3.4多元函数的偏导数和全微分
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第3节偏导数与全微分
xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0 ，
x2 y2 0
求 f x (0,0), f y (0,0).
解
f x (0,0)
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim 0 0 0， x0 x
同理, f y (0,0) 0 .
8
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
x y ,
(x)2 (y)2
lim
x0 yx
xy /
x2 y2
x2 y2
xx
lim
x0
x
2
x
2
1 2
0，
所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y] o( ) ，
即 f (x, y) 在(0,0) 处不可微.
13
定理2 如果函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微
分, 则函数在该点连续.
证明 事实上, 若 z Ax By o( ) ,
则 lim z 0 , 即
0
lim
( x ,y )( 0,0 )
f
( x0
x,
y0
y)
lim[
0
f
( x0 ,
y0 )
z]
f ( x0 , y0 )，
故函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 处连续.
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 12
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。
对于一个自变量的偏导数，我们将其他自变量视为常数。
偏导数的计算方法如下：1. 对于一个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对第i个自变量求偏导数，表示为∂f/∂xi。
2. 对于多个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对多个自变量同时求偏导数，表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。
需要注意的是，多元函数的偏导数存在交换律，即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。
二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
全微分可以看作是偏导数的线性组合，其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度，dxi表示自变量的变化量。
三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题：通过计算偏导数，可以找到函数的局部极大值和极小值。
当偏导数为零或不存在时，可能存在驻点或临界点，进一步分析可以确定最值点。
2. 泰勒展开：通过计算全微分，可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息，进而展开为泰勒级数，用于函数的近似计算。
3. 线性化分析：通过计算全微分，可以将非线性问题线性化处理，简化问题的求解过程。
在工程和科学领域中，常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。
4. 向量场与梯度：多元函数的梯度可以看作是一个向量场，表示了函数在各个方向上的变化率。
通过计算梯度，可以揭示函数在不同方向上的变化规律。
5. 链式法则：当函数的自变量是另一个函数的输出时，可以使用链式法则计算偏导数和全微分。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程，可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
多元函数的偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念 二、偏导数的计算 三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数 、 都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多 元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏 函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元 函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ， 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于
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2x x ux 2 2 2 2 x y z u
2y y uy 2 2 2 2 x y z u 2z z u z 2 2 2 2 x y z u
例5 已知 f ( x, y ) (1 xy) y , 求 f x(1,1), f y (1,1)
0 0
0
即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) lim x 0 x
此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则
称f (x, y)在y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
( x, y ), f y ( x, y )的偏导数. fx
( x, y) 设 z f ( x, y ) 在区域D内可偏导,若 f x
( x , y ) 偏导． fy
2z f ( x , y ) f xx 2 x x x
解 f x ( x, y ) y(1 xy) y1 y y 2 (1 xy) y1
(1,1) 1 fx
xy e ln(1 xy ) y y ln(1 xy)] ( x, y) (1 xy) [ fy 1 xy y
(1,1) 1 2 ln 2 fy
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x
3 2 2
z 2 2 xy 1 解: x
z 2 x 2 y cos y y
2 z 2 2 x sin y 2 y
z 4 xy yx
2
z 2 2 y x 2
21
lim f ( X ) f ( X 0 ) 曲面在M 0连续 X X
0
当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)
的极限都是 f (X0).
偏导数存在 曲面在M 0连续
曲面在M 0不连续 , 也可能偏导数存在
二、高阶偏导数
( x, y ), f y ( x, y ). 设z f ( x, y )的偏导数为f x
当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)
的极限不存在 . z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它
在 (0, 0)不连续.
从几何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保证了一
元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.
z x
x 0 y 0
f (0 x,0) f (0,0) (0 x) 2 0 2 0 lim lim x0 x0 x x
(不存在)
x x 2 lim lim x0 x x0 x z (不存在) 同理 x 0 y y 0
注： （1）二元函数的二阶导数一共有四个：
z x2
2
2z xy
2 z yx
2z y 2
二阶混合偏导数
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
z 如 : 若 2 可偏导, 则记 x
2
2 z z 3 z 2 z , , 等等. 3 2 2 2 x x x x y y x 3
练： 求 u x 的偏导数.
yz
u z y z 1 y x x
u yz x (ln x) zy z 1 y
u yz x (ln x) y z ln y z
15
偏导与连续的关系
在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数 不适用. 即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.
例2 求z x 2 sin 2 y的偏导数. 解
z 2 x sin 2 y x
z x 2 cos 2 y 2 2 x 2 cos 2 y y
例3 设 z x y ( x 0, x 1), 求偏导数. 解
z yx y 1 x
z x y ln x y
三、全微分的概念
复习一元函数的微分：
y f ( x)
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
y Ax o(x )
dy f ( x 0 ) dx
微商
dy Ax
dy f ( x0 )x
f y ( x0 , y0 ) z f 记作 f y ( x0 , y0 ), , 或 y x x y x x y
y y0
0
y y0
0
称为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x( x, y ) lim x 0 x
y 0 0 2 2 f (0,0 y ) f (0,0) y 0 f y (0,0) lim lim =0 y 0 y 0 y y
故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在．
kx 2 k lim f ( x , y ) lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) x 0 1 k y kx
2.计算 f x x0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 f x x , y , 再代值得 f x x0 , y0 ．
(3) 先计算 f x , y0 , 再计算 f x x , y0 , 再 计算f x x0 , y0 ．
例1 求z x 2 3 xy y 2在(1, 2)处的偏导数. 解
z 2x 3 y x
z 3x 2 y y
z 26 8 1 x x y2
z 34 7 y x 1
y2
或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6
故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.
练习 设f ( x, y) e 解
z z f x ( x, y ) 记作 f x( x, y ), , , . x x x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏
导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一
元函数来定义的.因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可. 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) .
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) u x lim x 0 x
它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.
例4 解
求u
x 2 y 2 z 2的偏导数.
arctan
y x
ln(x 2 y 2 )在(1, 2)处对x的偏导数.
本题实质上是求 f x(1,0)，但如果先求偏导数 f x( x, y)，
运算是比较麻烦的。于 是我们先把 y固定在y 0，则
2 f ( x,0) 2 ln x，则 f x( x,0) 。 于是 f x(1,0) 2. x
2 z a cos 2(ax by ) 2 2 a cos 2(ax by ) 2 a 2 x 2z a cos 2(ax by ) 2b 2ab cos 2(ax by ) xy 2 z b cos 2(ax by ) 2a 2ab cos 2(ax by ) yx 2 z b cos 2(ax by ) 2b 2b 2 cos 2(ax by ) y 2
2z f f ( x , y ) yy 2 y y y 2z f ( x , y ) f yx yx x y
2z f ( x , y ) f xy xy y x
例 设
z f ( x, y )
xy 2 2 , 当 x y 0时, 2 2 x y
0,
当x 2 y 2 0时,
证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.
证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.
x 0 0 2 2 f (0 x ,0) f (0,0) lim x 0 =0 f x (0,0) lim x 0 x x 0 x
求导次序无关.
2 z 2 z 即: ＝ xy yx
例2 求 z sin 2 (ax by ) 的二阶偏导数 解:
z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) a a sin 2(ax by ) x z 2 sin( ax by ) cos( ax by ) b b sin 2(ax by ) y
同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z
= f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.
在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些 不连续的点，偏导数却存在. 例:函数 z x 2 y 2 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.