线性代数特征值和特征向量矩阵的对角化
线性代数居余马第5章 特征值与特征向量
5.1.2 特征值和特征向量的性质
定理5.1 若x1, x2 是A属于λ0的两个的特征向量，则 定理 k1x1+ k2x2也是A属于λ0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 ≠0 )。 证： x1，x2 是齐次线性方程组(λI− A) x=0的解，所以， ， ， k1x1+ k2x2 也是(λI− A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 ≠0 时，也是A的属于λ0 的特征向量。 (λ I− A) x=0的解空间 解空间称为A的关于λ的特征子空间 特征子空间，记作Vλ 。 解空间 特征子空间 dimVλ=n −r (λI− A)
λ1 λ2 A( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn ) O λn
(1)
(2)
得
A xj = λj x j ( xj≠0, j=1,2,L,n)
(3)
即x1, x2,L, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,L, xn线性无关)。必要性得证。
性质2 性质 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(λI− A) =det (λ I − A)T = det ((λ I)T−AT)= det (λ I − A T) *定理 定理5.3 设A是n阶矩阵，若 定理
∑a
i =1
n
ij
< 1 ( j = 1, 2 , L , n )
∑a
j =1
n
ij
i =1 i =1
− a12 L − a1n − a22 L − a2 n = ( −1) n A , 即 c = ( −1) n A n L L L − an 2 L − ann
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
线性代数-矩阵相似对角化
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
特征值和特征向量 矩阵的相似对角化
T
T
i 1
n
i 1
是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A); (2) i 12 n A .
i 1
13
理学院数学科学系
证: 因为 1 , 2 ,, n是A的n个特征向量，则有 E A 0 的根为 1 , 2 ,, n，所以
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 另外 an1 an 2 ann ( a11 )( a22 )( ann ) 令 0 ，即得 12 n A . 比较两端的 n1的系数，可得 1 2 n a11 a22 ann .
3 1 E A 1 3 2 2 6 8 (3 ) 1 ( 2)( 4)
7
理学院数学科学系
当 1 2 时，解齐次方程组 ( 2 E A) X 0，即
1 得基础解系 11 1 , 即A的属于1 2的线性无关的特征向 量，因此A的属于1 2 的全部特征向量为 k11 ( k 0).
A 3 A 2 E A A1 3 A 2E 2 A1 3 A 2 E ( A) 则有 ( ) 21 3 2, 故 ( A)的特征值为 (1) 2 11 3 1 2 1 (1) 2 (1)1 3 (1) 2 3 (2) 2 21 3 2 2 3 因此 A 3 A 2 E (1) (1) (2) 9.
一、特征值和特征向量的概念 Def4.1 设A为n阶方阵，若有数 和n元非零列向量 ，使 得 A 成立， 则称数 是方阵A的特征值， 称向量 为方阵A的属于(或对应于)特征值 的特征向量. 特征向量是非零的向量. 特征值与特征向量是互相对应的，数 是特征值就一定有 非零向量与它对应；反之，非零向量 是特征向量就一定 有一个数与它对应. 一个特征向量对应唯一一个特征值. 一个特征值对应的特征向量有无穷多个, 因此我们关心线 性无关的特征向量.
(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题
() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四 化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
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第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二 反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为
线性代数12.特征值的性质、对角化
从而：| B | 41 4 16
例(补充） 设A为方阵，且A的多项式(A) A2 A 2E O，
证明A为可逆矩阵.
证 方法一：
(A) A2 A 2E O
A的特征值必然满足方程：() 2 2 0 0不是方程2 2 0的解
0不是A的特征值,
A可逆.
方法二：
由 A2 A 2E O
由A2 A得A2 - A O 故： 2 0 从而： 0或1
例5.1.5 设三阶矩阵A的特征值为1 1, 2 2, 3 3,
矩阵B A2 2A E. 求矩阵B的特征值和行列式.
解 设 (x) x2 2x 1,
则 B (A), 于是B 的特征值为： (1) 4,
(2) 1, (3) 4,
则p1, p2, p3为3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，
2 0 1
2
令
P
(
p1,
p2
,
p3
)
0
1
1 1
2 2
，
2 ， 则有 P1AP .
7
2 0 0
例5.2.2
(2)判断A
1
2
0
能否对角化.如果可以，求可逆矩阵P和对角阵，使得P1
AP
.
0 1 2
2 0 0
解 fA | E A | 1 2 0 ( 2)3
即 A 是A*的特征值;
例5.1.4 设A2 A,证明: A的特征值只能是0或1.
证1: 设 0是A的属于特征值的特征向量, 即：A
则：A2 A （） 2 又: A2 A 故： 2 , 即： (2 ) 0
由： 0
得： 2 0
故： 0或1
证2 : 设是A的一个特征值,
线性代数中的特征值和特征向量
线性代数中的特征值和特征向量线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学分支。
在其核心概念之一中，常常涉及到特征值和特征向量。
特征值和特征向量是在变换下保持方向的向量，这样的向量在研究中经常被用到，因为它们描述了变换对向量空间的作用。
在特征值及其对应的特征向量方面，我们可以从以下几个方面来展开：一、特征值和特征向量的定义特征值是指线性变换作用于某一向量时，其结果与这个向量的数量关系，这个数量关系可以用一个数值来表示，这个数值就称为这个向量在该变换下的特征值。
特征向量是一条非零向量，变换作用在这个向量上时，仅改变向量的长度，而不改变它的方向。
也就是说，这个向量在该变换下的方向不变，只是相应地拉伸或缩短了。
二、特征值和特征向量的计算方法在计算特征值和特征向量时，可以采用以下方法：1.求解对角矩阵对于n阶矩阵A，如果存在一个列向量X，使得AX=kX，其中k为一个数，则称k是矩阵A的一个特征值，而X称为A的对应于特征值k的特征向量。
而一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解其对角化矩阵得到。
2.求解特征多项式特征多项式是矩阵的特征值所满足的多项式方程，我们可以通过求解这个方程来求解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵，其特征多项式是由其任意一行(列)对角线上各元素和行(列)号交织奇偶性给出。
三、特征值和特征向量在实际应用中的作用特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。
比如说，在图像处理中，我们可以采用特征向量的方法来实现图像的压缩和去噪；在机器学习中，我们可以采用特征值和特征向量的方法来实现数据的降维和特征选择。
另外，在计算机图形学、信号处理、量子力学和金融等领域中，特征值和特征向量也被广泛运用，它们帮助我们将复杂的问题转化成简单的数学运算，提高了问题的解决效率和精度。
总之，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，在实际应用当中发挥着不可替代的作用。
了解它们的定义、计算方法和应用，对于我们掌握基本的数学分析能力和工程应用能力是必不可少的。
特征值和特征向量矩阵的相似对角化
特征值和特征向量矩阵的相似对角化在线性代数中，矩阵是一个非常重要的数学对象。
特征值和特征向量则是矩阵中一组与矩阵相互关系紧密的特征。
矩阵的相似对角化是矩阵与特征值、特征向量之间的重要关系。
首先，我们来了解特征值和特征向量的概念。
设A是一个n阶矩阵，若存在一个非零向量X，使得满足AX=λX，其中λ是一个数，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征值λ所对应的特征向量。
特征向量表示在进行矩阵变换时，只发生一个标量倍数的变化，特征值则表示这个标量倍数的大小。
接下来，我们来探讨一下矩阵的相似对角化。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P−1AP是一个对角矩阵D，那么就称矩阵A相似于对角矩阵D，即A的相似对角化。
在相似对角化的过程中，矩阵A与D具有相同的特征值，而对角矩阵D的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
要进行矩阵的相似对角化，首先需要求得矩阵A的特征值和特征向量。
假设λ1,λ2,...,λn是矩阵A的n个特征值，对应的特征向量分别为X1,X2,...,Xn。
将这些特征向量按列排列，并组成一个矩阵P=[X1,X2,...,Xn]，则P是一个可逆矩阵。
根据特征向量的定义，我们可以得到AX=PX，进一步可以得到AX=PX=PX[λ1,λ2,...,λn]，即可以得到AP=P[λ1,λ2,...,λn]。
将矩阵A与对角矩阵D相乘，可以得到AP=PD。
根据上述推导，我们可以得到P−1AP=D，即A相似于对角矩阵D。
这个过程就是矩阵的相似对角化。
矩阵的相似对角化有很多应用。
一个重要的应用是简化矩阵的计算。
对于相似的矩阵，它们具有相同的特征值，因此在计算矩阵的n次幂、矩阵的指数函数等复杂运算时，可以先对矩阵进行相似对角化，再进行计算。
相似对角矩阵的计算更加简单，计算结果也更容易分析和理解。
另外，相似对角化还可以帮助我们研究线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，其稳定性可以通过矩阵的特征值来判断。
若所有特征值的实部都小于零，则线性系统是稳定的，否则不稳定。
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有非零线性组合.
1
例1
求对角方阵=
2
的特征值.
a11 a12 L
I
A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
称为A的特征矩阵.
a1n
a2n
L
ann
设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,,n,则有 (1)1+2++n=a11+a22++ann (2)12n=|A| 226页定理5.2
二、特征值和特征向量的计算方法
AX=X(IA)X=0
n
解: 的特征多项式:
1
|I|=
2
n
=(1)(1)(n) 的特征值为: 1,2,,n
1 2 2
例2 求矩阵 向量.
A
2 2
1 2
2的特征值和特征 1
解:
1 2 2
|IA|= 2 1 2
2 2 1
=(5)(+1)2 A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
X=A1X
1X=A1X 1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应 于1的特征向量.
三、特征值和特征向量的性质
定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不 同特征值的特征向量,则与线性无关.
[证]设,分别是特征值1,2 (12)所对应 的特征向量,则有A=1 , A=2
假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0 (1) 同时左乘A,得: k1(A)+k2(A)=0
定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零 向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非 零向量X称为A的对应于特征值的特征向
量. 注: 特征向量非零.
AX=X (IA)X=0
其有非零解的充要条件是: |IA|=0 (1) 方程|IA|=0称为A的特征方程. |IA|=n+k1n1++kn1+kn是的n
次多项式,称为A的特征多项式.
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
相似满足: (1)反身性: A~A (2)对称性: 若A~B,则B~A (3)传递性: 若A~B, B~C,则A~C
17
定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
证: 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式:
的特征值；
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
11
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1 1
基础解系:
P2
1
,
P3
0
0
1
对应于2=3= 1的全部特征向量为:
k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0)
定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于 的特征向量,则 (1)k是kA的特征值； (2)m是Am的特征值(m是正整数); (3) 是AT的特征值； (4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*
1
推论
若n阶方Байду номын сангаасA与对角阵
2
n
相似,则1,2,,n是A的特征值.
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则
1,2,,n是A的特征值19 .
（5）相似矩阵有相同的秩 231页性质
20
5.2 矩阵可对角化的条件
问题: 对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
2 2 2 0 0 0
注:
(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无 关的．
(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线 性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.
(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯 一;一个特征向量不能对应于不同的特征 值．
四、相似矩阵的概念和性质
定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆 矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵, 或者说A与B相似,记为A~B.可逆矩阵P称 为把A变成B的相似变换矩阵.
第五章 特征值和特征向量
矩阵的对角化
5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化
1
5.1 特征值与特征向量 相似矩阵 1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征值和特征向量的性质 4.相似矩阵的概念和性质
一、特征值和特征向量的概念
(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0
的根 (2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.
(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组 (iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i
的特征向量.
(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi (k0)也是对应于i的特征向量.
求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:
|IB|= |IP1AP| =|P1(I)PP1AP|
=|P1(IA)P| =|P1||IA||P|
=|IA||P1||P| =|IA||P1P| =|IA|
18
(4) 相似矩阵有相同的行列式. ∵P1AP=B |P1AP|=|B| |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B|
|A||P1P|=|B| |A|=|B|