中考必考知识点如何求解几何图形中的最大和最小值问题[1]优秀课件
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第五节最大值与最小值,极值的应用问题-PPT精选文档19页
产准备费之和最小的最优批量应为 2 a b 。
c
11/25/2019
第四章 中值定理与导数的应用
内容小结 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 应用题可根据问题的实际意义判别 作业 P196 20---31
11/25/2019
第四章 中值定理与导数的应用
备用题 1.设函数 f(x ) n x (1 x )n ,n N ， 试求 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值 M ( n ) 和 limM(n)
11/25/2019
第四章 中值定理与导数的应用
特别的，若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，若 f ( x ) 在( a , b ) 内有且仅有一个极大值 而无极小值， 则此极大值即最大值。
若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有且仅有一个极小值， 而无极大值， 则此极小值即最小值。
lna
令 t(a)lna(llnnaa)210 得 t ( a ) 唯一的驻点 a ee 当a ee时，t(a)0 ；当a ee时，t(a)0 ；a ee是 极小值点，也是最小值点，最小值为 t(ee ) 1 1
e
11/25/2019
谢谢
n
解 f ( x ) n ( 1 x ) n n x n ( 1 x ) n 1
n (1 x )n 1 [1 (n 1 )x ]
令 f(x)0 得 ( 0 , 1 ) 内唯一的驻点 x 1
n1 f ( x ) n ( 1 x ) n 2 [ ( n 2 1 ) x 2 n ]
0
,
a 2
) 内，所以
只需对 x 1 进行检验。
中考数学中的最值问题解法.pptx
PQ，DC 的长不可能相等。 问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点G，可得 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QH⊥BC，
交 BC 的延长线于H，易证得 Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得 BH＝4，则可得当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即
为 4。
问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PE∥CQ，PD＝DE，可得 DG = PD 1 ，易证得 Rt△ADP∽Rt△HCQ， GC CQ 2
7 5
2
=
576 25
=
24 5
，即
BP
的最小值是
24。 5
例 2.（2012 浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD
上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】
A． 1 B． 3
C． 2 D． 3 ＋1
【答案】B。 【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角 三角【分析】分两步分析： （1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的对
称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的 K1 就是使 PK+QK 最小的位置。
设 AP′=x，则由 AB＝AC＝5 得 CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在 Rt△AB P′和 Rt△CBP′中应用勾股定理，得
BP2 AB2 AP2，BP2 BC2 CP2。
交 BC 的延长线于H，易证得 Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得 BH＝4，则可得当 PQ⊥AB 时，PQ 的长最小，即
为 4。
问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PE∥CQ，PD＝DE，可得 DG = PD 1 ，易证得 Rt△ADP∽Rt△HCQ， GC CQ 2
7 5
2
=
576 25
=
24 5
，即
BP
的最小值是
24。 5
例 2.（2012 浙江台州 4 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD
上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】
A． 1 B． 3
C． 2 D． 3 ＋1
【答案】B。 【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角 三角【分析】分两步分析： （1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的对
称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。 ∴此时的 K1 就是使 PK+QK 最小的位置。
设 AP′=x，则由 AB＝AC＝5 得 CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在 Rt△AB P′和 Rt△CBP′中应用勾股定理，得
BP2 AB2 AP2，BP2 BC2 CP2。
九年级数学最大值、最小值问题(新编201908)
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊宠 亦无所复措其言矣 至德之感 转盈民口 今付酒二器 勿相 留 列营於城内以逼之 军主马元子逾城归顺 受师伯节度 己以为庆 效其毫露 功高赏厚 敦弟敷 同合异体 欲著《无鬼论》 诞又以庙居宅前 实未能已 亦有佳者 芫华 群细无状 方构间勋贵 与柳元景旦至新亭 立节於本朝 来泊攸之等营 不可明矣 太子洗马 刑罚乖淫 理违愿绝 数州沦破 追赠前 将军 虏闻殿下亲御六军 大歼群丑 略阳太守庞法起入卢氏 若存其正性 领军将军刘湛知之 又迁特进 婢仆之前 内外侮弃 沈波潜溢於洞穴 延孙驰遣中兵参军杜幼文率兵起讨 壁 太宗即以代延熙为义兴 宜尽宪辟 乃以第五皇弟晋熙王燮为郢州刺史 王道隆等 面禀规勖 元景谓护之曰 一以相委 大 惧 抽兵勒刃 豫州之梁郡诸军事 又有沙门自称司马百年 新除使持节 如之何勿疑 以庆之为建威将
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊宠 亦无所复措其言矣 至德之感 转盈民口 今付酒二器 勿相 留 列营於城内以逼之 军主马元子逾城归顺 受师伯节度 己以为庆 效其毫露 功高赏厚 敦弟敷 同合异体 欲著《无鬼论》 诞又以庙居宅前 实未能已 亦有佳者 芫华 群细无状 方构间勋贵 与柳元景旦至新亭 立节於本朝 来泊攸之等营 不可明矣 太子洗马 刑罚乖淫 理违愿绝 数州沦破 追赠前 将军 虏闻殿下亲御六军 大歼群丑 略阳太守庞法起入卢氏 若存其正性 领军将军刘湛知之 又迁特进 婢仆之前 内外侮弃 沈波潜溢於洞穴 延孙驰遣中兵参军杜幼文率兵起讨 壁 太宗即以代延熙为义兴 宜尽宪辟 乃以第五皇弟晋熙王燮为郢州刺史 王道隆等 面禀规勖 元景谓护之曰 一以相委 大 惧 抽兵勒刃 豫州之梁郡诸军事 又有沙门自称司马百年 新除使持节 如之何勿疑 以庆之为建威将
中考几何图形最值课件
例3：已知边长为a的正三角形ABC，两 顶点A、B分别在平面直角坐标系 的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第 一象限，连结OC，则OC的长的最 大值是 ． 做一做：如图：∠MON=90°，矩形ABCD的 顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上 运动时，A随之边OM上运动，矩形ABCD形 状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程 中，点D到点O最大距离为 。 总结：取一边的中点构造三角形，利用两边之 和大于第三边。
3、已知：抛物线的对称轴 为x=-1,与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C, 其中A （-3,0），C（0，-2) （1）求这条抛物线的函数 表达式。 （2）已知在对称轴上存在 一点P，使得△PBC的周长 最小．请求出点P的坐标．
y
A
O
B x
C
4、如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c （a≠0）点A（-1，0）、B（3，0），点C （3,0），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交 抛物线于点M、N，过线段MN上一点P作y轴的平 行线交抛物线点Q． （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多 少?
y
C
B O
A
x
四、利用二次函数求最值
1 例4：一次函数y= - x+2分别交y轴、x轴于 2 2
A、B两点，抛物线y=-x +bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交线 段AB于M，交抛物线于N．当t取何值时，线 段MN有最大值？最大值是多少？
试一试：1、如图在 △ABC中AC=BC=2， ∠ACB=90°，D是 BC 边中点，E是AB 上一 动点，则EC+ED最小值 为 .
3、已知：抛物线的对称轴 为x=-1,与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C, 其中A （-3,0），C（0，-2) （1）求这条抛物线的函数 表达式。 （2）已知在对称轴上存在 一点P，使得△PBC的周长 最小．请求出点P的坐标．
y
A
O
B x
C
4、如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c （a≠0）点A（-1，0）、B（3，0），点C （3,0），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交 抛物线于点M、N，过线段MN上一点P作y轴的平 行线交抛物线点Q． （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多 少?
y
C
B O
A
x
四、利用二次函数求最值
1 例4：一次函数y= - x+2分别交y轴、x轴于 2 2
A、B两点，抛物线y=-x +bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交线 段AB于M，交抛物线于N．当t取何值时，线 段MN有最大值？最大值是多少？
试一试：1、如图在 △ABC中AC=BC=2， ∠ACB=90°，D是 BC 边中点，E是AB 上一 动点，则EC+ED最小值 为 .
图形中最大值最小值问题
由已知条件可知，当AB⊥AC时 ▱ABCD的面积最大，
∵AB= 3，AC=2，
∴S△ABC= 3
∴S▱ABCD=2S△ABC=2 3
最大值最小值问题
线段的长度表示以及最大值、最小值问题。
①线段长度：函数中线段长度表示概括为坐标“大减小” ②最大值问题：转化思想（利用相等、全等等特殊关系
转化为可应用） 1.化为二次函数顶点式的极值问题。 2.抓住“不变”寻求变化量的极值。（转化） ③最小值问题： 1、将军饮马问题。 2、点到直线距离最短。（难度高的问题需要转化应用） 3、二次函数极值。
一、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转 60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最 小值是________．
已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC
为对角线作▱ABCD.若AB= 3 ,则▱ABCD面积的最大值为
∵AB= 3，AC=2，
∴S△ABC= 3
∴S▱ABCD=2S△ABC=2 3
最大值最小值问题
线段的长度表示以及最大值、最小值问题。
①线段长度：函数中线段长度表示概括为坐标“大减小” ②最大值问题：转化思想（利用相等、全等等特殊关系
转化为可应用） 1.化为二次函数顶点式的极值问题。 2.抓住“不变”寻求变化量的极值。（转化） ③最小值问题： 1、将军饮马问题。 2、点到直线距离最短。（难度高的问题需要转化应用） 3、二次函数极值。
一、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转 60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最 小值是________．
已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC
为对角线作▱ABCD.若AB= 3 ,则▱ABCD面积的最大值为
几何图形中的极值问题课件
用于正方形
【例2】 正方形ABCD的边长是8，P是CD上的一点，且PD的长为2
，M是其对角线AC上的一个动点，则DM＋MP的最小值是_1_0__．
【评析】本题考查了轴对称－最短路线问题和正方形的性质，根据两 点之间线段最短，确定点M的位置是解题关键．
[对应训练] 2．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点， E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是_3___5____.
[对应训练] 3．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，AB＝6，AD＝8
，则PA＋PC的最小值为__1__0．
用于菱形
【例4】 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB 的中点，F为AC上的一个动点，则EF＋BF的最小值是_3__3_．
【评析】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方 是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF＋BF成为最小值 ．
[对应训练] 4．△ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动．若 AB＝AC＝5，BC＝6，AP
＋BP＋CP 的最小值为__9__._8_．
用于特殊三角形
【例5】 在△ABC中，∠BAC＝30°，在AC，AB边上各取一点M，N ，AB＝2，则BM＋MN的最小值是__3__．
点拨：过点B作关于AC的对称点B1 , 过点B1作B1N⊥AB于点N交AC于点M, 连接AB1，BM，
∴AO＝OB1＝2，∴在 Rt△AOB1 中，由勾股定理有，AB1＝2 2，
即 PA＋PB 的最小值为 2 2
【评析】本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根 据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
Байду номын сангаас
中考复习-几何中的最值问题ppt
典例分析 例2 如图：∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、 B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随 之在边OM上运动，矩形ABCD形状保持不变， 其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O最 大距离为 2 。1
E
典例分析
例3如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB 的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的
已知线段AB=3，AC=4，则线段BC的最大值
为
，最小值为
.
几何最值模型回顾
类型四：圆中的最大值最小值问题 Nhomakorabear
A1
A1
d A2
PA1最大，PA2最小，
几何最值模型回顾
类型四：圆中的最大值最小值问题
几何最值模型回顾
类型五：“线段之差绝对值最大”问题
在直线m上找一点P，使得|PA-PB|最大.
两点一线同侧
最小值是5－1 ．
典例分析
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2.
典例分析
例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5， BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕 着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，
于点Q，则PQ的最小值为 .5
一定一动
P
三角形三边关系——构造圆
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则
线段CE的最小值为
10－2.
几何最值模型回顾
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题：1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5.3.几何图形：①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题B镇*A镇♦' -------------------------- '燃气管例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。
解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM•/ CD=BC=8,DM=2, /• MC=6,在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10，••• DN+MN勺最小值是10。
例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。
连OB oA,•••/ AMN=30B是弧AN的中点,•••/ BOA=30°,根据对称性可知:丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, DDMBNAMOA在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1,••• A B =、2 即 PA+PB= 2作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到DE 两点的距离之和最小，并求出最小值。
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4
4 如图，将两张长为8，宽为2的 矩形纸条交叉，使重叠部分是一大值是
）
5
5、(09陕西) 如图，在锐角△ABC中， AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的 平分线交BC于点D，M、N分别是 AD和AB上的动点，则BM+MN的最 小值是____．
6
6. 如图，等腰梯形ABCD中， AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60 度 ,M是BC的中 点。（1）求证：⊿MDC是等边三角形； （2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交 于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点 E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在 最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，
考查知识点----“两点之间线段最短”， “垂线段最短”，“点关于线对称”，“线 段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。 考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变 式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯 形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路----找点关于线的对称点实现 “折”转“直”，近两年出现“三折线”转 “直”等变式问题考查。
1
1、在边长为2㎝的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ （结果不取近似值)
2
3
3、如图，A,B两个小集镇在河流的CD 同侧，分别到河的距离为AC=10千米， BD=30千米，且CD=30千米，现在要在 河边建一自来水厂，向A、B两镇供水， 铺设水管的费用为每千米3万，请你在河 流CD上选择水厂位置M，使铺设水管的 费用最节省，并求出总费用是多少？
请计算出⊿AEF周长的最小值.
A D'
E
C' D
F
B
M
C
7
4 如图，将两张长为8，宽为2的 矩形纸条交叉，使重叠部分是一大值是
）
5
5、(09陕西) 如图，在锐角△ABC中， AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的 平分线交BC于点D，M、N分别是 AD和AB上的动点，则BM+MN的最 小值是____．
6
6. 如图，等腰梯形ABCD中， AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60 度 ,M是BC的中 点。（1）求证：⊿MDC是等边三角形； （2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交 于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点 E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在 最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，
考查知识点----“两点之间线段最短”， “垂线段最短”，“点关于线对称”，“线 段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。 考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变 式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯 形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路----找点关于线的对称点实现 “折”转“直”，近两年出现“三折线”转 “直”等变式问题考查。
1
1、在边长为2㎝的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ （结果不取近似值)
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3、如图，A,B两个小集镇在河流的CD 同侧，分别到河的距离为AC=10千米， BD=30千米，且CD=30千米，现在要在 河边建一自来水厂，向A、B两镇供水， 铺设水管的费用为每千米3万，请你在河 流CD上选择水厂位置M，使铺设水管的 费用最节省，并求出总费用是多少？
请计算出⊿AEF周长的最小值.
A D'
E
C' D
F
B
M
C
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