圆的专题讲义

与圆有关的证明及计算

1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠CAE；

（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．

（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．

（1）求证：∠EPD=∠EDO；

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．

圆的动态探究题

11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接

PB，QE，设运动时间为t（s）．

（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；

（2）填空：

①当t=s时，四边形PBQE为菱形；

②当t=s时，四边形PBQE为矩形．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．

（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ 与⊙O相切；

（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四

边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此

时t的值．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、

DE．

填空：

①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；

②当的长度是时，△ADE是直角三角形．

14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直

径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若AC=3，填空：

①当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；

②当的长为时，△ABC的面积最大，最大面积为．

15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边

形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线

与半圆相切于点F，且直径

AB=8．

①△ABD的面积为．②的长．

16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．

（1）求证：△PAC∽△PCB；

（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：

①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；

②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．

17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C

重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC=DP；

（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，

①当E是半径OA中点时，切线长DC=cm：

②当AE=cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；

②当CE=时，△CDE为等边三角形．