经给出，则很容易修改VIPs 10,11,12去计算filt X
对于许多结构矩阵都可以高效的计算出
filt X ，以下是计算filt X 的算法
给定
P=PSF
center=[row,col]=center of PSF
B=blurred image BC=string denoting boundary condition(e.g.,’zero ’)
Phi=filter factors
对于周期边界条件的结构矩阵，用
S=fft2(circshift(P,1-center));
Sfilt=Phi./S;
Xfilt=real(ifft2(fft2(B).*Sfilt));
对于有双对称PSF 的反射边界条件的结构矩阵，用
E1=zeros(size(P));,e1(1,1)=1;
S=dct2(dctshift(P ,center))./dct2(e1);
Sfilt=Phi./S;
Xfilt=idct2(dct2(B).*Sfilt);
对于可分离的PSF ，用。