定积分知识总结
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定积分知识总结
一、基本概念和性质
（1）定义
[]()[]())
()(lim )
()()(,,,,0
max ...,)
()(lim
lim )(11
11111101
1
-=∞
→-=----∞
→∞
→=∞
→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i n
i i n i i n
i i i i i i i i i i i i i i i i i n i n
n i
n n
i i
b
a
n x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x
x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，
上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：
[]dx
x g dx x f dx x g x f a
b b
a
b
a
b
a
b
a
⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质
（
)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰a
a
a
b
b a dx x f dx
x f dx x f
()））
（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dx
x f dx x f dx x f b
c
c
a
b
a
,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰
[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥b
a
b
a
b
a
b
a
b a
b
a
dx
x g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dx
x g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0
:0)(00:0)(0
)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0
)(0)(,)(＞则：
不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])
()()(,,)()
()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dx
x f dx x f b a x f b
a
b
a
b
a b
a
-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰
⎰ξξ，使得：
点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）
均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则
在⑦若
二、微积分基本公式
1、积分上限函数及其导数
定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰x
a
dt t f )(和x 对应，因此⎰x
a
dt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记
为
⎰=Φx
a
dt t f x )()(，],[b a x ∈.
称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.
定理1：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φx
a
dt t f x )()(在],[b a 上可导，
且)()()()(b x a x f dt t f dx d x x
a
≤≤==
Φ'⎰
定理2、3：如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为
⎰=Φx
a
dt t f x )()(.
2、牛顿——莱布尼茨公式
定理4（微积分基本公式）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么
⎰
-=b a
a F
b F dx x f )()()(.
证 由定理5.2知，⎰=Φx a
dt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则
)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即
C x F dt t f x a
+=⎰
)()(.
又因为C a F dt t f a a
+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有
)()()(a F x F dt t f x a
-=⎰
.
所以
⎰
-=b a
a F
b F dx x f )()()(成立.
为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为b
a x F )(或
b a x F )]([，所以公式可改写为
)()()()(a F b F x F dx x f b a b a
-==⎰
三、定积分的积分法
1、定积分的换元积分法
定理1设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：