第10章 正弦稳态电路的功率
正弦稳态电路分析和功率计算
2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
《电路分析基础》正弦稳态最大功率传递定理
Pmax
U
2 oc
4 Req
21.472 42
57.62mW
X
求当RL、CL为何值时，负载可得到最大功率?
PLmax ?
Zs
解：当ZL Zs* 5 j5时，负载获得
最大功率。
RL CL
U
s
亦即
YL
1 ZL
1 Zs*
1 5 j5 1 j 1 5 j5 50 10 10
因为 YL
1 RL
j CL
所以： 1 1 RL 10
RL 10
X
解（续）
Zs
I
UL
U
s
ZL
X
最大功率传输定理
PL I 2RL
Rs RL
U
2 s
2 Xs XL
2 RL
欲使PL最大，首先应使分母最小。
对RL来说，当电抗之和 Xs XL 0，
即 XL Xs 时，分母 最小。
对PL求导，确定使PL为最大值的RL值。
dPL dRL
Rs RL 2 2 Rs RL Rs RL 4
CL
1, 10
CL 0.1F
PL max
Us2 4Rs
102 45
5W
X
例题2 电路如图所示，已知 Us 240 V，R 10k，
XC 5k ，XL 20k 求负载获得最大功率的条件
及负载得到的最大功率。
jX C
jX L
解：将负载移去，求剩下的单
口网络的戴维南等效电路。
Uoc
Us R R jXC
PL
Rs
|
Z
Us2 | Z | cos
| cos 2 Xs
|
正弦稳态电路的复功率
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解2
I1
10
0
10
5 j15 j25 5
j15 A
8.77
105.3
A
I2 Is I1 14.94 34.5 A
S1吸
I2 1
Z1
8.772
(10
j25)V
A
(769
j1923)V
A
S2吸
I
Z2
2
2
14.942
(5
j15)V
A
(1
116
j3
348
)V
A
S发 I1Z1 IS* 10 8.77 105.3 (10 j25)V A
(1885 j1 423) V A
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9-5 复功率
1. 复功率
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
+ I
U_
负 载
定义：S UI* 单位 V A
S UI(u i ) UIφ S
也可表示为
UIcos jUIsin P jQ
S UI* ZI I* ZI2 (R jX)I2 RI2 jXI2
或
S
UI*
U
_
U 10 Z 236 37.1 V
I1 10W I2
j25W
S发 236 37.1 10V A (1882 j1424) V A
S1吸
U
Y2 * 1
2362 (10
1
j25
)*
VA(768j Nhomakorabea920)V
A
S2吸
U
Y2 * 2
(1113
j3 345)
V
A
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
正弦稳态电路的瞬时功率与平均功率电工基础
正弦稳态电路的瞬时功率与平均功率 - 电工基础图1(a) 表小—个任意的无源二端网络，设端口电压为，电流为，不论电压、电流的波形如何，网络在任一瞬时吸取的功率，即瞬时功率，等于网络端口瞬时电压与瞬时电流的乘积：图 1 任意的无源二端网络（ 1 ）对于正弦电流电路而言，电压与电流是同频率的正弦时间函数，但在相角上，一般有所区分。
设则 ( 2 )式中为电路输入端电压超前于电流的相角差，即电路的等效阻抗的隔角。
二端网络吸取的平均功率 (average power)( 简称功率 ) 等于上述瞬时功率在—周期内的平均值，故平均功率或 ( 3 )如前所述，式中认为二端网络输入端电压超前于电流的相角，即二端网络端口等效阻抗的辐角。
式〔 3) 表明，二端网络吸取的平均功率等于它所吸取的瞬购功率的伤定重量，当己知一端网络端口电压和电流的存放值 ( 或幅值 ) 以及电压超前十电流的相角时，即可按式 (6—7—3) 计算二端网络吸取的平均功率。
对于正弦电流电路中的电感元件或电容元件来说，由于端口电压与电流间的相角差为，即元件吸取的平均功率 ( 4 ) 即无论电压幅值及电流幅值多大，电感元件与电容元件吸取的平均功率恒等于零。
但瞬时功率却并非恒等于零。
依据式 (2) 可得( 5 )即瞬时功率 P(t) 仅含简谐重量、其值可正可负：这表明，虽然就任一瞬时来看，电感元件与电容元件或是从电源获得能量，或是将能量反送回电源，但在任—周期内，元件获得的总能量等于它释放出的总能量。
这正是由佬能元件只能储存能量而不能消耗能量的特性所打算的。
对于正弦电流电路中的电阻元件来说，由于端口电压与电流同相，即元件吸取的平均功率 ( 6 )而其瞬时功率( 7 )这表明。
不仅电阻元件吸取的平均功率恒为正值，而且它在任何瞬时吸取的瞬时功率也个可能成为负值。
这正是由线性正值电阻元件只能消耗能量间不行能释放能量的特性所打算的。
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式——深入浅出理解正弦稳态电路是电路理论中的基本概念，其功率公式是电学中的热门话题。
本文将深入浅出地介绍正弦稳态电路的功率公式，帮助读者系统地理解和掌握这一重要理论。
首先要明确的是，正弦稳态电路的功率公式是指在周期性交流电源作用下，电路中所传递的功率。
正弦稳态电路中，电流和电压均为正弦波形，其功率公式可以表示为：P=VIcosφ其中，P表示电路的有功功率，V和I分别表示电路中的电压和电流，φ表示电路中电流和电压之间的相位角。
我们可以通过下面的图例来进一步理解这个公式：在图例中，V是电路中的电压，I是电路中的电流，它们的波形均为正弦函数。
在时间t=0时，电流I的相位角为0，电压V的相位角为θ，因此φ的值等于θ。
通过对P=VIcosφ公式的应用，我们可以计算出电路中的有功功率P。
下面举个例子来说明如何求解正弦稳态电路中的功率。
假设我们有一个电路，电压源为220V，电阻为10Ω，交流频率为50Hz，我们需要求解该电路的功率。
首先，我们需要计算电路中的电流，通过欧姆定律可知电流I=V/R，因此I=22A。
接下来，我们需要求解相位角φ。
由于电路中只有电阻，电流和电压之间没有相位差，因此φ=0。
因此，根据功率公式，我们可以计算得到电路中的有功功率P=VIcosφ=22*220*1=4840W。
总之，正弦稳态电路的功率公式是电学中的基本概念，是电路分析和设计中必须掌握的知识点。
本文通过生动的示意图和实例应用，帮助读者深入浅出地理解和掌握正弦稳态电路的功率公式。
无论你是电学专业的学生，还是从事电路设计和调试等工作的工程师，掌握这一知识点都是非常重要的。
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
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u 2 U sin ( t)
UI UI cos 2t
uip
i
p=UI-UIcos2 t
+
u
u
UI
-
i
ωt
－UIcos2 t
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电路分析基础
二. 电感
i +
uL –
i Im sin t
则 p uL i U Lm cost • Im sin t
uL U Lm cos t
U L I sin 2t
S~1 UI1* (50 j250 ) 10 500 j2500 VA
~ S2
U(I1
I2 )*
(50
j250 )(15
j25)
7000
j2500 VA
S~3 UI2* (50 j250)(25 j25) 7500 j5000VA
P1 500W
P2 7000W
Q1 2500 var Q2 2500 var
有能量交换也有 能量的消耗（或 产生）
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
二、)dt
T0
有
p(t)
UI
P UI cos(u i ) 瓦（W）
UI cos(u i )
t
二端网络的有 功功率
P 0 则网络消耗功率；反之，则产生功率。
由公式 cos cos 1 [cos( ) cos( )]
有
2
p(t)
1 2
U
m
I
m[c
os
(2t
u
i )
cos(u
i
)]
UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
正弦分量
恒定分量
p(t) 吸收功率
p(t) 0
UI cos(u i )
t
p(t) 0 释放功率
P3 7500 W
Q3 5000 var
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电路分析基础
10.2无源二端网络及元件的功率
设无源网络 U Uu ， I Ii
则
Z
UI
U I
(u
i )
I
+
U
无源 二端 网络
设 Z R jX Z z
-
有
Z
U I
， z
u i
Re[Z] R Z cosz ， Im[Z] X Z sinz
二、作业
10-9,10-17,10-12,10-19, 10-26,10-29
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
一、瞬时功率
设端口电压、电流如图。且
u(t) Um cos(t u )V
i(t) I m cos(t i ) A
i
+
u
二端
网络 UI
-
则网络吸收的瞬时功率：
p(t) u(t)i(t) U m Im cos(t u ) cos(t i )
解：画相量模型，由节点电压法，有
U
1
U 10 2 UC
3000 j4000 1000 1000
10 2mA IisS
3K
UucC 110000
UC
j4000 3000 j4000
U
得 UC 13.73 165 .96 0V
U 17.16 1290V
I 3.43 75.960 mA
S UI
I2
1-/j84F
P US I1 cos(u i )
101.24cos(0o (29.7o )) 10.8W
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电路分析u s 基础
+
UuCc
-
2-.5j4KF
I
P
S
故 PRC UI cos(u i ) 17.16 3.43 cos(129 o 75.96o ) 35mW
S
PS UIS cos(u i ) 17.1610 2 103 cos(129o 0o) 152mW
PD UI D cos(u i ) 17.16 13.73 103 cos(129 0 165 .960） 188 mW
UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )] UI sin(u i ) sin(2t 2i )
p1(t) p2 (t) 其中 p1 (t) UI cos(u i )[1 cos(2t 2i )]
讨论：P1 P
p2 (t) UI sin(u i ) sin(2t 2i )
作为本章的应用举例，将介绍功率的测量。
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电路分析基础
本章要求
一、要求
1、能够正确理解正弦交流电路中几种功率的基本概念、物理意义 及分析，理解功率守恒。 2、熟练掌握网络及元件的平均功率（有功功率）、无功功率、 视在功率和复功率的分析计算。 3、牢固掌握正弦稳态最大功率传输定理并能熟练运用于电路的 分析计算。 4、正确理解功率叠加，并能熟练运用于电路功率的分析计算。
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电路分析基础
例2 电路如图所示，已知 IS 1000 A
分别求三条支路的有功功率和无功功率。
解：设网孔电流
I3
I1 IS 10
j5I1 (6 j4 j5)I2 7I3
辅助方程 I3 I2 解得 I3 25 j25 A
+ IS
U
I1
-
+
6
－7I3 I2
j4
-j5
U (6 j4)I3 50 j250V
即 S~ UI(u i ) UI cos(u i ) jUI sin(u i )
S~ P jQ
注意：复功
实部为有功功率，虚部为无功功率 率是一个复数，
没有任何实际
S~ P 2 Q2 S 模为视在功率
~s u－i 辐角为端口电压超前于电流的角度
意义。定义可 以方便功率计
算。
S~ S(u i )
无功功率反映了电感、电容元件与电源之间能量
交换的规模。
问题与讨论
能从字面上把无功功率理 解为无用之功吗？
不能！
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电路分析u s 基础
例3 电路如图，已知us (t) 10 2 cos2tV
，求电源提供的有功功率。
电源提供的功率=无源二端网络 消耗的功率（网络等效阻抗电阻 分量消耗的功率）=网络内各电 阻元件消耗的功率。
二、无功功率
表明无源二端网络的无功功率， 就是网络等效阻抗的电抗分量 （或等效导纳的电纳分量）的 无功功率。
Q UI sin(u i ) UI sinz
I 2 Z sinz I 2Im[Z] I 2 X
+
I 无源
二端
或： Q U 2 I m [Y ] U 2 B
U
网络
-
（1）电阻 （2）电容 （3）电感
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电路分析基础
三. 电容
u U m sin t 则 p u • iC Um sin t • ICm cost
iC I Cm cos t
UIC sin 2t
结论：
u
电容元件和电感元
u i 同相,
ωt 件相同，只有能量 交换而不耗能，因
此也是储能元件。
电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相, 建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
一、有功功率 P UI cos(u i ) UI cos z
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
若无源网络的等效导纳为Y，则有
P U 2 Re [Y ] U 2G
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电路分析基础
P UI cos(u i ) UI cosz
P U 2Re[Y ] U 2G
I 2 Z cosz I 2 Re[Z] I 2R
功率因数 cos(u i ) cosz 功率因数角 z
通常 90 0 z 90 0
无源二端网络所消耗的功率 （有功功率），就是网络等 效阻抗的电阻分量（或等效 导纳的电导分量）所消耗的 功率
若 z 0 电流滞后于电压（呈感性），称为滞后功率因数
若 z 0 电流超前于电压（呈容性），称为超前功率因数。
（1）电阻元件， z＝0 P UI cos z UI （2）电容或电感元件，z 90o P 0
I 2R
U2 R
（3）若网络不含受控源，则
P 网络内所有电阻（或电导）消耗的功率之和。且 P 0
（4）若网络含有受控源，等效阻抗的电阻分量有可能为负值。此时。
P 0
（提供功返率节）。目录
电路分析基础
z 0 ， Q 0
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
L
（4）若二端网络不含受控源，则
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
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电路分析基础
元件正弦功率曲线演示
一、电阻
i 2 I sin ( t) 则 p u i U m sin t • I m sin t
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
返节目录
电路分析基础
想想 练练
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。
无功功率的概念可理解为只交换不消耗。
QL
ULI
I2XL
U2 XL
QC UCI I 2 X C U 2 X C
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电路分析基础
p(t) UI cos(2t u i ) UI cos(u i )