物理学中的群论基础第一章
群论 群论基础
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：自编参考书群论及其在固体物理中的应用参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第一章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 子群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规子群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3二元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
北京大学群论-第一章_抽象群基础
第一章抽象群基础§1.1 群【定义1.1】G是一个非空集合，G =｛…，g，…｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：∀f,g ∈G, f·g=h, 则h∈G;（2）结合律：∀f, g, h∈G，（f·g）·h＝f·(g·h);（3）有单位元：∃e ∈G, ∀f ∈G, f·e＝e·f＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G，∃f -1∈G, 使f·f -1= f -1·f = e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。
·系1. e是唯一的。
若e、e´皆为G的单位元，则e·e´= e´，e·e´= e，故e´= e。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f的两个逆元f´=f"，则f'=⋅⋅=⋅=⋅=, 即''f⋅=⋅f'=f''ef''f''f)(f'ef'(ff'f'')·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e, 即：e –1 = e。
·系4 若群G的运算还满足交换律，∀f，g∈G,有f·g=g·f, 则称G为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z}及其上的加法+单位元为0, 逆元z-1= -z,构成整数加法群。
例1.2 实数集R，运算为加法：单位元e = 0, 逆元：∀a∈R，a –1 = -a，构成加群。
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。
（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。
例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
群论 第一章
第一章第一章 抽象群概论§1 什么是群什么是群？？群公理不同元素的集合不同元素的集合，，赋予一定的合成规则赋予一定的合成规则（（称为群称为群““乘法乘法””—— 加、乘、对易子等对易子等）。
）。
满足下列满足下列条件条件（（群公理群公理））： （1）封闭性 i g 和G g j ∈，则G g g g k j i ∈=⋅； （2）结合律 )()(k j i k j i g g g g g g ⋅⋅=⋅⋅；（3）存在唯一的单位元素e （或E ）G ∈ ，对任一元素j g 有j j j e g g e g ⋅=⋅=； （4）对每一元素有逆元对每一元素有逆元，，对i g 有 1−i g ，使e g g ii =⋅−1。
阶 —— 群元的个数群元的个数：：阶有限为有限群阶有限为有限群；；阶无穷为无限群阶无穷为无限群。
无限群又分无限离散和无限连续无限群又分无限离散和无限连续。
注：1. 乘法不可对易乘法不可对易，，即i j j i g g g g ⋅≠⋅。
若可对易若可对易，，则称为阿贝尔称为阿贝尔（（Abel ）群。
2. 若G c b a ∈,,，则G 中包含p l k c b a ,,（其中p l k ,,为整数为整数））。
例1．复数1，i ，-1，-i 组成四阶群组成四阶群。
四阶循环群 —— 由一个元素由一个元素，，i （或-i ）出发出发，，由它及其幂由它及其幂次次生成整个群G ，称为循环群称为循环群。
循环群必是阿贝尔群环群必是阿贝尔群。
n 阶循环群可表为{23,,...n a a a a e =}。
例2．所有实数组合所有实数组合，，加法运算下成群加法运算下成群。
全体正实数在乘法运算下成连续群全体正实数在乘法运算下成连续群。
例3．定轴转动定轴转动：：Π<Θ≤20，)2(SO 无限连续群无限连续群。
特例 —— 转角为m 倍nπϑ2=构成n 阶群n C ；定点转动定点转动（（三维空间转动三维空间转动））：),,(γβαR ，)3(SO 群。
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
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E G E A A E AA G.
1.1.1 变换群
人们对平面的认识
欧几里德, 笛卡儿, 费马, … y
O
——欧氏空间
距离
x
——内积空间
内积
R ?2 {(x, y) | x, y R} =
=
——线性空间
线性运算
——集合
一个系统的所有对称变换的集合是一个群。
•定义：设由点变换构成的集合G，满足下列两个条件， 称G为变换群：
上式就是Hi和Hj只见的共轭关系，表明如果Hi属于G中的正规子 群H，则与Hi共轭的所有元素也属于H. 这个结论常被说成： 正规子群由较大群的完全类组成。其逆也成立。 定理：若H是群G的正规子群，则在G/H中定义运算为： XHYH＝(X*Y)H，则G/H在运算下为群，称<G/H，>为G对H 的商群。记为K=GH 证明 (1)对任意的aH、bH、cH∈G/H，有 (aHbH)cH＝(a*b)HcH＝((a*b)*c)H ＝(a*(b*c))H＝aH(b*c)H＝aH(bHcH) aHeH＝(a*e)H＝aH＝(e*a)H＝eHaH aHa－1H＝(a*a－1)H＝eH＝(a－1*a)H＝a－1HaH 所以满足结合律，且eH为关于运算的幺元，每个元素aH都有 逆元a－1H。故<G/H，>为群。 若g和h分别为G和H的阶，K的阶等于G中H的指数g/h.
2
C D
2
B
——
2
4
C C
2
D
51 5
B A C D B A
5
C D B A
5
y
O x
C D
fi() = Qi
恒等 f1
1 0 0 1
f2
0 1 1 0
f3
1 0 0 1
f4
0 1 1 0
f5
0 1 1 0
f6
0 1 1 0
f7
1 0 0 1
f8
1 0 0 1
1.4子群 集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同样合成法 则下的一个群，则H叫做群G的一个子群。 每个群G都有两个平凡子群——单位元和G自身。若H≠G， 即G比H有更多的元素，则子群H叫做G的真子群。 1.4.1循环群 若G是有限群，则必然存在一个有限正整数n使得An=E. 满足上式的最小非零正整数叫做元素A的阶。 前面讨论过的群(A, A2, A3, …, An=E)有这样的性质，其中每 一元素都是某一特定元素的乘幂。这样的群叫做循环群。由单一 元素生成的群就是一个循环群。循环群是Abel群，但其逆未必。 1.4.2陪集(coset) 考察g阶群G的一个h阶子群H=(H1=E, H2,…, Hh)。设X为G中 任意元素，构造所有像XE, XH2等等的乘积并组成集合
–G中任意两个变换的乘积仍是G中的变换，即具有封闭性 –G中的每个变换都有逆变换，而且是G中的一个变换。
•平面上所有平移的集合 √ •平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 •平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群
（1）平面上正方形ABCD的对称变换群
6 ， 4 ， 7 } 8 5 ， S(K) = { ， ， ， 1 2 3 ，
AG
f ( A) f ( AB).
AG
这里B是有限群G的一个元素，求和遍及所有群元素。 1.2.2有限群的生成元 考虑一些元素的最小集合，这些元素的幂和乘积可以生成群的 所有元素，此集合的元素成为群的生成元。
例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最 小正整数。
由于A是群中的一个元素，所有它的整数幂必定也在这个群中。 故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次幂不能 给出新元素，因为An+k= Ak.所求得群，故所求得群阶为n. 例：由两元素A和B生成一个群，只要求A2=B3=(AB)2=E. 由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2. 它一定也包 含所有A，B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 对易，否则由(AB)2=E将得到 E=ABAB=A2B2=B2. AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. 可以证明，这个集合是一个群，即它对乘法是封闭的。
（2）S(K)中的运算举例
2 1 2
B A B A A D
2
C D
1
C
2
D
2
B
——
2
C
2 5 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C B
（3）S(K)中的幺元
B
1
A B A
1 ：
C
2
D C
2
D
（4）S(K)中的逆元
2
B A A
1
4
D B A
物理学中的群论及其应用
§1.1什么是群？
考察所有整数集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3 }，考察下列四个性质： (a)集合I的任意两个元素之和仍是一整数，从而属于此集合I. (b)此集合包含一个零元素0，具有这样的性质，对任意元素mI， m+0=0+m=m. (c)对于I的任意元素m，存在一个也属于I的唯一n，使得m+n=
H∪XH∪YH=(E, H2,…, Hh, X, XH2,…, XHh, Y, YH2,…, YHh). 如果这些还不是全部G，我们又可以从G的剩余部分再取一 个元素继续上面的步骤。每次都生成h个属于G的新元素。因此G 的阶必定是h的整数倍。整数gh叫做G中子群H的指数。 如果有限群G的一个元素A的阶为n，已知集合(A, A2,…, An=E) 是G的一个子群，故有限群的任意元素的阶必定是此群之积的整 数因子。 1.4.4正规子群和商群(quotient group) 若相对于G中所有元素X，子群H的左陪集和右陪集相同，则H叫 做G的正规子群或不变子群. H是正规子群的条件可写成：XG, XH=HX, 或 X-1HX=H. 这个条件也可改述为要求XH中的每一元素等于HX的某一元素， XHi=HjX. 从而 X-1HjX=Hj.
1.2 乘法表(Cayley表)
f1 f1 f2
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f1
f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8
f2
f3 f4 f1
f3
f4 f1 f2
f4
f1 f2 f3
f5
f8
f6
f7
f7
f5
f8
f6
f3
f4
f5
f6 f7 f8
f1 f1 f1 f1
1.2.1重排定理 从乘法表看出，群的每一个元素在每一列中出现一次，且只 出现一次。这就是所谓重排定理。 这个定理的一个重要推论：若f是群元素的任意函数，则
多对一的映射更常遇到。如果群G1的每一元素A对应于另一群G2 的唯一元素(A)使得(AB)=(A)(B) ，就说存在从G1到G2的同态.
定义: 同态映射 : G H
(AB) = (A)(B), A, BG
为满(单)射—— 满(单)同态
G
Ker e
H Im
1.7置换群 定义 设S＝{1，2，…，n}，从集合S到S的一个双射称为S的一个 n阶置换。一般将n阶置换记为
(c)存在逆元
(d)结合律
A G B G A B B A E.
A ( B C ) ( A B) C A，B，C G
群中元素的个数叫做群的阶。有限群包含有限个元素；包含无限多 元素的叫做无限群。
以后，符号“ ”将省去。A B将写作AB。用“合成”替代“乘法” 一般来说，ABBA，若群的所有元素都相互对易，则称此群为 Abel群(交换群)
(1) (2) (n) -1. 为 的反置换 , 记为 1 2 n (1) (2) ，并称 ( n ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n
n+m=0；显然n=-m.
(d)若m，n和p是I的任意三个元素，m+(n+p)=(m+n)+p； 这表示加法满足结合律。
考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)， n是一个稳定的有限 正整数。此集合有四个性质： (a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正 矩阵，从而也属于集合U(n). (b)包含单位矩阵I，具有性质：UU(n)，UI=IU=U. (c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中， UV=VU=I. (d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.
1.5群的直积 令H=(H1E, H2, H3,…, Hh)是h阶群， K=(K1E, K2, K3,…, Kk) 是k阶群，设(i)H和K除E外无其他公共元素，(ii)H中的每一元素 都与K中每一元素对易. 定义H和K两群之积为阶等于g=hk的群G， 其元素是H的每一元素和K的每一元素的积. 群的直积为 G=HK=(E, EK2, EK3, …, EKk, H2E, H2K2, …, H2Kk, …, HhKk). 显然，H和K都是G的正规子群. 1.6同构和同态 乘法表刻画了群的全部特征，也包含了关于群的解析结构的 全部知识。具有相似乘法表的所有群都有相同的结构—相互同构. 一一对应 定义 同构对应 保持运算
1.4.3 Lagrange定理 若h阶群H为g阶群G的一个子群，则|G|＝|H|· [G:H]。 证明 令H=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh)是G的一个子群. 相 对于一个属于G而不属于H的元素X组成的作陪集XH. 前面已证明， 所有的元素XHi(1≤i≤h)都属于G而不属于H，于是得到G的h个新 元素. 这样就生成G的下列2h个元素: H∪XH=(E, H2, H3,…, Hh, X, XH2,…, XHh). 如果这不是全部G，就在G的剩余部分中取一元素Y(Y属于G但不 属于H和XH)，同样组成左陪集YH. 同理，YH的所有元素必属于 G而不属于H，YH和H不相交. 如果YH中的某元素YHi与XH中的某元素XHi(1≤i, j≤h)相同，则 YHi=XHj, 或 Y=XHjHi-1XHk . 其中1≤k≤h, 这表明Y属于XH，但与假设矛盾。于是又得到G的 h个新元素，总计得到G的3h个元素: