第7例悬臂梁
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
材料力学 典型案例
材料力学典型案例材料力学典型案例：1. 悬臂梁的弯曲问题悬臂梁是一种常见的结构，经常用于桥梁、楼梯和支撑物等。
在悬臂梁的弯曲问题中，常常需要计算梁的挠度和应力分布。
通过应用材料力学的理论和公式，可以准确计算出悬臂梁在外力作用下的弯曲情况，并确定梁的安全性。
2. 拉伸试验中的应力应变关系拉伸试验是材料力学中常用的实验方法之一，用于确定材料的力学性质。
在拉伸试验中，通过施加不断增加的拉伸力，测量材料的应变和应力，得到应力应变关系曲线。
该曲线可以描述材料在拉伸过程中的变形和破坏行为。
3. 管道的弯曲问题管道的弯曲问题是材料力学中的一个重要问题。
在工程实践中，经常需要对管道进行弯曲设计和分析。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出管道在外力作用下的应力和变形情况，从而确定管道的强度和稳定性。
4. 钢筋混凝土梁的受弯问题钢筋混凝土梁是建筑结构中常用的承载构件之一。
在设计和施工过程中，需要对钢筋混凝土梁的受弯性能进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和公式，可以确定钢筋混凝土梁在受弯作用下的应力和变形情况，并评估梁的承载能力和安全性。
5. 地基沉降引起的结构变形问题地基沉降是建筑结构中常见的问题之一，它会导致结构的变形和破坏。
通过应用材料力学的理论和方法，可以计算出地基沉降引起的结构变形和应力分布，从而评估结构的稳定性和安全性，并提出相应的加固措施。
6. 薄壁容器的承载问题薄壁容器是化工和食品等行业常用的储存和运输设备。
在设计和使用过程中，需要对薄壁容器的承载能力进行评估。
通过应用材料力学的理论和公式，可以计算出薄壁容器在内外压力作用下的应力和变形情况，从而确定容器的安全性和可靠性。
7. 斜拉桥的稳定性问题斜拉桥是一种特殊的桥梁结构，具有较大的跨度和较轻的自重。
在斜拉桥的设计和施工过程中，需要对桥梁的稳定性进行分析和计算。
通过应用材料力学的理论和方法，可以确定斜拉桥在外力作用下的应力和变形情况，从而评估桥梁的稳定性和安全性。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
悬臂梁的横向扭转屈曲例题汇总
7.6 横向扭转屈曲分析实例(GUI方式)可以用BEAM188 和BEAM189 单元来模拟直梁的弯曲和剪切，也可以模拟梁的横向扭转屈曲。
为了建立这一模型，需要建立足够密的梁单元网格。
典型地，需要用一系列的梁单元来模拟一根直梁。
如图7-4 所示。
图7-4 悬臂梁的横向扭转屈曲悬臂梁的横向扭转屈曲，用60个BEAM188 单元模拟(通过/ESHAPE显示)《ANSYS Structural Analysis Guide》§7 详细叙述了屈曲分析。
本例分析悬臂梁在末端承受横向载荷时的行为。
7.6.1 问题描述一根直的细长悬臂梁，一端固定一端自由。
在自由端施加载荷。
本模型做特征值屈曲分析，并进行非线性载荷和变形研究。
研究目标为确定梁发生支点失稳(标志为侧向的大位移)的临界载荷。
参见图7-5。
7.6.2 问题特性参数材料特性：杨氏模量=1.0X10e4 psi；泊松比=0.0。
几何特性：L=100 in；H=5 in；B=2 in。
载荷为：P=1 lb。
7.6.3 草图图7-5 梁的变形7.6.4 特征值屈曲和非线性破坏分析特征值屈曲分析是线性分析，通常仅适用于弹性结构。
通常在小于特征值屈曲分析得到的临界载荷之前发生材料屈服。
这种分析比完全非线性屈曲分析所需的求解时间要少。
用户还可以用弧长法做非线性载荷-位移研究，这时用弧长法确定临界载荷。
对于更一般的情况，需要进行破坏分析。
模型有缺陷时，必须做非线性破坏分析，因为完美模型不会表现出显著的屈曲。
可以通过使用特征值分析得到的特征向量，来加入缺陷。
求得的特征向量是对实际屈曲模态最接近的预测。
添加的缺陷与梁的典型厚度相比，应为小量。
缺陷删除了载荷-位移曲线的突变部分。
通常情况下，缺陷最大值为梁厚度的1%～10%。
UPGEOM命令在前一步分析的基础上添加位移，并把几何形状更新到变形后的形状。
7.6.5 设置分析名称和定义模型的几何实体1、选择菜单“Utility Menu>File>Change Title”。
悬臂梁的横向扭转屈曲例题
7.6 横向扭转屈曲分析实例(GUI方式)可以用 BEAM188 和 BEAM189 单元来模拟直梁的弯曲和剪切，也可以模拟梁的横向扭转屈曲。
为了建立这一模型，需要建立足够密的梁单元网格。
典型地，需要用一系列的梁单元来模拟一根直梁。
如图7-4 所示。
图7-4 悬臂梁的横向扭转屈曲悬臂梁的横向扭转屈曲，用60个 BEAM188 单元模拟(通过/ESHAPE显示)《ANSYS Structural Analysis Guide》§7 详细叙述了屈曲分析。
本例分析悬臂梁在末端承受横向载荷时的行为。
7.6.1 问题描述一根直的细长悬臂梁，一端固定一端自由。
在自由端施加载荷。
本模型做特征值屈曲分析，并进行非线性载荷和变形研究。
研究目标为确定梁发生支点失稳(标志为侧向的大位移)的临界载荷。
参见图7-5。
7.6.2 问题特性参数材料特性：杨氏模量=1.0X10e4 psi；泊松比=0.0。
几何特性：L=100 in；H=5 in；B=2 in。
载荷为：P=1 lb。
7.6.3 草图图7-5 梁的变形7.6.4 特征值屈曲和非线性破坏分析特征值屈曲分析是线性分析，通常仅适用于弹性结构。
通常在小于特征值屈曲分析得到的临界载荷之前发生材料屈服。
这种分析比完全非线性屈曲分析所需的求解时间要少。
用户还可以用弧长法做非线性载荷-位移研究，这时用弧长法确定临界载荷。
对于更一般的情况，需要进行破坏分析。
模型有缺陷时，必须做非线性破坏分析，因为完美模型不会表现出显著的屈曲。
可以通过使用特征值分析得到的特征向量，来加入缺陷。
求得的特征向量是对实际屈曲模态最接近的预测。
添加的缺陷与梁的典型厚度相比，应为小量。
缺陷删除了载荷-位移曲线的突变部分。
通常情况下，缺陷最大值为梁厚度的1%～10%。
UPGEOM命令在前一步分析的基础上添加位移，并把几何形状更新到变形后的形状。
7.6.5 设置分析名称和定义模型的几何实体1、选择菜单“Utility Menu>File>Change Title”。
悬臂梁和简支梁算例PPT课件
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输入荷载
输入节点荷载、梁单元荷载、压力荷载等荷载前，需先定义静力 荷载工况(Static Load Case)
直接按快捷键F9启动荷载 / 静力荷载工况
在名称一栏中键入节点荷载
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建立静力荷载工况
在类型一栏中选择 用户定义的荷载
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 12 13 14 15 16 17 -3
y向轴网的起始位置 -7，15个1m长的网格,-7,15@1
EQUATION STATUS TOTAL NUMBER OF VALID DOFS IN MODEL ..........: 18 NUMBER OF EQUATIONS IN A BLOCK ...............: 18 NUMBER OF BLOCKS .............................: 1
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1反力对话框 2位移对话3框内力对话4框应力对话框
结果的四个页面对话框
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梁单元细部分析（Beam Detail Analysis） 通过梁的细部分析，生成梁的变形形状、剪力图(SFD)、 弯矩图(BMD)，并给出截面的应力分布图
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梁单元细部分析（Beam Detail Analysis）
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复制已有节点
首先选择待复制的节点 可以采用单选或窗口选择
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复制已有节点
新生成的节点序列
输入dx, dy, dz等 两节点间距离时 可使用鼠标编辑 功能通过连续点 击相应节点来方 便地输入。
悬臂梁实验报告
实验报告悬臂梁的模态实验姓名： xxx学号： xxx专业： xxx系别： xxx一、试验装置二、实验原理本实验采用锤击法测定悬臂梁的频响函数，将第S 点沿坐标X S 方向作用的锤击力和第r 点沿X r 方向的响应分别由相应的传感器转换为电信号，在由动态分析仪，按照随机振动理论，运算得出r,s 两点间的频响函数rs H ~，∑=+-==ni i i i k i s i r s r rs i k F X H 12)()()(0)21(~~λζλϕϕ （1） 又由于响应信号是加速度，同时圆频率为ω，位移函数,sin t X x ω=其加速度为,sin 22x t X a ωωω-=-=用复数表示后，参照（1）可得到加速度频响函数为：∑=+--=-=ni i i i k i s i r s r a rs i kF X H 12)()()(202)21(~~λζλϕϕωω （2） 由公式（2）可知，当k ωω=时，1=k λ，此时式（2）可近似写为：,22)(~)()()()()()(2kk k s k r k k k sk r k k a rs m i k i H ζϕϕζϕϕωωω-=-== （3） 它对应频响函数a rs H ~的幅频曲线的第k 个峰值，其中在上面（3），k m kk k 2()(ω）式中=为各阶主质量．．．n k ,3,2,1=。
改变s 点的位置，在不同点激振，可以得到不同点与点r之间的频响函数，当s=r 时，就可得到点r 处的原点频响函数，表示为：∑=+--=ni i i i i i r i r a rr i k H 12)()()(2)21(~λζλϕϕω （4） 它的第k 个峰值为：,2)(~)()()(2kk k r k r k k a rr k i H ζϕϕωωω-== （5）由（3）/（5）得到：（6）若另1)(=k rϕ，就可得到：（7）由（7）式，另s=1,2,3，．．．．．．ｎ，就可得到第k 阶主振型的各个元素。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
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第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .12 查看结果显示变形
此元素能很好的应用于线性（分析），大偏转，大应力的非线性 （分析）。 BEAM188包含应力刚度，在默认情况下，在某些分析中由
NLGEOM来打开。 在进行弯曲（ flexural）,侧向弯曲（ lateral）,
和扭转稳定性（ torsional stability）分析时，应力刚度应该是被打开 的。 BEAM188 能够采用SECTYPE, SECDATA, SECOFFSET, SECWRITE,和 SECREAD来定义任何截面（形状）。弹性 （elasticity）,蠕变（ creep）,和塑性（ plasticity） 模型都是允许的 (不考虑次截面形状)。
示的对话框.在列表中选“All DOF”。单击“OK”，按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .10 施加载荷 拾取菜单Main Menu-Solution-Define Loads-Apply-StructuralForce/Moment-OnKeypoints，弹出拾取窗口，拾取关键点2，单击
创建关键点2（1，0，0）和3（0.5，0.5，0）。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .6 显示关键点号
拾取菜单Utility Menu- P1otCtrls - Numbering，在所弹出的对话
框中，将Keypoint numbers(关键点号)打开，单击“OK”按钮。
7.2 .7 创建直线 拾取菜单弹出拾取窗口，Main Menu-Preprocessor-Modeling-
ANSYS 机械工程应用精华60例
内蒙古工业大学机械系
李宗学
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
图7-1 (a)所示为一悬臂梁，图7-1 (b)为梁的横截面形状，分析 其在集中力F作用下自由端的变形。已知截面各尺寸H=50mm, h=43mm，B=35mm, b=32mm，梁的长度L=1m，集中力P=1000N。
钢的弹性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
根据材料力学的知识，梁横截面对x轴的惯性矩为：
该梁自由端的挠度为:
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
BEAM188
BEAM188 — 3-D 线性有限应变梁
BEAM188 适用于分析细长的梁。 元素是基于Timoshenko 梁 理论的。 具有扭切变形效果。 BEAM188 是一个二节点的三维线性梁。 BEAM188 在每个
出如图7-3所 示的对话框，单击“Add...”按钮，弹出如图7-4所示的 对话框，在左侧列表中选“Structural Beam”，在右侧列表中选“2 node 188 ”,单击“OK”按钮，返回如图7-3所示的对话框，单击 “Close"按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .2 选择单元类型
元需要指定截面方向点，如果是圆截面，方向点只要不在梁单元的 那条线上就可以了，如果是其他截面的梁单元，方向点的不同可能 会有不同形式的截面形状产生。 定义方向关键点的方法是：在定义先的属性时的line attributes 对话框中，将pick Orientation Keypoint激活为YES，单击OK，出现 line attributes选择框。在图形窗口选择关键点。单击OK，完成。
Create-Lines-Lines Straight Line 拾取关键点1和2，单击 “ok”按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
拾取菜单Main Menu-Preprocessor-Meshing-MeshTool，弹出“MeshTool”对
话框，选择“Element Attributes”的下拉列表框为“Lines”，单击下拉列表框后 面的 “Set”按钮，弹出拾取窗口，选择线，单击“OK”按钮，弹出如图7-9所
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 分析步骤
7.2 .1过滤界面 拾取菜单Main Menu-Preferences，弹出如图7-2所示的对话框，选中 “Structural'项，单击“OK"按钮。 7.2 .2 选择单元类型
拾取菜单Main Menu- Preprocessor- Element Type-Add/Edit/Delete,弹
“OK”按钮，弹出如图7-12所示的对话框，选择“Lab”为“FY”，
在“VALUE”文本框中输入-1000，单击“OK”按钮。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .11 求解 拾取菜单Main Menu-Solution-Solve-Current LS。单击“Solve Current Load Step”对话框中的，“OK”按钮。当出现" Solution is done !”提示时，求解结束，即可查看结果。 7.2 .12 查看结果显示变形
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .9 施加约束
拾取菜单Main Menu-Solution--Define Loads-Apply-Structural-force/moment-
OnKeypoints，弹出拾取窗口，拾取关键点1，单击“OK”按钮，弹出如图7-11所
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .8 划分单元
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
Pick Orientation Keypoint（s）选项打上勾以后就是可以指定点
来确定单元的截面方向。 方向关键点是用来确定加载方向和计算抗弯模量用的。定义了
梁的截面的时候,方向点可以控制截面的方向，结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .3 定义梁的横截面
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .4 定义材料模型
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁
7.2 .5 创建关键点
拾取菜单Main Menu---Preprocessor- Modeling-Create-KeypointsIn Active CS，弹出如图7-8所示的对话框，在“NPT”文本框中输入 1，在“X,Y,Z”文本框中分别输入0,0,0，单击“Apply” 按钮，依次
节点上有6或7个自由度，（自由度）数目的变化是由KEYOPT(1)
来控制的。当 KEYOPT(1) = 0时 (默认), 每节点有6个自由度。 分 别是沿x,y,z的位移及绕其的转动。 当 KEYOPT(1) = 1时,会添加第 七个自由度 (翘曲量) 。
第七例 杆系结构的静力学分析实例——悬臂梁 BEAM188
示的对话框，选择“Pick Orientation Keypoint(s)”为Yes，单击“OK”按钮；弹
出拾取窗口，选择关键点3，单击“OK” 按钮，则横截面垂直于关键点1,2,3所 在的平面，z轴(见图7-1)指向关键点3。 单击“Size Controls”区域中“Lines”后面的“Set”按钮，弹出拾取窗口， 拾取直线，单击“OK”按钮，弹出如图7-10所示的对话框，在“NDIV”文本 框中输入50，单击“OK”按钮。 单击“MeshTool”对话框中“Mesh”区域的“Mesh”按钮，弹出拾取窗 口，拾取直线，然后单击“OK”按钮。