第三章 土的固结理论

′ + δ ij u σ ij = σ ij
即σ x = σ ′ x +u ；
′ σy =σ′ y +u； σz =σz +u
（2）应力应变关系
′ = Dijkl ε kl σ ij ⎡ E1 ⎢E ⎢ 2 ⎢E [ D] = ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ E2 E1 E2 E1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ G ⎥ ⎥ G ⎥ G⎦ ⎥
u
γw
，得
k
γw
∇ 2u =
∂ εv ∂ ⎛ ∂u x ∂u y ∂u z ⎞ ⎟ + =− ⎜ + ∂z ⎟ ∂y ∂t ∂t⎜ ⎠ ⎝ ∂x
注意到
εv =
1 − 2v 1 − 2v (Θ − 3u ) ，带入上式得 Θ′ = E E
k
γw
∇ 2u =
∂ εv ∂ ⎛ 1 − 2v ⎞ 1 − 2v ∂ (Θ − 3u ) Θ′ ⎟ = = ⎜ ∂t ∂t⎝ E E ∂t ⎠
∂Θ = 0 ，而 Biot 固结理 ∂t
∂q ∂Θ ，则同时也有 = 0） = 0。 ∂t ∂t
当 t 2 < t ≤ t3 时
⎛ t ⎞p ⎛ t + t 2 ⎞ t − t 2 p 2 − p1 U t = U ′⎜ t − 1 ⎟ 1 + U ′⎜ t − ⋅ ⎟ 2 ⎠ t3 − t 2 p2 ⎝ 2 ⎠ p2 ⎝
当 t > t3 时
⎛ t + t ⎞ p − p1 ⎛ t ⎞p U t = U ′⎜ t − 1 ⎟ 1 + U ′⎜ t − 2 3 ⎟ 2 2 ⎠ p2 ⎝ 2 ⎠ p2 ⎝
1 ，而对于实际为弹塑性介质的饱和土体，在破坏状态对应的 3
Δu = β
(Δσ 1 + Δσ 3 + Δσ 3 )
3
+α
(Δσ 1－Δσ 2 )2 + (Δσ 2－Δσ 3 )2 + (Δσ 31－Δσ 1 )2
对于饱和土 β = 1 。
注：渗流和固结的联系与区别 根本区别在于是否刚性的土体骨架，具体表现为： (1) 作用力 渗流:地下水压力差 固结:外力引起的超孔隙水压力 (2) 对象 渗流: 主要考虑土中水的流动,不考虑土的变形(除了渗透破坏) 固结: 应力转移,超孔隙水压力消散,有效应力增加引起土骨架变形 (3) 相同点 有水流动，即压力差 (4) 不同点 是否有应力转移
Terzaghi-Rendulic 准三维固结理论（1936）
若
∂Θ = 0 ，则得： ∂t
∇ 2u = ∂ε v ∂ ⎛ 1 − 2v ⎞ 3(1 − 2v ) ∂u = ⎜ Θ′ ⎟ = ∂t E ∂t ⎝ E ∂t ⎠
k
γw
⇒
∂u kE ∇ 2u = ∂t 3(1 − 2v )γ w ∂u ∂t kE ， 3γ w (1 − 2v)
对于 n 级加载，有 当 t n < t < t n +1 时
n −1 ⎛ t + t ⎞ Δpi ⎛ t + t ⎞ Δpt U t = ∑ U ′⎜ t − i + U ′⎜ t − n （这里 Δpt = pt − p n ） ⎟ n ⎟ n i =1 2 ⎠ ∑ Δp 2 ⎠∑ ⎝ ⎝ Δp i =1 i i =1 i
t
s(t ) s ′(t )
s
′ 为永久沉降， U t′ 为一次性加载 p 2 后荷载不随时间变化的固结度。 设 s∞
令U t =
st ，则 ′ s∞
当 0 < t ≤ t1 时
U t = (U ′) t
2
pt p2
当 t1 < t ≤ t 2 时
U t = (U ′)( t − t1 )
2
p1 p2
Δ V = ΔV v ⇒ Δu 2 =
1 1 (Δσ 1 − Δσ 3 ) = 1 B(Δσ 1 − Δσ 3 ) 3 1 + n(m f / m s ) 3
设 A = AB(Δσ 1 − Δσ 3 ) 显然，土体为弹性介质时 A = 平均孔压系数： 高灵敏粘土：0.75~1.5 正常固结粘土：0.5~1.0 弱超固结粘土：0～0.5 强超固结粘土：-0.5~0 Henkel 推广到三维状态：
4.2 孔压计算方法
描述超静孔压增量与总应力总量的关系。孔压产生来源于两部分：
Δu = Δu1 + Δu 2
Δu1 = BΔσ 3 Δu 2 = A(Δσ 1 − Δσ 3 )
（1）等向固结阶段
′ = m sV0 (Δσ 3 − Δu1 ) = m sV0 (1 − B )Δσ 3 有效应力作用下土体的压缩： ΔV = − m sV0 Δσ 3
σ′ x = E1ε x + E 2 ε y + E 2 ε z
σ′ y = E 2 ε x + E1ε y + E 2 ε z σ′ z = E 2 ε x + E 2 ε y + E1ε z τ xy = Gγ xy = 2Gε xy τ yz = Gγ yz = 2Gε yz τ yz = Gγ yz 续条件， 因此是比较完 Biot 固结理论既满足土体平衡条件， 善的理论。不过在数学上解此方程组很困难，所以在实际中一直未能推广。随着有限元法和 电子计算机技术的发展，比奥理论正逐渐用于解决工程实际问题。 Biot 固结理论与准三维固结理论的比较： （1） 准三维固结理论（即 Terzaghi-Rendulic 固结理论）假设 论没有此假设； （2） Biot 固 结 理 论 考 虑 土 骨 架 变 形 对 孔 压 的 影 响 ， 即 位 移 与 孔 压 相 互 耦 合 ， 而 Terzaghi-Rendulic 固结理论对土体变形和孔压消散分别加以计算。其直接的后果是 后者无法解释 Mandel-Cryer 效应。 所谓的 Mandel-Cryer 效应是指在特定的条件下土 体的初期部分土体的孔压不是消散，而是呈现上升的趋势； （3） 在一维条件下，Biot 固结理论和 Terzaghi-Rendulic 固结理论是一致的。当外荷载不 随时间变化（
（5）连续性方程 根据土体单元内水量的变化等于土体积的变化，推导得水流连续方程：
−
∂ ⎛ ∂h ⎞ ∂ ⎛ ∂h ⎞ ∂ ⎛ ∂h ⎞ ∂ ε v ⎟ ⎟= ⎟ − ⎜ky ⎜kx ⎟ − ⎜kz ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂ t
令 k = k x = k y = k z ，注意到 h =
当 t > t n +1 时
n ⎛ t + t ⎞ Δp U t = ∑ U ′⎜ t − i i +1 ⎟ n i i =1 2 ⎠ ∑ Δp ⎝ i =1
i
4.4 比奥理论固结理论
Terzaghi－Rendulic 准三维固结理论假定饱和土体在固结过程中，各点的总应力不变。 并且只有一组超静水应力 u 随时间 t 和深度 z 变化的水流连续方程。对于一维固结问题是正 确的。而对于实际经常遇到的二、三维问题，便不够严格和完善。 比奥（M.A.Biot）分析了上述不足，于 1941 年建立了理论上较完善的饱和粘土的固结 微分方程。他假定土体为均质各向同性弹性体，基于 （1）有效应力原理
⇒ C v 3∇ 2 u =
y， z 方向的总应力； Cv3——三向固结系数，C v3 = 式中，σ x ，σ y ，σ z ——x， 其中 k 为渗透系数，γ w ——水的重度。式中， 力是变化的。 二维条件下（考虑 ε y = 0 ）上式简化为
1 ∂ (σ x + σ y + σ z ) 表示土体固结过程中总应 3 ∂t
′ , j + u ,i = f i 应力平衡方程 σ ij
位移平衡方程
⎧ G ∂ ⎛ ∂u x ∂u y ∂u z ⎞ ∂u 2 ⎜ ⎪− G∇ u x + ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎟ + ∂x = 0 1 2 v x − ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ G ∂ ⎛ ∂u x ∂u y ∂u z ⎞ ∂u ⎪ 2 ⎜ ⎨− G∇ u y + ⎟ + ∂y = 0 ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ 1 2 v y − ∂ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ∂u x ∂u y ∂u z ⎞ ∂u ⎪− G∇ 2 u z + G ∂ ⎛ ⎟ ⎜ + + ⎟ + ∂z = −γ ⎜ ⎪ ∂ − ∂ ∂ ∂ 1 2 v z x y z ⎠ ⎝ ⎩ ∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
空隙中的流体（水和气）的压缩： ΔVv = − m f nV0 Δu1 = − m f nV0 BΔσ 3
ΔV = ΔVv ⇒ B =
（2）剪切阶段
1 1 + n(m f / m s )
′ = (Δσ 1 − Δσ 3 ) − Δu 2 Δσ 1 ′ = Δσ 2 ′ = − Δu 2 Δσ 3
1 1 ′ + 2Δσ 3 ′ ) = − m sV0 [(Δσ 1 − Δσ 3 ) − 3Δu 2 ] ΔV = − m sV0 (Δσ 1 3 3 ΔVv = −m w nV0 Δu 2
kE E (1 − v ) = s γ w (1 + v )(1 − 2v ) γ w k
若应力应变关系（物理方程，广义 Hook 定律）采用一维压缩定律：
de = − adσ ′ z ，则有
εv =
1 − 2v 1 − 2v (Θ − 3u ) Θ′ = E E
式中 Cv2、Cv3 分别为
1 + K0 ⎫ Cv ⎪ ⎪ 2 ⎬ 1 + 2K 0 C v3 = Cv ⎪ ⎪ 3 ⎭
′ ′ Θ′ = σ ′ x + σ y + σ y = (E1 + 2 E 2 )(ε x + ε y + ε z ) = E εv 1 − 2v