解不等式练习题_学生版
柯西不等式好题-学生版
1. 求证：ac+bd ≤22b a+柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121或1ni ii a b=≤∑其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 一、 证明不等式1. 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥2. 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>−+−++−+−++a a a a a a a a n n n3. 求证：()().22221122212221y x y x y y x x +++≥+++4.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 5.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++6.若a >b >c 求证：ca cb b a −≥−+−411 7.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 8. 已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：9. 设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：,121221⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a10. 若n 是不小于2的正整数，试证：11. 设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n ³2)且， 求证： 二、求解最值12. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 13. 设非负实数n ααα⋅⋅⋅21,满足,121=+⋅⋅⋅++n ααα求1213`122111_1−++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++n n n nααααααααααα的最小值。
专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)
专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。
不等式学生版
研究性学习资料 不等式解法、- 3 - 题型1：解含绝对值的不等式1.解不等式：①|2x+51|≥21；②|4x-3|<212.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ）A 、｛x|x <-2或x >0｝B 、｛x|x <1或x ＞3｝C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3}D 、｛x|1<x<3｝3.若不等式|1-kx |<2的解集是{x |-1<x <3}，则的k 为 （ ）A 、-2<k<1B 、31-<k<1 C 、k=1 D 、k=-34.不等式721≤-≤x 的解集是（ ） A.（3，9） B. ]1,5(- C. ]9,5[- D. ]9,3[]1,5[⋃-5.不等式|x -|2x -1||>1的解集为____。
题型2：解一元二次不等式1.解下列不等式：（1）02x x 2<--；（2）03x 2x 2>-+-;（3）21212≤-+≤-x x2．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a题型3：解高次不等式一元高次不等式求解，一般是先分解为n 个一次式的积，运用数轴标根的方法求解，在标根时，对于“重根”情况的处理方法是“奇数次方一穿而过；偶数次方穿而不过”。
1. 解下列不等式（1）322150x x x --> （2）23(4)(5)(2)0x x x ++-< （3）()()22460x x --≤；题型4：解分式不等式（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零。
（2）0ax b cx d +>+转化为()()0ax b cx d ++>，也可转化为00ax b cx d +>⎧⎨+>⎩或00ax b cx d +<⎧⎨+<⎩的并集。
不等式小题的常见考法和应用(学生版)
不等式小题的常见考法与应用一、利用作差法、基本不等式比较大小1．已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．2．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．3．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．4．如果0<a<b<1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P 5．设a，b为非零实数，给出下列不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的是________．(填序号)6．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 二、利用不等式的性质、基本不等式证明不等式1．对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b >0，则1a >1bC ．若a <b <0，则b a >a bD ．若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <02．(多选)若1a <1b <0，则下面四个不等式成立的有() A ．|a |>|b | B ．a <bC ．a ＋b <abD ．a 3>b 33．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >eb －d .4．若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd .5．已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，求证：a ＋b ≥2.三、利用不等式求最值及范围1．(1)若x<0，求12x＋3x的最大值；(2)若x>2，求1x－2＋x的最小值；(3)已知x>0，y>0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．2．(1)当x>0时，求12x＋4x的最小值；(2)当x>1时，求2x＋8x－1的最小值．3．对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．4．关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则求实数k的取值范围5．已知4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．6．已知a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值等于________．7．已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)a b..四、已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则求2a－b的取值范围．含参数的一元二次不等式的解法1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0.2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．.4．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．。
不等式练习册-学生版
63
2
4. x x 1 2 x 2
2
3
2x 1 5. x 1 4
2x 1 x 1
7.
x
8
4x
1
4x 8 6. 3x 2 1
2x x 1
8. 3 2
x 1 4 2x
3
DAY4 用时_____分钟 答对_____道题
1. 2 x 2x 1
2
3
2. 4x 2 5x 7 1
14
学而思培优—用科技推动教育进步
4. 师徒二人分别组装 28 辆摩托车，徒弟单独工作一周（7 天）不能完成，而师傅单独 工作不到一周就已完成，已知师傅平均每天比徒弟多组装 2 辆，求：
⑴徒弟平均每天组装多少辆摩托车（答案取整数）？ ⑵若徒弟先工作 2 天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人做组装的摩托车 辆数相同？
学而思培优—用科技推动教育进步
DAY1 用时_____分钟 答对_____道题
1、 2x＜4x 6
2、 3x 7 4x 21
3、 3x 2 10 2(x 1)
4、 3(x 3) 2(2x 1) 6
5、 2x 1 5x 1 1
3
6
7、 x 4 1＞ x 2 x
5
2
6、 2x 1 5x 1
x 1 3
8.
2
x
1
5
DAY6 用时_____分钟 答对_____道题
1. x 1 1 x 4 3 5 15
2. x 1 [x 1 (x 1)] 2 222
3. x 1 x 2x 5
3
4
2x 0 5. 2x 3 0
1 x 1 1
7. 2
x 2(x 3) 0
基本不等式经典例题(学生用)
根本不等式 【2 】 常识点： 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ,则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2abab a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）留意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2)求最值的前提“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值规模.证实不等式.解决现实问题方面有普遍的运用 运用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技能一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.技能二：凑系数例： 当时,求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值.技能三： 分别换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.技能五：在运用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情形,. 例：求函数2y =的值域.技能六：整体代换（“1”的运用）多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的前提的一致性,不然就会出错.. 例：已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 技能七例：已知x,y 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y2 的最大值. 技能八：已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝1ab的最小值. 技能九.取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值. 运用二：运用均值不等式证实不等式例：已知a.b.c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 运用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模. 运用四：均值定理在比较大小中的运用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是.。
高中数学试题-经典(超越)不等式(学生版)
经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122 ⋯1+12n <e ．三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a=12022，b=tan12022⋅e12022，c=sin12023⋅e12023，则()A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a=e0.2，b=log78，c=log67，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<08.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.。
方程与不等式训练300题(学生版)
2020-1六下双基训练300题方程与不等式六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土【练习1.1】 简单的一元一次方程1. ()()43206711y y y y --=--2. ()254(3)2(1)x x x --+=-3. 37(1)32(3)x x x --=-+4. 12(1)4()2x x x --=-5. 4(4)35(72)y y +=--6. 7 2.5 2.536x x -=⨯+7. 12(23)3(21)a a -+=-+ 8. 93(1)6x x --=9. 63(32)6(2)x x x --=-+ 10. 7104(0.5)x x -=-+方程与不等式补充材料千里之行，始于足下11. 3(8)64(11)y y y -=-- 12. 13(8)2(152)x x --=-13. 2(10)52(1)x x x x -+=+- 14.223046m m +--=15. 43(20)67(9)x x x x --=-- 16. 2(21)2(1)3(3)x x x -=+++17. 43(23)12(4)x x x +-=-- 18. ()()335225x x -=--19. ()()()243563221x x x --=--+ 20. ()()()321531152x x x --+=+六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土【练习1.2】 一元一次方程——去分母21. 21101211364x x x --+-=- 22. 212153x x +--=23. 3157146y y ---= 24. 212134y y -+-=-25. 341125x x -+-= 26. 1112222x x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27. 12233xx -=-+ 28.13216222x x x ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭方程与不等式补充材料千里之行，始于足下29. 21101136x x ++-= 30.211135x x +-=- 31. 121224x x+--=+ 32.42571510x x +--= 33. 124123x x ---= 34.213124x x--=- 35. 2123134x x ---= 36.3141136x x x ---=-六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土37. 211135x x +-=- 38.+4122523x x x -+-=- 39. 25316412x x x ---+= 40. 2523163x x x +--=- 41. 431432x x -+-= 42.()()11212223x x x ⎡⎤--=+⎢⎥⎣⎦ 43. 141123x x --=- 44.5415513412y y y +--+=-方程与不等式补充材料千里之行，始于足下45. 121225x x ++-=- 46.()10532327x x x -++--=47. 7151322324x x x -++-=- 48.34113843242x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 49. 248539x x -=- 50.3121134x x -+-= 51. 1122254x x x++--=+ 52.1328237x x x-+---=六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土53. 248236x x ---=- 54.31322322105x x x +-+-=- 55. 225353x x x ---=- 56. 1212323x x x --+=- 57. 12136x x x -+-=- 58.3157146y y ---= 59. 131224x x+--=- 60.21101211364x x x -++-=-方程与不等式补充材料千里之行，始于足下61. 211011412x x x ++-=- 62.()()142113233x x x ⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦ 63. 312423(1)32x x x -+-+=- 64.49325532x x x ++--= 65. 4115(2)13212x x x +--+=-66. 113(23)(32)5(32)(23)32x x x x ---=-+-六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土67. 22(31)253y y -=- 68.31242233x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦69. 21101211364x x x -++-=- 70.3213(1)(32)(1)45102x x x --+=-- 71. 431261345x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦72.121146x x ++-= 73. 211011412x x x ++-=- 74.111(15)(7)523x x +=--方程与不等式补充材料75. 2110121123644x x x-++-=-76.2383236x x x-+-=-77. 1010210147x x+--=78. ()()137464722x x-=+-79.12223x xx-+-=-80.3221211245x x x+-+-=-81. 13533236524x x⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82.112132152yy-+-=六年级·寒假·学生版83. 343111243242x x⎡⎤⎛⎫--=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦84.111116412345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭85.43254xxx x---=【练习1.3】一元一次方程——去分子、分母中的小数86. 0.10.20.710.30.4x x---=87.1.5 1.51.50.30.1x x--=88.2130.20.5x x-+-=89.0.30.2 1.5570.20.5x x--+=方程与不等式补充材料90. 0.20.10.010.0150.30.04x x---=91.0.010.030.40.110.020.5x x-+-=92.30.412.50.20.5x x+--=-93.341.60.50.2x x-+-=94. 2 1.633180.30.63x x x-+-=95.341.650.2y y-+-=96. 4 1.550.8 1.230.50.20.1x x x----=+97.1.5210.30.2x x--=六年级·寒假·学生版98. 3 1.50.20.1840.20.09x xx--+=+99.0.12230.30.6x xx-+-=100.341.60.50.2x x-+-=101.10.2110.40.7x x+--=102.0.230.210.50.03x x--=103.3 1.140.20.160.70.40.30.06x x x----=104. 1.510.530.6x x--=105.0.10.020.10.10.30.0020.05x x-+-=方程与不等式补充材料106. 0.030.010.170.050.10.020.070.030.09x x x +-+-=107. 0.10.20.0226.57.50.010.02x x---=-108.30.70.310.80.4x xx+-=-109. 0.40.50.20.5110.060.232x xx+-⎛⎫-=+⎪⎝⎭110.2651430.030.30.02x x-+-=【练习1.4】一元一次方程——巧算（整体法、拆括号、裂项、凑分子）111. 11311377325235x x⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112. ()()15201520153411131717x x x---+=六年级·寒假·学生版113. ()()()()1131121132x x x x +--=--+ 114. 31333447167x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 115. ()()1123233211191313x x x -+-+=116. ()()()()1120181120191120182019x x x x +--=--+ 117. 111123452345x x x x +++=+++方程与不等式补充材料118. ()()()()1111123201620162342017x x x x ++++++++= 119. 111133312222y ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭120.111246819753x ⎧⎫⎡⎤+⎛⎫+++=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭121. 2016122320162017x xx +++=⨯⨯⨯ 122. 1122320192020x xx+++=⨯⨯⨯123. 200613352003200520052007x x x x++++=⨯⨯⨯⨯六年级·寒假·学生版124.11 123234201720182019201820192020220192020 x x x x++++=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯125.3213201520162017x x x---++=126.201013201920092007x x x---++=127.2017130 1008620162014x x x---++=128.20181614125 357911x x x x x-----++++=方程与不等式补充材料129. 3x a b x b c x c ac a b------++= ()000a b c >>>、、 130.4x a b c x b c d x c d a x d a bd a b c------------+++= () a b c d 、、、均为正数【练习2.1】 较简单的二元一次方程131. 27325x y x y -=⎧⎨+=⎩132. 85765476x y x y +=⎧⎨-=⎩133. 293x y x y -=-⎧⎨+=⎩134. 53702370x y x y --=⎧⎨+-=⎩六年级·寒假·学生版135.5120311120x yy x-=⎧⎨-=⎩136.245x yx y+=⎧⎨-=⎩137.5210x yx y+=⎧⎨+=⎩138.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩139.7423624x yx y+=⎧⎨-=⎩140.892317674x yx y+=⎧⎨-=⎩141.()()()()31445135y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩142.32222m nm n+=⎧⎨-=-⎩方程与不等式补充材料143.372513x yx y-=⎧⎨+=⎩144.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩145.30327xx y-=⎧⎨-=⎩146.633594x yx y-=-⎧⎨-=⎩147.2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩148.3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩149.()()()()4395211x y x yx y x y⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩150.()()()()337242233228x yx y⎧+=-+⎪⎨-+-=⎪⎩六年级·寒假·学生版【练习2.2】较复杂的二元一次方程组151.1234x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩152.1640.30.4 1.7x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩153.2320.40.7 2.8x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩154.35723423235x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩155.2()1346()4(2)16x y x yx y x y-+⎧=-⎪⎨⎪+=-+⎩156.2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩方程与不等式补充材料157. 2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩158. 32212453231045x y x y --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩159. 252234m nm n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩160. ()()35724310413x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩161. ()()()54723187323x y x y x y x y ⎧+-+=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩162. 2164622372y x y x y x x y++⎧-=-⎪⎨⎪+=--⎩六年级·寒假·学生版163.1115212355x yyx+-⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩164.3223132x y x y-+==165.()5111562347 896x y y x x y---+++==【练习2.3】普通的三元一次方程组166.321x y zx y zx y-+=-⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩167.324230140x yx zx y z=-⎧⎪-=⎨⎪++=⎩方程与不等式补充材料168.153241341013x y zx y zz-+=⎧⎪+-=-⎨⎪=⎩169.1225224x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩170.3232443210x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩171. 235532z x yx y zx y z=+⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩172.52621212x yy zx z-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩173.12232a b ca b ca b c++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版174.3123325x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩175.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩176.102317328x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩177.42314235x y zx y zx y z--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩178.4329253456218x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩179.24+393251156713x y zx y zx y z+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩方程与不等式补充材料180.232623343239x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩181.3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩182.4239328a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩183.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩184.56812412345x y zx y zx y z+-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩185.24393251156713x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版186.9202325x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩187.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩188.231332163510x y zx y zx y z++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩189.3423126x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩190.275323342y xx y zx z=-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩191.344635511x y zx y zy z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩方程与不等式补充材料192.42325560x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩193.52574313x yy zz x+=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩194.42325560a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩195.2343327231a b ca b ca b c-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【练习2.4】有技巧的多元一次方程组196.78388737x yx y+=⎧⎨+=⎩197.231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩六年级·寒假·学生版198.199519975989199719955987x yx y+=⎧⎨+=⎩199.354x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩200.222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩201.1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩202.512x yy zz x+=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩203. 2345238x y zx y z⎧==⎪⎨⎪+-=⎩方程与不等式补充材料204.::z1:2:32318x yx y z=⎧⎨-+=⎩205.:3:2:5:466x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩206.323232y z x az x y bx y z c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩207.252821126x yy zz uu x+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩208.12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩209.12323434545151251532x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=-⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩六年级·寒假·学生版210. 220240280+216023202640a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨++++=⎪⎪+++++=⎪+++++=⎪⎩【练习3.1】 一元一次不等式 211. ()25321x x --≥ 212. 8156x x -≥-213. ()()3129x x -≤+ 214. ()()32232x x x x ⎡--⎤>--⎣⎦215. 3(2)152(2)x x -+-<-- 216.121123x x -++<方程与不等式补充材料217. 21433x x -≥-- 218. 3453172y y y --≤-219. 6721251423x x x --+-+>+- 220.121180.50.25x x -++>221. 124816x x x xx ++++> 222.12123x x +-≥223. 2354124463x x x ---+->+ 224. ()()52186117x x -+<-+六年级·寒假·学生版225. ()332524y y +≤- 226.()311212423x ⎡⎤--≥⎢⎥⎣⎦227. 11111112332x x ⎛⎫⎛⎫-≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭228. ()21035127x x x ---≥-229. 531132x x +--< 230. 22252y y y ---≤- 231. 123x x-< 232.2352x x -≥+方程与不等式补充材料233. 212(12)13x x --≥- 234.8111122x x x ++-≤-235. 422(2)x x -≥+ 236.3122123x x---≤237. 214432x x -+-< 238. 3(2)12(1)x x +>---239. 111(2)(3)248x x ->-+ 240. 533(2)x x +≤+六年级·寒假·学生版241. 14232x x -+->- 242.2432x x -≥- 243. 11132x x --≥ 244. 7(4)2(43)4x x x ---<245. 5(2)86(1)7x x -+<-+ 246.1132x x --< 247. 21211362x x x +--->- 248.3(1)5182x x x +-->-方程与不等式补充材料249.18136x xx+-+≤-250. 15(31)10(42)6(63)39x x x---≥--251. 0.40.210.20.5x x+->-252. 51531x x+>-253. 22123x x+-≥254.2(1)12xx---<255. 2152246x x-+-≥-256.3(1)12384x x+-+<-六年级·寒假·学生版257.121133x xx-+-≤+258.0.2 1.20.120.130.30.05x x---≤-259.()0.20.10.2 0.030.010.70.310.030.50.15x x x-+--<+260. 0.40.90.030.0250.50.032x x x++-->【练习3.2】一元一次不等式组261.3312183(1)xxx x-⎧+≥+⎪⎨⎪+<+-⎩262.253(2)12135x xx+≤+⎧⎪-⎨+>⎪⎩方程与不等式补充材料263. 22531323213x xx x--⎧-≤⎪⎨⎪->-⎩264. 3(1)954x x +≤⎧⎨+>⎩265. 3(1)702423x x x -->⎧⎪-⎨>⎪⎩266. 2362523x x x x +≤+⎧⎪+⎨<+⎪⎩267. 21390x x >-⎧⎨-+≥⎩268. 33(3)21123x x x x +≤+⎧⎪-+⎨>-⎪⎩269. ()()1032561x x x +⎧>⎪⎨⎪+≥-⎩270. 3150728x x x ->⎧⎨-<⎩六年级·寒假·学生版271.312342x xx x-≤-⎧⎨-+>-⎩272.1232(3)3(2)6x xx x⎧->-⎪⎨⎪--->-⎩273.593(1)311122x xx x-<-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩274.328212xx-<⎧⎨->⎩275.523(4)131722x xx x-≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩276.328654x--≤--<-277.2632145x xx x-≤-⎧⎪+⎨->⎪⎩278.121233(2)54x xx x--⎧≤⎪⎨⎪+>+⎩方程与不等式补充材料千里之行，始于足下279. ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+≤⎪⎩280. 513(1)23722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩281. 2132(1)5x x +⎧<⎪⎨⎪-≤⎩282. 312128x x x -≤+⎧⎨-<⎩283. 222212x x x x+⎧≥⎪⎨⎪-<-⎩284. 313112123x x x x +<-⎧⎪++⎨≤+⎪⎩285. 521262(3)4x x x x -⎧->⎪⎨⎪-≤-⎩ 286. 2153712x x x ->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土287. 2(21)342151132x x x x -≤+⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩288. 3(2)8143x x x x +>+⎧⎪-⎨≥⎪⎩289. 267442152x x x x +>-⎧⎪+-⎨≥⎪⎩290. 43213(1)6x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩291. ()()35223141x x x x -⎧≤-⎪⎨⎪-<+⎩292. 543132(32)3x x x ->⎧⎨--≤⎩293. 2153112x x x ->⎧⎪⎨+-≥⎪⎩294. 253259837(4)2(43)4x x x x x x x +≤+⎧⎪->+⎨⎪---<⎩方程与不等式补充材料千里之行，始于足下295. ()1231121286432x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+≥+⎨-<-⎪⎪⎩296. 8156212(12)133(2)152(2)x x x x x x -≥-⎧⎪-⎪-≥-⎨⎪-+-<--⎪⎩297. 36451322253522x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+>+⎨<-⎪⎪⎩298. 18136212113620.40.210.20.5x x x x x x x x +-⎧+≤-⎪⎪+--⎪->-⎨⎪+-⎪>-⎪⎩299. 427323653453x x x x x x ⎧⎪+>++≥+≤-⎨-⎪⎩300. ()()32232217223x x x x x x ⎧⎪->++≤+≥+⎨-⎪⎩。
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解不等式练习题
一、选择题
1.下列不等式中,与不等式
3
02x x
-≥-的解集相同的是（ ) （A ）(3)(2)0x x --≥（B ）(3)(2)0x x -->（C ）
203
x
x -≥-（D ）lg(2)0x -≤ 2.不等式1
23x -<<解为（ ）
（A ）102x -<<或x 31
> （B ）－31＜x ＜0或0＜x ＜21
（C ）x ＞31或x ＜－21 （D ）－31＜x ＜2
1
3.不等式(x ＋3)2(x －1)＜0的解为（ ）
（A ）x ＜1 （B ）x ＜1或x ≠－3 （C ）x ＜1且x ≠－3 （D ）x ＞1且x ≠－3 4.不等式
21
13
x x ->+的解集为（ ） （A ）x ＜－3或x ＞4 （B ）{x | x ＜－3或x ＞4}（C ）{x |－3＜x ＜4}（D ）{x |－3＜x ＜2
1} 5.
3x >-解集为（ ）
（A ）{x | 1＜x ＜5} （B ）{x | 3＜x ≤5} （C ）{x | 1≤x ＜3或3＜x ＜5} （D ）{x | 1≤x ＜5}
6.不等式9x ＋2·3x ＋
1－16＞0（ ）
（A ）{x | x ＞2或x ＜－8} （B ）{x |x ＞log 32} （C ）{x | x ＞log 23} （D ）{x | 0＜x ＜log 32}
7.不等式03232x x x
x x >⎧⎪
--⎨>⎪++⎩
解集是（ ） （A ）{x | 0＜x ＜2} （B ）{x | 0＜x ＜
2
5
} （C ）{x | 0＜x ＜6} （D ）{x | 0＜x ＜3} 8.不等式|x 2－4|＜x ＋2的解集为（ ）
（A ）{x | x ＜3} （B ）{x | 1＜x ＜3} （C ）{x | －2＜x ＜3} （D ）{x | x ＞3或x ＜－2} 9.不等式|x ＋1|＋|x －3|＞5解集为（ ）
（A ）{x |x ＜－
23或x ＞27} （B ）{x |－23＜x ＜27}（C ）{x |x ＜－23} （D ）{x |x ＞2
7} 10. 当0＜a ＜1时,不等式log a (1－1
x
)＞1的解集为（ ）
（A ）{x |x ＞1或x ＜11a -}(B ）{x |0＜x ＜11a -}（C ）{x |11a -＜x ＜1}（D ）{x | 1＜x ＜1
1a
-}
11.设A ＝{x ||x －2｜＜3},B ＝{x ||x －1｜＞1},则A ∩B 等于( ) （A ）{x | －1＜x ＜5} （B ）{x | x ＜0或x ＞2} （C ）{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜5} （D ）{x | －1＜x ＜0} 12.一元二次不等式x 2－7x ＋12＜0, －2x 2＋x －5＞0, x 2＋2＞－2x 的解集分别是M 、N 、P ,则有（ ） （A ）N ⊆M ⊆P （B ）M ⊆N ⊆P （C ）N ⊆P ⊆M （D ）M ⊆P ⊆N
13.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－2,0),(2,0),则ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是（ ） （A ）－2＜x ＜2（B ）x ＞2或x ＜－2(C ）x ≠±2（D ）不确定,与a 的符号有关 14. 若不等式ax 2＋8ax ＋21＜0的解集是{x | －7＜x ＜－1},那么a 的值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
15.不等式x 2－2x －3＜0的解集为A,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B,那么a ＋b 等于（ ）
（A ）－3 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 16.不等式(2―a )x 2―2(a ―2)x ＋4＞0对于一切实数x 都成立,则（ ）
（A ）{a |－2＜a ＜2} （B ）{a |－2＜a ≤2} （C ）{a |a ＜－2} （D ）{a |a ＞2} 17.若二次方程2(kx －4)x －x 2＋6＝0无实根,则k 的最小整数值是（ ）
（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 18.不等式(1)(1)0x x +->的解集是（ ）
（A ）{}
01x x ≤< （B ）{0x x <且,1}x ≠-（C ）{}
11<<-x x （D ）{1x x <且,1}x ≠- 19.已知不等式|x －2｜＋|x －2｜＜m 的解集为空集,则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜1 （B ）m ≤1 （C ）m ≤
101 （D ）m ＜10
1 20.关于x 不等式2
log 0a x x -<在开区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内恒成立,则a 的取值范围（ ）
（A ）10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）()10,1,16⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭（C ）1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭（D ）()1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ 二、填空题 1.不等式22
6
1x x +-<的解集是__________________.
2.不等式lg(lg )0x >的解集是__________________.
3.312x -的解集是__________________.
4.
不等式625log (1log x >的整数解的个数是____________.
5.已知关于x 的不等式2ax b +<（其中a ≠0）的则解集{}
26x x <<,则ab ＝______. 二、解答题
1.解含绝对值的不等式.
(1)｜3x ＋4｜＞0（2）｜5x －3｜＜10（3）4
21x x
--≥（4）22544x x x -+≤- 2．解下列一元二次方程. （1）2x 2＋x －3＜0
（2）4x －x 2＋12≥0
（3
）22330x x +-≤ （4）x 2－ax －2a 2＜0.(其中a 为常数）
3．解下列分式不等式
（1）
501x x ->+ （2）21021x x +≤- （3）32043x
x ->+ （4）
32145x x ->+ （5）230443x x x ->-+ （6）4
3x x
-≥ 3．解下列无理不等式 （1
>（2
3x ≤-
（3
1x ≥+
（4
≥（5
）1x
<
（6
1x >-（其中a 为正常数）
4．解下列不等式
（1）20.254log (1)log (1)log (21)x x x ++->- （2）12
2
1
2log (5)log 0x x
+-+> （3）21
15
5250x x -++≥
（4）227(3)
1x x
x -->
4．一元二次方程x 2＋4x －m ＝0的两个实根之积的平方不大于36,试求m 的取值范围. 5．若k 取何值时,不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0对于任何x ∈R 都成立. 6．解下列不等式：
（1
）1
2
11+-<.
（2）0.20.234log log x x -<.
（3）
12
13
2log 2
x
+<. （4
）2log 1x
≥.
7.已知不等式22
(1)
(1)1
13
3
log log 1ax x x -+->-对任意实数(0,3)a ∈恒成立,求实数x 的取值范围.
8.解关于x 的不等式2231
(2)1(2)log 4log 12log (2)log log 3
n
n
x
x
x
n x
x a a a a a n -----+++-< ,其中
常数a ＞1,n 为正整数.
9.解关于x 的不等式322(22)x
x
x
x
λ-->-.
10.关于x
的不等式21531
log 1)log (6(22)0log x x a
x a x a
λ-⋅-+>-+
≥的解集中的元素有且只有两个,求a 的值.(a ＝2)
11.解关于x 的不等式log 32a x
x
a x <.。