二次函数字母系数的几何意义
26.3 二次函数的字母系数
二次函数的字母系数今天我们一起来谈一谈二次函数的一般式和顶点式中的字母系数的问题吧！例1：如图，根据图形来判别二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y 和顶点式：)0()(2≠++=a k m x a y 中字母系数的范围。
解：一般式：由开口方向可得0>a由对称轴可得02>-ab 因为0>a 所以0<b 由图像与y 轴交于正半轴，所以0>c顶点式：由开口方向可得0>a由对称轴可得0>-m 所以0<m由图像可得顶点在第四象限，所以0<k解：一般式：由开口方向可得0<a由对称轴可得02<-ab 因为0<a 所以0<b 由图像与y 轴交于正半轴，所以0>c顶点式：由开口方向可得0>a由对称轴可得0<-m 所以0>m由图像可得顶点在第二象限，所以0>k大家通过上面的问题应该对于二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 中的字母系数所对应的图像特征应该掌握的不错了，那么对于关于字母系数的一些式子你是否了解呢？下面我们一起来看一看。
例1：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别c b a b a ac b abc +++-、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a由对称轴可得02>-ab 因为0>a 所以0<b 由图像与y 轴交于负半轴，所以0<c所以：0>abc因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12<-ab 因为0>a 所以02>+b a 因为抛物线经过点（1,0），所以0=++c b a例2：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别c b a b a ac b abc +---、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a由对称轴可得 因为0>a 所以0>b由图像与y 轴交于负半轴，所以0<c所以：0<abc因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12-=-ab 所以02=-b a 因为由图可得：当x=-1时，y 的值为负。
二次函数系数的意义讲义
二次函数系数的意义讲义二次函数是代数学中一种重要的函数形式，具有形如y=ax^2+bx+c的特征。
其中，a、b、c为实数，a不等于0。
对于任何给定的二次函数，三个系数a、b、c都具有一定的意义和影响。
首先，系数a决定了二次函数的开口方向和开口程度。
当a大于0时，二次函数开口向上，形状像一个U形，称为上凸二次函数；当a小于0时，二次函数开口向下，形状像一个倒U形，称为下凸二次函数。
而当a的绝对值越大时，函数的开口程度越大，即函数的曲线越陡峭。
其次，系数b对二次函数的对称轴起到决定性作用。
对称轴是二次函数曲线的中心轴线，使得曲线在对称轴上左右对称。
对称轴的方程可以通过-b/2a求得。
当b大于0时，对称轴向右倾斜，当b小于0时，对称轴向左倾斜。
系数b的绝对值越大，对称轴的倾斜程度越大。
最后，系数c则是二次函数曲线和y轴的交点，也即是二次函数的纵截距。
当c大于0时，曲线与y轴的交点在y轴上方；当c小于0时，曲线与y轴的交点在y轴下方。
系数c的绝对值越大，曲线和y轴的交点距离越远。
此外，通过解析式y=ax^2+bx+c可以进一步观察到系数的影响。
对于给定的二次函数，通过对其进行分解因式或配方可求得其两个根，也即是函数的零点。
根的特点和系数a、b、c之间存在一定的关系。
当a不等于0且b^2-4ac大于0时，二次函数有两个不同的实根。
这表示二次函数与x轴交点的个数为2个，且这两个交点在x轴上分布在对称轴的两侧。
在实际问题中，这意味着二次函数将在对称轴的两侧的处取得最小或最大值。
当a不等于0且b^2-4ac等于0时，二次函数有两个相等的实根，也即仅有一个交点。
此时，这个根称为二次函数的重根。
在实际问题中，这意味着二次函数将在对称轴上的一些位置取得最小或最大值。
当a不等于0且b^2-4ac小于0时，二次函数没有实根。
也即二次函数与x轴没有交点。
这种情况在实际问题中代表着二次函数对应的抛物线位于x轴的上方或下方，而不会与之相交。
二次函数系数与图像的关系
二次函数系数a ，b ，c 与图像的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像确定后，解析式中的系数a ，b ，c 也随之确定，反之，根据所给字母系数a ，b ，c 的符号，也可以判断抛物线的开口方向和位置．这一知识点在中考也属于必考知识点，在选择题第10题考察，难度中等，综合性较强．那么，字母系数a ，b ，c 又是分别对图像有着怎样的影响，下面我们来一一归纳：一、a 的作用1．决定开口方向：0>a 开口向上；0<a 开口向下； 2．决定开口的大小：∣a ∣越大，抛物线的开口越小．二、b 的作用与抛物线的对称轴和a 有关，b 与a 的符号共同决定抛物线的对称轴 1．b 与a 同号．⇔<-02ab对称轴在y 轴的左边．如图一，对称轴在 y 轴的左边，所以b 与a 同号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0<b ； 2．b 与a 异号．⇔>-02ab对称轴在y 轴的右边．如图二，对称轴在 y 轴的右边，所以b 与a 异号，因为抛物线开口向下，所以0<a ，则0>b ；3．0=b ．顶点在y 轴上． 简记：左同右异三、c 的作用：由抛物线与y 轴的交点坐标决定 1． 0>c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 2． 0<c ⇔抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 3． c = 0⇔抛物线过原点．图一 图二四、抛物线与x 轴的交点个数决定ac b 42-的符号 1．抛物线与x 轴有两个交点042>-⇔ac b ； 2．抛物线与x 轴有一个交点042=-⇔ac b ； 3．抛物线与x 轴没有交点042<-⇔ac b ．五、b a ±2的符号由对称轴所在位置来决定1．判断b a +2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1的大小关系； ①如果对称轴在1的右面，则12>-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2>-，移项可得02>+b a ；②如果对称轴在1的左面，则12<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2<-，移项可得02<+b a ；例如：在图三中，抛物线对称轴在1=x 的左侧，则12<-ab，因为开口向下，所以0<a ，两边同时乘以a ，不等号方向改变，则有02<+b a ．根据这一方法，很容易推出图四中02>+b a ．2．判断b a -2的符号，需要判断抛物线的对称轴与1-的大小关系； ①如果对称轴在1-的右面，则12->-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2->-，移项可得02>-b a ；图三 图四1-=x 1-=x ②如果对称轴在1-的左面，则12-<-ab，如果抛物线开口向上，则0>a ，不等式就可转化为a b 2-<-，移项可得02<-b a ．例如：在图五中，抛物线对称轴在1-=x 的左侧，则12-<-ab，因为开口向下，所以0>a ，两边同时乘以a ，不等号方向不变，则有02<-b a ．根据这一方法，很容易推出图六中02>-b a ．六、其他情况（解析式c bx ax y ++=2中x 取特殊值）1．当1=x ，则c b a y ++=，所以抛物线c bx ax y ++=2必过),1(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．如图七，抛物线c bx ax y ++=2与1=x 的交点位置在第一象限，所以0>++c b a ．当1-=x 时，c b a y +-=图五 图六2．当2=x ，则c b a y ++=24，所以抛物线c bx ax y ++=2)24,2(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与2=x 的交点位置在第四象限024<++c b a ．当2-=x 时，c b a y +-=24，用同样的方法即可判断符号；3．当3=x ，则c b a y ++=39，所以抛物线c bx ax y ++=2)39,3(c b a ++，在图像中找到这个点的位置．c bx ax y ++=2与3=x 的交点位置在第四象限，所以39+b a 当3-=x 时，c b a y +-=39，用同样的方法即可判断符号．以上总结的知识点，在考试中也经常考察，在中考也有直接考察；这一部分知识点属于二次函数性质中非常重要的部分，必须熟练掌握．下面给出几道例题，供大家试试身手：例1：二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，用<，>，=填空：a 0，b 0，c 0， b a -2 0， ac b 42- 0，c b a ++ 0， c b a +- 0，xy例2：已知，二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb，a ）在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限xy。
二次函数几何意义
二次函数几何意义
函数是数学中概念最为重要的概念之一，广泛应用于科学技术、商业运算等领域。
今天，我们将讨论一下二次函数的几何意义。
首先，让我们从数学定义上来谈谈二次函数。
在几何意义上，二次函数是一种多项式函数，它的形式为y=ax2+bx+c，其中a、b、c
是常数，x是变量，y是函数的值。
其次，让我们来看看二次函数的几何意义。
一个二次函数可以用一个抛物线来表示，抛物线被平面内切成两个部分，其中一部分在x 轴的右边，另一部分在x轴的左边。
这条抛物线是一条开口向上的曲线，其图像上形成一个“U”形，其图形有两个交点，即抛物线的凹陷处，而抛物线的凸起处则是它的顶点。
再次，让我们来看看二次函数的特征值。
这类函数的特征值非常重要，它包括函数的顶点、凹陷处的值、单调性、对称性等等。
最后，让我们来讨论一下二次函数的应用。
二次函数广泛应用于工程学、物理学、生物学等领域，其中包括抛物线运动轨迹预测、空气动力学中流体动态计算、热传导计算、医学影像分析等。
此外，它还被用于几何图形分析、椭圆计算、逃逸率计算、圆周率求解等。
总之，二次函数是一个重要的数学概念，具有广泛的应用潜力。
它的几何特征包括顶点、凹陷处的值、单调性和对称性等，在工程学、物理学、生物学等领域都有应用，是很多数学模型的基础。
- 1 -。
二次函数与字母系数的关系(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的问题，如“如何通过改变系数来得到特定的图像”。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。它在数学和物理学等多个领域都有广泛应用，如描述物体抛掷运动的轨迹。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析y=x^2和y=-2x^2+4x+1这两个函数的图像，了解系数a、b、c对图像的具体影响。
- b对图像对称轴的影响；
- c对图像与y轴交点的影响；
3.结合具体实例，通过调整系数，观察图像变化，总结规律；
4.解决实际问题，运用字母系数的关系解决二次函数相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.掌握二次函数图像的基本性质，提高学生的数形结合思维能力，强化几何直观；
最后，关于课堂总结部分，我觉得自己在引导学生们进行反思和总结时，还可以做得更好。在今后的教学中，我会更加注重这一点，让学生们在总结过程中，能够更好地梳理所学知识，提高他们的自主学习能力。
二次函数与字母系数的关系（教案）
一、教学内容
本节教学内容选自人教版《数学》八年级下册第11章“二次函数”，重点探讨二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）中字母系数a、b、c对函数图像的影响。具体内容包括：
1.二次函数图像的基本性质；
二次函数各个系数与图像之间的关系
二次函数各个系数与图像之间的关系
二次函数是一种常见的数学函数，它在数学、物理和其他学科中都扮演着重要的角色。
它以Y=ax2+bx+c的形式出现，其中a、b、c 都是二次函数的系数。
本文将讨论二次函数系数与图像之间的关系。
首先，我们来看看a是如何影响图像的。
a是二次函数的系数，它代表着函数Y的曲率。
如果其值大于0，则函数图像弯曲向上，函数叫做凸函数；如果其值小于0，则函数图像弯曲向下，函数叫做凹函数。
通常来说，当a变化时，函数的曲率也会变化，从而影响函数的图像。
接下来，我们来看看b的作用。
b是二次函数的系数，它代表着函数Y的轴对称性。
如果值为正，则图像关于Y轴对称；如果值为负，则图像关于X轴对称。
随着b的变化，函数图像的轴对称性也会改变，从而影响整体图像。
最后，我们来看看c的作用。
c是二次函数的系数，它代表着函数Y的平移性。
当c变化时，函数图像的纵坐标会发生变化，但函数的形状不会受到影响。
由此可见，c系数有着重要的意义，它会影响函数图像的整体位置。
综上所述，可以清楚地看出，a,b,c是二次函数的三个重要系数，它们与函数的图像有着密切的关系。
a决定了函数的曲率，b决定了函数的轴对称性，c决定了整体图像的整体位置。
因此，当计算二次函数时，我们要特别注意这三个系数，以便根据它们了解函数的图像特征。
二次函数中的abc的含义
二次函数中的abc的含义在二次函数中，abc分别代表着三个不同的参数，即二次项系数（a）、一次项系数（b）和常数项（c）。
这些参数用来描述函数图像的特征，并决定了二次函数的形状，位置和方向。
接下来，我们将详细解释每个参数的含义，并讨论它们对函数图像的影响。
1.二次项系数（a）：二次项系数（a）表示二次函数中二次项的系数。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U形；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒U形。
系数a的绝对值越大，图像的开口越窄，曲线越陡峭，而绝对值小的a则代表着开口较宽的曲线。
2.一次项系数（b）：一次项系数（b）表示二次函数中一次项的系数。
一次项决定了二次函数的图像与y轴的交点位置。
当b>0时，二次函数与y轴的交点在y轴上方；当b<0时，二次函数与y轴的交点在y轴下方。
系数b的绝对值越大，图像与y轴之间的距离越远，而绝对值小的b则代表着图像与y轴之间的距离越近。
3.常数项（c）：常数项（c）表示二次函数中的常数。
常数项决定了二次函数与y 轴的截距，即图像与y轴的交点位置。
常数项c的值决定了图像在y 轴上的上下平移。
当c>0时，图像向上平移；当c<0时，图像向下平移。
增加常数项的绝对值将把图像向下移动，而减小常数项的绝对值将使图像向上移动。
综上所述，二次函数中的abcd分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
a决定了图像的形状，b决定了图像与y轴之间的距离和交点的位置，c决定了图像在y轴上的上下平移。
这些参数共同作用，决定了二次函数的图像特征，帮助我们分析和理解二次函数在数学和实际问题中的应用。
专题：二次函数的图象与字母系数的关系
专题：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与字母系数的关系二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)系数符号的确定：⑴a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．⑵b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x = -2ba判断符号(左同右异)． ⑶c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．⑷b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；没有交点，b 2-4ac ＜0． ⑸当x =1时，y =a +b +c ，当x =-1时，y =a -b +c .故由点(1, a +b +c ) 所在的象限，可判断a +b +c 的符号；由点(-1, a -b +c ) 所在的象限，可判断a -b +c 的符号.同理，当x =2时，可确定4a +2b +c 的符号，当x =-2时，可确定4a -2b +c 的符号……⑹由对称轴x = -2b a 与x =±1的位置关系，可确定2a ±b 的符号.当x = -2b a =1时，b = -2a ，即2a +b =0；当x = -2ba=-1时，b = 2a ，即2a -b =0.例1.抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则下列式子中正确的个数为（ ）①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④a +b +c ＞0；⑤ 4a -2b +c ＜0；⑥2a +b ＞0；⑦b 2-4ac ＞0；⑧4a +c ＜0C ．5D ．6c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若-1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜-ba；④3|a |+|c |＜2|b |．其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．例3.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，与y 轴相交点C ，与x 轴负半轴相交点A ，且OA =OC ，下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2a +b =0；⑤c +1a= -2，其中正确的结论有 ．（请填序号）强化训练1.如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当-1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2-4ac =0；③a ＞2；④4a -2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①c =2；②b 2-4ac ＞0；③2a +b =0；④a -b +c ＜0．其中正确的为（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①② D ．③④4.如图是二次函数y =ax 2+bx +c =（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =-2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2-4ac ＞0；③9a -3b +c ＜0；④b -4a =0；⑤方程ax 2+bx =0的两个根为x 1=0，x 2=-4，其中正确的结论有（ ） A ．①③④ B ．②④⑤ C ．①②⑤ D ．②③⑤5.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个6.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a -b +c ，则P 的取值范围是（ ）A ．-4＜P ＜0 B ．-4＜P ＜-2 C ．-2＜P ＜0 D ．-1＜P ＜07.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点（-2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a -2b +c =0；②a -b +c ＜0；③2a +c ＞0；④2a -b +1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8.如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a +b ＜0；③-1≤a ≤-23；④4ac -b 2＞8a ；其中正确的结论是（ ）A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④9. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a +2b +c ＜0，2a +b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜-1，其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c ＞0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③a +b +c ＜0；④4c ＜a ＜3c，其中所有正确结论的序号是 .有已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是.（填写序号）。
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①b-2a=0; ②abc<0; ③a-2b+4c<0; ④8a+c>0.
-1
O
3
x
③④ 其中正确的有 _________. （填序y x
(3)
y
O
O
x
< a___0; a___0; a___0; > c___0; < c___0; > b___0; > b___0; > < c___0; = > b___0;
二次函数
2 y=x +2x-3
开口方向_____; 向上
(-1,-4) 直线x=-1 ；顶点坐标是________; 对称轴是__________ (-3,0)与(1,0) 与x轴的交点坐标为____________,
与y轴的交点坐标为_______. (0，-3)
2 二次函数y=ax +bx+c
其中正确结论的个数是（ ）． A．1 B．2
C．3 D．4
c a b 系数 、、 的几何意义
y
a
x
让我们一起来探讨!
y ax bx c(a 0) 中， 例1、在二次函数 a<0,b>0,c<0,则下列符合条件的图象是（ ）
2
A
B
C
D
变式训练： 1、二次函数 y ax bx c(a 0) 的图象如下 图所示，则下列结论正确的是（ ）
2
a 0, b 0, c 0 A.
B.
a 0, b 0, c 0 C. a 0, b 0, c 0 D. a 0, b 0, c 0
y o
b x 2a
x
c>0 a<0
2 y ax bx c(a 0) 的图象如下图所示，试 例2、抛物线 确定下列各式的符号： (1)c - 2 y
(2)a + b + c (3)a - b + c
(4)b - 4ac
2
-1
2
0
1
x
变式训练 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图26-2所示，则 下列5个代数式： ab， ac， a-b+c ，4ac -b2，b-2a 中，值大于0的个数有（ ） A．5 B．4 C．3 D．2
例3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,它与轴的两个交点分别为(−1,0),(3,0).对于 y 下列命题：
小 结
> b2-4ac ___0
(4) y O
b2-4ac ___0 >
(5) y O x
b2-4ac ___0 <
x
< b___0; a___0; > c___0; <
b2-4ac ___0 =
a___0; < b___0; = c___0; >
b2-4ac ___0 >
思考题：
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论： ① b＜2a ② a + 2c－b＞0 ③ b＞a＞c ④ b2 + 2ac＜3ab