正弦交流电路的相量表示法..
简述正弦交流电的三种表示方法
简述正弦交流电的三种表示方法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写:引言部分是文章的开篇，目的是为读者提供对后续内容的整体了解。
在这篇文章中，我们将讨论正弦交流电的三种表示方法。
正弦交流电是工程技术领域中常见的电信号类型之一，广泛应用于电力系统、电子电路和通信系统等领域。
正弦交流电具有周期性的特点，可以表示为周期性变化的信号。
对于正弦交流电的表示方法，研究者们提出了多种不同的方式。
本文将详细介绍其中的三种主要表示方法，分别是：1. 直角坐标系表示法：通过在直角坐标系中绘制电压或电流随时间的变化曲线，来表示正弦交流电的变化规律。
这种方法直观且易于理解，可以清晰展示电压或电流的振幅、频率和相位等重要参数。
2. 极坐标系表示法：将正弦交流电视为一个旋转的向量，通过描述其振幅和相位差来表示。
极坐标系表示法适用于描述相位关系的问题，对于分析电路中的相位差和频率变化等现象非常有用。
3. 复数表示法：利用复数的实部和虚部，将正弦交流电转化为复数形式进行表示。
这种表示方法在电路分析和计算中非常高效，可以通过简单的复数运算得到电流和电压的各种参数，极大地简化了电路分析的过程。
本文将分别对上述三种表示方法进行详细阐述，分析其优缺点以及适用场景，旨在让读者全面了解正弦交流电的不同表示方法，并为进一步深入研究和应用提供参考。
接下来，我们将介绍文章的结构以及各个章节的具体内容。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指整篇文章内容的组织和安排方式，它包括了引言、正文和结论三个主要部分。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解文章的内容，把握文章的逻辑关系和主旨。
引言部分为文章提供了一个引人注目的开篇，引发读者的兴趣，并对正文的内容进行简单概述。
在这个部分，我们将对正弦交流电的三种表示方法进行简要的介绍。
正文部分是文章的重点，用来详细阐述正弦交流电的三种表示方法。
在正文中，我们将分别介绍第一种、第二种和第三种表示方法，详细讲解它们的原理、特点和应用场景。
10.正弦交流电路的相量表示法
I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im
2. 波形图法：
6
旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：
I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
第四章-正弦交流电路的相量法
.
原理：
+.
I
.
U
IC
.
.
I1
IC
R
jL
j 1 C
12
.
U
.
I
.
IC
-
a）
.
b） I 1
图4-11 功率因数的提高
根据图4-11分析如下:
a）电路图 ； b）相量图
并联电容前，总电流
I
I1
,电压超前电流的相位差为
; 1
并联电容后，总电流
I
I1
IC
,电压超前电流的相位差为 2
因 2 1 故 cos 2 cos 1 首页
U
Z1
+
Z2
•
U2
-
1053.13 -
图4-2 例4-1图
首页
U 2 Z2I (1 j7)1036.87V 7.07 81.87 1036.87 V 70.7 45 V
U1 Z1I (5 j15)1036.87V 15.8171.57 1036.87 V 158.1108.44 V
Y Y
对比可得
Y 1 Z
•
•
当电压、电流关联参考方向时，相量关系式U Z I
也可表示为 U I 或 I YU
Y
首页
二、用复导纳分析并联电路
图4-6所示是多支路并联电路，根据相量形式的基尔霍
夫电流定律，总电流
.
.
.
.
I I1 I2 In
.
.
.
Y1 U1 Y2 U2 Yn Un
因并联电容前后电路消耗的有功功率是相等的,故
并联电容前
P UI1 cos 1
第六章正弦交流电第二节正弦量的相量表示法及其运算
相量法复数的表达式一个复数Z 有以下四种表达式。
1．直角坐标式(代数式)Z = a + j b式中，a 叫做复数Z 的实部，b 叫做复数Z 的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。
2．三角函数式在图9-1中，复数Z 与x 轴的夹角为 θ，因此可以写成Z = a + j b = |Z |(cos θ + jsin θ)式中|Z |叫做复数Z 的模，又称为Z 的绝对值，也可用r 表示，即22|Z | b a r +==θ 叫作复数Z 的辐角，从图9-1中可以看出⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<+π-><-π>=)0 0( arctan )0 0( arctan )0( arctan b a a b b a a b a a b ，，θ 复数Z 的实部a 、虚部b 与模|Z |构成一个直角三角形。
3．指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z =|Z |(cos θ + jsin θ) =|Z |e j θ4．极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z =|Z |/θ以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
复数的四则运算设Z 1= a + j b =|Z 1|/α ，Z 2 = c + j d = |Z 2|/β ，复数的运算规则为1．加减法 Z 1 ± Z 2 = (a ± c ) + j(b ± d )2．乘法 Z 1 · Z 2 = |Z 1| · |Z 2|/α + β3．除法21Z Z =4．乘方 nn Z Z 11=/n α正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。
电工技术：正弦交流电的相量表示法
同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项 （1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。 （4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些 特殊角时，用相量图中的几何关系 很方便求相量和、相量差。 例:题3： 已知 解：
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
15、正弦交流电的相量表示法cos
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
跳转到第一页
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3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
实验六 正弦稳态交流电路相量的研究
实验六正弦稳态交流电路相量的研究一、实验目的1. 了解交流电路中的相量概念。
2. 掌握相量合成、加减、旋转的方法。
3. 学会使用矢量图解法求解交流电路问题。
二、实验原理交流电路所涉及的量大都是随时间而变化的量，如电压、电流等。
在正弦稳态下，这些随时间而变化的量可以用相量来代替，从而方便地进行计算和分析。
对于一般的随时间而变化的量 a(t)，其相量可以表示为：$A=\frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2} a(t)cosω_0tdt+j \frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2}a(t)sinω_0tdt$其中 $T=\frac{2π}{ω_0}$ 为一个周期，$ω_0=\frac{2π}{T}$ 为角频率。
这里所求的相量 A 是一个复数，它的实部表示信号在电路中的电压或电流的有效值，虚部表示信号在电路中的相位。
在交流电路中，有时需要将不同的相量合成为一个新的相量，或将一个相量分解为两个相互垂直的相量，或改变一个相量的大小和方向。
下面介绍相量合成、加减、旋转的方法：（1）相量的合成：设有两个相量 $A_1$ 和 $A_2$，其大小和方向分别为 $|A_1|$、$\varphi_1$ 和$|A_2|$、$\varphi_2$，则它们的和为：$A=A_1+A_2=|A_1|cos\varphi_1+j|A_1|sin\varphi_1+|A_2|cos\varphi_2+j|A_2|sin\va rphi_2=|A|cos\varphi+j|A|sin\varphi$其中，$|A|=\sqrt{|A_1|^2+|A_2|^2-2|A_1||A_2|cos(\varphi_1-\varphi_2)}$当需要改变一个相量的大小和方向时，可以进行相量的旋转操作。
设有一个相量 A，大小为 |A|，方向为 $\varphi_A$，现将其旋转一个角度θ，则旋转后的相量 A' 大小为 |A|，方向为 $\varphi_A+\theta$，可利用欧拉公式进行计算：即，$A'=Ae^{j\theta}$其中，e 为自然对数的底数。
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* 该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影为： u(t ) U m sin t u 是正弦量u在t时刻的值 y
u
A
O
ω
u1
x
O
Um
ω t1
ψ
ωt
旋转向量包含了正弦量的三个要素，故可以用它来表示正弦量
在正弦稳态交流电路中，各正弦量的频率与电源 频率相同。通常，该频率是已知的，故只需确定 正弦量的振幅和初相就能将它表达。（用三个要 素中的二个要素来描述即可） 故正弦量可用旋转有向量A的初始有向线段来表示
设相量
+j
则：
I ψ I
1 90 I ψ I ψ 90 o jI
+1
I ψ 180 90 I ψ 90 -j I 1 180 I ψ I ψ 180 -I
3.用旋转有向线段表示正弦量
● 在平面坐标上做长度为Um 、角度为 的有向线段 A ● 使有向线段以速度 按逆时针方向旋转. * 旋转有向线段 A，在 t 时刻 的角度为： (t )
jψ
相量式
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
【练习与思考】
用有效值相量表示下列正弦量
i1( t ) 10 2 sin( t 60 )
A A
i2 ( t ) 15 2 cos( 314t 57 ) u( t ) 200 sin t
解：
V
＝ I 10 － 60 ( A) 1
2.1.5
知识链接 正弦电量的相量表示方法
i I m sin t
i
讨论：正弦交流电的表示方法有哪几种？
瞬时值表示
Im
T
波形图表示
t
当遇到正弦电量的加、减等运算时，用这两种表示方法来进 行分析、计算，则麻烦、费时，为此引入了相量表示法，从 而使正弦交流电路的分析和计算大为简化。
解.
(2) 91.3 78
(3) 58269
5060 50(cos60 j sin 60 ) 25 j 43.3
91.3 78 91.3 cos(78 ) j sin(78 ) 19 j89.3
虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3
A2=4+j4
则
A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
模与模乘除，作为结果的模
辐角与辐角加减，作为结果的辐角 如： 则：
1.复数的实部、虚部和模
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工 中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j = 1
1
令一直角坐标系的横轴表示复数的实
+j b r φ
+1
部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表 示虚部，称为虚轴，以+j为单位。
A
复平面中有一有向线段A，其实部 为a，其虚部为b，有向线段A可用下
A1=a1+jb1 =
r11
·
A2=a2+jb2 = = r1 · r2
r22
A1· A2=
r11
r22
(1 2 )
A1 r11 r1 (1 2 ) A2 r22 r2
正弦量的相量表示法
3) 旋转90度的算子j
j 0 j1 1 90 - j 0 - j1 1 - 90 - 1 j j 1 90 90 1 180
解： I 10030o A
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
Um U 70.7V 2
例2. 已知 I 5015 A, f 50Hz .试写出电流的瞬时值表达式。 解：
i 50 2sin(314t 15 ) A
例3
把下列复数化为代数式。
(1) 5060
I 2＝ 15147 (V )
＝100 20 ( V ) U
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
例1. 已知 i 141.4 sin(314t 30o )A
u 311.1sin(314t 60 )V
o
对应
U U θ
50 45 50 cos 45 j50sin 45 35.4 j35.4 60 - 45 60 cos(45) j 60sin(45) 42.4 j 42.4 30 180 30 cos180 30
3. 复数的运算
1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部
四、 正弦量的相量表示法 2. 正弦量的相量表示法
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量
u Umsin( ω t ψ )
jψ
相量表示:
Ue U
或
Uψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
U e U ψ U m m m
a
o
面的复数表示为： A=a+jb r 表示复数的大小，称为复数的模。
有向线段的复数表示
正弦量的相量表示法
r
a 2 b2
2. 复数的表示方法
设A为一复数: 在右图的复平面上有如下关系：
+j
注意:正弦量 并不等于复 数
b
A
r
1) 代数式 A =a + jb 2) 三角式
0
a
+1
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
3) 指数式
4) 极坐标式
正弦量的相量表示法
Are
jψ
用的最多的是代数式和极坐标式
A rψ
知识链接
讨论：如何把代数形式变换成极坐标形式？极 坐标形式又如何化为代数形式？
6 j8 10 53.1 6 j8 10 126.9 6 j8 10 - 126.9 6 j8 10 - 53.1
相量表示法也具有幅值、 频率及初相这 3 个主要特征
正弦交流电的3大类表示方法
解析式 波形图ຫໍສະໝຸດ i I m sin t
i
Im
T
t
U
相 量 法
1、相量图
.
I a jb I (cos j sin ) I
2、相量式 （复数 符号法）
具体见下页内容：